ما الفائدة من النهايات والإتصال فى الرياضيات ؟

ارغب بمعرفة الفائدة من النهايات و الاتصال
يعني مثلا المعادلات تفيد بايجاد المجاهيل
ماذا عن النهايات و الاتصال ماهي فائدتها العلمية ؟

استطيع ان افيدك بشكل مختصر بأن النهايات من مبادىء التفاضل الذى
يهتم بدراسة الإشتقاق بوجه عام عن طريق دراسة مفاهيم أساسية
عن " الكميات المتناهية فى الصغر " .

لماذا بُنى التفاضل على النهايات ؟ .. الإجابة بهدف دراسة اشتقاق الدالة .
وما هو اشتقاق الدالة ؟.. حتى تفهمين ما حدث يجب ان تفهمى او تدرسى
جيداً مفهوم مشتقة الدالة، فعلى الرغم من ان المناهج التعليمية تهتم بدراسة
النهايات أولاً الا ان الذى دعى الى النهايات هو البحث عن مفهوم مشقتة الدالة .

المشتقة الأولى للدالة : هى مفهوم مجرد تجريد تام، وخطواته (ان لم تفيهمها)
اشبه ما تكون بالحفظ، لأن الرياضيات تنتقل من مفاهيم أساسية ومفهومة وواضحة
الى مفاهيم أخرى مجردة (أى لا تعلمين من اين أتت، ولماذا يتم الإشتقاق بهذه
الطريقة ان لم تكونى فى الأساس قد درستى البراهين، او المفاهيم الأساسية)

مثال :   .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
         
من المفترض أن الشكل مستطيل والمكون الأساسى له هو مجموع
عدد لا متناهى من هذه النقاط (لم اكلها طبعاً لصعوبة ذلك) هنا ولتكن
الكمية المتناهية فى الصغر هى هذه النقطة " . " - وان كانت اقل من
ذلك بكثير - لأنها كمية تؤول الى الصفر طولاً ومساحاً وحجماً .. فكان
السؤال هو متى نحصل على أكبر مساحة ممكنة لمستطيل ؟

التفاضل يجيب على سؤال كهذا بحيث يتم فرض أن العرض x
والطول y  .
          

مساحة المستطيل = الطول * العرض

يمكن فرض أن مساحة المستطيل = m 

وبتعبير رياضياتى فإن :  m = x y   وتعنى مساحة جميع اى مستطيل مهما
كان طوله أو عرضه (طبعاً لا يوجد طول بالسالب) .

يمكن الإجابة على هذا السؤال من خلال تجربة (اى بدون التفاضل) ولكن
ستكون طريقة طويلة وصعبة ومملة، بحيث يمكن دراسة جميع حالات
المستطيل، كالمربع فهو حالة خاصة من خالات المستطيل، ومفهوم
المربع هو x = y  أى الطول = العرض، ما هو الإحتمال الثانى ؟
قد يكون الإحتمال الثانى هو ان الطول أكبر من العرض .. فنقول
عندما كان الطول أكبر من العرض كانت مساحة المستطيل = ؟؟؟
ثم نطرح احتمال أخير، عندما كان الطول اصغر العرض كم كانت
مساحة المستطيل ؟ .. ونبدأ بالمقارنة ايهما أكبر فى المساحة ؟
من خلال علمان أن كلاً من x , y  كميات موجبة، او بالأكبر أكبر
من او تساوى الصفر .

بملاحظة ما حدث نجد اننا نتعامل مع كميات معينة تتغير بتغير كميات
أخير، أى ان بتغير الطول قد يتغير العرض، او لا يتغير فيبقى ثابتاً
نجد ايضاً اننا نتعامل مع مفهومين أساسياً (الثابت والمتغير)
ستجدين عبارات كثيرة مثل هذه .. عندما تغيرت x (اى الطول)
من ...... الى .......  تغيرت (معها) y  من ...... الى .........
ما هى نسبة تغير y الى نسبة تغير x ؟

هذا ما يكتب فى الرياضيات  dy/dx

dx   ثابت  ... اما  dy  فهو متغير (وكل هذه فرضيات)

أى قد نفعل العكس فنقول dx متغير و y ثابت ، لكن بشرط
ان يتم حل المسألة كاملاً بناء على قبول صحة هذه الفرضية .

dx  هى معدل التغير الذى طرأ على طول المستطيل، وكما عبرت
عنها بالنقطة مثلاً  " . " ان لم تكن أقل من هذا بكثير، لكنها لن
تصل بأى حال من الأحوال الى الصفر، لأن القسمة على الصفر
مفهوم صعب ومعقد جداً لم يتم التعرف اليه الى الآن، فنكتفى
بالقول بأن القسمة على الصفر كمية غير معرفة .


dy هى أيضاً التغيير الذى طرأ على العرض .

وأخيراً   dm  هو التغير الذى طرأ على المساحة .

ملحوظة : كل هذه تغييرات متناهية فى الصغر ..

d إختصار لكملة derivative اى اشتقاق .

المشكلة الرئيسية وهى : لتكن dx = 0  بالصفر ، وأن dy = 0 بالفعل
فما هى قيمة dy/dx والتى = 0/0  >>> تسمى كمية غير معينة فى
التفاضل، وهذا بإيجاز شديد يعود الى عدة أسباب وهى ان dx , dy
لا يساوون صفر تماماً بل كلاً منهم يؤول الصفر  .. السب الآخر وهو
انه ليس من الضرورى ان تؤول x الى الصفر بنفس ما تؤول y الى الصفر
كأن نقول مثلاً سرعة الضوء أكبر من سرعة الصوت ..

مثال آخر ، ليكن قانون ما فى متغييرت تحكمه القاعدة y = (x² - 1)/(x-1)   l

الآن عندما x = 1  فإن y غير معرفة .. لأنه عندما x = 1  فإن المقام = 0
والقسمة على الصفر غير معرفة .. النهايات توجد نهاية y عندما x تؤول
الى الواحد (بحكم ان الدالة غير متصلة عندما x = 1

العامل الصفرى هو x - 1  يجب التخلص منه بحيث يجوز القسمة
عليه بسطاً ومقاماً (بعدما فرضنا أن x تؤول الى 1 وهذا يؤدى الى
ان x - 1  تؤول الى الصفر) وبالتالى فالقسمة ستكون على شىء
يؤول الى الصفر (وليس الصفر تماماً)  .

الحل سريعاً : نحلل البسط كفرق مربعين (اى نضع الدالة فى صورة أخرى)

y = (x-1)(x+1)/(x-1)   l  وبالقسمة على x - 1

y = x+1   شرط ان x تؤول الى الواحد ... هنا بعدما اختزلنا العامل
الصفرى يجوز ان نضع x = 1  مباشرة ً، ولن نكتب x = 0.9999 مثلاً
لأن 0.999999  تؤول الى الواحد .  اذاً  y = 1 + 1 = 2   .

هذا يعنى أن y تؤول الى 2 عندما  x تؤول الى الواحد .
ملحوظة عادة ما يكتب y = 2  مباشرة ً لأننا نتعامل مع
كميات متناهية فى الصغر .

خلاصة القول : أن مفهوم النهايات مرتبط ارتباط وثيق بمفهوم الإشتقاق
والعكس صحيح، ومفهوم الإشتقاق مرتبط ارتباط وثيق بالتغييرات التى
تطرأ على الدالة .. يعنى سبب ومسبب، مثلاً x = 1  عندما y = 2
اى ان x لن تكون 1 الا عندما تكون y = 2 (كتعويض فى دالة ما)

ومفهوم الإشتقاق مرتبط ارتباط وثيق برسم الدوال، ورسم الدوال
مرتبط ارتباط وثيق بالهندسة التحليلية، والهندسة التحليلية مرتبطة
ارتباط وثيق بالهندسة الإقليدية بحيث تعالجها فى صورة جبرية .
(اى تقوم بعملية ربط الجبر بالهندسة) ، ومن خلال اعطاء رسم
لكل لدالة تم التعرف على مفهوم الإشتقاق، وهو مفهوم هندسى
فى المقام الأول ومتعلق كثيراً بنظرية فيثاغورث .

نتسوع أكثر من ذلك من خلال مفاهيم بسيطة جداً :

مثلاً : اذا رأينا شكل ما يشبه المربع او المستطيل فنقول ان هذا الشكل
مربع (اذا وفقط اذا) كانت أضلاعه متساوية والقطران عموديان وينصف كلاً
منهما الآخر .

اى اذا تحقق العكس فإن الشكل مربع ..

نبتعد لما هو أكثر من ذلك : اذا وجدنا شكل ما منحنى مرسوم
فنقول هذا المنحنى هو بمثابة حلول المعادلة y = x²  اذا وفقط
اذا كانت شكل الدالة كيت وكيت .... ونضع تفاصيل .. بإختصار
ربطنا هنا الهندسة بالجبر ، وهو ما قادنا بالفعل لفتح باب كبير
فى الرياضيات هو والتفاضل والتكامل .

صورة تفيد بأن جميع النقاط الواقعة على هذا المنحنى هى
حلول العلاقة y = x²  اللانهائية، وكما نرى هنا فإن ثم تغير يحدث
لـ x نجد تغيراً ملحوظاً على y

الرابطة اذا وفقط اذا

وهذا روابط ممكن تفيدك : http://www.youtube.com/watch?v=77Uuo_1bgFs


سأتوقف الى هذا الحد نظراً لأنى أطلت، وايضاً لأن المفاهيم كثيرة لا تكفى
ان الخصها فى موضوع واحد ..