4 ما هى اهم القوانين ايجاد مساحة المثلث

له قوانين كثيرة، ويستطيع اى فرد لديه معرفة جيدة بالرياضيات
ان يخترع قانون، او عدة قوانين كلها تقود الى الحصول على
مساحة المثلث ..

مساحة المثلث = ½ طول القاعدة × الإرتفاع
مساحة المثلث القائم = ½ حاصل ضرب طول ضلعى القائمة
مساحة المثلث الذى اطوال اضلاعه أ َ ، بَ ، جـَ
= ½ أ َ بَ جاجـ = ½ جـَ بَ جاأ = ½ أ َ جـَ جاب

مساحة المثلث بدلالة اطولا اضلاعه ( صيغة هيرون )


المساحة ( م ) = جذر [ح(ح - أ َ ) ( ح - ب َ ) ( ح - جـ َ ) ]


                                               أ َ + ب َ + جـ َ
حيث ح = محيط المثلث / 2  = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ح
                                                     2

▓▓ مساحة المثلث بدلالة متوسطاته ▓▓

مساحة المثلث الذى اطوال متوسطاته س ، ص ، ع

     4
= ــــــــــ جذر [ح (ح-س) (س-ص) (ح-ع)]
     3

               مجموع متوسطاته          س+ص+ع
حيث  ح = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
                        2                           2



▓▓ مساحة المثلث بدلالة ابعاد ارتفاعاته ..! ▓▓

مساحة المثلث الذى اطوال ارتفاعاته ع1 ، ع2 ، ع3

                                               1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جذر[(1/ع1+1/ع2+1/ع3)(-1/ع1+1/ع2+1/ع3)(1/ع1-1/ع2+1/ع3)(1/ع1+1/ع2-1/ع3)]

وهناك المزيد ، والمزيد ... 

تابع القراءة

8 ما هى خواص المحددات، وطرق ايجادها ؟

نعم شرط ان تكون المصفوفة مربعة م × م
وهناك عدة طرق متنوعة لإيجاد قيمة المحدد
من الرتبة م ، لكن يفضل فى بعض المحددات
وضعها فى ابسط صورة ، ثم ايجاد قيمة المحدد لها

من خواص المحددات :1)
المحدد المصفوفة = محدد دور المصفوفة

مثال :
            3     1       3      5
المحدد  :           =
           5      4       1      4


2) الخاصية الثانية : لو قمان بتبديل وضع
الأعمدة ، او الصفوف فإن اشارة المحدد
تتغير ، ويمكن تعميم القاعدة الى : لو
قمنا بعدد تبديلات فردية فإن اشارة
المحدد تتغير، بينما لو قمنا بعدد تبديلات
زوجية فإن قيمة المحدد لا تتغير .. مثال

             3     1         5      4
المحدد  :           = -                = 7
            5      4         3      1




             3     1        1       3
المحدد  :           = -                = 7
            5      4        4       5



3) قيمة المحدد = 0 اذا تساوى فيه صفان، او عمودان ..
او ان يكون عناصر اى صف، او عمود كلها اصفاراً ..
             3   5   1
             3   5   1   = 0
المحدد :   2   0  7

نظراً لتساوى الصفين (1) ، (2)

             3    4    3
المحدد :  5    0    5   = 0
             1   6     1

نظراً لتساوى العمود الأول مع العمود الثالث .
 
            5    0    4
المحدد :  3    0   10   = 0
            2    0    6


            0   0   0
المحدد :  1   5   7   = 0
            -1  -8   6


4) اذا ضربنا عناصر اى صف او عمود فى عدد ما
ك فإن قيمة المحدد الجديد = ك × قيمة المحدد الأصلى .

مثال : اوجد قيمة هذه المحدد :-

   -1   3    1
    0   5    3  = -1(-27)-3(-6)+1(-10) = 35
    2   4   -3

فى حين اننا لو ضربنا مثلاً الصف الثانى فى 2
تكون قيمة هذا المحدد = 2 × 35 = 70
تحقق ..

     
  -1   3    1
   0   10  6 = -1(-54)-3(-12)+1(-20)= 70
   2   4   -3


مما سبق نستنج انه اذا وجد عامل مشترك فى صف
ما، او عمود ما فى المحدد فإننا نخرجع كعامل مشترك
مثال على ذلك :-

            6   12   3          2   4   1
المحدد :  5   1   -1 = 3 × 5   1  -1
            7   -5   4          7   -5   4

اى : اخرجنا 3 عامل مشترك من الصف الأول ..

5) يمكن وضع المحدد فى صورة مجموع محددين
من نفس الرتبة، بتجزء صف واحد فقط، او عمود
واحد بفقط مع ثبات باقى الأعمدة والصفوف .. مثال

            4     2      3      1       1     1
المحدد :            =             +
            5     6      5     6       5     6

هنا تم تجزء الصف الأول مع بقاء الصف الثانى، وعكس
هذه الخاصية صحيح ايضاً ( جربها بنفسك )

6) اذا اضفنا لعناصر اى صف او عمود مضاعفات
صف او عمود آخر فإن قيمة المحدد لا تتغير .. مثال

            3  -2  4      9   5   3
المحدد :  6  7  -1  = 6   7  -1
            9   1  1      9   1  1

الذى حدث : تم اضافة عناصر الصف الثانى
الى عناصر الصف الأول، واذا نقلنا مضاعفات
عناصر الصف الثانى للصف الأول، فإنه ايضاً
قيمة المحدد لا تتغير، ونفس الشىء مع الأعمدة ..


6) اذا ما وجدت ثلاثة اصفار اسفل، او تحت القطر
الرئيسى، فإن قيمة المحدد = حاصل ضرب عناصر
القطر الرئيسى، اما اذا وجدت ثلاثة اصفار اسفل
او تحت القطر الثانوى، فإن قيمة المحدد =
- ( حاصل ضرب عناصر القطر الثانوى ) .. مثال

            0  0  3
المحدد :  0  5  1 = - (1×5×3) = 15
            1  6  7

           6  0  0
المحدد : 4  3  0  = 6×3×4 = 72
           -1  2  4


░ ايجاد المحدد من الرتبة 2×2 ░

            أ     ب
المحدد :            = (أ×د) - (ب×جـ)
           جـ    د

                   3     4
مثال : المحدد             = (3×7)-(4×6)=-3
                  6      7

░ ايجاد المحدد من الرتبة 3×3 ░

            أ  ب  جـ        هـ و        د و         د هـ
المحدد : د  هـ  و  = أ ×ر  ن - ب×ز  ن +جـ×ز  ر
            ز   ر   ن

مثال :
            6  2   1
المحدد : 5  4   2 = 6(-4-2)-2(-5-2)+1(5-4)=-21
            1  1  -1


░ وبصفة عامة ايجاد المحدد من الرتبة م×م░

نصنع نفس الخطوات السابقة، والإشارة فى كل
مرة تتغير يعنى : + ، - ، + ، - ، + ، ...... وهكذا

تعال عند اول عنصر فى الصف الأول ثم اضربه فى
محدد، لكن ما هو ؟؟ المحدد هو جميع عناصر
المحدد الأصلى فيما عدا الصف، العمود اللذان
ينتميا له هذه العنصر الذى اشرت اليه .. وهذا
هى الخاصية العامة لإيجاد اى محدد من الرتبة م×م


مثال على هذا : ايجاد المحدد من الرتبة 4×4
( عن طريق تحويله الى مجموع مضاعفات محددات
من الرتبة 3×3 ثم تحويل كل محدد من الرتبة 3×3
الى مجموع مضاعفات محددات من الرتبة 2×2
وهكذا الى ان توجد القيمة المحدد بالكامل .. لكن
ينصح اجراء بعض الإختصارات قبل ايجاد قيمته ..



3  2   -1   5
3  2   4    1
1  0   2    0
2  -4  6    2
       
         2 4 1        3 4 1          3 2 1       3 2  4
= 3 × 0 2 0 - 2× 1 2 0 +(-1)×1 2 0 -5× 1 0  2
        -4 6 2        2 6 2          2 -4 2      2 -4 6


ثم فك كل محدد من الدرجة الثالثة، ليظهر لك
قيمة المحدد من بالكامل من الدرجة الرابعة .

تابع القراءة

1 اوجد اكبر مساحة ممكنة للمستطيل الذى يتوسط مثلث متساوى الأضلاع

فرضنا ان طول ضلع المثلث المتساوى الساقين = أ


نفرض اننا اخذنا ضلع يوازى اى قاعدة فى المثلث
وليكن هذا الضلع هو ( م أ ) حيث م ثابت ، اقل من
الواحد الصحيح، واكبر من الصفر .. اى ان الضلع
الموازى للضاعدة يتناسب مع القاعدة كما فى
( مبرهنة طاليس ) ، وبناء عليه ينشأ مثلث آخر
صغير ( متساوى الأضلاع ايضاً كلاً ضلع من اضلاع
= م أ = طول المستطيل

(( لاحظ ان م هنا ثابت تعريفاً فقط، انما بتغير م
تتغير المساحة، بمعنى ان م ثابت فى حالة واحدة
فقط ( عندما نحصل على اكبر مساحة ممكن لهذا
المستطيل، انما لو ادخلنا (م) هذه فى دالة ما لأصبحت
متغير ، وتكون أ هى الثابت .. ارجو ان تكون هذه الخطوة
واضحة ..

الآن نوجد عرض المستطيل : فرضنا ان طول ضلع
المثلث المتساوى الاضلاع ( الصغير ) = م أ ، فيترتب
على ذلك ان بقية الضلع = أ - م أ
بما ان المثلث الاضلاع اذا ًكل زاوية من زواياه = 60 ْ
( انظر الرسم ) وبناء عليه يكون المثلث القائم فيه

عرض المستطيل = (أ - م أ) جا60

الآن مساحة المستطيل :

= م أ  جا60 × (أ - م أ )

نفرض ان مساحة المستطيل هى : د(م)

د(م) = م أ  جا60 × (أ - م أ )

(( لاحظ سنتعامل مع م هنا على انها متغير ))
 الى ان نأتى بـ (م) التى تحقق اكبر مساحة
ممكن للمستطيل، فتتحول م من متغير الى ثابت ))

د(م) = م أ  جا60 × (أ - م أ )

د(م) = أ² جا60 م  - أ² جا60 م²

نشتق لطرفين بالنسبة لـ م

دَ(م) = أ² جا60 - 2أ² جا60 م

وبمساواه المشتقة الأولى بصفر
لإيجاد لنقاط الحرجة ..

أ² جا60 - 2أ² جا60 م = 0

بقسمة الطرفين على أ ² جا60

1 - 2م = 0  ومنها -2م = -1

2م = 1  ومنها م = ½

اذاً عندما م = ½ هناك نقطة حرجة للدالة
الآن نختبر المشتقة الثانية للدالة عندما
م = ½

دً(م) = - 2أ² جا60

دً(½) =  - 2أ² جا60

بما ان المشتقة الثانية سالبة
عندما م = ½

اذاً عندما م = ½ قيمة عظمى مطلقة
وتحقق اكبر مساحة ممكنة للمستطيل
الذى يتوسط اى مثلث متساوى الأضلاع

اى انه عندما م = ½

طول المستطيل = م أ = ½ أ

عرض المستطيل = جا60 (أ - م أ)

= جا60 (أ - ½ أ )

= ½أ جا60

وبناء عليه تكون اكبر مساحة ممكنة
للمستطيل = ½أ × ½أ جا60

= ¼أ² جا60

rectangle+inside+triangle

طالع النسخة بالرموز الإنجليزية من هنا

تابع القراءة

3 اوجد تكامل جذر(1+جاس) دس

∫جذر(1+جاس) دس

نفرض ان : ط/2 - س = ص
ومنها س = ط/2 - ص

ط/2 - س = ص

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

-دس = دص ، ومنها دص = -دس

بالتعويض ..

∫جذر(1+جاس) دس

= -∫جذر(1+جا(ط/2 - ص) دص

= - ∫جذر(1+جتاص) دص

ولكن : المتطابقة : جتا²أ = ½(1+جتا2أ)

اذاً جتا²(ص/2) = ½(1+جتاص)

من خلال ذلك يتضح ان :

(1+جتاص) = 2جتا²(ص/2)  بالتعويض ..

- ∫جذر(1+جتاص) دص

= - ∫جذر(2جتا²(ص/2) دص

= -جذر(2) ∫جتا(ص/2) دص

= -جذر(2) ∫جتا(½ص) دص

= -2جذر(2) جا(½ص) دص

ولكن ص = ط/2 - س

بالتعويض .. نجد ان :

∫جذر(1+جاس) دس

= -2جذر(2) جا½(ط/2 - س) + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░


فكرة الحل  حتى تتضح للأعضاء، اردنا ان نتخلص
من الجذر التربيعى، عن طريق ايجاد متطابقة
لـ (1+جاس) تتضمن اس تربيعى، وكانت هى :

المتطابقة : جتا²س = ½(1+جتا2س)

ولكننا اردنا (1+جاس)

نضع بدلاً من س اعلاه فى المتطابقة ½س

جتا²(½س) = ½(1+جتاس)

اذاً تبقى لدينا تحويل جاس الى جتاس
نعلم ان : جاس = جتا(ط/2 - س)
ثم فرضنا ان :
                ط/2 - س = ص

(( ملحوظة : ليس ضرورياً ذلك فقط حتى لا يكون
شكل السؤال طول فى خطوات لحل ))

ومنها : جاس = جتاص

اذاً : جتا²(½ص) = ½(1+جتاص)

، ومنها : (1+جتاص) = 2جتا²(½ص)

لكننا فرضنا ان : ط/2 - س = ص
بمفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س ينتج

-دس = دص ، ومنها دس = -دص

بالتعويض بكل هذا فى التكامل ..

∫جذر(1+جاس) دس

= - ∫جذر(2جتا²(½ص) دص

= -جذر(2) ∫ جتا(½ص) دص

                                         تكامل الدالة
ولكن : تكامل الدالة المثلثية = ــــــــــــــــــــــــــ
                                         تفاضل الزاوية

اذاً :  -جذر(2) ∫ جتا(½ص) دص

= -2جذر(2) جا(½ص) + ث

ولكن : ص = ط/2 - س  بالتعويض
وأخيرا ً  :

= -2جذر(2) جا½(ط/2 - س) + ث

تابع القراءة

1 اثبات صحة مبرهنة (خط اويلر Euler's line )

Eluer's line 

تعلم ان متوسطات المثل تتلاقى فى نقطة
واحدة بنسبة 2 : 1 من جهة الرأس ، 1 : 2
من جهة القاعدة .. بالنظر الى المثلث ABC
، والذى فيه H نقطة تلاقى ارتفاعاته، G نقطة
تلاقى متوسطاته ( او مركز الثقل ) ، O مركز
الدائرة التى تحيط به .. فيه 'O A عامودى على
BC ( نصف القطر عامودى على الوتر وينصفه
فى اى دائرة ) ، وايضاً فيه AD عامودى على BC
من هنا يتضح ان OA' // AD  ، ومن التوازى يتحقق
ان : قياس الزاوية HAG = قياس الزاوية OA'G بالتبادل

فى تصورك : ان لم يكن H G O على استقامة واحدة
فإنهما يشكلان مثلث مثلاً ( وليست قطعة مستقيمة)
ولكن اذا اثبتنا ان الزاوية AGH = الزاوية A'GO فقد
اثبتنا بذلك ان كلاً من H,G,O على استقامة واحدة .. نكمل

تذكر نص نظرية ( متوسطات المثلث ) اعلاه، فإن
AA' يعتبر متوسط فى المثلث ABC لذلك :
AG = 2A'G  وبناء عليه يكون :
المثلث AHG يشابه المثلث A'OG
اذاً : AH = 2 A'O ، اذاً :AGH = الزاوية A'GO

قد تسأل، ولكن قد يكون : AGH = الزاوية A'GO
لأن OG // HG مثلاً، ولكن اذا تحقق هذا نكون بذلك
قد تعاملنا مع اربع نقاط وليس ثلاثة فقط، ومن خواص
التشابه قد تبين ان : الزاوية AGH = الزاوية A'GO
اذاً : كلاً من H,G,O على استقامة واحدة ..
ويسمى HGO بخط اويلر .


الجدير بالذكر انه اذا كان المثلث متساوى الأضلاع ..
فإن كلاً من H , G , O   يتطابقان ( اى يتحققان فى
نقطة واحدة، وهذه خاصية هامة يتميز بها المثلث
المتساوى الأضلاع )

تابع القراءة

0 اثبت ان : 8جا10جا50جا70=1

 الإثبات : اولاً نقوم بتحليل
جا10جا50جا70

لكن لا تنسى ان : جاس = جتا(90-س)
وان : 2جاس جتاس = جا2س

= جتا(90-70) جتا(90-50) جتا(90-10)

= جتا(20) جتا(40) جتا(80)

بنقوم بالضرب فى 2جا(20) ثم القسمة
عليها مرة أخرى ..

         1
= ـــــــــــــــــ [2جا(20) جتا(20) جتا(40) جتا(80)]
    2جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(40) جتا(40) جتا(80)]
   2جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [2جا(40) جتا(40) جتا(80)]
   4جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(80) جتا(80)]
   4جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [2جا(80) جتا(80)]
   8جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(160)]
   8جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(20)]
   8جا(20)

لأن جا(160) = جا(180 - 160) = جا(20)
جا( الزاوية ) = جا الزاوية المكملة لها .. تابع


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(20)]
   8جا(20)


اختصر جا(20) مع جا(20) يتبقى لك ⅛

وبضرب ⅛ × 8 = 1

وهو المطلوب ..

تابع القراءة

0 اوجد ∫ جذر(دص² + دس² )

∫ جذر(دص² + دس² )       نأخذ دس² مشترك يخرج من تحت الجذر بـ دس

                   دص
∫ دس جذر[( ـــــــــــــــ )² + 1 ]
                  دس

ولكن دص/دس  تعبر عن مشتقة الدالة  د(س)  اى انها تعبر عن دَ(س)

∫ جذر[دَ(س)² + 1 ] دس



وبوضع : دَ(س) = ظاهـ

وبفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س

دً(س) دس = قا²هـ دهـ

            قا²هـ دهـ
دس = ـــــــــــــــــــــ
              دً(س)

بالتعويض بكل هذا فى التكامل الأصلى ..

∫ جذر[دَ(س)² + 1 ] دس

                              قا²هـ
= ∫جذر(ظا²هـ + 1) × ــــــــــــ دهـ
                             دً(س)

ولكن : جذر(ظا²هـ + 1) = قاهـ


                              قا²هـ
= ∫جذر(ظا²هـ + 1) × ــــــــــــ دهـ
                             دً(س)

        1
= ـــــــــــــ ∫قا³هـ دهـ
     دً(س)

هذا التكامل ∫قا³هـ دهـ

= ½قاهـ ظاهـ +½ لط |قاهـ + ظاهـ| + ث

ولحل هذا التكامل ينبغى ايجاد دً(س)
بدلالة هـ .

للمزيد اضغط هنا

تابع القراءة

3 اوجد بعدى المستطيل الذى محيطه 60 م للحصول على اكبر مساحة ممكنة له ؟

تم حل هذه المسألة سابقاً بالقيم
العظمى المطلقة، واكبر مساحة لهذا
المستطيل هو عندما يكون مربعاً
اى الطول = العرض ، اذاً
ابعاد المستطيل = 60 ÷ 4 = 15

اذاً عندما الطول = العرض = 15 

░░░ وهذا الحل بالقيم العظمى المطلقة ░░░

محيط المستطيل = 2(س+ص)
هذا على فرض ان بعديه س،ص
نفرض ان محيط المستطيل = ح

ح = 2(س+ص)  ، ومنها

ح = 2س + 2ص   ثم 2ص = ح -2س
اذاً ص = ½ح - س

ولكن مساحة المستطيل = س ص

بالتعويض عن ص = ½ح - س

مساحة المستطيل = س (  ½ح - س )

نفرض ان مساحة المستطيل د(س)

د(س) = س (  ½ح - س )

ولكن : ح = 60  بالتعويض ...

د(س) = س ( 30 - س )

د(س) = -س² + 30س

بمفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س

دَ(س) = -2س + 30

نساوى المشتقة بصفر لإيجاد النقاط الحرجة للدالة

-2س + 30 = 0   ومنها

2س = 30   ثم س = 15

اذاً عند س = 15 هناك هنقطة حرجة للدالة

نختبر المشتقة الثانية ، وعوض عند س = 15

دً(س) = -2

اذاً دً(15) = -2   ايضاً لأن الدالة ثايتة

وطالما القيمة سالبة .. اذاً 15 قيمة عظمى مطلقة
وللتأكد عوض فى الدالة بـ س = 15

د(15) = -225 + 30 × 15

       = -225 + 450 = 225

اذاً : لكى نحصل على اكبر مساحة
عندما يكون الطول = العرض = 15 متر 

تابع القراءة

1 اسئلة منوعة، وبعض المحاولات فى طرق الحل ..

السؤال الاول : -
بفرض الحدودية :
د(س) = س^8+10س^6+35س^4+50س²+24

فإوجد : أ ، ب  بحيث يتحقق ..

د(س) = (س^4+أس²+2)(س^4+(أ+4)س²+ب)

الحل : نقوم بنشر :
(س^4+أس²+2)(س^4+(أ+4)س²+ب)

=س^8+(أ+4)س^6+ب س^4
+أس^6+أ(أ+4)س^4+أب س²
+2س^4+2(أ+4)س²+2ب

= س^8+(2أ+4)س^6+[(ب+2)+أ(أ+4)]س^4
+[أب+2(أ+4)]س²+2ب

من خلا ذلك يتضح ان :

(2أ+4) = 10      ..(1)

[(ب+2)+أ(أ+4)] = 35   ..(2)

[أب+2(أ+4)] = 50       ..(3)

2ب = 24                ..(4)

من (4) اذاً  : ب = 12

من(1) :(2أ+4) = 10      ..(1)

اذاً : 2أ = 6  ومنها أ = 3

للتحقق من صحة ذلك .. عوض هنا

س^8+(2أ+4)س^6+[(ب+2)+أ(أ+4)]س^4
+[أب+2(أ+4)]س²+2ب

= س^8+10س^6+35س^4+50س²+24


اذاً :  أ = 3   ،   ب = 12

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

السؤال الثانى تكملة للسؤال الأول:

د(س) = (س^4+أس²+2)(س^4+(أ+4)س²+ب)

وبوضع أ = 3  ، ب = 12

د(س) = (س^4+3س²+2)(س^4+7س²+12)

= (س²+1)(س²+2)(س²+3)(س²+4)

وهو المطلوب اثباته ..

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

السؤال الثالث : -

بدون حساب استنتج قيما العدد الفا ...
بحث يتحقق ..

د(الفا) = أ = 101 × 102 × 103 × 104


     104  
أ =    ل
         4    

أ = 101 × 102 × 103 × 104

نفرض ان : 100 = س

أ = (س+1)(س+2)(س+3)(س+4)

= (س²+3س+2)(س²+7س+12)

= س^4+7س³+12س²
+3س³+21س²+36س
+2س²+14س+24

= س^4+10س³+35س²+50س+24

وبوضع س = 100

أ = (100)^4 + 10(100)³ + 35(100)² + 50(100) + 24

= 10^8 + 10^7 + 35×10^4 + 50×10^2 + 24

= 10^7(10+1) + 5×10^2(7×10^2 + 10) + 24

= 11×10^7 + 5×10^2(710) + 24

= 11×10^7 + 355000 + 24

= 11×10^7 + 355024

= 110355024

تابع القراءة

0 بعض المسائل فى نظرية الأعداد، والإجابة عليها

السؤال الأول : -

اذا كان (ن+1) مربع كامل فإن :
(ن+1) = ك² ، حيث ك عدد طبيعى
ومنها نستنتج ان :

ن = ك² - 1   (( عبارة عن فرق مربعين ))
صورة أخر لـ ن هى : (ك-1) (ك+1)

فيكون بذلك : 14ن + 50

= 14(ك² - 1) + 50

= 14ك² - 14 + 50

= 14ك² + 36

= ك² + 13ك² + 36

هل تعلم ان اى عدد فردى ( مثل 13) يمكن
وضعه فى صورة مجاميع مربعات كاملة ؟؟
يعنى 13 = 9 + 4   ... تابع وصلنا عند :

= ك² + 13ك² + 36

= ك² + 4ك² + 9ك² + 36

= ك² + (2ك)² + (3ك)² + (6)²

( هـ . ط . ث )

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

السؤال الثانى :- بين ان :

          ن
جذر(ــــــــــــــــ)  عدد غير جذرى لكل ن غير منعدم .
        ن+1

لكى نثبت هذا ينبغى ان نثبت ان : كلاً من ن / ن+1
ليسوا مربع كامل .. وكان يمكن استعمال البرهان
بالخلف، لكنه لم طلب فى السؤال عدم البرهنة به .

يمكن بإستقراء على ن ، نفرض اولاً ان ن عدد صحيح
موجب ( لا يمكن ان تكون سالب ) لأننا بذلك سندخل
فى مجال الأعداد المركبة .. وبوضع ن = 1

         1               1
جذر(ــــــــــــ) = ــــــــــــــــ
         2          جذر(2)

بالفعل عدد غير جذرى .. نفرض ان ن مربع كامل
حيث ن = ك²

          ك²             ك
جذر(ـــــــــــــــ) = ـــــــــــــــــ
      ك² + 1      جذر(ك²+1)

ولكن : ك²+1 ليس مربع كامل
لأننا لا نستطيع وضعها على هذه الصورة
مثلاً : س² ( ممكن ان تثبت هذه الخطوة سريعاً )

نفرض ان : ن اى عدد صحيح ليس مربع كامل
وبهذا يكون البسط ( عدد صحيح ليس مربع كامل)
وبناء عليه العدد جذر(ن/(ن+1)) عدد غير جذرى
لكل ن = اى عدد صحيح موجب ..

نفرض ان ن عدد غير جذرى ( غير نسبى )
وليكن ن = جذر(ص) حيث ص ليست مربع كامل

       جذر(ص)
جذر(ـــــــــــــــــــــــ)
      جذر(ص)+1)

بما ان جذر(ص) عدد غير جذرى
لكل ص ليت مربع كامل اذاً العدد
جذر(ن/(ن+1)) عدد غير جذرى
لكل ن عدد غير جذرى ايضاً ..


وأخيراً نفرض ان ن عدد جذرى ( نسبى )

                                              أ
اذاً ن توضع على هذه الصورة : ن = ــــــــ
                                             ب

لكل  أ ، ب صحيحين ، ب لا تساوى الصفر ..

            أ/ب
جذر(ـــــــــــــــــــــــ)
         أ/ب + 1

لاحظ انها نفس الخطوات السابقة مع
الأعداد الصحيحة، مع اختلاف ان العدد
هنا ( كسرى ) بفرض ان كلا ً من أ ، ب
مربعين كاملين ، فيكون بذلك المقام ليس
مربع كامل .. وبناء عليه يتضح

                  ن
ان : جذر( ــــــــــــــــــ )
               ن+1

عدد غير جذرى، حيث ن لا يساوى الصفر .

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ 

 واخيراً اثبت ان العدد 1000001 غير اولى ..
بأخذ : جذر(1000001) = 1000.0005
اذا كانت العدد 1000001 يقبل القسمة
على اى عدد اولى محصور بين 2 الى 1000
فإنه بالطبع يكون عدد غير اولى ..
وبتجريب عدد غير اولى ( كبير نسبيا ) حيث ان
العدد الذى نريد اختباره كبير ايضاً، وليكن 101
وبقسمة 1000001 على 101 ينتج : 9901

اذاً 1000001 عدد غير اولى ..

تابع القراءة