1 معلومات بسيطة عن الدوال الشاملة، والمحدودة،والدورية .

الدالة الشاملة هى التى كل عنصر من عناصر
س فيها يقابل عنصر على الأقل من المجال المقابل ص ..
مثال على ذلك كثيرات الحدود فى ح ..
د(س) = س تعتبر دالة شاملة لأنها معرفة على جميع
الأعداد الحقيقة، ومداها = ح

الدالة محدود فى فترة، او محدودة على مجالها
مثال على دالة محدود فى فترة ..
د(س) = 2س - 1  فى الفترة [2 ، 6]

اوجد اكبر ، واقل قيمة يمكن تصل اليها
الدالة فى تلك الفترة .. الحل نضعها 
فى صورة متباينة وبالتدرج .. بما ان
الدالة محددة فى الفترة [2 ، 6]
فهذا يدل على ان : -

     6  ≥ س ≥ 2  بضرب الطرفين فى 2

12 ≥ 2س ≥ 4  وبطرح -1 من الطرفين

11 ≥ 2س - 1 ≥ 3

اقل قيمة يمكن ان تصل اليها الدالة
فى الفترة [2 ، 6] هى 3
اكبر قيمة يمكن ان تصل اليها الدالة
فى نفس الفترة هى 11


نحتاج ايضاً تعريف الدالة : د(س) = جاس
فهى دالة محدد على جميع فترات مجالها
، تأخذ قيمة دنيا -1 ، وقيمة عليا 1
وهى ايضاً مثال على الدالة الدورية
الدوال الدورية هى التى تكرر قيمتها
بعد فترة زمنية محددة، واقرب مثال على 
ذلك الدوال المثلثية ..

مثال آخر على الدوال المحدودة ..
اثبت ان هذه الدالة محدودة على مجالها .

                   س²
د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ
               (س² + 5)

بما ان البسط اقل من المقام، لكنه
من المحتمل ان يساوى الصفر ..

       0 ≤ س² ≤ (س² + 5)

بقسمة الطرفين على (س² + 5)

             س²
0 ≤ ـــــــــــــــــــــــــ ≤ 1
       (س² + 5)


اذاً الدالة تتخذ اقل قيمة ممكنة لها  = 0
واكبر قيمة ممكن للدالة = 1

تابع القراءة

0 اوجد تكامل : (2س + 1)\(جذر (1 + س + 2س²)) دس

.             2س+1
= 2∫ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
       2جذر(2س²+س+1)

                   
.           4س+1 -2س
= 2∫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
       2جذر(2س²+س+1)

بتوزيع البسط على المقام .. التكامل الأول :

                                        4 س
2جذر(2س²+س+1)- ∫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                              2جذر(2س²+س+1)



= 2جذر(2س²+س+1) - جذر(2س²+س+1)

                        1
   +½ ∫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــدس
             جذر(2س²+س+1)  


                                               1
= جذر(2س²+س+1)+½ ∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                                    جذر(2س²+س+1)  


بمحاولة جعل الدالة تجت الجذر تأخذ هذا الشكل

جذر[د(س)² + 1]

الآن، وبضرب كلا من البسط، والمقام فى جذر(8)/جذر(7)
وبعد الضرب، واجراء بعض الإختصارات يأخذ التكامل هذا
الشكل :-

                                  1                        4/جذر(7)
= جذر(2س²+س+1)+ــــــــــــــــ ∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                             2جذر(2)      جذر[((4س+1)/جذر(7))² + 1] 



                                                    -1    4س+1
= جذر(2س²+س+1) + (1\2جذر(2)) جاز[ـــــــــــــــــــ] + ث
                                                          جذر(7)











                               

تابع القراءة

1 ما هى مشتقة الدوال المثلثية العكسية، ومشتقة الدوال الزائدية العكسية ؟

سأركز على اول خطوة، وباقى الخطوات لن اخوض
فيها كثيراً، نظراً لطولها ..
ص = جا^-1(س)  اى ان : س = جاص
نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

1 = جتاص × دص/دس

اذاً : دص/دس = 1/جتاص

ولكن من المعلومة : س = جاص
علمنا ان جتاص = جذر(س² - 1)
من خلال مثلث فيثاغورث ..

الخلاصة : مشتقة الجيب العكسى (لأننى لم
اذكر باقى الخطوات بعدها )

                                      1
د/دس لـ جا^-1(س) = ـــــــــــــــــــــــــ
                             جذر(1 - س²)

                                     - 1
د/دس لـ جتا^-1(س) = ـــــــــــــــــــــــــ
                              جذر(1 - س²)

                                     1
د/دس لـ ظا^-1(س) = ـــــــــــــــــــــــــ
                                س² + 1

                                    - 1
د/دس لـ ظتا^-1(س) = ــــــــــــــــــــــــ
                                 س² + 1

                                      1
د/دس لـ قا^-1(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــ
                            س جذر(س² - 1)

                                      - 1
د/دس لـ قتا^-1(س) = ـــــــــــــــــــــــــــ
                            س جذر(س² - 1)

.......................................................
 ►ثانياً مشتقة الدوال الزائدية العكسية◄
ص = جا^-1ز(س)

اذاً : س = جاز(ص)

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

1 = جتاز(ص) × دص/دس

من معلومة (1) نعلم ان : 
س = جاز(ص)

ولكن هناك قانون مضمونه :

جتا²ز(س) - جا²ز(س) = 1

اذاً : جتا²ز(س) - س² = 1

جتا²ز(س) = س² + 1

جتاز(س) = جذر(س² + 1)

والحل السالب مرفوض لأن دالة جيب التمام
الزائدى دالة زوجية .. بالتعويض

1 = جتاز(ص) × دص/دس

1 = جذر(س² + 1) × دص/دس


اذاً : 
                                     1
د/دس لـ جا^-1ز(س) = ــــــــــــــــــــــــ
                              جذر(س² + 1)

                                        1
د/دس لـ جتا^-1ز(س) = ــــــــــــــــــــــــ 
                                جذر(س² - 1)

                                     1
د/دس لـ ظا^-1ز(س) = ـــــــــــــــــــ
                                 1 - س²

                                      1
د/دس لـ ظتا^-1ز(س) = ــــــــــــــــــــ
                                  1 - س²

                                               -1
د/دس لـ قا^-1ز(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                             س(س+1)جذر[(1-س)/(1+س)]


                                         -1
د/دس لـ قتا^-1ز(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                              س² جذر(1 + 1/س² )

تابع القراءة

0 كيفية رسم ميل المماس للدالة ؟

لتكن د : ح←ح

د(س) = أس^ن + ب س^(ن-1)
+ .... + ى س + ث

فإن :

دَ(س) = أن س^(ن-1) + ب(ن-1) س^(ن-2)
+ ... + ى

نفرض انك تريد رسم ميل المماس للدالة
عندما س = 0

دَ(0) = ى    حيث  ى ثابت .

وهذا يعنى عندما س = 0 فإن ميل المماس = ى

اذاً : النقطة (0 ، د(0) ) ميل المماس عندها = ى

الآن تستطيع وبكل سهولة ايجاد معادلة ميل المماس
عند تلك النقطة، فأنت لديك الميل = ى ، وايضاً لديك
نقطة تحقق معادلة المماس عند هذه النقطة، وهى
(0 ، د(0) )

الآن : المعادلة العامة للخط المستقيم هى :

ص = أس + جـ   حيث أ ميل الخط المستقيم

جـ : هو الجزء المقطوع من محور الصادات .

ص = ى س + جـ 

الآن عوض بالنقطة  ( 0 ، د(0) )

د(0) = ى (0) + جـ       .. اذاً

د(0) = جـ   بالتعويض نجد معادلة الخط المستقيم :

هى : ص = ى س + د(0)

..................................................

مثال : نفرض انك تريد رسم ميل المماس
للدالة : د(س) = 3س² - 6س + 4
عندما س = 1.5


اولاً : نوجد المشتقة الأولى للدالة .

دَ(س) = 6س - 6

دَ(1.5) = 6(1.5) - 6 = 3

الآن : نوجد د(1.5) بالتعوض فى الدالة الأصلية .

د(1.5) = 3(1.5)² - 6(1.5) + 4 = 1.75

اذاً ميل المماس للدالة عند النقطة (1.5 ، 1.75)
هو 3    .

الآن : الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم:

هى : ص = أس + جـ

ص = 3س + جـ   .. بالتعويض بالنقطة (1.5 ، 1.75)


َ1.75 = 3(1.5) + جـ  ، ومنها جـ = -2.75


وأخيراً معادلة ميل المماس للدالة عند النقطة
(1.5 ، 1.75) هى :

ص = 3س - 2.75

تابع القراءة

0 اوجد مجموعة حل المتراجحة (س - 2)/(2س + 3)≥ 0

. س - 2
ــــــــــــــــــــــ ≥ 0
2س + 3

لكى تتحقق المتراجحة يجب ان يكونان
موجبتين معاً، او سالبتين معاً (اى
البسط ، والمقام ) .. مع الأخذ فى الإعتبار
ان المقام لا يساوى صفر .

1) إحتمال ان يكونوا موجبين معاً
.. هذا يعنى

س - 2 ≥ 0 ومنها س ≥ 2

2س + 3 > 0 ومنها س > -1.5

2) احتمال ان يكونوا سالبين معاً ..

س - 2 ≤ 0 ومنها س ≤ 2

2س+3 < 0 ومنها س < -1.5

.....................................
ولكن كلاً من :
س > -1.5 ، س ≤ 2

لا يحققان المتراجحة

...........................

اذاً :
س ≥ 2

س < -1.5

يحققان المتراجحة
..............................

بإختصار مجموعة الحل :

م.ج = ح - [-1.5 ، 2 [

] R - [-1.5 , 2

lll‏

تابع القراءة

0 قارن بين محيطى مربع يحتوى دائرة، والعكس ( دائرة تحتوى مربع)

 الدليل على صحة كلامى .. انظر الرسم
لتجد ان المربع الذى يحتوى الدائرة، وتمسه
من الداخل قطرها هو نفس طول ضلع المربع
وبفرض ان طول ضلع المربع س ، فإن 2نق =س ايضاً

محيط المربع = 4س
محيط الدائرة = 2ط نق = ط س

ولكن : 4س > ط س

لذلك محيط المربع أكبر ..

اما بالنسبة للشلكل الثانى (دائرة تحتوى مربع)

لذلك أنظر الرسمة رقم " 2 "

فإن هذه المرة قطر الدائرة هو قطر المربع
قطر الدائرة = جذر(2) س

محيط المربع = 4س

محيط الدائرة = جذر(2)×ط س

ولكن : جذر(2)×ط س > 4س

اذاً محيط الدائرة اكبر فى هذه الحالة .

تابع القراءة

3 ما هى القواعد العامة لإكمال المربع، والمكعب ؟

أس² + ب س + جـ = 0  بطرح جـ من الطرفين

أس² + ب س = - جـ  بقسمة الطرفين على أ

           ب            -جـ
س² +(ــــــ) س = ــــــــــ  بإكمال المربع .
           أ                أ

لاحظ ان الحد الأوسط فى المربع الكامل :

الحد الأوسط = 2×جذر(الحد الأول)×جذر(الحد الثالث)

وهذه هى القاعدة العامة لإكمال المربع، وسأتحدث
عنها لاحقاً مع الإثبات، والآن بتربيع الطرفين ::::::

(الحد الأوسط)² = 4×الحد الأول×الحد الثالث

               
                   (الحد الأوسط)²
الحد الثالث = ــــــــــــــــــــــــــــ
                    4×الحد الأول

بالعودة الى ما كنا عليه، وهو :-

           ب             -جـ
س² +(ــــــ) س = ــــــــــ  بإكمال المربع .
           أ                أ

الآن فى الطرف الأيمن نريد الحد الثالث .

                    (ب/أ)² س²      (ب/أ)²
الحد الثالث = ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
                     4× س²            4

بإضافته للطرفين ..


          ب           (ب/أ)²     -جـ       (ب/أ)²
س² +(ــــــ) س + ـــــــــ = ــــــــــ + ـــــــــــ
          أ               4           أ           4

الآن الطرف الأيمن = (جذر الأول + جذر الثالث)²
والطرف الأيسر يتم فيه توحيد المقامات ...

          ب                 ب² - 4أجـ
(س+ـــــــــــ)² = ــــــــــــــــــــــــــــــ
          2أ                     4أ²

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين ..

           ب          جذر(ب² - 4أجـ)
س + ـــــــــــ = ± ـــــــــــــــــــــــــــ
           2أ                    2أ


           ب           جذر(ب² - 4أجـ)
س = ـــــــــــــ ± ــــــــــــــــــــــــــــ
           2أ                  2أ


         − ب ± جذر(ب² − 4أجـ)
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                      2أ

ويسمى هذا القانون بالقانون العام، ويسمى
ب² − 4أجـ  بالمميز ، بحيث اننا نعلم انه اذا
كان ما داخل الجذر سالباً فإن للمعادلة من
الدرجة الثانية حل فى مجموعة الأعداد المركبة
اما اذا كان المميز موجباً فإن للمعادلة حلين فى
مجموعة الأعداد الحقيقية، اما اذا كان المميز
بصفر فإن للمعادلة حلين متماثلين ( يعنى حل وحيد
مكرر ) .

►القاعدة العامة لإكمال المربع◄

قبل ان نتحدث عن إكمال المربع نأتى
بالمربع الكامل، وكمثال :

(س + أ)² = س² + 2أ س +  أ²

لماذا وضعناه على هذا الشكل ؟

(س + أ)² = (س + أ) (س + أ)

الآن استعمل خاصية التوزيع، بضرب س
فى القوس الثانى، ومن ثم ضرب أ فى
القوس الثانى ايضاً ..

يعنى :

(س + أ) (س + أ) = س(س+أ) + أ(س+أ)

= س² + أس + أس + أ²

= س² + 2 أس + أ²

وهذه هى الصورة العامة لنشر المربع الكامل .

مثال : (س + 1)² = س² + 2س + 1

ولكن هذا عن النشر .. فماذا عن تحليل المربع
الكامل ؟

الآن : س² + 2 أس + أ² = (س+أ)²

ما الذى حدث ؟؟

تم أخذ جذر الأول وهو جذر(س²) = س
تم أخذ جذر الثالث وهو جذر(أ²) = أ
ومن ثم وضعنا التربيع على القوس
لكن ماذا عن الحد الأوسط ؟
ربما لاحظت ان الحد الأوسط هو ضعف
 حاصل ضرب جذرى الحد الأول، والحد الثالث .

►خصائص المربع الكامل◄      

1) الحدين الأول، والثالث موجبين معاً او سالبين معاً.
2) الحد الأوسط = 2×جذر(الحد الأول)×جذر(الحد الثالث)

مثال : س² + 2س - 1  ليس مربع كامل لأن
الحد الثالث سالب، وعند اكمال المربع نضف 1
ثم نطرحه ..

س² + 2س + 1  - 2

= (س+1)² - 2


►المكعب الكامل◄

(س+أ)³ = (س+أ) (س+أ)²

= (س+أ) (س² + 2س + أ)

= س(س² + 2س + أ)+أ(س² + 2س + أ)

وبعد استعمال خاصية التوزيع على القوس، وجمع
الحدود المشابهة ... تصل الى :-

= س³ + 3أس² + 3أ²س + أ

ملحوظة : كان من الممكن النشر بذات الحدين .

الآن اريدك ان تحفظ الطريقة ...

(س+أ)³ = معكب الأول + مربع الأول × الثانى × 3
     + مربع الثانى × الأول × 3  + مكعب الثالث

►إكمال المكعب◄

هذا هو القانون العام لإكمال المكعب ::

الحد الثانى = 3أس²
الحد الثالث = 3أ²س

مثال: س³ + 3س² + 3س + 1 = (س+1)³

مثال:2) س³ + 4س² + 12س + 8

هنا الحد الثانى من المفترض ان يكون :
3×(الجذر الثالث لـس³ )² × الجذر الثالث لـ 8
اى من المفترض ان يكون 6س²

الحد الثالث = 3×الجذر الثالث لـ(س)
×(الجذر الثالث لـ 8)²، وهو كما هو 12س

س³ + 4س² + 12س + 8

بإضافة وطرح 2س²

س³ + 6س² + 12س + 8  - 2س²

= (س+2)³ - 2س²

تابع القراءة

0 ما هي أهمية الأعداد العقدية ؟

لا ادرى من اين ابدأ، ولا تعجب اذا قلت لك لولا الأعداد
العقدية لما شاهدت هذا التطهور الهائل فى الرياضيات
الحديثة .. لآخذك الآن الى منحى بعيداً لكننا اذا تأملنا
فيه جيداً تجده قريب كل القرب .. السؤال هو :
هل يقود الخيال احياناً الى الى تصور الحقيقة ؟
هذا سؤال ليس مجرد سؤال تافه فحسب لكنه
يستلزم قضية هامة جدا ً فى الرياضيات وهى
الإنتقال من الخيال العلمى الى الحقيقة العلمية .

فإذا تطرقنا الى الخيال العلمى بإعتباره همزة الوصل
بين اللاحقيقى والحقيقى، فإننا بلا شك ندرك انه
بدون الخيال العلمى لما توصلنا الى هذه الحقيقة !

الآن اذا طلبت منك حل المعادلة : س² + 1 = 0
ستقولى ان س² + 1 = 0  تقتضى ان :س² = -1
تقتضى ان س =±جذر(-1)

الآن : لا يوجد عدد حقيقى اذا ربعته تكون النتيجة
سالبة .. نستنتج ومباشرةً ان جذر(-1) لا تنتمى
الى مجموعة الأعداد الحقيقية .. انت امام امر
من امرين اما تقول ان النتيجة فاى .. او ان توسع
من مجموعة الأعداد لتكون المجموعة الحقيقية
مجموعة جزئية فى تلك المجموعة ، وتسمى
مجموعة الأعداد العقدية، وهى تتألف من جزئين
جزء حقيقى، وجزء تخيلى :: مثل 1 + 2ت
هنا الجزء الحقيقى 1 ، والجزء التخيلى 2
حيث ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

هذا العدد يتميز بأن مربعه عدد سالب .
ت = جذر(-1)   ، ت² = -1  ، ت³ = -ت ، ت^4 = 1

الآن : س² + 1 = 0  فإن : س² = -1  ، ومنها

س = ±جذر(-1) = ±ت   بالتعويض..

(±ت)² + 1 = -1 + 1 = 0

ومن الجدير بالذكر أن ريتشارد فاينمان قد نعت
 صيغة أويلر قائلاً عنها: "جوهرتنا" و "واحدة من
 أبرز الصيغ وأكثرها إدهاشًا في كل الرياضيات"

هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس

حيث ان : هـ = العدد النيبيرى ≈ 2.71
والجزء التخيلى منها هو جاس .
بحيث ان الصورة المثلثية للعدد العقدى تكون
على الصورة :

هـ^(ت س) = ل(جتاس + ت جاس)

حيث ل = سعة العدد المركب .

مثال : 3 + 2ت
ل = جذر[(3)² + (2)²] = جذر(13)

◄ ادت الحاجة لظهور الأعداد العقدية الى عجز
مجموعة الأعداد الحقيقية ان تحل مثل هذه
المسائل : س² + 1 = 0  فما المانع ان نقول
ان لها حل .. لكنه تخيلى ..!

◄ وهناك سؤال يشكل غاية فى الخطورة، هل تستطيع
ان تتخيل كتابة هذا العدد جذر(2)    ؟؟
كل ما هنالك تقول جذر(2) هو عدد ما بين 1.41 ، 1.42
لكنك لا تستطيع ( الا ما لانهاية ) ان تحدد بالظبط ما هو .
ومع ذلك فإستعمال الأعداد النسبة تستعمل وبكثرة
فى الرياضيات .

والآن ما رأيك : هـ^(ت ط) + 1 = 0    ؟

حيث : هـ ≈ 2.71   ، ط ≈ 3.14

آمل ان اكون قد وفقت بعض الشىء فى الإجابة على
سؤالك ( لأن اجابة السؤال اطول من ان نذكرها هنا
وتضم من الأفكار ، والعبارات الكثير .. والكثير )

تابع القراءة