اوجد النهاية الآتية نها(س←0) (س - جاس)/س³

اوجد :                       س - جاس
         نهـــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
         س←0           س³
الحل الأول عن بإستعمال قاعدة لوبيتال
وبعد مرحلة الإشتقاق اصبحت المسألة
على هذا الشكل .


نهـــــــــا ( 1 - جتاس )/3س² = 0/0 عدم تعيين
س←0


نشتق مرة أخرى كلاً من البسط والمقام..


= نهـــــــــا جاس/6س = 0/0  نشتق مرة أخرى ..
   س←0


= نهــــــــــا جتاس/6  وبوضع س = 0  نجد النهاية = 1\6
    س←0




الطريقة الثانية بإستعمال متسلسلة ماكلورين :-




جاس = س - س³/3! + س^5/5! - س^7/7! + ....

بضرب الطرفين فى -1

-جاس = -س + س³/3! - س^5/5! + س^7/7! - .....

بإضافة س للطرفين

س - جاس = س³/3! - س^5/5! + س^7/7! - .....

وبقسمة الطرفين على س³

(س - جاس)/س³ = 1\3! - س²\5! + س^4\7! - ......

وبوضع س = 0

(س - جاس)/س³ = 1\3! + ( مجموعة اعداد تؤول الى الصفر )

=1\3! = 1\6

حل آخر بدون استعمال قاعدة لوبيتال، او منشور ماكلورين




نفرض ان  س = 3ص وعندما 3ص ←0 فإن ص ←0
، وبفرض ان النهاية = ن




                   3ص - جا3ص                             3ص - جا3ص
نهــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 1\27  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص←0             27ص³                                       ص³


ولكن جا3س = 3جاس - 4جا³س  ( متطابقة اثباتها فى تصنيف حساب مثلثات )


                       3ص - [3جاص - 4جا³ص]
1\27نهــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
      ص←0                     ص³




                                    3ص - 3جاص + 4جا³ص
=1\27 نهــــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
         ص←0                           ص³




بتوزيع البسط على المقام ينتج :


                       3 (ص - جاص )               4جا³ص      
1\27نهـــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــ
      ص←0              ص³                         ص³


                              ص - جاص                                   جاص
= 1\27(3 نهــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــ + 4 نهـــــــــــــا[ ــــــــــــــــــــــ ]³       )
             ص←0          ص³                   ص←0              ص      




ولكن النهاية الأولى = ن   


 ن = 1\27 ( 3ن + 4 )


           ن               4 
ن = ـــــــــــــ  + ــــــــــــــــــ     
          9              27




27ن = 3ن + 4   ، ومنها  24ن = 4   اذاً : ن = 1\6