سؤال فى متسلسلة تايلور

اوجد متسلسلة ماكلورين

1-

y= ln(3+x) ll
put : 2+x = u
ln(3+x) = ln(1+u)ll

u-u^2/2!-u^3/3+....... ll
u is bigger than -1
u is smaler than1

x+2  -( x+2)^2 / 2! + (x+2)^3/3!+.....ll

x is bigger than -1
x is smaler than1


هل هذا الحل صحيح ؟؟ لكن ان كان صحيح الحل الموجود امامى هو

ln(3+x)= ln3  + ln(1+(x/3)) ll
=
ln3 + (x/3)- (x/3)^2/2!+....ll

x is bigger than -3
xis smaler than 3


!!! فكيف الحلان صحيحان ؟؟؟ على الاقل فى المجال الذي يمكن تعويض x فية ؟؟

لاحظ ان
ln(1+x)=x-x^2/2!+x^3/3-......

حل واحد صحيح، وحل 2 قد يكون ايضاً صحيح (لكنى لم اراجعه) فليس من
الضرورى ان يكون نفس الشكل للمتسلسلة ..

حل 1 متأكد منه لكنك لا تكتب رمز المضروب فقط

لاحظ :  ln(x+1) = x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ... ll

هنا يمكنك تبديل x بـ x+2 للطرفين ..

ln(x+3) = (x+2) - (x+2)²/2 + (x+2)³/3 -  ..... ll

ما الذى صنعه ؟ كل الذى صنعه هو انه وضع x+2 = u

ln(u+1) = u - u²/2 + u³/3 - u^4/4 + ... ll

نعود الى المجال المعرف للمتسلة الأولى :

ln(x+1) = x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ... ll

مجال التعريف [1 , -1[

لكى تتعرف لماذا قم بنشر دالة اللوغاريتم الطبيعى ..

بحيث أن x اكبر من الصفر (وهذا شىء معروف فى اللوغاريتمات)

f(x) = lnx  ,  f'(x) = 1/x  , f"(x) = -1/x²  , f"'(x) = 2/x³

يبتين لنا من خلال ذلك انه لا يمكن انن نشر هذه الدالة عند الصفر ولكن
يمكن نشر الدالة حول x = 1   ولاحظ ..

f(1) = 0   ,  f'(1) = 1  , f"(1) = -1  , f"'(1) = 2

بصفة عامة المشتقة التى رتبتها عدد زوجى سالبة والتى رتبتها عدد فردى موجبة .

مثلاً المشتقة الرابعة هى -3  والمشتقة الخامسة هى 4 ....وهكذا

بإستعمال متسلسلة تايلور :

f(x) = f(1) + f'(1) (x - 1) + f"(1)/2! (x-1)² + f"'(1)/3! (x - 1)³ +  ...  ll

ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - ....ll

نبدل x بـ x+1  للطرفين ...

ln(x+1) = x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ... ll

الآن لا يمكن ان تكون x=-1 لأنها تجعل x+1=0 وهذا مرفوض

اذاً : المتسلسلة صحيحة من أجل x اكبر من -1

ولكن تم اثبات ان حدود المتسلسلة السابقة متقاربة من أجل x تنتمى للفترة  [1 , -1[

اما المنشور الثانى : فهو اعتقد ابتدائاً ان الدالة هى : f(x) = ln(x+3)  ll

f'(x) = 1/(x+3)   ,  f"(x) = -1/(x+3)²   , f"'(x) = 2/(x+3)³

وهكذا .. الآن قم بنشر الدالة حول x=0

f(0) = ln3  ,  f'(0) = 1/3  ,  f"(0) = -1/9  , f"'(0) = 2/27


ln(x+3) = ln3  + (x/3) - (x²/2*9) + (x³/3*27) - ....   ll

لاحظ يجب ان يكون x + 3  اكبر من الصفر  ومنها x اكبر من -3

ولكن تم اثبات ان حدود المتسلسلة تكون متباعدة عندما x اكبر من 3

ويمكن اثبات التقارب والتباعد بالطريقة الآتية :

                                    س²       س³       س^4
لط(س+1) = د(س) = س - ــــــــــ + ـــــــــــ - ــــــــــــ  + ...
                                     2           3           4


                             س^ن
فنجد أن الحد العام هو : ـــــــــــ  وبوضع س = أ  حيث أ فى الفترة [1 ، -1[
                                ن

             أ^ن
نهــــــــا ـــــــــــــ = 0
ن←∞      ن

عدا ذلك فإن النهاية السابقة = ∞

مثال (للتوضيح فقط) لك ان تتخيل اذا كانت س = 2

                           2^5
ولتكن ن = 5  فإن : ــــــــــــــــ = 6.4
                             5

وهكذا ترى ان تقدم البسط (فى هذه الحالة) نحو اللانهاية اسرع بكثير من المقام
ولذا فإن النهاية السابقة = ∞  من أجل س أكبر من الواحد .