ماهي الخطوات التي أجريها لتكوين المعادله التفاضليه ؟

وهل أعامل الدوال الإختياريه على أنها ثوابت ؟

سيكون من المفيد جداً مطالعتك لمرجع [1]
بحيث وضع ملخصاً سريعاً لكيفية تكوين
معادلة تفاضلية من خلال حدها العام بحيث
اذا كانت تحتوى على n من الثوابت فإنه يتم
اشتقاقها n مرة، ثم نحن من نحدد المعادلة
التفاضلية تكون فى اى متغير x ام y ... الخ
وآخر خطوة هى التخلص من الثوابت الإختيارية
بأى طريقة تناسبك، كأن نقوم بالإستعاضة عن
هذه الثوابت بدلالة الدالة نفسها او جزء منها .

وأعطى مثال توضيحى على ذلك ....

كون المعادلة التفاضلية التى حلها العام هو :

$y = a \cos(px - c)$

حيث كلاً من a , c ثابتين اختياريين، p ثابت مطلق .

نجرى الإشتقاق على هذه المعادلة مرتين متتاليتين
نظراً لوجود ثابتين اختياريين .

$y' = - pa \sin(px - c)$

$y" = - p^2 a \cos(px - c)$

الخطوة الأخيرة نتخلص من الثوابت الإختيارية ..

نعلم أن :  $a cos(px - c) = y$   بالتعويض ...

اذاً :    $y"  = - p^2 y$   وهى معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية .

مثال 2) من نفس الكتاب ... أوجد المعادلة التفاضلية
لمجموعة الدوائر المتساوية  ؟

الحل : نفرض أن نصف القطر لهذه الدوائر هو r .
فتكون معادلة مجموعة الدوائر هى :

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$                   

بحيث النقطة (a,b) الإحداثيات المختلفة لمراكز هذه
الدوائرة المتساوية فى القطر ويعتبرا هنا ثوابت اختيارية
ولكن r  ثابت مطلق .. لماذاً ؟ لأنه يعتبر عن نصف القطر
الثابت حتى يعطينا مفهوم مجموع الدوائر المتساوية
فى نصف القطر (او القطر) لكنها مختلفة المركز فقط .

بمفاضلة المعادلة (ضمنياً) بالنسبة لـ x .

$ 2(x - a) + 2y'(y - b) = 0$           

بقسمة الطرفين على 2 ...

$(x - a) + y'(y - b) = 0$             

نشتق المعادلة مرة ثانية بالنسبة لـ x .
(ونستعمل هنا قاعدة الضرب بالنسبة للحد
الثانى : مشتقة الأول×الثانى+ مشتقة
الثانى×الأول)

$1 + y"(y - b) + y'^2 = 0$             

تأتى المرحلة الأخيرة وهى التخلص من الثوابت الإختيارية ...

سنقوم بوضع ما حصلنا على لكن فى صورة أخرى ...

$y - b =  -(1+y'²)/y"$

ثم نعود بالخلف ونعوض فى المعادلة :

$(x - a) + y'(y - b) = 0$

المهم انه بعد التعويض واجراء بعض الخطوات
البسيطة فإننا نحصل على التالى، ونتذكر ان
اهم شىء هو محاولة التخلص من الثوابت
الإختيارية بأى طريقة صحيحة ومناسبة .

$x - a = y'(1+y'²)/y" $

ومن خلال التعويين السابصاً سيكون من
السهل جداً التعويض بهما فى المعادلة
الأصلية : $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$  

$\frac{y'^2(1+y'^2)^2}{y"^2} + \frac{(1+y'^2)^2}{y"^2} = r^2$

$\frac{(1+y'^2)^2 (1+y'^2)}{y"} = r^2$

$
\frac{(1+y'^2)^3}{y"^2} = r^2$

وأخير بأخذ الجذر التربيع للطرفين ...

$\frac{\sqrt{(1+y'^2)^3}}{y"} = r$

وهكذا تكونت المعادلة التفاضلية لجميع الدوائر
المتساوية فى نصف القطر .

===========================
مثال 3)  من نفس الكتاب .

برهن على أن المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
(يقصد شكل القطع المكافىء) التى محورها x هى
$y y" + y'^2 = 0$

الحل : الصورة العامة لمعادلة القطع المكافى
الذى محوره x تكون على الشكل :

$y^2 = 4a(x - b)$

وبإجراء التفاضل مرتين ....

$2y y' = 4a$  بالقسمة على 2

$y y' = 2a$   نشتق مرة ثانية ...

(بإستخدام قاعدة حاصل الضرب product rule)

$y'² + y y" = 0$                   #

وبعد مفاضلة العلاقة لا توجد ثوابت إختيارية، وبهذا
نكون قد كونا المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
التى محورها x .

-------------------------------------------------------------
نعلم الدوال الإختيارية تعتبر ثوابت، لكنها ليست
بالضرورة ان تكون مطلقة، فالثوابت الغير مطلقة
هى التى نعتمد على تغيريها لينتج من ذلك معادلة
تفاضلية جديدة .. اذاً فتم اعتمادها ثوابت على (فرضاً)
على أساس نحن من نحدد قيماً لها من خلال التعويض
فى الحل العام لإنتاج معادلات تفاضلية جديدة من هذا
الحل العام .

مثال : اذا كان a ثابت اختيارى فى حل عام لمعادلة
تفاضلية ما فإن   $a^2 + \sin(a)$  مثلاً تعتبر دالة او
ثابت اختيارى أيضاً ...
=============================

مرجع[1] : كتاب pdf يشرح فى خطوات بسيطة كيفية تكوين معادلة تفاضلية من خلال حلها العام .

مرجع[2] : Differential equations - Formation of Differential Equations