ايجاد مساحة اى شكل منتظم عدد اضلاعه ن

ولنثبت صحة القانون
حيث اننا نأتى من مركز الشكل المنتظم، وكل ضلع
من اضلاعه يحمل مثلث متساوى الساقين، ونريد ان نوجد
مساحة هذا الشكل المنتظم بدلالة طول القاعدة، والإرتفاع
ولكن الأإرتفاع مجهول، لذلك وجب علينا ان نوجد الإرتفاع
بدلالة الزاوية ( هـ )  ، فنفرض ان طول حرفه س

مساحة المثلث = ½ طول القاعدة فى الإرتفاع

                   = ½ س × ع
                                                          ½ س
حيث ع اقصد به الإرتفاع ، ولكن  ظا(هـ/2) = ــــــــــــــــــ
                                                           ع

                   ½س
ومنها  ع = ـــــــــــــــــــــــ      بالتعويض
                ظا(هـ/2)

                                      ½س
مساحة المثلث = ½ س × ـــــــــــــــــــ
                                    ظا(هـ/2)
          س²
= ــــــــــــــــــــــــ
     4 ظا(هـ/2)

ولكن هذه مساحة مثلث واحد فقط ، اذاً مساحة اى شكل منتظم
عدد اضلاعه  ن ضلعاً

        ن س²
= ــــــــــــــــــــــــ
     4 ظا(هـ/2)

حيث هـ هى الزاوية بين اى ساقين، ويمكن ايجادها من خلال هذا القانون

                 180 (ن-2)

هـ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                       ن