كيث نثبت أن : ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 مربع كامل من أجل ن عدد طبيعى ؟
الجمعة، 12 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
بعد نشر : ن(ن+1)(ن+2)(ن+3) + 1
نحصل على الآتى :
ن^4 + 5ن³ + 6ن² + ن³ + 5ن² + 6ن + 1
موجهين تركيزنا نحو تشكيل مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة عن طريق دراسة
عوامل ذات الحدين من مثلث باسكال .
عوامل الحدود فى مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة يتخذ هذا الشكل والترتيب .
1 4 6 4 1
ومن خلال هذا نبدأ بإعادة صياغة ما توصلنا اليه ...
ن^4 + 4ن³ + 6ن² + 4ن + 1 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
(أى ان كل الذى تم عبارة عن تحليل بالتقسيم)
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 4ن² + 2ن + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن² + 2ن + 1) + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن+1)² + ن²
= ((ن+1)²)² + 2ن(ن+1)² + ن²
أليس هذا الشكل مربع كامل ؟
= [(ن+1)² + 1]²
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
طريقة أخرى للحل لكنها تحتوى على فكرة مميزة ...
نقول : المفكوك عبارة عن مربع كامل اذا وفقط اذا
كان ما داخل القوس دالة من الدرجة الثانية، وهذا
شىء بديهى حتى يعطينا مفكوك من الدرجة الرابع
ومن خلال هذا المفهوم البسيط نفرض الفرضية الآتية :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + جـ)²
حيث أ ، ب ، جـ ثوابت فى صورة مجاهيل نريد ايجادها .
مع إفتراض أن ما داخل القوس عدداً طبيعياً من أجل ن
عدد طبيعى ثم ننتظر فى آخر الحل هل يوجد تناقض
أم لا من أجل حلول أ ، ب ، جـ ؟
هذه الفرضية تجعلنا نقول أن العلاقة عبارة عن متطابقة .
ولإيجاد كلاً من أ ، ب ، جـ نجرى بعض الخطوات الآتية .
* بوضع ن = 0 نحصل على : جـ = 1
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + 1)²
** بوضع ن=1 للطرفين فنحصل على : (أ+ب+1)² = 25 ==> (1)
*** بوضع ن=2 للطرفين فنحصل على : (4أ+2ب+1)² = 121 ==> (2)
من (1) ، (2)
أ+ب+1 = 5 أو أ+ب+1 = -5
4أ+2ب+1 = 11 أو 4أ+2ب+1 = -11
لدينا أربع معادلات مختلفة نستطيع ان ننشىء منهم
أنظمة مكونة من معادلتين، وعددهم 4 ق 2 = 6
نستثنى منهم 2 نظراً لأنك اذا قمت بحل أ+ب+1 = 5
، أ+ب+1 = -5 معاً من خلال الجمع ينتج لك أن :
أ+ب+1 = 0 وكذلك الأمر مع المعادلتين الأخرتين .
لنبدأ بتشكل النظام الأول :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
حل بأى طريقة تعجبك (بالحذف أو بالتعويض)
فينتج لنا : أ = 1 ، ب = 3
تشكيل النظام الثانى :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج لنا هذا حل إحتمالى وهو : أ = 0 ، ب = -6
ولكن أ = 0 تجعل أ ن² قيمة معدومة وبالتالى ما داخل
القوس لا يكون دالة من الدرجة الثانية وهذا أمر مرفوض .
تشكيل النظام الثالث :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج : أ = -10 ، ب = 14
ولكن هذا الحل يجعل : -10ن² + 14ن + 1 قيمة سالبة لكل ن≥2
تشكيل النظام الرابع والأخير :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
فينتج : أ = 11 ، ب = -17
وهو يجعل ما داخل القوس موجباً فقط اذا كانت ن = 0 أو ن = 2
ملحوظة يمكن التحقق من أن الأنظمة 2 ، 3 ، 4 لا تحقق بمجرد مقارنتها
بحالة (1) الموجبة دائماً فنجد انها لا تكون متطابقة بل هى معادلة فقط
من أجل حلول ن محددة .
مما سبق ينتج أن :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (ن² + 3ن + 1)²
وبالفعل ن² + 3ن + 1 عدد طبيعى دائماً من أجل ن
عدد طبيعى ، وبالتالى (ن² + 3ن + 1)² مربع كامل
ملحوظة أخرى : العلاقة أيضاً تتحقق من أجل ن عدد صحيح (جربها)
نحصل على الآتى :
ن^4 + 5ن³ + 6ن² + ن³ + 5ن² + 6ن + 1
موجهين تركيزنا نحو تشكيل مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة عن طريق دراسة
عوامل ذات الحدين من مثلث باسكال .
 |
| مثلث باسكال لدراسة عوامل ذات الحدين |
عوامل الحدود فى مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة يتخذ هذا الشكل والترتيب .
1 4 6 4 1
ومن خلال هذا نبدأ بإعادة صياغة ما توصلنا اليه ...
ن^4 + 4ن³ + 6ن² + 4ن + 1 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
(أى ان كل الذى تم عبارة عن تحليل بالتقسيم)
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 4ن² + 2ن + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن² + 2ن + 1) + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن+1)² + ن²
= ((ن+1)²)² + 2ن(ن+1)² + ن²
أليس هذا الشكل مربع كامل ؟
= [(ن+1)² + 1]²
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
طريقة أخرى للحل لكنها تحتوى على فكرة مميزة ...
نقول : المفكوك عبارة عن مربع كامل اذا وفقط اذا
كان ما داخل القوس دالة من الدرجة الثانية، وهذا
شىء بديهى حتى يعطينا مفكوك من الدرجة الرابع
ومن خلال هذا المفهوم البسيط نفرض الفرضية الآتية :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + جـ)²
حيث أ ، ب ، جـ ثوابت فى صورة مجاهيل نريد ايجادها .
مع إفتراض أن ما داخل القوس عدداً طبيعياً من أجل ن
عدد طبيعى ثم ننتظر فى آخر الحل هل يوجد تناقض
أم لا من أجل حلول أ ، ب ، جـ ؟
هذه الفرضية تجعلنا نقول أن العلاقة عبارة عن متطابقة .
ولإيجاد كلاً من أ ، ب ، جـ نجرى بعض الخطوات الآتية .
* بوضع ن = 0 نحصل على : جـ = 1
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + 1)²
** بوضع ن=1 للطرفين فنحصل على : (أ+ب+1)² = 25 ==> (1)
*** بوضع ن=2 للطرفين فنحصل على : (4أ+2ب+1)² = 121 ==> (2)
من (1) ، (2)
أ+ب+1 = 5 أو أ+ب+1 = -5
4أ+2ب+1 = 11 أو 4أ+2ب+1 = -11
لدينا أربع معادلات مختلفة نستطيع ان ننشىء منهم
أنظمة مكونة من معادلتين، وعددهم 4 ق 2 = 6
نستثنى منهم 2 نظراً لأنك اذا قمت بحل أ+ب+1 = 5
، أ+ب+1 = -5 معاً من خلال الجمع ينتج لك أن :
أ+ب+1 = 0 وكذلك الأمر مع المعادلتين الأخرتين .
لنبدأ بتشكل النظام الأول :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
حل بأى طريقة تعجبك (بالحذف أو بالتعويض)
فينتج لنا : أ = 1 ، ب = 3
تشكيل النظام الثانى :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج لنا هذا حل إحتمالى وهو : أ = 0 ، ب = -6
ولكن أ = 0 تجعل أ ن² قيمة معدومة وبالتالى ما داخل
القوس لا يكون دالة من الدرجة الثانية وهذا أمر مرفوض .
تشكيل النظام الثالث :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج : أ = -10 ، ب = 14
ولكن هذا الحل يجعل : -10ن² + 14ن + 1 قيمة سالبة لكل ن≥2
تشكيل النظام الرابع والأخير :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
فينتج : أ = 11 ، ب = -17
وهو يجعل ما داخل القوس موجباً فقط اذا كانت ن = 0 أو ن = 2
ملحوظة يمكن التحقق من أن الأنظمة 2 ، 3 ، 4 لا تحقق بمجرد مقارنتها
بحالة (1) الموجبة دائماً فنجد انها لا تكون متطابقة بل هى معادلة فقط
من أجل حلول ن محددة .
مما سبق ينتج أن :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (ن² + 3ن + 1)²
وبالفعل ن² + 3ن + 1 عدد طبيعى دائماً من أجل ن
عدد طبيعى ، وبالتالى (ن² + 3ن + 1)² مربع كامل
ملحوظة أخرى : العلاقة أيضاً تتحقق من أجل ن عدد صحيح (جربها)
0 التعليقات:
إرسال تعليق