أوجد عدد طرق الحصول على المجموع 9 عند رمي ثلاثة احجار نرد مختلفه

فى مثل هذه المسائل نعتمد ابتدائاً على الترتيب، ونتذكر ان جميع الحالات الممكنة للحصول
على مجموعات مكونة من ثلاثة عناصر من المجموعة س* = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
= (6)³ = 216 مجموعة، والحل عبارة عن مجموعة جزئية منها .

لنأخذ جميع المجموعات التى ليس فيها اى عنصر مكرر ، والتى لا تكرر نفسها (ذاتها)
ومجموعها = 6 ق 3 = 20 .    وهى :-

س = { (1 , 2 , 3) , (1 , 2 , 4) , (1 , 2 , 5) , (1 , 2 , 6) , (1 , 3 , 4) , (1 , 3 , 5) ,
         (1 , 3 , 6) , (1 , 4 , 5) , (1 , 4 , 6) , (1 , 5 , 6) , (2 , 3 , 4) , (2 , 3 , 5) ,
         (2 , 3 , 6) , (2 , 4 , 5) , (2 , 4 , 6) , (2 , 5 , 6) , (3 , 4 , 5) , (3 , 4 , 6) ,
         (3 , 5 , 6) , (4 , 5 , 6) }
       
      

بحيث كل مجموعة من هؤلاء مكررة فى بتكرار 3! = 6

ثم نأخذ المجموعة التى يتكرر فيها عنصران (بغض النظر عن الترتيب)

سَ = { {1 , 1 , 2} , {1 , 1 , 3} , {1 , 1 , 4} , {1 , 1 , 5} , {1 , 1 , 6} , {2 , 2 , 1}
, {2 , 2 , 3} , ...,{2 , 2 , 6}, {3 , 3 , 1} ...,{3 , 3 , 6}, {4 , 4 , 1} ,...., {4 , 4 , 6}
, {5 , 5 , 1} ,..., {5 , 5 , 6} , {6 , 6 , 1} ,..., {6 , 6 , 5} }

بحيث كل مجموعة من هؤلاء مكررة بتكرار 3 .

وأخيراً المجموعة التى يكون يها جميع العناصر متشابهة .

سً = { {1 , 1 , 1} , {2 , 2 , 2} , {3 , 3 , 3} , .... , {6 , 6 , 6} }

وبناء على هذا الترتيب ننتقى من المجموعات الثلاث مايلى ...

ح = { {1 , 2 , 6} , {1 , 3 , 5} , {2 , 3 , 4} }

حَ = { {2 , 2 , 5} , {4 , 4 , 1} }

حً = {3 , 3 , 3}

وبناء عليه يكون عدد الطرق للحصول على المجموع 9 = 1 + (2×3) + (3×3!) = 25 طريقة .