برهن على ان العدد (n^(p+1 و العدد (n^(p+5 آحادهما مشترك
الأربعاء، 18 يوليو 2012
التسميات:
نظرية الاعداد
لمعرفة رقم الآحاد لأى عدد نقسمه على 10 ، وبفرض أن آحاد العدد الأصغر
هو a ... اذاً n^(p+1) ≡ a (mod10) l بضرب الطرفين فى n^4
n^(p+5) ≡ a n^4 (mod10) l
اذاً يجب البرهنة على أن : a n^4 ≡ a (mod10) l (سأحاول ان اكمل هذا البرهان الناقص)...
------------------------------------------------------------------------------------------------------
سآتى الى النقطة الثانية (والتى لفتَّ نظرى اليها) يكون للعددين نفس رقم
الآحاد اذا كان الفرق بينهما عدد يقبل القسمة على 10 وهذا أمر جيد .
E = n^(p+5) - n^(p+1) = n^(p+1) [n^4 - 1] l
حقيقية : يقبل عدد ما القسمة على 10 اذا كان يقبل القسمة على 2 ، 5 معاً .
الآن اذا كانت n عدداً زوجياً فإنه بالتأكيد يقبل القسمة على 2 اما اذا كانت n عدداً
فردياً فإنه يمكن وضع n على الصورة n = 2k+1 حيث k عدد طبيعى .. ولكن دعنا
من هذا كله حيث انى سأعتمد على الحقيقة التى تقول ان : فردى × فردى = فردى
وبناء عليه فردى اس اى عدد طبيعى هو عدد فردى (يمكنك برهنتها والبرهان سهل)
اذاً n^4 - 1 = 2u حيث م عدد طبيعى (اى انى اقصد انها عدد زوجى)
لأنه اذا كانت n^4 عدداً فردياً، فإنك تستطيع ان تعتمد على المعلومة فردى - فردى = زوجى .
هكذا تكون اول واهم خطوة انتهت وهى ان العدد يقبل القسمة على 2 من اجل ن عدداً طبيعياً .
ننتقل الى الخطوة التالية لها، وسأفرض أن p+1 = m (حتى تكون واضحة لا اكثر)
E = n^m . [n^4 - 1] l
من اجل n من مضاعفات العدد 5 (انتهى البرهان)
من اجل n ليست من مضاعفات العدد 5 اذاً يستحيل ان يقبل العدد n^m القسمة على 5
لماذاً ؟ لأنه اذا كانت n لسيت من مضاعفات العدد 5 اذاً فإن عواملها الأولية لا تحوى على
العدد 5 نفسه، وبناء عليه مهما رفعته لأس طبيعى فلن تحصل على مضاعفات للعدد 5 .
اذاً حتى نكمل البران عن آخره يجب ان نبرهن على ان n^4 - 1 تقبل القسمة على 5 من اجل
n عدداً طبيعياً ليس من مضاعفات العدد 5 .
جميع الأعداد الطبيعية التى ليست من مضاعفات العدد 5 تكون على احدى الصور الآتية :
5k+1 , 5k+2 , 5k+3 , 5k+4 حيث k عدداً طبيعياً .
وحتى يكون الحل يسير نبدأ بنشر مفكوك ذات الحدين التالى :
l (x+a)^4 = x^4 + 4ax³ + 6a²x² + 4a³x + a^4
بوضع x = 5k للطرفين ...
l (5k+a)^4 = (5k)^4 + 4a(5k)³ + 6a²(5k)² + 4a³(5k) + a^4
الآن لابد وان نلاحظ شىء هام جداً وهو ان جميع هذه الحدود تقبل القسمة على 5
(فيما عدا الحد الأخير) الآن : a = {1,2,3,4} l
(عوض فقط فى الحد الأخير) l 1^4 = 1 وبناء عليه عد التعويض فى n^4 - 1
يزول هذا الواحد تماماً وتقبل القسمة على 5 .
بوضع a = 2 تجد ان " l 2^4 = 16 والتى اذا طرحنا منها 1 تقبل القسمة على 5
ضع a = 3 اذاً l 3^4 = 81 والتى اذا طرحنا منها 1 تقبل القسمة على 5
ضع a = 4 اذاً l 4^4 = 256 والتى اذا طرحنا منها 1 تقبل القسمة على 5
اذاً العبارة E تقبل القسمة على 10 .
هو a ... اذاً n^(p+1) ≡ a (mod10) l بضرب الطرفين فى n^4
n^(p+5) ≡ a n^4 (mod10) l
اذاً يجب البرهنة على أن : a n^4 ≡ a (mod10) l (سأحاول ان اكمل هذا البرهان الناقص)...
------------------------------------------------------------------------------------------------------
سآتى الى النقطة الثانية (والتى لفتَّ نظرى اليها) يكون للعددين نفس رقم
الآحاد اذا كان الفرق بينهما عدد يقبل القسمة على 10 وهذا أمر جيد .
E = n^(p+5) - n^(p+1) = n^(p+1) [n^4 - 1] l
حقيقية : يقبل عدد ما القسمة على 10 اذا كان يقبل القسمة على 2 ، 5 معاً .
الآن اذا كانت n عدداً زوجياً فإنه بالتأكيد يقبل القسمة على 2 اما اذا كانت n عدداً
فردياً فإنه يمكن وضع n على الصورة n = 2k+1 حيث k عدد طبيعى .. ولكن دعنا
من هذا كله حيث انى سأعتمد على الحقيقة التى تقول ان : فردى × فردى = فردى
وبناء عليه فردى اس اى عدد طبيعى هو عدد فردى (يمكنك برهنتها والبرهان سهل)
اذاً n^4 - 1 = 2u حيث م عدد طبيعى (اى انى اقصد انها عدد زوجى)
لأنه اذا كانت n^4 عدداً فردياً، فإنك تستطيع ان تعتمد على المعلومة فردى - فردى = زوجى .
هكذا تكون اول واهم خطوة انتهت وهى ان العدد يقبل القسمة على 2 من اجل ن عدداً طبيعياً .
ننتقل الى الخطوة التالية لها، وسأفرض أن p+1 = m (حتى تكون واضحة لا اكثر)
E = n^m . [n^4 - 1] l
من اجل n من مضاعفات العدد 5 (انتهى البرهان)
من اجل n ليست من مضاعفات العدد 5 اذاً يستحيل ان يقبل العدد n^m القسمة على 5
لماذاً ؟ لأنه اذا كانت n لسيت من مضاعفات العدد 5 اذاً فإن عواملها الأولية لا تحوى على
العدد 5 نفسه، وبناء عليه مهما رفعته لأس طبيعى فلن تحصل على مضاعفات للعدد 5 .
اذاً حتى نكمل البران عن آخره يجب ان نبرهن على ان n^4 - 1 تقبل القسمة على 5 من اجل
n عدداً طبيعياً ليس من مضاعفات العدد 5 .
جميع الأعداد الطبيعية التى ليست من مضاعفات العدد 5 تكون على احدى الصور الآتية :
5k+1 , 5k+2 , 5k+3 , 5k+4 حيث k عدداً طبيعياً .
وحتى يكون الحل يسير نبدأ بنشر مفكوك ذات الحدين التالى :
l (x+a)^4 = x^4 + 4ax³ + 6a²x² + 4a³x + a^4
بوضع x = 5k للطرفين ...
l (5k+a)^4 = (5k)^4 + 4a(5k)³ + 6a²(5k)² + 4a³(5k) + a^4
الآن لابد وان نلاحظ شىء هام جداً وهو ان جميع هذه الحدود تقبل القسمة على 5
(فيما عدا الحد الأخير) الآن : a = {1,2,3,4} l
(عوض فقط فى الحد الأخير) l 1^4 = 1 وبناء عليه عد التعويض فى n^4 - 1
يزول هذا الواحد تماماً وتقبل القسمة على 5 .
بوضع a = 2 تجد ان " l 2^4 = 16 والتى اذا طرحنا منها 1 تقبل القسمة على 5
ضع a = 3 اذاً l 3^4 = 81 والتى اذا طرحنا منها 1 تقبل القسمة على 5
ضع a = 4 اذاً l 4^4 = 256 والتى اذا طرحنا منها 1 تقبل القسمة على 5
اذاً العبارة E تقبل القسمة على 10 .
0 التعليقات:
إرسال تعليق