ما هى نظرية الأعداد، وبماذا تهتم ؟

نظرية الأعداد : هى نظرية تهتم بدراسة الأعداد
بصفة عامة، ولكن يكون التركيز أكثر على دراسة
الأعداد الطبيعــية، ومن ركائــزها دراسـة مفهوم
القسمة وخوارزمية القسمة، والقاسم المشترك
الأكبر، والمضاعف المشترك الأصغر لكن بمفاهيم
أكبر مما أخذته من قبل، بحيث تتم دراسة هذه
المفاهــيم البــسيطة كمـقدمة لنظرية الأعداد
ودراستها بشكل جبرى بحت .

تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة مفهوم باقى
القسمة فى شكل صور تجريدية بحيث تعتمد
على مفهوم تكافؤ باقى القسمة، وكمثال على
ذلك عندما نقول ان باقى قسمة 14 على 3
يكافىء باقى قسمة 8 على 3 ، وتكتب بهذه
الطريقة l           14 ≡ 8 (mod 3)       l
لا يتوقف الموضوع عند هذا فقط بل يتوسع
لما أكثر من ذلك بحيث تم التعامل مع هذه
التطابقات وكأننا نتعامل مع معادلة او مساواة
او شىء من هذا القبيل، بحيث أذكر لك بعض
الخصائص :-

1) يجوز جمع اى عدد صحيح للطرفين .
2) يجوز ضرب الطرفين فى عدد صحيح .
3) يجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح
لكن بشرط وهو : اذا كان : a ≡ b (mod n)  l
فيجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح من
القواسم المشتركة بين a و b شرط وهو :
gsd(a,b,n) = 1 أى ان القاسم المشترك
الأكبر بينهما جميعاً = 1  .

4) يجوز رفع الطرفين لأى أس طبيعى .
5) يجوز فرض معادلة كثيرات حدود ومن
ثم تبديل حدى التطابق بصور كلاً منهما
فى الدالة .

تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة الأعداد الخاصة
كأعداد ميرسن وأعداد فيرما، وأعداد بيرنوللى،
والأعداد التامة، والأعداد المتحابة، والأعداد الناقصة
..... وغيرها من الأعداد .

تهتم أيضاً بدراسة الدوال الخاصة، كدالة زيتا الريمانية
و دالة اويلر، ودالة المضاريب، ودالة موبيص ... وغيرها .
كما وتهتم نظرية الأعداد بدراسة المعادلات اليدوفونتية .

تهتم نظرية الأعداد بشكل كبير بدراسة الأعداد
الأولية، بحيث ما يشغل العلماء الآن وجود تسلسل
تتبعة متتالية ما للأعداد الأولية، وآخر ما تم التوصل
اليه منذ أكثر من القرن ونصف القرن فرضية ريمان
بحيث يقال أن حل هذه الفرضية يساهم بشكل
كبير فى فهم توزيع الأعداد الأولية (انظر مرجع [1])

وفى الأخيرة اود ان أشير الى وجود الكثير من
المسائل والتى لم تحل الى الآن فى نظرية
الأعداد من ضمن هذه المسائل فهم توزيع
الأعداد الأولية، حل فرضية ريمان، حدثية جولدباخ
مبرهنة فيرما الأخيرة (مرجع [2]) والتى قد قدم
برهاناً لها عالم الرياضيات وايلز عالم 1995 فى
150 صفحة، لهذا فإن برهان وايلز حديث وطويل
ومعقد  .. مرجع [3] (لا سيما فى آخر المقال)
ايضاً حدسية هودج، والكثير من المسائل التى
لم تحل الى الآن، تطلع على بعضاً منها (مرجع [4])
============================
[1] فرضية ريمان .
[2] مبرهنة فيرما الأخيرة .
[3] مقال بحثى عن مبرهنة فيرما الأخيرة .
[4] مسائل غير محلولة فى الرياضيات