0 كيف نوجد الجذر التكعيبى لـكلاً من 2744 ، 512 ؟

قم بالتحليل مباشرة ً ..

اعطى تخمينا كبيراً نوعاً ما لقابلية العدد 2744
على عدد كبير، فنحن نعلم انه يقبل القسمة
على 2 لأنه عدد زوجى، ولكن هل يوجد عدد
أكبر من ذلك حتى نتخلص من القسمة فى وقت
قصير ؟ للإجابة على هذا السؤال فأنت بحاجة
لمعرفة قواعد قابلية القسمة [مرجع 1] لا سيما
البسيطة منها، وهذا يعتمد فى الأول والأخير على
خبرتك وممارستك لتحليل الأعداد بشكل مستمر
مثلاً عندما رأيت العدد خمنت انه يقبل القسمة
على 7 لأن هناك قاعدة بسيطة [فى نفس مرجع 1]
مضمونها : يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان
حاصل ضرب ضعف آحاده من العدد الأصلى (بعد حذف
الآحاد منه) يقبل القسمة على 7 .

ولديك : 2744 يقبل القسمة على 7 ولإثبات ذلك
نجرى الخطوات الآتية :

274 - 2(4) = 266 مازال العدد كبيراً ؟ ..

وهنا نكرر الخوارزمية مرة ثانية ..

26 - 2(6) = 14  وهنا نتوقف لأنه بالفعل 14
تقبل القسمة على 7 .

لاحظ : كل هذه الخطوات ربما تجرى ذهنياً وكتبتها
هنا لغرض التوضيح،  والآن نقوم بقسمة العدد
على7 بقواعد القسمة لبسيطة التى تعلمها
من اليسار الى اليمين، واذا وجد باقى جًُمع
على العدد الذى يليه وهكذا الى ان نأتى بآخر
عدد على اليمين .

2744 ÷ 7 = 392

ثم نسأل هل يقبل القسمة على 7 مرة أخرى ؟

نجرب الخوارزمية : 39 - 2(2) = 35  بالفعل يقبل ...

392 ÷ 7 = 56  ونحن نعلم أن 56 = 8 × 7

وبناء على هذا نكون قد قسمنا العدد 2744
على 7 ثلاث مرات متعاقبة ... وتبقى 8 .

اذاً : 2744 = ³7 × 8

ولكن من الأفضل ان نحلل العدد الى عوامله الأولية ..

فـ  8 = 2×2×2 = ³2

اذاً : 2744 = ³7 × 2³ = (2 × 7)³ = (14)³

وبناء عليه فإن الجذر التكعيبى لـ(2744) = 14

------------------------------------------------------

العدد الثانى صغير نسبياً، يكفى ان تعلم أن :

512 = 2^9 = (³2)³ = ³8

ولهذا فإن : الجذر التكعيبى لـ(512) = 8 

مرجع[1] : قواعد عامة فى قابلية القسمة على عدد صحيح .

تابع القراءة

0 أب ج ء مربع فيه أ=(3،-2) ،ج=(1، 4) فأوجد ميل ب ء ومعادلته ؟

من خلال مراجعتى لسؤالك تبين لى انك قد                 
كتبت السؤال بطريقة خاطئة حيث أن أ ب جـ د
ليس مربع وانما مستطيل، ولهذا وجب عليك ان
تكتب سؤالك بطريقة سليمة .

اعتقد ان المربع هو أ جـ ب د

ميل أ جـ كما قلنا = -3

ولكن ب د // أ جـ  اذاً ميل ب د = ميل أ جـ

معادلة ب د هى : ص = -3س + ث  حيث ث ثابت .

الآن النقطة د تحقق المستقيم ب د (لكنها غير معلومة)

تستطيع ايجادها بالطريقة التى تناسبك، واقترح عليك الآتى :-

طول أ جـ = طول أ د  ومن خلال استعمال قانون البعد
بين نقطتين نصل الى أن (نفرض أولاً أن د = (س،ص) )

أ د = جذر[(س - 3)²+(ص + 2)²] = 2جذر(10)

بتربيع الطرفين ...

(س - 3)² + (ص + 2)² = 40  ==> (1)

نحتاج الى معادلة ثانية ...

لديك طول القطر جـ د = جذر(2)×2جذر(10) = 4جذر(5)

حصلنا عليها من خلال مبرهنة فيثاغورث ...

ولكن يمكنك ايجاد طول القطر عن طريق قانون البعد بين نقطتين أيضاً .

طول القطر هو جـ د  .

جـ د = جذر[(س - 1)² + (ص - 4)²] = 4جذر(5)

(س - 1)² + (ص - 4)² = 80  ==> (2)

بحل (1) ، (2) توصلنا الى س ، ص وبالتالى نكون قد
حصلنا على النقطة د التى تحقق المستقيم ب د .

بطرح (1) من (2) .

(س-1)² - (س-3)² + (ص-4)² - (ص+2)² = 80-40 = 40

استعمل قانون الفرق بين مربعين من أجل التبسيط .

2(2س - 4) - 6(2ص - 2) = 40

4(س - 2) - 12(ص - 1) = 40  بقسمة الطرفين على 4 .

(س - 2) - 3(ص - 1) = 10  قم بفك الأقواس ...

س - 2 - 3ص + 3 = 10    رتب الحدود واختصر ...

س = 3ص + 9      ==> (3)  بالتعويض فى (1)

(س - 3)² + (ص + 2)² = 40  ==> (1)

(3ص+6)² + (ص+2)² = 40 

[3(ص+2)]² + (ص+2)² = 40

9(ص+2)² + (ص+2)² = 40

10(ص+2)² = 40   بقسمة الطرفين على 10

(ص+2)² = 4  ومنها ص+2 = ± 2

ص = 0        أو    ص = -4

بالتعويض فى معادلة (3) : س = 3ص + 9  

س = 9        أو  س = -3

الحل الأول والثانى مقبول من حيث انه يجعل الشكل
مربعاًً ، ولكن الحل الثانى فقط مقبول كونه يحافظ على
الترتيب الذى اشرطناه فى بادىء الحل ، ويمكن التعريف
على ذلك من خلال تمثيل هذه النقاط على الشبكة
التربيعية .


الإحداثى س ، ص هذا يحقق ب د  .. بالتعويض .

فى المعادلة : ص = -3س + ث

-4 = 9 + ث   ومنها  ث = -13

اذاً معادلة المستقيم ب ء هى :

ص = -3س - 13

تابع القراءة

0 كيف نثبت ان أكبر زاوية فى المثلث قطعاً هى أكبر من 60 درجة ؟

• مجموع زوايا المثلث = 180 درجة .

ليكن المثلث هو أ ب جـ  ، لدينا : أ + ب + جـ = 180 ومنها : أ + جـ = 180 - ب

لتكن الزاوية ب أكبر زاوية ... هذا يؤدى بنا الى أن : ب > أ     ،    ب > جـ

بجمع المتباينتين معاً : 2ب > أ + جـ    ولكن أ + جـ = 180 - ب  .. بالتعويض

2ب > 180 - ب       بجمع ب للطرفين ...

3ب > 180        بقسمة الطرفين على 3

ب > 60    وهو المطلوب إثباته .

تابع القراءة

2 صندوق يحوي 12 تفاحة منها 4 تالفة اختير منها 3 تفاحات عشوائيا ما احتمال ان تكون الثلاث تفاحات سليمة ؟

تحدد الإجابة بسحب طريقة السحب، فإذا كانت
طريقة السحب آنية - أى يتم سحب الثلاث كرات
معاً - فإننا نستعمل التوافيق هنا ، واذا كانت طريقة
السحب بالتتبع والتتالى فإننا نستعمل التباديل .

عدد التفاحات السليمة = 12 - 4 = 8

أولاً : اذا كانت طريقة السحب (آنية)

عدد جميع الطرق الممكنة للسحب = 12ق3

عدد جميع الطرق الممكنة لسحب ثلاث
تفاحات سليمة = 8ق3

                   8ق3         56         14
الإحتمال هنا = ـــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــ
                  12ق3       220         55

ثانياً : اذا كانت طريقة السحب (بالتتالى)

نستطيع ان نستشف نفس خطوات الحل السابقة
مستخدمين هذه المرة (التباديل)

                        8ل3          14
فنقول : الإحتمال = ـــــــــــ = ــــــــــ
                        12ل3        55

هذا يعنى انه سواء كانت طريقة السحب (آنية)
او بالتتبع والتتالى فإن إحتمال سحب ثلاث كرات
سليمة هو 14\55 .

تابع القراءة

0 ماهي الخطوات التي أجريها لتكوين المعادله التفاضليه ؟

وهل أعامل الدوال الإختياريه على أنها ثوابت ؟

سيكون من المفيد جداً مطالعتك لمرجع [1]
بحيث وضع ملخصاً سريعاً لكيفية تكوين
معادلة تفاضلية من خلال حدها العام بحيث
اذا كانت تحتوى على n من الثوابت فإنه يتم
اشتقاقها n مرة، ثم نحن من نحدد المعادلة
التفاضلية تكون فى اى متغير x ام y ... الخ
وآخر خطوة هى التخلص من الثوابت الإختيارية
بأى طريقة تناسبك، كأن نقوم بالإستعاضة عن
هذه الثوابت بدلالة الدالة نفسها او جزء منها .

وأعطى مثال توضيحى على ذلك ....

كون المعادلة التفاضلية التى حلها العام هو :

$y = a \cos(px - c)$

حيث كلاً من a , c ثابتين اختياريين، p ثابت مطلق .

نجرى الإشتقاق على هذه المعادلة مرتين متتاليتين
نظراً لوجود ثابتين اختياريين .

$y' = - pa \sin(px - c)$

$y" = - p^2 a \cos(px - c)$

الخطوة الأخيرة نتخلص من الثوابت الإختيارية ..

نعلم أن :  $a cos(px - c) = y$   بالتعويض ...

اذاً :    $y"  = - p^2 y$   وهى معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية .

مثال 2) من نفس الكتاب ... أوجد المعادلة التفاضلية
لمجموعة الدوائر المتساوية  ؟

الحل : نفرض أن نصف القطر لهذه الدوائر هو r .
فتكون معادلة مجموعة الدوائر هى :

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$                   

بحيث النقطة (a,b) الإحداثيات المختلفة لمراكز هذه
الدوائرة المتساوية فى القطر ويعتبرا هنا ثوابت اختيارية
ولكن r  ثابت مطلق .. لماذاً ؟ لأنه يعتبر عن نصف القطر
الثابت حتى يعطينا مفهوم مجموع الدوائر المتساوية
فى نصف القطر (او القطر) لكنها مختلفة المركز فقط .

بمفاضلة المعادلة (ضمنياً) بالنسبة لـ x .

$ 2(x - a) + 2y'(y - b) = 0$           

بقسمة الطرفين على 2 ...

$(x - a) + y'(y - b) = 0$             

نشتق المعادلة مرة ثانية بالنسبة لـ x .
(ونستعمل هنا قاعدة الضرب بالنسبة للحد
الثانى : مشتقة الأول×الثانى+ مشتقة
الثانى×الأول)

$1 + y"(y - b) + y'^2 = 0$             

تأتى المرحلة الأخيرة وهى التخلص من الثوابت الإختيارية ...

سنقوم بوضع ما حصلنا على لكن فى صورة أخرى ...

$y - b =  -(1+y'²)/y"$

ثم نعود بالخلف ونعوض فى المعادلة :

$(x - a) + y'(y - b) = 0$

المهم انه بعد التعويض واجراء بعض الخطوات
البسيطة فإننا نحصل على التالى، ونتذكر ان
اهم شىء هو محاولة التخلص من الثوابت
الإختيارية بأى طريقة صحيحة ومناسبة .

$x - a = y'(1+y'²)/y" $

ومن خلال التعويين السابصاً سيكون من
السهل جداً التعويض بهما فى المعادلة
الأصلية : $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$  

$\frac{y'^2(1+y'^2)^2}{y"^2} + \frac{(1+y'^2)^2}{y"^2} = r^2$

$\frac{(1+y'^2)^2 (1+y'^2)}{y"} = r^2$

$
\frac{(1+y'^2)^3}{y"^2} = r^2$

وأخير بأخذ الجذر التربيع للطرفين ...

$\frac{\sqrt{(1+y'^2)^3}}{y"} = r$

وهكذا تكونت المعادلة التفاضلية لجميع الدوائر
المتساوية فى نصف القطر .

===========================
مثال 3)  من نفس الكتاب .

برهن على أن المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
(يقصد شكل القطع المكافىء) التى محورها x هى
$y y" + y'^2 = 0$

الحل : الصورة العامة لمعادلة القطع المكافى
الذى محوره x تكون على الشكل :

$y^2 = 4a(x - b)$

وبإجراء التفاضل مرتين ....

$2y y' = 4a$  بالقسمة على 2

$y y' = 2a$   نشتق مرة ثانية ...

(بإستخدام قاعدة حاصل الضرب product rule)

$y'² + y y" = 0$                   #

وبعد مفاضلة العلاقة لا توجد ثوابت إختيارية، وبهذا
نكون قد كونا المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
التى محورها x .

-------------------------------------------------------------
نعلم الدوال الإختيارية تعتبر ثوابت، لكنها ليست
بالضرورة ان تكون مطلقة، فالثوابت الغير مطلقة
هى التى نعتمد على تغيريها لينتج من ذلك معادلة
تفاضلية جديدة .. اذاً فتم اعتمادها ثوابت على (فرضاً)
على أساس نحن من نحدد قيماً لها من خلال التعويض
فى الحل العام لإنتاج معادلات تفاضلية جديدة من هذا
الحل العام .

مثال : اذا كان a ثابت اختيارى فى حل عام لمعادلة
تفاضلية ما فإن   $a^2 + \sin(a)$  مثلاً تعتبر دالة او
ثابت اختيارى أيضاً ...
=============================

مرجع[1] : كتاب pdf يشرح فى خطوات بسيطة كيفية تكوين معادلة تفاضلية من خلال حلها العام .

مرجع[2] : Differential equations - Formation of Differential Equations

تابع القراءة

2 اوجد قياس اصغر زوايا المثلث ا ب جـ الذي فيه 15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ

حقيقة : قياس أصغر زواية فى المثلث هى التى تقابل أصغر ضلع .

15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ

أصغر ضلع هو أ ب لماذاً ؟ لأن اصغر ضلع
هو الذى معامله يكون أكبر .. كيف ذلك ؟
اذا قُلنا أن 1 دولار = 6 جنيه  (تقريباً)
هذا يعنى أن الجنيه أقل من الدولار .

الضلع أب تقابله الزواية جـ  ..

اذا كان هذا الشىء يبدو ساذجاً عندك فأسعمل
قوانين النسبة والتناسب  :

نفرض أن : 15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ = م

حيث م = ثابت التناسب .

وهذا يدلنا على اننا يمكن أن نضع التناسب
السابق لكن فى صورة أخرى .....

 أ ب         ب جـ         أ جـ
ــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــــ = م
(1\15)     (1\10)      (1\12)

هذا يعنى أن النسبية بين اضلاع المثلث كـنسبة
(1\15) : (1\10) : (1\12) ، وبإستعمال قانون جيب
التمام نوجد قياس اصغر زاوية التى تقابل اصغر ضلع
وهى الزاوية جـ .

          (ب جـ)² + (أ جـ)² - (أ ب)²
جتاجـ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               2(ب جـ) (أ جـ)

   (1\10)² + (1\12)² - (1\15)²       3
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ
            2(1\10)(1\12)                4

اذاً : جـ = جتا^-1(3\4)  ≈ "34.64   '24    41ْ
               
اى : 41 درجة ، 24 دقيقة ، 34.64 ثانية .

تابع القراءة

1 كيفية نشر الدالة مكعب ؟

يجب ان تذكر نوع الدالة ...

فمثلاً ربما تقصد الآتى :

(س + أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³

بعيداً عن نظرية ذات الحدين يمكنك نشر هذا المكعب من خلال مفهومك لمفكوك المربع الكامل .

مفكوك المربع الكامل = مفكوك (س + أ)²

= س² + 2أس + أ²

الآن : (س + أ)³ = (س + أ)² (س + أ)

= (س² + 2أس + أ²) (س + أ)

وهنا نستعمل خاصية عامة جداً وهى من خصائص حقل الأعداد الحقيقية بل والمركبة
أيضاً وهى خاصية التوزيع، نقوم بتوزيع س على القوس الكبير، وبعدها نوزع أ ايضاً على
نفس القوس .

= س³ + 2أس² + أ²س + أس² + 2أ²س + أ²

والآن قم بجمع الحدود المشابهة معاً

مثال : الحدين أس² ، 2أس² متشابهين فهم مختلفين فقط فى المعامل، فالأول
معامله 1 والثانى معامله 2، اذاً فالمجموع هو  (1 + 2) أس² = 3أس²  وهكذا ...

فيتكون لديك هذا الشكل أخيرا ...

(س+أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³

اما اذا كان المقصود هو نشر مكعب لعدد ن من الحدود فهذا أمر آخر ...

مثال : (أ+ب+جـ)³ = أ³+ب³+جـ³ + 3[أب(أ+ب) + أجـ(أ+جـ) + ب جـ(ب+جـ)] + 6أ ب جـ

ويمكنك تعميم الطريقة بصفة عامة لعدد ن من الحدود ...

مثال آخر ...

(أ+ب+جـ+د)³ = أ³+ب³+جـ³+د³ + 3[أب(أ+ب)+ أجـ(أ+جـ) + أد(أ+د) + ب جـ(ب+جـ)

+ ب د(ب+د) + جـ د(جـ+د)] + 6(أ ب جـ + أ ب د + أ جـ د + ب جـ د)

تابع القراءة

2 ما هى نظرية الأعداد، وبماذا تهتم ؟

نظرية الأعداد : هى نظرية تهتم بدراسة الأعداد
بصفة عامة، ولكن يكون التركيز أكثر على دراسة
الأعداد الطبيعــية، ومن ركائــزها دراسـة مفهوم
القسمة وخوارزمية القسمة، والقاسم المشترك
الأكبر، والمضاعف المشترك الأصغر لكن بمفاهيم
أكبر مما أخذته من قبل، بحيث تتم دراسة هذه
المفاهــيم البــسيطة كمـقدمة لنظرية الأعداد
ودراستها بشكل جبرى بحت .

تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة مفهوم باقى
القسمة فى شكل صور تجريدية بحيث تعتمد
على مفهوم تكافؤ باقى القسمة، وكمثال على
ذلك عندما نقول ان باقى قسمة 14 على 3
يكافىء باقى قسمة 8 على 3 ، وتكتب بهذه
الطريقة l           14 ≡ 8 (mod 3)       l
لا يتوقف الموضوع عند هذا فقط بل يتوسع
لما أكثر من ذلك بحيث تم التعامل مع هذه
التطابقات وكأننا نتعامل مع معادلة او مساواة
او شىء من هذا القبيل، بحيث أذكر لك بعض
الخصائص :-

1) يجوز جمع اى عدد صحيح للطرفين .
2) يجوز ضرب الطرفين فى عدد صحيح .
3) يجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح
لكن بشرط وهو : اذا كان : a ≡ b (mod n)  l
فيجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح من
القواسم المشتركة بين a و b شرط وهو :
gsd(a,b,n) = 1 أى ان القاسم المشترك
الأكبر بينهما جميعاً = 1  .

4) يجوز رفع الطرفين لأى أس طبيعى .
5) يجوز فرض معادلة كثيرات حدود ومن
ثم تبديل حدى التطابق بصور كلاً منهما
فى الدالة .

تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة الأعداد الخاصة
كأعداد ميرسن وأعداد فيرما، وأعداد بيرنوللى،
والأعداد التامة، والأعداد المتحابة، والأعداد الناقصة
..... وغيرها من الأعداد .

تهتم أيضاً بدراسة الدوال الخاصة، كدالة زيتا الريمانية
و دالة اويلر، ودالة المضاريب، ودالة موبيص ... وغيرها .
كما وتهتم نظرية الأعداد بدراسة المعادلات اليدوفونتية .

تهتم نظرية الأعداد بشكل كبير بدراسة الأعداد
الأولية، بحيث ما يشغل العلماء الآن وجود تسلسل
تتبعة متتالية ما للأعداد الأولية، وآخر ما تم التوصل
اليه منذ أكثر من القرن ونصف القرن فرضية ريمان
بحيث يقال أن حل هذه الفرضية يساهم بشكل
كبير فى فهم توزيع الأعداد الأولية (انظر مرجع [1])

وفى الأخيرة اود ان أشير الى وجود الكثير من
المسائل والتى لم تحل الى الآن فى نظرية
الأعداد من ضمن هذه المسائل فهم توزيع
الأعداد الأولية، حل فرضية ريمان، حدثية جولدباخ
مبرهنة فيرما الأخيرة (مرجع [2]) والتى قد قدم
برهاناً لها عالم الرياضيات وايلز عالم 1995 فى
150 صفحة، لهذا فإن برهان وايلز حديث وطويل
ومعقد  .. مرجع [3] (لا سيما فى آخر المقال)
ايضاً حدسية هودج، والكثير من المسائل التى
لم تحل الى الآن، تطلع على بعضاً منها (مرجع [4])
============================
[1] فرضية ريمان .
[2] مبرهنة فيرما الأخيرة .
[3] مقال بحثى عن مبرهنة فيرما الأخيرة .
[4] مسائل غير محلولة فى الرياضيات

تابع القراءة

10 كيف تتم عملية الضرب القياسى والضرب الإتجاهى ؟

سأكتب القوانين التى تعرفها أولاً .

ليكن لدينا المتجهين أ ، ب فإن :

أولاً : الضرب القياسى  : ||أ|| ||ب|| جتاهـ

ثانياً : الضرب الإتجاهى : ||أ|| ||ب|| جاهـ  فى اتجاه ع

حيث هـ هى قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ..
وكلاً من ||أ|| و ||ب|| تعنى أطوال كلاً منهما ..

الآن اذا كان لديك الزاوية بين المتجهين فبإمكانك
استعمال القانونين أعلاه اما اذا لم يكن لديك الزاوية
بين المتجهين وكان لديك احداثيات المتجهين فإستعمل
القوانين الآتية :

لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ، ...) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃ ، ...)

فإن الضرب القياسى لهما هو :

أ ⊙ ب = أ₁ب₁ + أ₂ب₂ + أ₃ب₃ + ....

مثال أ = (3 ، 4 ، 5)  ، ب = (2 ، 7 ، 6)

أ ⊙ ب = (3×2) + (4×7) + (5×6) = 64

اما الضرب الإتجاهى فهو أمر شبيه بإيجاد محدد مصفوفة ...

لتكن أ = (أ₁ ، أ₂) ، ب = (ب₁ ، ب₂)

فإن الضرب الإتجاهى لهما هو :

أ×ب = أ₁ب₂ - أ₂ب₁

بإختصار حاصل ضرب الطرفين - حاصل ضرب الوسطين

((هذا فقط اذا كان المتجهين من الدرجة الثانية))

اما اذا كان المتجهين من الدرجة الثالثة سيكون
الأمر معقد قليلاً (كلما ذدنا من عدد الإحداثيات)

لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃)

نفرض أن المتجه الموجه احداثياته (س،ص،ع)

الآن نكون المحدد من الدرجة الثالثة الآتى :

س   ص   ع
 أ₁    أ₂    أ₃
ب₁  ب₂  ب₃

= س(أ₂ب₃ - أ₃ب₂) - ص[أ₁ب₃ - أ₃ب₁] + ع[أ₁ب₂ - أ₂ب₁]

لاحظ الكمية التى حصلنا عليها متجهة ..

والمعنى اننا حصلنا على متجه احداثياته س ، ص ، ع
كما هو موضح حيث كلاً من س ، ص ، ع متجهات الوحدة .
لاحظ  أ×ب ≠ ب×أ  (الضرب الإتجاهى ليس ابدالى)

ولكن : أ×ب = - ب×أ

مثال : مثال أ = (3 ، 4 ، 5)  ، ب = (2 ، 7 ، 6)

الضرب الإتجاهى لهما هو : (لاحظ انا اقصد كلاً من س ، ص ، ع متجهات
الوحدة)

س   ص    ع
3      4     5
2      7     6

= س[(4×6)-(5×7)] - ص[(3×6)-(2×5)] + ع[(3×7)-(2×4)]

= -11س -8ص + 13ع

والمعنى اننا حصلنا على متجه جديد وهو (-11 ، -8 ، 13)


أرجو ان يكون الشرح واضح ولو انى لم افصل فيه كثيراً ...

فلاش بسيط يوضح الضرب القياسى لمتجهين فلاش بسيط يوضح الضرب الإتجاهى لمتجهين

تابع القراءة

0 لماذا تم فرض وجود عدد تخيلى فى الرياضيات ؟

الأعداد المركبة تتكون من جزئين،
الجزء الأول حقيقى والجزء الثانى تخيلى، وجائت
الأعداد التخيلية نتيجة توسعة الأعداد الحقيقية
فهى لا تكفى لحل العديد من المسائل الرياضياتية .

دعنى أضرب لك مثال سريع، ولنتحدث عن الأعداد
الكمومية كالأعداد الطبيعية، والتى تستخدم من
أجل توصيف الطول والعرض ومساحة الأشياء والقياس
الموجب بصفة عامة، ولكن فى حقيقة الامر الأعداد
الطبيعية غير كافية تماماً لتوصيف الرياضيات، فإذا كنا
نريد ايجاد كميات سالبة كالسرعة السالبة والزاوية
فى اتجاه عقارب الساعة، أو توصيف الكائنات الرياضياتية
المخالفة للإشارة الموجبة بصفة عامة فكان لابد من
توسيع الحقل ليشتمل على الأعداد السالبة أيضاً ثم
جاء الصفر بعد ذلك كوسيط بينهما .

ولكن فى الواقع الكميات ليس من الضرورى أن
تكون صحية دائماً، فلدينا مثلاً شخص وزنه 75.5
كيلو او طول باب 2.3 متر ... الخ ولهذا تمت توسعة
الأعداد الى الأعداد النسبية .

وأخيراً كان لابد من وجود مجموعة الأعداد الغير
نسبية حتى يكتمل حقل الأعداد الحقيقية، وجائت
هذه الأعداد لتوصيف الكميات التى لا نستطيع وضعها
فى صورة نسبية (كسرية) بحيث يكون كلاً من
البسط والمقام أعداد صحيحة، والمقام لا يساوى
الصفر، وكمثال على ذلك النسبية التقريبية باى
او ط وهى تكتب بالتقريب 77 على 7 أو 3.14
وهى لا تساوى هذا العدد تماماً كما يفعل البعض
ويكتب مثلاً محيط الدائرة = 2 × (22\7) نق
لا هذا غير صحيح، فالنسبة التقريبية ط من
الأفضل كتابتها كما هى (الا اذا طلب منك فكها)
كمثال آخر أيضاً على عدد حقيقى غير نسبى
وهو العدد النيبيرى e باللغة الإنجليزية، هـ باللغة
العربية، وهو أيضاً له قيمة تقريبية .

e ≈ 2.718281828

ولكن فى حقيقة الأمر يحق لنا أن نسأل
مثلاً ما هو حل المعادلة x² + 1 = 0 ؟؟
والتى يمكن وضعها فى صورة أخرى :
x² = -1  كانت المشكلة الأساسية هنا
وهو عدم وجود عدد (حقيقى) مربعه يعطى
-1 او بصفة عامة يعطى قيمة سالبة، او
بتوصيف هندسى نقول لا توجد مساحة
مربع قيمته سالبة .

♣ ما هى المشكلة الأساسية ؟

• المشكلة الأساسية هى عدم وجود حل فى IR
اى فى مجموعة الأعداد الحقيقية، اذاً ما المانع ان
نفرض مجموعة تحمل أعداداً لا وجود لها فى الواقع
وهى الأعداد التخيليلة ونكون بذلك قد خلصنا من
هذه المشكلة .

الآن : x² = -1  ومع أخذ الجذر التربيعى للطرفين

x = i   أو   x = -i  حيث  i وحدة تخيليلة = جذر(-1)

فى البداية تبدو الفكرة غير مقبولة عند البعض
لا سيما الذين يدرسون ولأول مرة الأعداد المركبة
وحتى فى المدارس ما قبل دراسة رياضيات 2 فى
المرحلة الثانية كنا نقول أن المعادلة ليس لها حل
ولكن حتى نكون أكثر دقة نقول أن المعادلة ليس
لها فى IR أو فى مجموعة الأعداد الحقيقية .

كميات تخيلية
----------------

هذه عنوان فرعى وضعته تماشياً مع الكميات
الأخرى التى ذكرتها، فما هى الكميات التخيلية ؟

• الكميات التخيلية هى كميات لا وجود لها فى
الواقع، ولكن الرياضيات أو منطق الرياضيات يرحب
بهذا الأمر بحفاوة بالغة، نعم ليس لها وجود فى
الواقع لكن لها وجود كبير جداً فى ساحة الرياضيات
والتى لا تهتم بدراسة الواقع وحده فحسب بل تهتم
بدراسة الكائنات التجريدية ومن ضمن هذه الكائنات
الأعداد التخيلية، ولا اريد ان أدخل فى تفاصيل أكثر
من ذلك كالهندسة الكهربائية وغيرها من فروع علمية
يمكنك البحث عنها، والتى يرددها كثيريين وكأن الأعداد
التخيلية صُنعت لهذا الغرض !!!

♣ طالما أن الأعداد التخيلية ليست فى واقعنا
فلماذا يوجد اهتمام كبير بدراستها بل ويوجد
لها فرع كامل فى الرضيات يسمى بالتحليل العقدى
أو التحليل المركب ؟

• فى الحقيقة تحدثت عن (وجهة نظرى) فى هذا
الموضوع مرات عديد فقلت فمعادلات رياضياتية
بسيطة كانت ام معقدة تستطيع ان تتحول من
شىء تخيلى الى شىء حقيقى فما رأيك فى هذه
الأمر ؟

وسأضرب مثال بسيط على ذلك كى أبين لك
ما يحدث فالمسألة مسألة تبسيط مقادير أو
بنى جبرية فى الرياضيات لا أكثر ولا أقل اى
هى مسألة انتقال من شكل الى آخر ..

لتكن x عدد حقيقى وكانت $f(x) = \cos(x)$

نعلم أن مدى الدالة هو الفترة المغلقة [1 , -1]
وبالتأكيد هذه الفترة تحتوى على جميع الأعداد
الحقيقية من -1 الى 1 فما فيهم -1 ، 1 .

الآن يمكن وضع الدالة السابقة فى صورة مختلفة .

$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$

حيث e : العدد النيبيرى، i وحدة تخيلية .

السؤال : ♣ كيف لدالة مداها معرف على فترة
حقيقية ان تحوى قيماً تخيلية ؟

• فى واقع الأمر هى تبدو للوهلة الأولى انها
قيمة تخيلية، ولكن الحقيقة غير ذلك، بل هى
قيمة حقيقة فى صورة تخيلية، فمن علاقة أويلر
الشهيرة نستطيع إعادة تعريفها، وهناك عدة
طرق للتحويل حقيقة ً .

لدينا :  $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$

و لدينا : $e^{-ix} = \cos(x) - i \sin(x)$

بجمع المعادلتين معاً نجد ان الجزء
التخيلى الموجب يتختصر مع الجزء
التخيلى السالب فينتج لنا فقط
الأجزاء الحقيقية ..

$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x)$

ولكن $\cos(x)$  معرفة على IR
اذاً $e^{ix} + e^{-ix}$ عدد حقيقى أيضاً .
ينتمى للفترة [1 , -1] .

لدينا أيضاً العلاقة : $e^{i \pi} + 1 = 0$

حيث $\pi$ النسبية التقريبة 3.14

يمكن وضع المعادلة على الصورة :

$$e^{i \pi} = -1 $$
لاحظ كيف أن الطرف الأيسر يحتوى على
قيمة تخيلية فى الأس الا أن النتيجة النهائية
عدد حقيقى وهو -1  ...

موضوع مشابه (ما أهمية الأعداد العقدية فى الرياضيات ؟)

تابع القراءة