بالشرح كيف نحل النظام أ+ب+جـ=1 ، أ²+ب²+جـ²=2 ، أ³+ب³+جـ³ = 3 ؟

أ + ب + جـ = 1          ==> (1)
أ² + ب² + جـ² = 2      ==> (2)
أ³ + ب³ + جـ³ = 3      ==> (3)

بتحليل المعادلة الثالثة ...

(أ+ب) (أ² + ب² - أ ب) + جـ³ = 3   ==> (4)

من (1) ، (2) نجد أن : أ + ب = 1 - جـ

                    ،  أ² + ب² = 2 - جـ²

لكن بقى أن نوجد  أ ب بدلالة جـ أيضاً حتى تكون
معادلة (4) تحتوى على جـ فقط ..

من معادلة (1) : أ + ب = 1 - جـ    بتربيع الطرفين ...

(أ + ب)² = (1 - جـ)²  

==>  أ² + ب² + 2أ ب = 1 - 2جـ + جـ²

ولكن : أ² + ب² = 2 - جـ²      (بالتعويض)


2 - جـ² + 2أ ب =  1 - 2جـ + جـ²

2أ ب = -2 + جـ² + 1 - 2جـ + جـ² = 2جـ² - 2جـ - 1

أ ب = جـ² - جـ - 0.5     (بالتعويض فى  (4) )

(أ+ب) (أ² + ب² - أ ب) + جـ³ = 3   ==> (4)

(1 - جـ) [2 - جـ² - جـ² + جـ + 0.5] - جـ³ = 3

 وبعد نشر الحدود ينتج :

                          1
جـ³ - جـ² - 0.5جـ = ــــــــ     ==>  (5)
                          6

ومعادلة (5)  يمكن حلها بطريقة كاردان المعممة :

http://goo.gl/ysMDz

لنستخلص منها جميع حلول جـ  الحقيقية
والمركبة، ثم التعويض فى المعادلات أعلاه .

فينتج لنا نظامين من س ، ص فيسهل بعد ذلك ايجادهما ...

وكنت سأكمله اذا توفر لدى المزيد من الوقت ...

اما الرابط فالخطوات تشبه ما فعلته (كفكرة)
والحل النهائى لم يُكتب .. وهو ما وضعته فى
المراجع (على موقع ولفرام الفا)

الحل الذى قدمه الموقع : http://goo.gl/QmC3Z

وهى طريقة أخرى كنت سأكتبها لولا أننى وجدت
ان آخر خطوة ستؤدى الى نفس المعادلة التى
كنت قد استنتجتها من حلى الأولى .

أ + ب + جـ = 1          ==> (1)
أ² + ب² + جـ² = 2      ==> (2)
أ³ + ب³ + جـ³ = 3      ==> (3)

بتربيع معادلة (1)  (سأتناول شرح الموضوع بدقة
نظراً لأن سؤالك يتطلب هذا)

(أ+ب+جـ)² = ²1   (بنشر الطرف الأيمن)

[(أ+ب) + جـ]² = (أ+ب)² + 2جـ (أ+ب) + جـ² = 1

أ² + ب² + 2أب + 2(أجـ + ب جـ) + جـ² = 1

أ² + ب² + جـ² + 2(أب + أجـ + ب جـ) = 1

ولكن من معادلة (2) : أ² + ب² + جـ² = 2

اذاً : 2 + 2(أب + أجـ + ب جـ) = 1

ومنها : أب + أجـ + ب جـ = -½

بضرب (1) فى (2) :

(أ+ب+جـ)(أ²+ب²+جـ²) = 1×2

أ³ + أ ب² + أ جـ² + أ² ب + ب³ + ب جـ²
+ أ² جـ + ب² جـ + جـ³  = 2

(نرتب الحدود بنسق معين)

أ³ + ب³ + جـ³ + أ²(ب+جـ) +
ب²(أ+جـ) + جـ²(أ+ب) = 2

ولكن : أ³+ب³+جـ³ = 3   (بالتعويض)

3 +أ²(ب+جـ)+ب²(أ+جـ)+جـ²(أ+ب) = 2

أ²(ب+جـ)+ب²(أ+جـ)+جـ²(أ+ب) = -1

ثم قام بتكعيب معادلة (1)

(أ+ب+جـ)³  = ³1

(أ+ب)³ + جـ³ + 3جـ(أ+ب)² + 3جـ²(أ+ب) = 1

أ³+ب³+جـ³ + 3أ²ب + 3أب² + 3جـ(أ+ب)²
+ 3جـ²(أ+ب) = 1   (بفك التربيع ...)

مع وضع أ³+ب³+جـ³ = 3

3 +3أ²ب + 3أب²+ 3جـ(أ²+ب² + 2أب)
+ 3أ جـ² + 3ب جـ² = 1


3أ²ب + 3أب² + 3أ²جـ + 3ب²جـ + 6أ ب جـ
+ 3أ جـ² + 3ب جـ² = 1 - 3 = -2

3أ²(ب+جـ) + 3ب²(أ+جـ) + 3جـ²(أ+ب)
+ 6 أ ب جـ = -2

(ملحوظة من المفترض أن هذا تحليل مشهور
وما فعلته مجرد خطوات زائدة ...)

3[أ²(ب+جـ) + ب²(أ+جـ) +جـ²(أ+ب)]
+ 6أ ب جـ  = -2

ولكن : أ²(ب+جـ)+ب²(أ+جـ)+جـ²(أ+ب) = -1

اذاً : 3 × -1  + 6 أ ب جـ = -2

6 أ ب جـ = -2 + 3 = 1  ومنها أ ب جـ = 1\6

وبالتالى الموضوع أشبه ما يكون بتكوين معادلة
من الدرجة الثانية بمجرد معرفة مجموع جذورها
وحاصل ضربهما (لكن هذه المرة تجرى الخطوات
على معادلة من الدرجة الثالثة)

تتكونا معادلة من الدرجة الثالثة بمعرفة بعض
المعلومات عن جذورها (حلولها) الثلاث، وهذه
المعالومات هى :

1) مجموع جذورها .
2) حاصل ضرب جذورها .
3)  مجاميع حاصل الضرب المتكون من توافيق جذورها .

نأخذ كل واحدة ونشرحها على حدى ...

1) مجموع جذورها يعنى أ + ب + جـ
وهذه المعلومة متوفرة لدينا .

2) حاصل ضرب جذورها يعنى : أ ب جـ
وهذه المعلومة أيضاً متوفرة لدينا .

3) مجاميع حاصل الضرب المتكون من توافيق جذورها

يعنى بإيجاز شديد : أب + أجـ + ب جـ

وهذه المعلومة أيضاً متوفرة لدينا ...

الصورة العامة لكتابة المعادلة من الدرجة الثالثة
بدلالة جذورها أ ،ب ، جـ  هى :

س³ - (أ+ب+جـ) س² + (أب+ب جـ+أ جـ) س - أ ب جـ = 0

حيث س هو مجهول او متغير إفتراضى الذى يجعل تلك
الجذور التى تحقق تلك المعادلة ...

كيف حصلنا او تعرفنا على هذه المعادلة ؟

من خلال فرض مجهول إفتراضى س ولدينا ثلاث جذور
أ ، ب ، جـ ، ثم فرضنا ان هذه الجذور تحقق او مجرد
أصفاراً للمعادلة الآتية :

(س - أ) (س - ب) (س - جـ) = 0

وبعد توسعة او نشر الطرف الأيمن نحصل تماماً
على هذا الشكل :

س³ - (أ+ب+جـ) س² + (أب+ب جـ+أ جـ) س - أ ب جـ = 0

لدينا : أ+ب+جـ = 1
     أب + ب جـ + أ جـ = -½
     أ ب جـ = 1\6

اذاً : س³ - س² - ½س - 1\6 = 0

ويمكن ضرب الطرفين فى 6

6س³ - 6س² - 3س - 1 = 0

ومن ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة
والتى قد حصلت عليها بطرق أبسط من هذه
فى حلى الأول .

الحلول المقدمة من موقع ولفرام الفا :

      http://goo.gl/2OUbU‏