برهن أن : ق.م.أ(أ^ن ، ب^ن) = [ق.م.أ(أ،ب)]^ن

نفرض أن : ق.م.أ (أ^ن ، ب^ن) = د1

اذاً : أ^ن = م1 د1     ،  ب^ن = م2 د1  حيث (م1 ، م2) = 1

ق.م.أ (أ ، ب) = د2

اذاً : أ = م3 د2   ،  ب = م4 د2        حيث (م3 ، م4) = 1

مما سبق نستنتج ما يلى :

م1 د1 = (م3 د2)^ن         ===>  1

م2 د1 = (م4 د2 )^ن        ===>  2

بضرب 1 ، 2

م1 م2 (د1)² = (م3 × م4)^ن × (د2)^2ن

وبقسمة الطرفين على م1 م2

              (م3 × م4)^ن × (د2)^2ن
(د1)² = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ     ====> (3)
                        م1 م2

بقسمة 1 على 2 فنحصل على :

    م1           (م3)^ن    
ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
    م2           (م4)^ن

م1 × (م4)^ن = م2 (م3)^ن                ====> (4)

الآن طرفى المعادلة يقبل القسمة على م2 ولكن (م1 ، م2) = 1
اذاً (م4)^ن يقبل القسمة على م2 وبناء عليه يوجد عدد صحيح ك1
بحيث :

(م4)^ن = ك1 م2

بنفس الطريقة طرفى المعادلة يقبل القسمة على م1  اذاً

(م3)^ن = ك2 م1

ولكن : (م3 ، م4) = 1      (اوليان فيما بينهما - هذا هو القصد)

اذاً : (ك1 ، ك2) = 1     بالتعويض فى معادلة (4)

م1 × ك1 × م2 = م2 × ك2 × م1

اذاً : ك1 = ك2 = 1   لأن (م3 ، م4) = 1

وبناء عليه : (م4)^ن = م2

               (م3)^ن = م1

اذاً :  (م3 × م4)^ن = م1 × م2   بالعودة الى معادلة (3)

              (م3 × م4)^ن × (د2)^2ن
(د1)² = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        م1 م2


اذاً : (د1)² = (د2)^2ن  ومنها د1 = (د2)^ن


اى أن :   (أ^ن ، ب^ن) =(أ،ب)^ن      #



مثال : ق.م.أ (196 ، 2401) = ق.م.أ [(14)² ، (49)²] = ق.م.أ (14 ، 49)² = (7)² = 49

وفى حقيقة الأمر كان يمكن اثبات ما سبق بطريقة أبسط من ذلك نفرض أن :

ق.م.أ (أ ، ب) = د     وبناء عليه فإنه يوجد عددان صحيحان م1 ، م1 بحيث ق.م.أ (م1 ، م2) = 1

تحقق : أ = م1 د     ،  ب = م2 د  

اذاً : أ^ن = م1^ن د^ن       ،  ب^ن = م2^ن د^ن

ق.م.أ (م1 ، م2) = 1  <===> ق.م.أ (م1^ن ، م2^ن) = 1

وبناء عليه فإن القاسم المشترك الأكبر بين أ^ن ، ب^ن هو د^ن  (انتهى البرهان البسيط)