كيف نثبت أن cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny ؟
الثلاثاء، 3 يوليو 2012
التسميات:
حساب مثلثات
لهذا القانون أكثر من إثبات سأستعرض بعضعها ، وسأبدأ بالأسهل والأفضل .. ارسم دائرة الوحدة
وقم برسم شعاعين (وليكونوا فى الربع الأول مثلاً) ثم إن الزاوية الأولى التى بين الشعاع الأول
والمحور الأفقى هى y والزاوية الثانية (الكبرى) هى x فيكون بذلك الزاوية المحصورة بين المتجهين
A و B هى x - y وبناء عليه يتم استعمال الضرب القياسى هنا لإيجاد cos(x - y) ll
قانون الضرب القياسى لمتجهين هو : A . B = ||A|| . ||B|| cos(x-y) ll
ولكن : ||A|| . ||B|| يساوى 1 لأننا نتعامل هنا مع دائرة الوحدة (معيار كل متجه = 1)
اذاً : cos(x-y) = A . B وبإستعمالك للقانون المعروف للضرب القياسى لمتجهين تحصل على القانون ..
ولكن هذا يتحقق على فرض أننا وضعنا المتجهات (او النقاط) فى الصورة البارمترية وهى
ll (cosx , sinx) , (sinx , siny) ll
cos(x-y) = (cosx , sinx) . (sinx , siny)= cosx.cosy + sinx.siny
الحل الثانى قد يكون أطول لكنه أوضح لمن لم يدرسون المتجهات بعد ...
عندما طولا نصف القطرين فى المثلث الذى يحتوى cos(x-y) ll هما 1 ، 1
بإستعامل قانون البُعد بين نقطتين نحصل على طول الضلع الثالث .
طول الضلع الثالث : = ll sqrt[(cosx-cosy)² + (sinx-siny)²] ll
الآن اصبح الطريق ممهداً لإيجاد cos(x-y) ll عن طريق قانون جيب التمام
cos(x-y) = [1²+1² - (cosx-cosy)² - (sinx - siny)²]/2
cos(x-y) = [2 - (cos²x+cos²y-2cosxcosy) - (sin²x+sin²y-2sinxsiny) ]/2
cos(x-y) = [2 - cos²x-cos²y+2cosxcosy - sin²x-sin²y+2sinxsiny]/2
بإستعمال المتطابقة المعروفة : cos²x + sin²x = 1 وبنفس الطريقة مع y
cos(x-y) = [2 - 2 + 2(cosxcosy+sinxsiny)]/2
بعد الإختصارات نحصل على القانون وهو :
cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny
ولكن يظل الحل عن طريق الضرب القياسى لمتجهين هو الأسهل فى الحل
لكنى وضعت هذا الحل ايضاً لمن لم يروق لهم فكرة الحل عن طريق المتجهات
الآن كيف نحصل على قانون مجموع زاويتين ؟
ببساطة شديدة جداً ضع -y للطرفين (لأنها متطابقة)
cos(x - -(y)) = cos(x+y) = cosx.cos(-y)+sinx.sin(-y) ll
نحن نعلم أن: cos(-y) = cosy السالب لا يفرق مع cos
بينما sin(-y) = -siny لأنها دالة فردية بينما دالة cosine زوجية ..
اذاً : cos(x+y) = cosx.cosy - sinx.siny
...................................................................................
الحل الثالث : متقدم بعض الشىء ويكون عن طريق فك دالة الـ cosine بدلالة الدالة الأسية
حيث أن : cosx = (e^ix + e^-ix)/2 (متطابقة معروفة) وبناء عليه يمكن تبديل x بـ x+y
cos(x+y) = ½[e^i(x+y) + e^-i(x+y)] ll
وبإستعمال قوانين الأسس البسيطة المعروفة ... حيث نعلم مسبقاً أن :
cosx = (e^ix + e^-ix)/2 وأن sinx = (e^ix - e^-ix)/2i وطبعاً يمكنك تبديل y مكان x ...
نكمل ... cos(x+y) = ½[e^i(x+y) + e^-i(x+y)] ll
cos(x+y) = ½[e^ix.e^iy + e^-ix.e^-iy] ll
ولكن :
e^ix.e^iy = (cosx+isinx) (cosy+isiny) = cosxcosy-sinx.siny+i(sinx.cosy+cosx.siny) ll
فى المقابل نجد أن :
e^-ix.e^-iy = cosxcosy-sinx.siny-i(sinx.cosy+cosx.siny) ll
بجمع المعادلتين معاً نجد أن الجزء التخيلى قد حذف تماماً ويتبقى فقط الجزء الحقيقى
وبعد التعويض واختصار ½ مع 2 ...
اذاً : cos(x+y) = cosx.cosy - sinx.siny
وقم برسم شعاعين (وليكونوا فى الربع الأول مثلاً) ثم إن الزاوية الأولى التى بين الشعاع الأول
والمحور الأفقى هى y والزاوية الثانية (الكبرى) هى x فيكون بذلك الزاوية المحصورة بين المتجهين
A و B هى x - y وبناء عليه يتم استعمال الضرب القياسى هنا لإيجاد cos(x - y) ll
 |
| دائرة الوحدة وكما يظهر - المتجهان A و B ,الزاوية بينهما x-y |
قانون الضرب القياسى لمتجهين هو : A . B = ||A|| . ||B|| cos(x-y) ll
ولكن : ||A|| . ||B|| يساوى 1 لأننا نتعامل هنا مع دائرة الوحدة (معيار كل متجه = 1)
اذاً : cos(x-y) = A . B وبإستعمالك للقانون المعروف للضرب القياسى لمتجهين تحصل على القانون ..
ولكن هذا يتحقق على فرض أننا وضعنا المتجهات (او النقاط) فى الصورة البارمترية وهى
ll (cosx , sinx) , (sinx , siny) ll
cos(x-y) = (cosx , sinx) . (sinx , siny)= cosx.cosy + sinx.siny
الحل الثانى قد يكون أطول لكنه أوضح لمن لم يدرسون المتجهات بعد ...
عندما طولا نصف القطرين فى المثلث الذى يحتوى cos(x-y) ll هما 1 ، 1
بإستعامل قانون البُعد بين نقطتين نحصل على طول الضلع الثالث .
طول الضلع الثالث : = ll sqrt[(cosx-cosy)² + (sinx-siny)²] ll
الآن اصبح الطريق ممهداً لإيجاد cos(x-y) ll عن طريق قانون جيب التمام
cos(x-y) = [1²+1² - (cosx-cosy)² - (sinx - siny)²]/2
cos(x-y) = [2 - (cos²x+cos²y-2cosxcosy) - (sin²x+sin²y-2sinxsiny) ]/2
cos(x-y) = [2 - cos²x-cos²y+2cosxcosy - sin²x-sin²y+2sinxsiny]/2
بإستعمال المتطابقة المعروفة : cos²x + sin²x = 1 وبنفس الطريقة مع y
cos(x-y) = [2 - 2 + 2(cosxcosy+sinxsiny)]/2
بعد الإختصارات نحصل على القانون وهو :
cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny
ولكن يظل الحل عن طريق الضرب القياسى لمتجهين هو الأسهل فى الحل
لكنى وضعت هذا الحل ايضاً لمن لم يروق لهم فكرة الحل عن طريق المتجهات
الآن كيف نحصل على قانون مجموع زاويتين ؟
ببساطة شديدة جداً ضع -y للطرفين (لأنها متطابقة)
cos(x - -(y)) = cos(x+y) = cosx.cos(-y)+sinx.sin(-y) ll
نحن نعلم أن: cos(-y) = cosy السالب لا يفرق مع cos
بينما sin(-y) = -siny لأنها دالة فردية بينما دالة cosine زوجية ..
اذاً : cos(x+y) = cosx.cosy - sinx.siny
...................................................................................
الحل الثالث : متقدم بعض الشىء ويكون عن طريق فك دالة الـ cosine بدلالة الدالة الأسية
حيث أن : cosx = (e^ix + e^-ix)/2 (متطابقة معروفة) وبناء عليه يمكن تبديل x بـ x+y
cos(x+y) = ½[e^i(x+y) + e^-i(x+y)] ll
وبإستعمال قوانين الأسس البسيطة المعروفة ... حيث نعلم مسبقاً أن :
cosx = (e^ix + e^-ix)/2 وأن sinx = (e^ix - e^-ix)/2i وطبعاً يمكنك تبديل y مكان x ...
نكمل ... cos(x+y) = ½[e^i(x+y) + e^-i(x+y)] ll
cos(x+y) = ½[e^ix.e^iy + e^-ix.e^-iy] ll
ولكن :
e^ix.e^iy = (cosx+isinx) (cosy+isiny) = cosxcosy-sinx.siny+i(sinx.cosy+cosx.siny) ll
فى المقابل نجد أن :
e^-ix.e^-iy = cosxcosy-sinx.siny-i(sinx.cosy+cosx.siny) ll
بجمع المعادلتين معاً نجد أن الجزء التخيلى قد حذف تماماً ويتبقى فقط الجزء الحقيقى
وبعد التعويض واختصار ½ مع 2 ...
اذاً : cos(x+y) = cosx.cosy - sinx.siny
0 التعليقات:
إرسال تعليق