اثبت ان الدائرتين متماستان مبياً نوع التماس

س²+ص²-2س+4ص-11=0   ،  (س-7)² + (ص-6)² = 36

الجل : لكى نثبت ان الدائرتين المذكورتين فى السؤال متماستان
يجب ان نثبت ان معادلة المماس للدائرة الأولى ومعادلة
المماس للدائرة الثانية مشتركان فى نقطة وحيدة وهى
نقطة التماس (اى نحلهم معاً) .. طبعاً هذه طريقة
ويوجد طريقة أخرى مباشرة بأن تقوم بحلهم من الآن
(بدون اشتقاق) بحيث نثبت ان لهم حل وحيد وهى
نقطة التماس .. ولكننا سنحل بالطريقة الأولى ..


س²+ص²-2س+4ص-11=0     -------->   (1)

(س-7)² + (ص-6)² = 36   فك المعادلة ..

س² - 14س + 49 + ص² - 12ص + 36  = 36

س²+ص²-14س-12ص+49=0    -------->   (2)

بطرح (2) من (1)

12س+16ص = 60   بقسمة الطرفين على 4

3س+4ص = 15  

                                       15 - 3س
4ص = 15 - 3س  ومنها ص = ـــــــــــــــــــ -------->   (3)
                                          4

بالتعويض فى معادلة  (1)

س²+ص²-2س+4ص-11=0     -------->   (1)

         (15 - 3س)²
س² + ـــــــــــــــــــــ - 2س + 15 - 3س - 11 = 0
              16


         (15 - 3س)²
س² + ـــــــــــــــــــــ - 5س + 4 = 0
              16

بضرب لطرفين فى 16 ..

16س² + (15 - 3س)² - 80س + 64 = 0

16س² + 225 - 90س + 9س² - 80س + 64 = 0

25س² - 170س + 289 = 0

المميز = [(170)² - (4×25×289)] = 0

وهذا يدل على انه يوجد حل وحيد فقط للدائرتين معاً وهى نقطة التماس

(( أكمل حل المعادلة بالقانون العام))

            170
س = ــــــــــــــــــ = 3.4    بالتعويض فى معادلة (3)
          2 × 25



          15 - 3س
ص = ـــــــــــــــــــ -------->   (3)
            4

         15 - 3(3.4)
ص = ــــــــــــــــــــــ = 1.2
              4

اذاً نقطة التماس هى (3.4 ، 1.2)

اذا كان التماس من الخاجر فإن طول القطعة المستقيمة
الواصلة بين مركزى الدائرتين = مجموع انصاف اقطارهم
وهذا ما سنثبته .. نقوم بإكمال المربع أولاً فى الدائرة الأولى

س²+ص²-2س+4ص-11=0

س² - 2س  + ص² + 4ص  -11 = 0

لكى نكمل المربع لكلاً من حدودية س ، ص
فإننا نحتاج الحد الثالث والذى = (½ معامل الحد الخالى من تربيع)²
مثلاً : س² - 2س  كيف نوجد الحد الثالث ؟

(½ × -2)² = (-1)² = 1

بالمثل : ص² + 4ص  الحد الثالث = (½×4)² = 4

والآن نقوم بإضافة 1 + 4 = 5  وطرحها مرة أخرى ..

س² - 2س + 1 + ص² + 4ص + 4 - 5 - 11 = 0

(س-1)² + (ص+2)² = 16

اذاً مركز الدائرة هو : (1 ، -2)  ونصف قطرها = 4

الدائرة الثانية : (س-7)² + (ص-6)² = 36

مركزها (7 ، 6)  ونصف قطرها = 6

مجموع نق1+ق2 = 4 + 6 = 10

الآن بقانون البعد بين نقطتين نوجد طول القطعة المستقيمة
بين النقتطين (7 ، 6) ، (1 ، -2)

= جذر[(7 - 1)² + (6 - -2)²] = جذر(100) = 10

اذاً نوع التماس (من الخارج)