اوجد : lim(x→∞) xlnx - xln(x-1) l

بالتعويض المباشرة تعطى مالانهاية - مالانهاية  (كمية غير معينة)
ولكن يمكن وضع النهاية فى صورة أخرى (ومن خصائص اللوغاريتمات)

lim(x→∞) xlnx - xln(x-1)  ==> lim(x→∞) x [lnx - ln(x-1)]  l

ولتحويلها الى نهاية (فى صورة كسر) نفرض أن : x = 1/y
ومنها  y = 1/x  وعندما x تؤول الى مالانهاية فإن y تؤول الى الصفر .

lim(y→0)  [ln(1/y) - ln(1/y -1)]/y    وبتوحيد المقامات

L = lim(y→0) [ln(1/y) - ln((1-y)/y)]/y

بإستعمال بعض خصائص اللوغاريتمات البسيطة ...

L = lim(y→0) [-lny - ln(1-y) + lny)]/y

L = lim(y→0) - ln(1-y)/y

بعد التعويض بـ y = 0  نجد ان النهاية = 0/0 وهنا يجوز
استعمال قاعدة لوبيتال عن طريق اشتقاق البسط مرة
والمقام مرة (كلاً منهم على حدى)
-------------------------------------------------------------------------- للتأكد من ان حلك سليم :-

lim(x→∞) xlnx - xln(x-1)         l

ما عليك سوى رسم الدالة فى اى برنامج متخصص فى رسم الدوال
او مباشرة ً ترسمها فى موقع ولفرام الفا، ومن خلال الرسم يتضح
(اذا نظرنا على محور x متجه نحو اللانهاية) نجد ان الدالة تقترب من
قيمة معينة وهى 1 .

وكان فى الإمكان حل النهاية عن طريق متسلسلات النشر
ايضاً يمكنك حلها بالطريقة الآتية :

L = lim(x→∞) xlnx - xln(x-1) ==> lim(x→∞) x[lnx - ln(x-1)]   l

L =  lim(x→∞) xln[x/(x-1)]    l

نفرض أن : x/(x-1) = y  وعندما x تؤول الى مالانهاية فإن y تؤول الى الواحد
ولكن هذا يتطلب منا ايجاد x بدلالة y  .

x/(x-1) = y   ==> x = y(x-1)  ==> x = xy - y

اذاً :   xy - x = y   بأخذ x عامل مشترك ..

x(y-1) = y   ومنها   x = y/(y-1)   l   بالتعويض ... ويجب ان نتوخى الحذر
هنا ان النهاية ستحول الى دالة فى المتغير y بدلاً من x واننا برهنا على ان
اذا كانت x تؤول الى مالانهاية فإن y تؤول حتماً الى الواحد .

L =  lim(x→∞) xln[x/(x-1)]    l   بالتعويض ...

L =  lim(y→1) y/(y-1) * lny    l  

L =lim(y→1)  lny/(y-1)  *  lim(y→1)  y

النهاية الثانية بكل تأكيد ستكون 1 (والواحد لا يؤثر فى الضرب)

L =lim(y→1)  lny/(y-1)     l

عند التعويض بـ y = 1  تعطى كمية غير معينة 0/0

الذى اعرفه اننا يمكننا نشر lny بمنشور تايلور ومن ثم القسمة على y-1
فتعطى مباشرة ً 1 (وهذا ما سأبينه)

الطريقة الثانية : عن طريق قاعدة لوبيتال بإشتقاق البسط مرة والمقام مرة
كلاً منهم على حدى .

مشتقة البسط  هى مشتقة lny  وتساوى  l               1/y
مشتقة المقام هى مشتقة y-1  وتساوى    1

وبناء عليه تتحول النهاية الى :  L = lim(y→1) 1/y = 1

الطريقة الثانية عن طريق متسلسلات النشر .

lny = (y-1) - (y-1)²/2! + (y-1)³/3! -  ...     l

بقسمة الطرفين على y - 1

lny/(y-1) = 1 - (y-1)/2! + (y-1)²/3! - ... l

عندما y تؤول الى 1 فإن y - 1  تؤول للصفر حتماً
وبالتالى نجد ان جميع هذه الحدود صفراً فيما عدا طبعا ً الحد المطلق 1

اذاً :   L = 1‏

مشتقة المقام هى مشتقة y وتساوى 1

نفرض أن البسط f(y) = ln(1-y)   l

اذاً : f'(x) = -1/(1-y)  ll  بالتعويض فى النهاية ..

L = lim(y→0) - [-1]/(1-y)   l  وبالتعويض المباشر عن y = 0

نصل الى ان :          L = 1‏