ص = س^4 +6س^3+11س^2+6س فإثبت انه من مضاعفات العدد 24 من أجل س عدد طبيعى .

ص = س^4 + 6س³ + 11س² + 6س بأخذ س عامل مشترك ..

ص = س(س³ + 6س² + 11س + 6)

بتعميل حدود المعادلة (بالتقسيم)

ص = س(س³ + 1 + 6س² + 11س + 5)

ص = س[(س+1) (س² - س + 1) + (6س+5) (س+1)]

بأخذ (س+1) عامل مشترك ...

ص = س(س+1) [س² - س + 1 + 6س + 5]

ص = س(س+1) (س² + 5س + 6)

ص = س(س+1) (س+2)(س+3)

ولكن س عدد طبيعى ، والعلاقة س(س+1) (س+2)(س+3)
هى تعبير عن حاصل ضرب اربعة  أعداد طبيعية متتالية، اذاً تقبل
القسمة على مضروب الأربعة 4!  اى انها تقبل القسمة على 24 .

نقول أن : ن ل 4  تقبل القسمة على مضروب الأربعة .

(ان وجدت طريقة أخرى سأضعها)

..........................................................................................................

** وهذه محاولة جادة لإثبات الحصول على الطريقة **

لاحظ العلاقة : س(س+1) (س+2)(س+3)

تعنى حاصل ضرب 4 أعداد طبيعية متتالية .

لنفرض أن العدد الأخير فى هذه الأعداد الأربعة هو ن .

اذاً العلاقة السابقة تكافىء ..

ن(ن - 1)(ن - 2) ( ن - 3) = ن ل 4

او تقرأ ن تباديل 4

                          ن!                ن!
ولكن :  ن ل 4 = ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ
                       (ن - 4)!        (ن - 4)!


     ن(ن-1)(ن-2) .... × 4 × 3 × 2 × 1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                     (ن - 4)!

ولكن أفضل اثباتها بالإستقراء على ن بحيث ن عدد طبيعى أكبر من او يساوى 4

الآن من أجل ن = 4  فإن 4 ل 4 = 4! = 24 الآن نفرض أن العلاقة صحيحة من أجل

                 ك              ك!
ن = ك   اذاً     ل  = ـــــــــــــــــــــ = 4! م
                     4       (ك - 4)!

حيث م عدد طبيعى ما لا نعرفه (ليس شرط الترتيب هنا) ..
والآن نثبت ان العبارة صحيحة من أجل ن = ك+1

اى لابد ان نثبت أن :

(ك+1)             (ك+1)!
      ل  = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
        4         [(ك+1) - 4]!

السؤال كيف نحصل على ك+1 ؟  عن طريقة ضرب الطرفين فى ك+1 ومن
ثم قسمة الطرفين على (ك - 3)   ... اعلم ان هذه الخطوة غير واضحة .

سأعطى مثالاً للتوضيح : اذا قولنا 8 ل 4 = 8 × 7 × 6 × 5
ونريد ان نحصل على 9 ل 4 من خلالها .. ما الذى نفعله ؟
كل ما الأمر انك تضرب 8 ل 4 فى 9 ومن ثم تقسم على 5
فيكون : 9 ل 4 = 9 × 8 × 7 × 6

ليكن 8 هى ك  اذاً  9 هى ك+1

وطالما ان 8 هى ك  اذاً  ك
                              ل = ك(ك-1)(ك-2)(ك-3)
                                4

اى ان الحد الأخير الذى قسمنا عليه هو  (ك - 3)

بعد هذا التوضيح نقول (بضرب الطرفين فى (ك+1) ومن ثم القسمة على (ك-3)


ك
ل × (ك+1)
 4                       (ك+1)  ك!                    (ك+1)
ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ = 4!م×ــــــــــــــــ
   (ك - 3)            (ك-3)   (ك - 4)!               (ك-3)


(ك+1)          (ك+1)!              (ك+1)!                  (ك+1)
      ل  = ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = 4!م×ـــــــــــــــ
        4         (ك-3)!           [(ك+1) - 4]!              (ك-3)


                             (ك+1)
ولكن بالفعل :  4!م × ــــــــــــــــــ من مضاعفات العدد 4! = 24
                             (ك-3)

                        ك+1
ولكن هل فعلاً :م× ــــــــــ عدد طبيعى  من أجل ك = {4 ، 5 ، 6 ، .....}  ؟
                        ك-3

اما م فهو عدد طبيعى ....

هذا هو اساس البرهان، وهذا ما سنعتمد عليه ... اذا وضعت ك=4

م( 4 + 1)                                          م(5 + 1)                          
ــــــــــــــــــ = 5م  واذا وضعت ك = 5  فإن : ـــــــــــــــــ = 3م
   4 - 3                                                5 - 3

وكلاً من 5م ، 3م أعداد طبيعية ... ضع ك = 6  

م(6 + 1)        7م
ــــــــــــــــ = ــــــــــــ  كما تلاحظ هنا فلا نقول ان 7م على 3 عدد غير طبيعى
  6 - 3            3

لأن م عدد طبيعى (يحقق شروط معينة، وليس اى عدد طبيعى)

لذلك دعك من كل ما سبق (أى احد يقرأ هذا الكلام ووصل لنتيجة يكتبها
ولا يبخل علينا ...)

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
واليك عزيزى الطريقة المبسطة التى وعدتك بها وتتلخص فى الآتى

حاصل ضرب اربعة أعداد متتالية يقبل القسمة على 4 (حقيقة)

وهذا لأن بواقى العدد 4 محصورة فى المجموعة {1 ، 2 ، 3}
فإن لم يقبل العدد الأول فالثانى، وان لم يقبل الثانى فالثالث، وان
لم يقبل الثالث فلابد ان يقبل العدد الرابع على 4 .

مثال : 9 × 8 × 7 × 6

تجد أن الأول 9 لا يقبل القسمة على 4
لكن الثانى 8 يقبل القسمة على 4  وهكذا ...

اذاً : لا شك ان حاصل ضرب اربع أعداد طبيعية متتالية يقبل القسمة على 4

الآن : 4! = 24 = 4 × 6  اذاً بقى لنا ان نثبت ان العدد يقبل القسمة على 6

ولكن ما هى الـ 6 ؟   6 = 3 × 2

لنفترض الآن ان حدث وقوع عدد يقبل القسمة على 4 قد وقع بالفعل
(قد يكون الأول - الثانى - الثانى - الرابع) اى ً منهم قد وقع الإختيار
عليه انه يقبل القسمة على 4 يتبقى لدينا ثلاثة أعداد لابد ان احدهم
يقبل القسمة على 3 ، ثم يتبقى لدينا عددين لا بد اون احدهما يقبل
القسمة على 2 .

اذاً العدد يقبل القسمة على 4 × 3 × 2 × 1 = 24 = 4!

ولكى اوضح المسألة أكثر نقول : حاصل ضرب أى أعداد طبيعية متالية عددها ن
تقبل القسمة ن ، ولكنها تقبل القسمة على ن - 1 ايضاً وتقبل القسمة على  ن - 2
و ن - 3  ... وهكذا الى ان ننتهى عند العدد 1 .

مثال : اذا قولنا ان حاصل ضرب ثلاثة أعداد طبيعية متتالية يقبل القسمة على 3 (حقيقة)

اذاً حاصل ضرب اربعة أعداد طبيعية متتالية يقبل القسمة على 3 ايضاً (غير قبول القسمة على 4)

لماذا ؟ لأن حاصل ضرب اربعة أعداد طبيعية متتالية تعنى اننا قد حصلنا بالفعل على ثلاثة
أعداد طبيعية متتالية، وتعنى ايضاً بالفعل اننا قد حصلنا على عددين متتاليين .. والمسألة
اصحبت هكذا أكثر وضوحاً .( وهى تشبه تكرار خوارزمية ما)


الإستنتاج الأخير : حاصل ضرب مجموعة أعداد طبيعية متتالية عدد عناصر ن
تقبل القسمة على ن!  .

.................................................................................................

يوجد اثبات آخر مباشر وهو :

                          ن!              
ولكن :  ن ل 4 = ــــــــــــــــــ  بقسمة الطرفين على 4!
                      (ن - 4)!      

       ن ل 4                 ن!               ن
= ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ =    ق
         4!                (ن - 4)! 4!            4

وهذا يتطلب منك ان تثبت ان التوافيق لأعداد طبيعيى تعطى عدد طبيعى دائماً

والمعنى انه عند قسمة ن ل 4  على مضروب 4 اعطتنا ن ق 4 والذى هو عدد
طبيعى اذاً ن ل 4 قبل القسمة على 4! لأن خارج القسمة كان عدد طبيعى وهو
ن ق 4 .

ولكن يبقى من وجهة نظرى البرهان (المبسط) الذى قدمته دليل يثبت
ان التوافيق دائماً عدد طبيعى (التى على الشكل ن ق ر) حيث كلاً من
ن ، ر أعداد الطبيعية ، ن أكبر من او تساوى ر  .