كيف نثبت أن π=4(1-1/3+1/5-1/7+...) ؟
الخميس، 5 يوليو 2012
التسميات:
التفاضل والتكامل,
مواضيع متنوعة,
نظرية الاعداد
يمكنك اثبات أن القيمة التقريبية "باى" تساوى 4 * مقاليب مجموع الأعداد الفردية
بإشارات مخالفة بالطريقة السهلة الآتية :
ليكن لدينا الدالة : f(x) = tan^-1(x) ll
((اى الدالة العكسية لـ tan)) اشتق الطرفين بالنسبة لـ x
f'(x) = 1/(1+x²) ll اذا اردت اثبات هذه الخطوة فلا مانع
الآن نقول : f'(x) = 1/[1 - (-x²)] ll
لماذا ؟ لأن هذا الشكل يذكرك بـ مجموع متتابعة هندسية متقاربة لا نهائية
بشرط أن x فى الفترة ]-1 ، 1[ اذاً يمكنك كتابة f'(x) فى صورة متسلسلة
هندسية بهذه الطريقة ...
f'(x) = 1+(-x²)+(-x²)²+(-x²)³ + ...... ll
بمكاملة الطرفين بالنسبة لـ x ينتج لك الدالة الأصلية ..
tan^-1(x) = x - x³/3 + x^5/5 - x^7/7 + ..... ll
طبعاً كما قولنا من أجل x فى الفترة ]-1 ، 1[
بوضع x = 1 للطرفين
tan^-1(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ..... ll
ولكن الظل العكسى لواحد هو pi/4 اذاً
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ..... ll
بضرب الطرفين فى 4 اذاً
pi = 4[1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + ......] ll
اتمنى ان يكون الشرح واضح بالنسبة لك ...
بإشارات مخالفة بالطريقة السهلة الآتية :
ليكن لدينا الدالة : f(x) = tan^-1(x) ll
((اى الدالة العكسية لـ tan)) اشتق الطرفين بالنسبة لـ x
f'(x) = 1/(1+x²) ll اذا اردت اثبات هذه الخطوة فلا مانع
الآن نقول : f'(x) = 1/[1 - (-x²)] ll
لماذا ؟ لأن هذا الشكل يذكرك بـ مجموع متتابعة هندسية متقاربة لا نهائية
بشرط أن x فى الفترة ]-1 ، 1[ اذاً يمكنك كتابة f'(x) فى صورة متسلسلة
هندسية بهذه الطريقة ...
f'(x) = 1+(-x²)+(-x²)²+(-x²)³ + ...... ll
بمكاملة الطرفين بالنسبة لـ x ينتج لك الدالة الأصلية ..
tan^-1(x) = x - x³/3 + x^5/5 - x^7/7 + ..... ll
طبعاً كما قولنا من أجل x فى الفترة ]-1 ، 1[
بوضع x = 1 للطرفين
tan^-1(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ..... ll
ولكن الظل العكسى لواحد هو pi/4 اذاً
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ..... ll
بضرب الطرفين فى 4 اذاً
pi = 4[1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + ......] ll
اتمنى ان يكون الشرح واضح بالنسبة لك ...
0 التعليقات:
إرسال تعليق