7 ايجاد مساحة اى شكل منتظم عدد اضلاعه ن

ولنثبت صحة القانون
حيث اننا نأتى من مركز الشكل المنتظم، وكل ضلع
من اضلاعه يحمل مثلث متساوى الساقين، ونريد ان نوجد
مساحة هذا الشكل المنتظم بدلالة طول القاعدة، والإرتفاع
ولكن الأإرتفاع مجهول، لذلك وجب علينا ان نوجد الإرتفاع
بدلالة الزاوية ( هـ )  ، فنفرض ان طول حرفه س

مساحة المثلث = ½ طول القاعدة فى الإرتفاع

                   = ½ س × ع
                                                          ½ س
حيث ع اقصد به الإرتفاع ، ولكن  ظا(هـ/2) = ــــــــــــــــــ
                                                           ع

                   ½س
ومنها  ع = ـــــــــــــــــــــــ      بالتعويض
                ظا(هـ/2)

                                      ½س
مساحة المثلث = ½ س × ـــــــــــــــــــ
                                    ظا(هـ/2)
          س²
= ــــــــــــــــــــــــ
     4 ظا(هـ/2)

ولكن هذه مساحة مثلث واحد فقط ، اذاً مساحة اى شكل منتظم
عدد اضلاعه  ن ضلعاً

        ن س²
= ــــــــــــــــــــــــ
     4 ظا(هـ/2)

حيث هـ هى الزاوية بين اى ساقين، ويمكن ايجادها من خلال هذا القانون

                 180 (ن-2)

هـ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                       ن

تابع القراءة

1 اثبت ان نها(س←0 ) جاس/س = 1

بالنظر الى الرسم نجد ان فى دائرة الوحدة طول الضلع
المقابل للزاوية س هو جاس، حيث س قياس الزاوية
بالتقدير الدائرى، وهذا معناها ان القوس الذى يحمل
الزاوية = س ( بالتقدير الدائرى )

سنركز على ثلاث علاقات وهما مساحة المثلث
المتساوى الساقين، ومساحة القطع الدائرى
ومساحة المثلث القائم الكبير ..

حيث ان مساحة المثلث المتساوى الساقين اقل من مساحة القطع الدائرى
اقل من مساحة المثلث القائم ..

اولاً : مساحة المثلث المتساوى الساقين = ½ جاس
ثانياً : مساحة القطع الدائرى = ½س
ثالثاً : مساحة المثلث القائم = ½ ظاس

اذاً :  ½جاس < ½س < ½ظاس بقسمة جميع الاطراف على ½

جاس < س < ظاس     بقسمة جميع الاطراف على جاس

         س        ظاس
1 < ــــــــــــ < ــــــــــــ
       جاس       جاس

لاحظ ان ظاس / جاس = 1/جتاس



         س           1
1 < ــــــــــــ < ــــــــــــ       عندما نقلب جميع الاطراف نغير علامات التباين
       جاس       جتاس

         جاس
1 > ـــــــــــــــــ > جتاس
          س

ثم لاحظ ان جتاس  تقترب من الواحد الصحيح كلما اقتربت س من الصفر
اذاً :

         جاس
1 > ـــــــــــــــــ > مقدار يتقرب جداً من الواحد الصحيح
          س

                       جاس
اذاً : نهــــــــــا ــــــــــــــــــــ = 1
     س←0           س

تابع القراءة

0 اثبت ان مشتقة جاس = جتاس

د(س) = جاس        ، دَ(س) = ؟؟


               جا(س+هـ) - جاس
نهــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0                 هـ


                  جاس جتاهـ + جتاس جاهـ - جاس
= نهــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
     هـ←0                       هـ


                  جاس(جتاهـ - 1) + جتاس جاهـ
= نهــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
     هـ←0                       هـ

                         (جتاهـ - 1)                               جاهـ
= جاس نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ +جتاس نهــــــا ــــــــــــــــ
           هـ←0           هـ                        هـ ←0       هـ


ولكن هناك نهاية شهيرة جداً ( فى درس نهاية الدوال المثلثية عند الصفر )
تقتضى ان نهـــــــا لما (هـ تؤوول الى 0 ) (جتاهـ - 1 ) هـ = 0
وايضاً نهــــا   لما (هـ تؤوول الى 0 ) جاهـ /هـ = 1

وبناء عليه تكون النهاية السابقة = جتاس  ( وهو المطلوب )

تابع القراءة

0 اوجد مساحة شبه المنحرف المبين بالرسم

أ ب جـ د شبه منحرف متساوى
الساقين، أ ب يوازى دجـ ، لتكن و نقطة تقاطع قطريه بحيث
تحقق العلاقة  وأ / وجـ = 1\3   (( هذه الخطوة للتصحيح ))
فإذا علمت ان مساحة المثلث ب و جـ = 15 فإن مساحة
شبه المنحرف أ ب جـ د = ؟؟

الحل : تعريفات لن اذكرها .. جاو = جا الزاوية المكملة لها
مساحة المثلث = ½ حاصل ضرب طول اى ضلعين فى جيب
الزاوية المحصورة بينهم .. ، نظرية هامة فى الهندسة المستوية
اذا رسما مثلثان على قاعدة وفى جهة واحدة منها ، ينحصران
بين مستقيمين متوازيين، كانا متساويان فى المساحة ( على ما اذكر )

اذاً : مساحة المثلث أ د جـ = مساحة المثلث ب د جـ
ولكن المثلث و د جـ ( مشترك بينهم ) اذاً مساحة المثلث
أ و د = مساحة المثلث ب و جـ = 15

وايضاً هناك تشابه بين المثلثين و أ ب ، و د جـ  حيث يحقق
ان ( خطوة لن اذكرها وهى عبارة نسب بين اطوال اضلاع )
نستنتج منها ما هو موضح بالرسم ..

نأتى الى المثلث الذى مساحته 15 وحدة مربعة
حيث نستنتج منه الآتى : ½ 3 م² جاو = 15
اذاً : م² جاو = 10  ومنها  :

             10
جاو = ــــــــــــــ
             م²


الآن وبكل بساطة نستطيع ايجاد مساحة كلاً من المثلثين و د جـ ، و أ ب
اولاً مساحة المثلث و أ ب = ½ م² جاو  بالتعويض عن جاو

                                      10
مساحة المثلث = ½ م² × ـــــــــــــ = 5 وحدات مربعة
                                     م²

                                                 10
مساحة المثلث و د جـ = ½ 9 م² × ــــــــــــــ = 45 وحدة مربعة
                                                 م²


اذاً مساحة شبه المنحرف أ ب جـ د = (2×15) + 45 + 5 = 80 وحدة مربعة

تابع القراءة

0 ادرس اشتقاق الدالة الآتية د(س) = أس³ + ب س² + جـ س + د من حيث ...

برهن اذا امتلكت الدالة : د(س) = أس³ + ب س² + جـ س + د
نقطتين حرجتين فان نقطة الانقلاب تقع في منتصف المسافة بينهما واذا امتلكت نقطة حرجة واحدة فقط فهي نقطة انقلاب .
الحل : -



د(س) = أس³ + ب س² + جـ س + د
دَ(س) = 3أس² + 2ب س + جـ
دً(س) = 6أس + 2ب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الإحتمال الأول انها دالة تمتلك نقطتين حرجتين، نساوى المشتقة
الأولى بـ صفر .

3أس² + 2ب س + جـ = 0

الحل بالقانون العام : المميز = جذر(4ب² - 12أجـ) = 2جذر(ب² - 3أجـ)

            -2ب ± 2جذر(ب² - 3أجـ)             -ب ± جذر(ب² - 3أجـ)
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                      6أ                                        3أ

ولكن متصف الإحداثى السينى لهما

     -ب + جذر(ب² - 3أجـ)     -ب - جذر(ب² - 3أجـ)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           6أ                               6أ

     -2ب         -ب
= ـــــــــــ = ـــــــــــــــــ
     6أ           3أ

من أخرى نقطة الإنقلاب نستنتجها من خلال تصفير المشتقة الثانية ..
6أس + 2ب = 0  ومنها 6أس = -2ب  ، ومنها  3أس = -ب

                    -ب
ومنها  س = ـــــــــــــــ = نقطة المنتصف للنقطتين الحرجتين ( المطلوب الأول )
                     3أ


المطلوب الثانى اذا تحقق يتحقق معه الآتى :-
يجب ان تكون المشتقة الأولى عبارة عن مربع كامل ( لماذا ؟ )
ولما كانت المشتقة الأولى عبارة عن مربع كامل فإن ما تحت الجذر = 0
او بمعنى ادق المميز = 0

          -ب
س = ـــــــــــ = نقطة المنتصف ( فى المطلوب الأول )
          3أ

وهى بمثابة نقطة انقلاب فى حالة مساواه المشتقة الثانية بـ صفر .

تابع القراءة

1 اوجد النهاية الآتية بدون قاعدة لوبيتال نها(س←2) (3^س - 9)/(2^س - 4)

نفرض ان : 3^س = ص  بأخذ لو الطرفين  لو3^س = لوص ، ومنها س لو3 = لوص
، ومنها  س = لوص/لو3 =  لوص     (( متطابقة (1) فى اللوغاريتمات ))
                                     3

اذاً : 2^س = 2^لوص    =  ص^لو2    (( متطابقة (2) فى اللوغاريتمات ))
                      3                   3

وعندما س = لوص  ، فإن  لوص ← 2   ومنها  ص ← 9
                  3                3

بالتعويض فى النهاية الأصلية وهى : -

                      3^س - 9                                              ص - 9
نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س←2            2^س - 4                    ص←9         ص^لو2   - 4
                                                                                 3


لاحظ عندما ص ← 9   فإن  جذر(ص) ← 3

                               جذر(ص)  - 3                             جذر(ص) + 3
= نهـــــــــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   جذر(ص)←3      جذر(ص)^لو2  - 2                  جذر(ص)^لو2  + 2
                                          3                                         3


تعتبر نهايتين مضروبين فى بعض، وعند التعويض فى النهاية الثانية  نجدها = 3\2

                                               جذر(ص)  - 3
= 3\2 × نهـــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           جذر(ص)←3       جذر(ص)^لو2   -  2
                                                      3

لاحظ انه يمكن وضع  2 = 3^لو2         (( متطابقة  (3) فى اللوغاريتمات ))   ، وبالتعويض
                                      3

                                              جذر(ص)  - 3              
= 3\2 × نهـــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           جذر(ص)←3      جذر(ص)^لو2   -  3^لو2
                                                     3             3

المسألة اصبحت جاهزة تمامً لتطبيق نظرية " 4 "  فى التفاضل ( الإثبات من هنا )

                     1
= 3\2 × ــــــــــــــــــ × 3^(1 - لو2 )
               لو2                    3
                3


        3                    3
= ــــــــــــــــ  × ــــــــــــــــــــــــــ
     2لو2                3^لو2
       3                      3


لاحظ ان :  3^لو2 = 2      بالتعويض
                  3

          9                9
= ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ  لو3
      4 لو2              4     2
          3


وهى نفس النهاية التى ستحصل عليها اذا حليت المسألة 
بقاعدة لوبيتال .. المصدر مأخوذ من حل الأخ Khaled Einstein
على شبكة التواصل الإجتماعى فيسبوك .

تابع القراءة

0 اثبت ان جا(3س) = 3جاس - 4جا³س

يعتمد الإثبات على عدة اساسيات منها جا ضعف الزاوية

حيث ان جا2س = 2جاس جتاس ، وان جتا2س = جتا²س - جا²س

= 1 - 2جا²س  ، ومتطابقات أخرى معروفة ..

جا3س = جا(2س + س)  = جا2س جتاس + جتا2س جاس

= 2جاس جتا²س + (1-2جا²س ) جاس

= جاس [2جتا²س + 1 - 2جا²س]

ولكن : جتا²س = 1 - جا²س  ( حسب دائرة الوحدة )

= جاس [ 2 - 2جا²س + 1 - 2جا²س]

= جاس [ 3 - 4جا²س]  = 3جاس - 4جا³س       (( وهو المطلوب ))

تابع القراءة

9 اوجد النهاية الآتية نها(س←0) (س - جاس)/س³

اوجد :                       س - جاس
         نهـــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
         س←0           س³
الحل الأول عن بإستعمال قاعدة لوبيتال
وبعد مرحلة الإشتقاق اصبحت المسألة
على هذا الشكل .


نهـــــــــا ( 1 - جتاس )/3س² = 0/0 عدم تعيين
س←0


نشتق مرة أخرى كلاً من البسط والمقام..


= نهـــــــــا جاس/6س = 0/0  نشتق مرة أخرى ..
   س←0


= نهــــــــــا جتاس/6  وبوضع س = 0  نجد النهاية = 1\6
    س←0




الطريقة الثانية بإستعمال متسلسلة ماكلورين :-




جاس = س - س³/3! + س^5/5! - س^7/7! + ....

بضرب الطرفين فى -1

-جاس = -س + س³/3! - س^5/5! + س^7/7! - .....

بإضافة س للطرفين

س - جاس = س³/3! - س^5/5! + س^7/7! - .....

وبقسمة الطرفين على س³

(س - جاس)/س³ = 1\3! - س²\5! + س^4\7! - ......

وبوضع س = 0

(س - جاس)/س³ = 1\3! + ( مجموعة اعداد تؤول الى الصفر )

=1\3! = 1\6

حل آخر بدون استعمال قاعدة لوبيتال، او منشور ماكلورين




نفرض ان  س = 3ص وعندما 3ص ←0 فإن ص ←0
، وبفرض ان النهاية = ن




                   3ص - جا3ص                             3ص - جا3ص
نهــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 1\27  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص←0             27ص³                                       ص³


ولكن جا3س = 3جاس - 4جا³س  ( متطابقة اثباتها فى تصنيف حساب مثلثات )


                       3ص - [3جاص - 4جا³ص]
1\27نهــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
      ص←0                     ص³




                                    3ص - 3جاص + 4جا³ص
=1\27 نهــــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
         ص←0                           ص³




بتوزيع البسط على المقام ينتج :


                       3 (ص - جاص )               4جا³ص      
1\27نهـــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــ
      ص←0              ص³                         ص³


                              ص - جاص                                   جاص
= 1\27(3 نهــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــ + 4 نهـــــــــــــا[ ــــــــــــــــــــــ ]³       )
             ص←0          ص³                   ص←0              ص      




ولكن النهاية الأولى = ن   


 ن = 1\27 ( 3ن + 4 )


           ن               4 
ن = ـــــــــــــ  + ــــــــــــــــــ     
          9              27




27ن = 3ن + 4   ، ومنها  24ن = 4   اذاً : ن = 1\6

تابع القراءة

0 اوجد النهاية الآتية نهـا(س←2) (2^س -4)/(س-2)

اوجد :                       2^س - 4
           نهــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            س ←2          س -2

الحل الأول :( بإستعمال قاعدة لوبيتال )

=  نهـــــــــا 2^س × لط 2 = 4 لط2
     س←2

( حيث لط اللوغاريتم الطبيعى )

الحل الآخر بمنشور تايلور :-

نهـا(س←2) (2^س - 4) / (س-2)

نفرض ان : د(س) = 2^س ، ومنها
دَ(س) = 2^س لط2
دً(س) = 2^س (لط2)²
دً َ (س) = 2^س (لط2)³ .... so on

وبنشر 2^س عندما تقترب س من 2

2^س = 4 + 4(لط2)(س-2)+2(لط2)²(س-2)²+4\3!(لط2)³(س-2)³+.....

بطرح -4 من الطرفين يتبقى لدينا

2^س - 4 = 4(لط2)(س-2)+2(لط2)²(س-2)²+4\3!(لط2)³(س-2)³+.....

بقسمة الطرفين على (س-2)

(2^س - 4 )/(س-2) = 4لط2 + 2(لط2)²(س-2) + 4\3!(لط2)³(س-2)²+...

وبوضع س = 2 نجد ان النهاية تقترب من 4 لط(2)
≈ 2.772588722

        

تابع القراءة

0 اوجد س توافيق ص

المسألة الأولى : [(س+ص) ل 2 ] = 42 ، [(س-ص) ل 2 ] = 20
المطلوب ايجاد  : س ق ص

[(س+ص) ل 2 ] = 42        اذاً

      (س+ص)!
ــــــــــــــــــــــــــــــــ = 42
    (س+ص-2)!

(س+ص) (س+ص-1)(س+ص-2)!
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 42
          (س+ص-2)!


(س+ص) (س+ص-1) = 42               (1)

      (س-ص)!
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 20
     (س-ص-2)!

(س-ص) (س-ص-1) (س-ص-2)!
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 20
              (س-ص-2)!

(س-ص) (س-ص -1) = 20

(س-ص)² - (س-ص) = 20        (2)

بترتيب (1) ، (2)

(س+ص) (س+ص-1) = 42               (1)

(س+ص)² - (س+ص) = 42

س² + 2س ص + ص² - س - ص = 42

س² + ص² + 2س ص - س - ص = 42            (1)

(س-ص)² - (س-ص) = 20        (2)

س² - 2س ص + ص² - س + ص = 20         (2)
س² + ص² + 2س ص - س - ص = 42         (1)

ـــــــــــــــــــــــــ بجمع (1) ، (2) ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2س² + 2ص² -2س = 62

س² + ص² - س = 31   بالتعويض فى (1)

س² + ص² + 2س ص - س - ص = 42         (1)

31 + 2س ص - ص = 42

2س ص - ص = 11
                                             11
ص (2س - 1 ) = 11   ،  ص = ـــــــــــــــــــــ            (3)
                                        (2س - 1)

بالتعويض فى س² + ص² - س = 31

                         11
س² - س + ــــــــــــــــــــــــــــ = 31
                    (2س - 1)


س²(2س-1) - س(2س-1) + 11 = 31(2س-1)

2س³ - س² - 2س² + س + 11 - 62س + 31 = 0

2س³ -3س² - 61س + 42 = 0

عوض بـ س=1 ، 2 ، 3 .... الى ان تصل الى س=6 فتجدها
تحقق المعادلة تماماً : فنقوم بقسمة المعادلة على (س-6)

2س² +9س -7
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2س³ -3س² - 61س + 42   |  (س-6)
                                   ــــــــــــــــــــــــ
2س³ -12س²
ــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــ
9س² -61س + 42
9س² - 54س
ــــــــ بالطرح ـــــــــــــــــ
-7س + 42
-7س + 42
ـــــــ بالطرح ــــــــــ
00            00

اذاً : احتمال : (2س² +9س -7) = 0
نحلها بالقانون العام
المميز = جذر(81 + 56) = جذر(137)

             -9 ± جذر(137)
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    4

اما س ≈ 1.4261749  ،  س ≈ -5.17617  ، واخيراً اما ، س = 6

نستثنى الأعداد النسبية، ونأخذ الحل س = 6  بالتعويض فى 3

                11                        11
ص = ــــــــــــــــــــــــــ  = ـــــــــــــــــــــــــــ = 1
            (2س - 1)               (12 - 1 )


اذاً :  س              6
           ق     =     ق  = 6
             ص           1

اعلم جيداً ان لها حل آخر، لكنه لا يحضرنى الآن ..

تابع القراءة

0 كيف نثبت ان جا2س = 2جاس جتاس ؟

نعلم من قانون مجموع زاويتين او الفرق بينهما ان : 


جا(س+ص) = جاس جتاص + جتاس جاص 
وبوضع  س = ص 


جا(س+س) = جاس جتاس + جتاس جاس


جا2س = 2 جاس جتاس      (( هـ . ط . ث ))


ملحوظة : نستطيع استنتاج اكثر من قانون للإثبات صحة 
هذه المتطابقة .


حتى لا يكون كلامنا عبارة عن هرطقان كلامية، اورد لك هذا
الإثبات ( الذى آراه من وجهة نظرى ) من اقوى، واروع وافضل
 الإثباتات لهذا القانون .. تابع


لنفرض وجود مثلث متساوى الساقين، طول ساقيه = الوحدة
والزاوية بين الساقين = 2س

نوجد مساحة المثلث بطريقتين، ثم نساويهم ببعض ..
مساحة المثلث = ½ 1 × 1 × جا2س = ½جا2س               (1)
ولكن مساحة المثلث ايضاً = ½ طول القاعدة × الإرتفاع


لاحظ لإيجاد نصف مساحة القاعدة والإرتفاع .. انظر الى صورة
المثلث المتساوى الساقين ستجد انه عبارة عن مثلثين قائمين، وبتطيق
جا2س = المقابل / الوتر ... الخ ( هذه القوانين جربها بنفسك )
المهم ستصل الى ان :  نصف القاعدة عبارة عن جاس، وان الإرتفاع
عبارة عن جتاس ..

مساحة المثلث  = ½ طول القاعدة فى الإرتفاع

=  جاس جتاس              (2)         اذاً علاقة (1) = علاقة (2)

½جا2س = جاس جتاس          وبضرب الطرفين فى 2 نحصل على المطلوب

جا2س = 2جاس جتاس

اذا كان عندك اثبات آخر لهذا القانون، فضعه حتى يستفيد منه الجميع .

تابع القراءة