أوجد مجموعة حلول x فى المعادلة $x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}}$

$$x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}}$$

امامك المعادلة : $x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}} $

نفرض أن $\sqrt{x} = y$   ومنها  x = y²

بالتعويض : $y^2 = 20 - \sqrt{20 - y}$

ويمكن وضعها على الصورة : $y^2 - 20 = - \sqrt{20 - y}  $

بتربيع الطرفين :   $(y^2 - 20)^2 = 20 - y$

نقوم بفك الطرف الأيشر (مربع كامل)

$
y^4 - 40y^2 + 400 = 20 - y

$

رتيب الحدود ...

$
y^4 - 40y^2 + y + 380 = 0

$
بكل سهولة ويسر نختبر ما اذا كانت هناك
حلول صحيحة ام لا عن طريق ايجاد القواسم
الصحيحة للحد المطلق 380 فنجد ان كلاً من
4 ، -5 يحققنا المعادلة السابقة ...

وهذا يعنى أن كلاً من l (y-4) , (y+5)
أصفاراً للمعادلة .. الآن نجرى عملية
القسمة المطولة وسأكتبها بالعربى نظراً
لصعوبة كتابتها برموز أجنبية هنا ...

سنقسم على : (ص - 4) (ص + 5)
= ص² + ص - 20

ص² - ص - 19
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص^4 - 40ص² + ص + 380 |ص² + ص - 20
                                   ـــــــــــــــــــــــ
ص^4 + ص³ - 20ص²
---------- بالطرح -----------
- ص³ - 20ص² + ص + 380
-ص³ - ص² + 20ص
---------- بالطرح -----------
-19ص² - 19ص + 380
-19ص² - 19ص + 380
--------- بالطرح ----------
00               00

اذاً لدينا : y² - y - 19 = 0

والتى يمكن حلها بالقانون العام ...

المميز :  l           ∆ = 1 + 4(19) = 77

$$y = \frac{(1 \pm \sqrt{77})}{2}$$

تمكنا من ايجاد جميع حلول y

ولكن :  x = y²

أى ان حلول x هى مربعات حلول y

x = 16   أو   x = 25

الآن نربع :  $y = \frac{(1 \pm \sqrt{77})}{2}$


$$y^2 = \frac{(39 \pm \sqrt{77})}{2} $$

====================

المشكلة هنا أنه يجب أن نتأكد من هذه الحلول
عن طريق التعويض بها فى المعادلة الأساسية .

$$x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}}$$

نضع  x = 16  نجدها تحقق المعادلة

نضع x = 25  لا تحقق المعادلة الأساسية ..

وكذلك أيضاً الحين الآخرين لا يحققون المعادلة الأساسية ...

اذاً مجموعة الحل للمعادلة الأساسية هى $x = \{16 \}‏$