احسب l (1-4/1^2) (1-4/3^2) (1-4/5^2) .... (1-4/195^2) (1-4/197^2)(1-4/199^2)
السبت، 28 يوليو 2012
التسميات:
مواضيع متنوعة,
نظرية الاعداد
ليكن لدينا دالة فى المتغير a حيث a = 1,3,5,7,...,199
f(a) = 1 - 4/a² = (1 + 2/a) ( 1 - 2/a) = [(a+2)/a] [(a-2)/a] = (a-2)(a+2)/a² l
الآن بحث عن سير عمل هذه الحدود (يعنى بالتعوض مرة عن a = 1 تعطينا
الحد الأول ثم نعوض a = 3 تعطينا الحد الثالث ... وهكذا)
ليتكون لدينا الشكل الآتى فى الضرب .
l (-1×3)/1² . (1×5)/3² . (3×7)/5² . (5×9)/7² ... (195×199)/197² . (197×201)/199²
مما سبق نكتشف ان هناك اختصارات كثيرة جداً تتلخص فى انه (مثلاً)
لكى نختصر 3² التى فى المقام يكفى ايجاد 3 مضروبة فى 3 (مكررة يعنى)
فى البسط وهذا موجود ويطبق على جميع الحدود بإستثناء الحد الأخير لا
تطبق عليه القاعدة بشكل كامل فهو يبقى على a+2 وايضاً فى المقام يبقى
على a فقط (يمكن ملاحظة ذلك من خلال التجربة)
وايضاً نلاحظ ان هناك سالب واحد (اذاً المقدار سالب)
وبناء عليه فإن حاصل الضرب هو : P = -(199+2)/199 = -201/199
والتى تساوى بالتقريب : P ≈ -1.01
---------------------------------------------------------------------------------------------
والآن لتكن الحدود عددها
لانهاية بحيث ان الترتيب فى المقامات فردى كما هو واضح، كل ما
نفعله هو نوجد النهاية للدالة الآتية .
lim(a→∞) - (a+2)/a = -1
تساوى -1 لأن درجة البسط = درجة المقام
اذاً مباشرة ً النهاية = معامل a الذى فى البسط
على معامل a الذى فى المقام يعنى تساوى 1/1 = 1
ثم ضربنا النهاية فى سالب واحد كما حددنا لأن الحد الأول
منها سالب .
وبناء عليه اذا كان الضرب السابق يؤول الى اللانهاية فإن
قيمته تؤول الى -1 .
l (1-4/1^2) (1-4/3^2) (1-4/5^2) ........ = -1
--------------------------------------------------------------------------------------------------
وجدت ان موقع ولفرام الفا لا يستحمل سوى عدد معين من العمليات
الحسابية، لذلك وضعت الناتج فى آلة حاسبة مخصصة للعمليات الحسابية
الكبيرة ووضعت فيها :
(1-4/1^2)*(1-4/3^2)*(1-4/5^2)*(1-4/7^2)*(1-4/9^2)*(1-4/11^2)*(1-4/13^2)*(1- 4/15^2)*(1-4/17^2)*(1-4/19^2)*(1-4/21^2)*(1-4/23^2)*(1-4/25^2)*(1-4/27^2)*(1- 4/29^2)*(1-4/31^2)*(1-4/33^2)*(1-4/35^2)*(1-4/37^2)*(1-4/39^2)*(1-4/41^2)*(1- 4/43^2)*(1-4/45^2)*(1-4/47^2)*(1-4/49^2)*(1-4/51^2)*(1-4/53^2)*(1-4/55^2)*(1- 4/57^2)*(1-4/59^2)*(1-4/61^2)*(1-4/63^2)*(1-4/65^2)*(1-4/67^2)*(1-4/69^2)*(1-4/71^2)*(1-4/73^2)*(1-4/75^2)*(1-4/77^2)*(1-4/79^2)*(1-4/81^2)*(1-4/83^2)*(1-4/85^2)*(1-4/87^2)*(1-4/89^2)*(1-4/91^2)*(1-4/93^2)*(1-4/95^2)*(1-4/97^2)*(1-4/99^2)*(1-4/101^2)*(1-4/103^2)*(1-4/105^2)*(1-4/107^2)*(1-4/109^2)*(1-4/111^2)*(1-4/113^2)*(1-4/115^2)*(1-4/117^2)*(1-4/119^2)*(1-4/121^2)*(1-4/123^2)*(1-4/125^2)*(1-4/127^2)*(1-4/129^2)*(1-4/131^2)*(1-4/133^2)*(1-4/135^2)*(1-4/137^2)*(1-4/139^2)*(1-4/141^2)*(1-4/143^2)*(1-4/145^2)*(1-4/147^2)*(1-4/149^2)*(1-4/151^2)*(1-4/153^2)*(1-4/155^2)*(1-4/157^2)*(1-4/159^2)*(1-4/161^2)*(1-4/163^2)*(1-4/165^2)*(1-4/167^2)*(1-4/169^2)*(1-4/171^2)*(1-4/173^2)*(1-4/175^2)*(1-4/177^2)*(1-4/179^2)*(1-4/181^2)*(1-4/183^2)*(1-4/185^2)*(1-4/187^2)*(1-4/189^2)*(1-4/191^2)*(1-4/193^2)*(1-4/195^2)*(1-4/197^2)*(1-4/199^2)
فكان الناتج بالتقريب l ≈ -1,01
وهو نفس الناتج الذى توصلت اليه . (من هذا الموقع)
-------------------------------------------------------------------------------------------
يمكن وضع حاصل الضرب السابق فى موقع ولفرام الفا كما هو مبين على
هذا الرابط .
f(a) = 1 - 4/a² = (1 + 2/a) ( 1 - 2/a) = [(a+2)/a] [(a-2)/a] = (a-2)(a+2)/a² l
الآن بحث عن سير عمل هذه الحدود (يعنى بالتعوض مرة عن a = 1 تعطينا
الحد الأول ثم نعوض a = 3 تعطينا الحد الثالث ... وهكذا)
ليتكون لدينا الشكل الآتى فى الضرب .
l (-1×3)/1² . (1×5)/3² . (3×7)/5² . (5×9)/7² ... (195×199)/197² . (197×201)/199²
مما سبق نكتشف ان هناك اختصارات كثيرة جداً تتلخص فى انه (مثلاً)
لكى نختصر 3² التى فى المقام يكفى ايجاد 3 مضروبة فى 3 (مكررة يعنى)
فى البسط وهذا موجود ويطبق على جميع الحدود بإستثناء الحد الأخير لا
تطبق عليه القاعدة بشكل كامل فهو يبقى على a+2 وايضاً فى المقام يبقى
على a فقط (يمكن ملاحظة ذلك من خلال التجربة)
وايضاً نلاحظ ان هناك سالب واحد (اذاً المقدار سالب)
وبناء عليه فإن حاصل الضرب هو : P = -(199+2)/199 = -201/199
والتى تساوى بالتقريب : P ≈ -1.01
---------------------------------------------------------------------------------------------
والآن لتكن الحدود عددها
لانهاية بحيث ان الترتيب فى المقامات فردى كما هو واضح، كل ما
نفعله هو نوجد النهاية للدالة الآتية .
lim(a→∞) - (a+2)/a = -1
تساوى -1 لأن درجة البسط = درجة المقام
اذاً مباشرة ً النهاية = معامل a الذى فى البسط
على معامل a الذى فى المقام يعنى تساوى 1/1 = 1
ثم ضربنا النهاية فى سالب واحد كما حددنا لأن الحد الأول
منها سالب .
وبناء عليه اذا كان الضرب السابق يؤول الى اللانهاية فإن
قيمته تؤول الى -1 .
l (1-4/1^2) (1-4/3^2) (1-4/5^2) ........ = -1
--------------------------------------------------------------------------------------------------
وجدت ان موقع ولفرام الفا لا يستحمل سوى عدد معين من العمليات
الحسابية، لذلك وضعت الناتج فى آلة حاسبة مخصصة للعمليات الحسابية
الكبيرة ووضعت فيها :
(1-4/1^2)*(1-4/3^2)*(1-4/5^2)*(1-4/7^2)*(1-4/9^2)*(1-4/11^2)*(1-4/13^2)*(1- 4/15^2)*(1-4/17^2)*(1-4/19^2)*(1-4/21^2)*(1-4/23^2)*(1-4/25^2)*(1-4/27^2)*(1- 4/29^2)*(1-4/31^2)*(1-4/33^2)*(1-4/35^2)*(1-4/37^2)*(1-4/39^2)*(1-4/41^2)*(1- 4/43^2)*(1-4/45^2)*(1-4/47^2)*(1-4/49^2)*(1-4/51^2)*(1-4/53^2)*(1-4/55^2)*(1- 4/57^2)*(1-4/59^2)*(1-4/61^2)*(1-4/63^2)*(1-4/65^2)*(1-4/67^2)*(1-4/69^2)*(1-4/71^2)*(1-4/73^2)*(1-4/75^2)*(1-4/77^2)*(1-4/79^2)*(1-4/81^2)*(1-4/83^2)*(1-4/85^2)*(1-4/87^2)*(1-4/89^2)*(1-4/91^2)*(1-4/93^2)*(1-4/95^2)*(1-4/97^2)*(1-4/99^2)*(1-4/101^2)*(1-4/103^2)*(1-4/105^2)*(1-4/107^2)*(1-4/109^2)*(1-4/111^2)*(1-4/113^2)*(1-4/115^2)*(1-4/117^2)*(1-4/119^2)*(1-4/121^2)*(1-4/123^2)*(1-4/125^2)*(1-4/127^2)*(1-4/129^2)*(1-4/131^2)*(1-4/133^2)*(1-4/135^2)*(1-4/137^2)*(1-4/139^2)*(1-4/141^2)*(1-4/143^2)*(1-4/145^2)*(1-4/147^2)*(1-4/149^2)*(1-4/151^2)*(1-4/153^2)*(1-4/155^2)*(1-4/157^2)*(1-4/159^2)*(1-4/161^2)*(1-4/163^2)*(1-4/165^2)*(1-4/167^2)*(1-4/169^2)*(1-4/171^2)*(1-4/173^2)*(1-4/175^2)*(1-4/177^2)*(1-4/179^2)*(1-4/181^2)*(1-4/183^2)*(1-4/185^2)*(1-4/187^2)*(1-4/189^2)*(1-4/191^2)*(1-4/193^2)*(1-4/195^2)*(1-4/197^2)*(1-4/199^2)
فكان الناتج بالتقريب l ≈ -1,01
وهو نفس الناتج الذى توصلت اليه . (من هذا الموقع)
-------------------------------------------------------------------------------------------
يمكن وضع حاصل الضرب السابق فى موقع ولفرام الفا كما هو مبين على
هذا الرابط .
0 التعليقات:
إرسال تعليق