كيف نثبت أن π=4(1-1/3+1/5-1/7+...) ؟

يمكنك اثبات أن القيمة التقريبية "باى" تساوى 4 * مقاليب مجموع الأعداد الفردية
بإشارات مخالفة بالطريقة السهلة الآتية :

ليكن لدينا الدالة : f(x) = tan^-1(x)  ll

((اى الدالة العكسية لـ tan))  اشتق الطرفين بالنسبة لـ x

f'(x) = 1/(1+x²)   ll     اذا اردت اثبات هذه الخطوة فلا مانع

الآن نقول : f'(x) = 1/[1 - (-x²)]         ll

لماذا ؟  لأن هذا الشكل يذكرك بـ مجموع متتابعة هندسية متقاربة لا نهائية
بشرط أن x فى الفترة ]-1 ، 1[  اذاً يمكنك كتابة f'(x)  فى صورة متسلسلة
هندسية بهذه الطريقة ...

f'(x) = 1+(-x²)+(-x²)²+(-x²)³ + ......   ll

بمكاملة الطرفين بالنسبة لـ x ينتج لك الدالة الأصلية ..

tan^-1(x) = x - x³/3 + x^5/5 - x^7/7 + .....   ll

طبعاً كما قولنا من أجل x فى الفترة ]-1 ، 1[

بوضع x = 1   للطرفين


tan^-1(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .....   ll

ولكن الظل العكسى لواحد هو pi/4  اذاً

pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .....   ll

بضرب الطرفين فى 4   اذاً

pi  = 4[1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + ......]   ll

اتمنى ان يكون الشرح واضح بالنسبة لك ...