لماذا تم فرض وجود عدد تخيلى فى الرياضيات ؟

الأعداد المركبة تتكون من جزئين،
الجزء الأول حقيقى والجزء الثانى تخيلى، وجائت
الأعداد التخيلية نتيجة توسعة الأعداد الحقيقية
فهى لا تكفى لحل العديد من المسائل الرياضياتية .

دعنى أضرب لك مثال سريع، ولنتحدث عن الأعداد
الكمومية كالأعداد الطبيعية، والتى تستخدم من
أجل توصيف الطول والعرض ومساحة الأشياء والقياس
الموجب بصفة عامة، ولكن فى حقيقة الامر الأعداد
الطبيعية غير كافية تماماً لتوصيف الرياضيات، فإذا كنا
نريد ايجاد كميات سالبة كالسرعة السالبة والزاوية
فى اتجاه عقارب الساعة، أو توصيف الكائنات الرياضياتية
المخالفة للإشارة الموجبة بصفة عامة فكان لابد من
توسيع الحقل ليشتمل على الأعداد السالبة أيضاً ثم
جاء الصفر بعد ذلك كوسيط بينهما .

ولكن فى الواقع الكميات ليس من الضرورى أن
تكون صحية دائماً، فلدينا مثلاً شخص وزنه 75.5
كيلو او طول باب 2.3 متر ... الخ ولهذا تمت توسعة
الأعداد الى الأعداد النسبية .

وأخيراً كان لابد من وجود مجموعة الأعداد الغير
نسبية حتى يكتمل حقل الأعداد الحقيقية، وجائت
هذه الأعداد لتوصيف الكميات التى لا نستطيع وضعها
فى صورة نسبية (كسرية) بحيث يكون كلاً من
البسط والمقام أعداد صحيحة، والمقام لا يساوى
الصفر، وكمثال على ذلك النسبية التقريبية باى
او ط وهى تكتب بالتقريب 77 على 7 أو 3.14
وهى لا تساوى هذا العدد تماماً كما يفعل البعض
ويكتب مثلاً محيط الدائرة = 2 × (22\7) نق
لا هذا غير صحيح، فالنسبة التقريبية ط من
الأفضل كتابتها كما هى (الا اذا طلب منك فكها)
كمثال آخر أيضاً على عدد حقيقى غير نسبى
وهو العدد النيبيرى e باللغة الإنجليزية، هـ باللغة
العربية، وهو أيضاً له قيمة تقريبية .

e ≈ 2.718281828

ولكن فى حقيقة الأمر يحق لنا أن نسأل
مثلاً ما هو حل المعادلة x² + 1 = 0 ؟؟
والتى يمكن وضعها فى صورة أخرى :
x² = -1  كانت المشكلة الأساسية هنا
وهو عدم وجود عدد (حقيقى) مربعه يعطى
-1 او بصفة عامة يعطى قيمة سالبة، او
بتوصيف هندسى نقول لا توجد مساحة
مربع قيمته سالبة .

♣ ما هى المشكلة الأساسية ؟

• المشكلة الأساسية هى عدم وجود حل فى IR
اى فى مجموعة الأعداد الحقيقية، اذاً ما المانع ان
نفرض مجموعة تحمل أعداداً لا وجود لها فى الواقع
وهى الأعداد التخيليلة ونكون بذلك قد خلصنا من
هذه المشكلة .

الآن : x² = -1  ومع أخذ الجذر التربيعى للطرفين

x = i   أو   x = -i  حيث  i وحدة تخيليلة = جذر(-1)

فى البداية تبدو الفكرة غير مقبولة عند البعض
لا سيما الذين يدرسون ولأول مرة الأعداد المركبة
وحتى فى المدارس ما قبل دراسة رياضيات 2 فى
المرحلة الثانية كنا نقول أن المعادلة ليس لها حل
ولكن حتى نكون أكثر دقة نقول أن المعادلة ليس
لها فى IR أو فى مجموعة الأعداد الحقيقية .

كميات تخيلية
----------------

هذه عنوان فرعى وضعته تماشياً مع الكميات
الأخرى التى ذكرتها، فما هى الكميات التخيلية ؟

• الكميات التخيلية هى كميات لا وجود لها فى
الواقع، ولكن الرياضيات أو منطق الرياضيات يرحب
بهذا الأمر بحفاوة بالغة، نعم ليس لها وجود فى
الواقع لكن لها وجود كبير جداً فى ساحة الرياضيات
والتى لا تهتم بدراسة الواقع وحده فحسب بل تهتم
بدراسة الكائنات التجريدية ومن ضمن هذه الكائنات
الأعداد التخيلية، ولا اريد ان أدخل فى تفاصيل أكثر
من ذلك كالهندسة الكهربائية وغيرها من فروع علمية
يمكنك البحث عنها، والتى يرددها كثيريين وكأن الأعداد
التخيلية صُنعت لهذا الغرض !!!

♣ طالما أن الأعداد التخيلية ليست فى واقعنا
فلماذا يوجد اهتمام كبير بدراستها بل ويوجد
لها فرع كامل فى الرضيات يسمى بالتحليل العقدى
أو التحليل المركب ؟

• فى الحقيقة تحدثت عن (وجهة نظرى) فى هذا
الموضوع مرات عديد فقلت فمعادلات رياضياتية
بسيطة كانت ام معقدة تستطيع ان تتحول من
شىء تخيلى الى شىء حقيقى فما رأيك فى هذه
الأمر ؟

وسأضرب مثال بسيط على ذلك كى أبين لك
ما يحدث فالمسألة مسألة تبسيط مقادير أو
بنى جبرية فى الرياضيات لا أكثر ولا أقل اى
هى مسألة انتقال من شكل الى آخر ..

لتكن x عدد حقيقى وكانت $f(x) = \cos(x)$

نعلم أن مدى الدالة هو الفترة المغلقة [1 , -1]
وبالتأكيد هذه الفترة تحتوى على جميع الأعداد
الحقيقية من -1 الى 1 فما فيهم -1 ، 1 .

الآن يمكن وضع الدالة السابقة فى صورة مختلفة .

$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$

حيث e : العدد النيبيرى، i وحدة تخيلية .

السؤال : ♣ كيف لدالة مداها معرف على فترة
حقيقية ان تحوى قيماً تخيلية ؟

• فى واقع الأمر هى تبدو للوهلة الأولى انها
قيمة تخيلية، ولكن الحقيقة غير ذلك، بل هى
قيمة حقيقة فى صورة تخيلية، فمن علاقة أويلر
الشهيرة نستطيع إعادة تعريفها، وهناك عدة
طرق للتحويل حقيقة ً .

لدينا :  $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$

و لدينا : $e^{-ix} = \cos(x) - i \sin(x)$

بجمع المعادلتين معاً نجد ان الجزء
التخيلى الموجب يتختصر مع الجزء
التخيلى السالب فينتج لنا فقط
الأجزاء الحقيقية ..

$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x)$

ولكن $\cos(x)$  معرفة على IR
اذاً $e^{ix} + e^{-ix}$ عدد حقيقى أيضاً .
ينتمى للفترة [1 , -1] .

لدينا أيضاً العلاقة : $e^{i \pi} + 1 = 0$

حيث $\pi$ النسبية التقريبة 3.14

يمكن وضع المعادلة على الصورة :

$$e^{i \pi} = -1 $$
لاحظ كيف أن الطرف الأيسر يحتوى على
قيمة تخيلية فى الأس الا أن النتيجة النهائية
عدد حقيقى وهو -1  ...

موضوع مشابه (ما أهمية الأعداد العقدية فى الرياضيات ؟)