1 اوجد اصغر عدد صحيح يحقق الشروط الآتية

اوجد اصغر عدد صحيح موجب الذى اذا قسم على 2
كان الباقى 3 واذا قسم على 5 كان الباقى 2 واذا قسم
على 3 كان الباقى 5 واذا قسم على 7 كان الباقى 11


ربما فهمت انك تقصد مبرهنة الباقى الصينية
نفرض ان العدد المراد هو x فيكون بذلك ..

  (1) ... x ≡ 3 (mod2)
x ≡ 2 (mod5) ... (2)
x ≡ 5 (mod3) ... (3)
x ≡ 11 (mod7) ... (4)

ll

لاحظ انه لا توجد عوامل مشتركة بين :
(2 ، 3) ، (5 ، 2) ، (3 ، 5) ، (7 ، 11)
، (3 ، 7)

 from (1) we find that x = 3+2r ... (5)
by substitution in (2)

3+2r ≡ 2 (mod5) ... (2)

2r ≡ -1 (mod5)
2r ≡ 4 (mod5)
r ≡ 2 (mod5)
r = 2 + 5s
by substitution in (5)
x = 3+2r ... (5)
x = 3+2(2+5s)
x = 3+4+10s
x=7+10s ... (6)
by substitution in (3)
x ≡ 5 (mod3) ... (3)

7+10s ≡ 5 (mod3) ... (3)
10s ≡ -2 (mod3)
10s ≡ 10 (mod3)
s ≡ 1 (mod3)
s = 1+3t
x=7+10s ... (6)
x = 7+10(1+3t)
x = 7+10+30t
x = 17+30t  ... (7)
by substitution in (4)
x ≡ 11 (mod7) ... (4)

17+30t ≡ 11 (mod7)
30t ≡ -6 (mod7)
30t ≡ 1 (mod7)
2t ≡ 1 (mod7)
2t ≡ 8 (mod7)
t ≡ 4 (mod7)
t = 4+7u
by substitution in (7)
x = 17+30t  ... (7)
x = 17+30(4+7u)
x = 17+120+210u
x = 137+210
x ≡ 137 (mod210)
ll

وهذا معناه ان اصغر عدد صحيح موجب
يحقق المطلوب هو  137

تابع القراءة

0 اوجد int (sin(x)+1)/cos(x)+1) dx

int (sin(x)+1)/cos(x)+1) dx
= - int  -sin(x)/(sox(x)+1) dx + int 1/(cos(x)+1) dx

= -ln|cos(x)+1| + int 1/(cos(x)+1) dx

but 1/(cos(x)+1) = 1/(2cos²(x/2)+1-1)

= 1/(2cos(x/2)) = ½sec²(x/2)

let  x/2 = u    then   dx = 2 du   by substitution ..

= -ln|cos(x)+1| + int sec²(u) du

= -ln|cos(x)+1| + tan(u) + c

but  u = x/2    by substitution to figure out ..

int (sin(x)+1)/cos(x)+1) dx = tan(x/2) - ln|cos(x)+1| + c‏

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

.
       جاس + 1
∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      جتاس + 1


          - جاس                          1
= -∫ ـــــــــــــــــــــ دس + ∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
       جتاس + 1                   جتاس + 1

التكامل الأول = - لط ( مقياس المقام )
والتكامل الثانى ،نقوم بفك جتاس

           1                          
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ½ جتا²(س/2)
2جتا²(س/2) - 1 + 1

= ½ قا²(س/2)   ثم نكامل بالتعويض ، وبفرض ان

         س                 دص          1
ص = ـــــــــــ   ، ومنها  ــــــــــ = ــــــــــ
         2                   دس         2

اى ان : دس = 2 دص ، بالتعويض ..

½∫ قا²(س/2) دس = ∫قا²(ص) دص

= ظاص    ولكن ص = س/2

اذاً قيمة التكامل الثانى = ظا(س/2)

بالعدوة الى التكامل الاصلى ....

       جاس + 1
∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      جتاس + 1

= ظا(س/2) - لط(جتاس + 1) + ث

تابع القراءة

0 اوجد تكامل 2س * [جاس]^4 دس

∫2س جا^4(س) دس

اولاً نفك المقدار جا^4(س)

جا^4(س) = [جا²س]²

= [½(1-جتا2س)]²

= [¼(1 - 2جتا2س + جتا²(2س)]

= [¼(1 - 2جتا2س + ½(1+جتا(4س)]

= ¼ - ½جتا2س + ⅛(1+جتا(4س)

= ¼ - ½جتا2س + ⅛ + ⅛جتا(4س)

= ⅜ - ½جتا2س + ⅛جتا(4س)

نقوم بضرب ذلك المقدار فى س ، فيصبح

= ⅜س - ½س جتا2س + ⅛س جتا(4س)

ويتضح من خلاله ان التكامل اعلاه ..
∫2س جا^4(س) دس =

2[⅜∫س دس - ½∫س جتا2س دس + ⅛∫س جتا(4س) دس ]

نأخذ كل تكامل على حدى .. اولاً
⅜∫س دس = 3\16 س²

التكامل الثانى :

- ½∫س جتا2س دس

نفرض ان : ف = س
اذاً : دف = دس
، وان : دق = جتا2س دس
بمكاملة الطرفين ..

ق = ½ جا2س ،، بالتعويض ..

- ½∫س جتا2س دس

= -½[½س جا2س - ½∫جا2س دس ]

=  -½[½س جا2س + ¼ جتا2س]

= -¼ س جتا2س - ⅛جتا2س

وأخيراً نوجد التكامل الأخير ..
⅛∫س جتا(4س) دس

نضع : ف = س ، ومنها دف = دس
دق = جتا(4س)دس ومنها ق =¼ جا(4س)

⅛∫س جتا(4س) دس

= ⅛[¼س جا(4س) - ¼ ∫جا(4س) دس]

= ⅛[¼س جا(4س) + (1\16)جتا(4س) ]

= (1\32) س جا(4س) + (1\128) جتا(4س)

اذاً التكاملا اعلاه .. ∫2س جا^4(س) دس

= 2[ 3\16 س² -¼ س جتا2س - ⅛جتا2س
+(1\32) س جا(4س) + (1\128) جتا(4س)] + ث

تابع القراءة

1 ما هو تكامل قا^ن (س) ؟

 التكامل يتم بالتجزىء اذاً كانت درجة الأس فردية
اما اذا كانت زوجية كما فى مثالك هذا ..

∫ قا^8(س) دس

= ∫ قا²س . (قا²س)³ دس

= ∫ قا²س . (1 + ظا²س)³ دس

استعمل نظرية ذات الحدين ..

= = ∫ قا²س . (1+3ظا²س+3ظا^4س+ظا^6(س) ) دس

نفرض ان ظاس = ص  نفاضل الطرفين بالنسبة  لـ س

دص                             دص
ــــــ = قا²س   اذاً دس = ـــــــــــ
دس                           قا²س

بالتعويض ...

∫ (1+3ص²+3ص^4+ص^6 ) دص

والتكامل عادى جداً ..

= ص + ص³ + 3\5 ص^5 + 1\7 ص^7  + ث

ولكن ص = ظاس  بالتعويض

= ظاس + ظا³س + 3\5 ظا^5س + 1\7 ظا^7س + ث

حيث ث ثابت التكامل .. اى ان الصيغة العامة اذا كانت
درجة الأس ( ن مثلاً زوجية )

∫ قا^ن(س) دس

= ∫قا²س . (1 + ظا²س)^(ن/2 - 1)

وبعذ ذلك تستعمل نظرية ذات الحدين، ثم
تكامل بالتعويض .... وهكذا
ويمكن اثبات ذلك بالإستقراء على ن  ..

 

مثال اذا كانت درجة ن فردية :

∫قا^5(س) دس

= ∫قا²س قا³س دس

نفرض ان : ف = قا³س  بمفاضلة الطرفين
بالنسبة لـ س

دف
ــــــ = 3قا³س ظاس
دس

اذاً : دف = 3قا²س ظاس دس

ونفرض ان : دق = قا²س دس بمكاملة الطرفين
بالنسبة لـ س

ق = ظاس

اذاً:

∫قا^5(س) دس

= قا³س ظاس - 3∫ظا²س قا³س دس


= قا³س ظاس - 3∫ قا³س ( قا²س - 1 )  دس

= قا³س ظاس - 3∫ (قا^5(س) - قا³س )  دس

= قا³س ظاس - 3∫ قا^5(س) دس + 3 ∫ قا³س  دس

ولكن ∫ قا^5(س) دس = التكامل الأصلى ..
نفرض انها = م

4م =  قا³س ظاس + 3 ∫ قا³س  دس

اذاً :

∫قا^5(س) دس

= ¼ (قا³س ظاس + 3 ∫ قا³س  دس )

كامل مرة أخرى قا³س

▓ ولتعميم تلك القاعدة على التكامل بالتجزىء فقط نفعل ما يلى ▓


∫قا^ن (س) دس

= ∫ قا²س . قا^(ن-2) (س) دس

نفذ نفس الخطوات السابقة ..
نفرض ان : ف = قا^(ن-2) (س)

 
اذاً : دف = (ن-2) قا^(ن-2) (س) ظا(س) دص

دق = قا²س دس  ومنها ق = ظاس

بالتعويض .. التكامل اصبح ...

قا^(ن-2) (س) ظاس - ∫ (ن-2) قا^(ن-2) (س) ظا²س دس

= قا^(ن-2) (س) ظاس -
(ن-2)∫ قا^(ن-2) (س) (قا²س - 1 ) دس

= قا^(ن-2) (س) ظاس -
(ن-2)∫ قا^ن (س) + (ن-2) ∫ قا^(ن-2) (س)  دس

= قا^(ن-2) (س) ظاس -
(ن-2)∫ قا^ن (س) دس
+ (ن-2)∫ قا^(ن-2) (س)  دس

نفرض ان التكامل الأصلى = م

م = قا^(ن-2) (س) ظاس
- (ن-2)∫ قا^(ن-2) (س)  دس

(ن-1) م = قا^(ن-2) (س) ظاس
+ (ن-2)∫ قا^(ن-2) (س)  دس

م = 1/(ن-1) قا^(ن-2) (س) . ظا(س)
+ (ن-2)/(ن-1)∫ قا^(ن-2) (س)  دس

 int sec^n(x)dx=1/(n-1) sec^(n-2)(x) tan(x) + (n-2)/(n-1)
∫ sec^(n-2) dx


ثم كرر نفس الخطوات السابقة اذا
تطلب الأمر تجزىء اكثر من مرة ..
وهذه هى الصيغة العامة لإجراء
اى تكامل على هذه الشاكلة

∫قا^ن (س) دس

تابع القراءة

0 ما هو تكامل 3س/(س² -2س + 5) دس ؟

.                3س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
         س² - 2س + 5

بأخذ 3 خارج التكامل، فيصبح :-

                س
3 ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
         س² - 2س + 5


بالضرب فى 2 ثم القسمة عليها مرة أخرى ..

  3                2س
ـــــــ  ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  2         س² - 2س + 5

بضرح 2 من البسط ثم جمعها مرة أخرى ..

  3              2س - 2 + 2
ـــــــ  ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  2         س² - 2س + 5

بتوزيع البسط على المقام ..

      3        2س - 2                            2
= ـــــــ [∫ـــــــــــــــــــــــــ دس +∫ـــــــــــــــــــــــــــــ دس ]
     2      س² - 2س + 5             س² - 2س + 5

لاحظ ان التكامل الأول يعتبر البسط مشتقة المقام
وقيمته = لط (س² - 2س + 5 )

                                       3
لاحظ معى : سأهمل مؤقتاً الـ ـــــــ المضروبة
                                       2
فى التكامل . وسأهمل ايضاً قيمة التكامل الأول
والذى = لط (س² - 2س + 5 )
فلا اريد تكرارهم فى الخطوات التالية، وسنركز فقط
على :
           2
∫ـــــــــــــــــــــــــــــ دس
  س² - 2س + 5


بالقسمة بسطاً ومقاماً على 4 ( لماذا ؟؟ حاول ان تبحث
عنها بنفسك حيث اننا نهدف الى صيغة بعينها )

                 ½
∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  1\4 س² - ½ س + 1\4  +  1

لاحظ ان المقدار :  1\4 س² - ½ س + 1\4
عبارة عن مربع كامل = (½س - ½)²

اذاً التكامل اعلاه اصبح : -

                 ½
∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
        (½س - ½)²  +  1

تماماً هى الصيغة التى نريدها وقيمة هذا التكامل
= الظل العكسى لـ للزاوية (½س - ½ )

نأتى الى التكامل من اوله.. اذاً

                 3س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
         س² - 2س + 5

     3                                   -1
= ـــــــ [لط|س² - 2س + 5| + ظا (½س - ½ )] + ث
     2

حيث لط هو ln بالإنجليزى ، او اللوغاريتم الطبيعى
وظا^-1  هو الظل العكسى ، ث هو ثابت التكامل

تابع القراءة

0 اوجد النهاية الآتية بدون استعمال قاعدة لوبيتال، او حتى منشور ماكلورين

                        جاس  -  س
      نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
     س ← 0            س^5

الحل : نفرض ان : س = 5ص  فعندما تؤول س الى الصفر فإن 5ص تؤول ايضاً الى اصلفر
ومنها نستنتج ان  ص تؤول الى الصفر ..

                    جا5ص   -  5ص
نهـــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص← 0         3125 ص^5

وبتطبيق المتطابقة  جا5ص = 16جا^5(ص) - 20جا³(ص) + 5جا(ص)
والإثبات على هذا الرابط

                     16جا^5(ص) - 20جا³(س) + 5جا(س) - 5ص    
= نهــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   ص← 0                     3125 ص^5

وبتوزيع البسط على المقام ( لكن بترتيب وهدف معين وضعناه فى الحسبان )
         

        16                       جاص                  4                      جاص            1                      جاص  - ص
= ـــــــــــــــــ  نهـــــــــــا (ـــــــــــــــــ )^5  - ــــــــــــــــــ نهـــــــــــا (ــــــــــــــ)³ + ـــــــــــ نهــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
      3125    ص←0      ص                 625 ص²  ص←0       ص          625   ص←0           ص


نلاحظ ان : جاص/ص = 1  عندما ص تؤول الى الصفر ، وايضاً نلاحظ الآتى:

                                     جاص  -  ص
المقدار :  نهــــــــــــــــا  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ يعكس تماما ً نفهوم النهاية الأصلية، لكن مع تغيير س الى ص فقط
             ص←0                  ص ^5               وبفرض ان النهاية الاصيلة = ن ، فإن هذا المقدار ايضاً  = ن

                            -4
وايضاً  نهـــــــــــا  ــــــــــــــــــــ = - ∞
         ص←0      625 ص²

من خلا ما سبق نستنتج ان :

             16                              1
ن =  ـــــــــــــــــــــ  = - ∞ + ـــــــــــــــــــــ  ن
           3125                          625

              1
ن ( 1 - ــــــــــــ ) = - ∞
            625

وهذا معناه ان  ن  ايضاً  = - ∞


اذاً :                  جاس  -  س
      نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = - ∞
      س ← 0          س^5

تابع القراءة

0 اثبت ان جا(5س) = 16جا^5(س) - 20جا³(س) + 5جا(س)

يعتمد الإثبات فى الأساس على قانون مجموع زاويتين لدالة الجيب، وايضاً قانون ضعف الزاوية
والقانون :  جتا²س = 1 - جا²س ،  ... الخ

جا(5س) = جا(4س+س) = جا4س جتاس + جتا4س جاس

= 2جا2س جتا2س جتاس + جتا4س جاس

 = 2جاس جتا²س جتا2س + جاس (جتا²(2س) - جا²(2س) )

= 4جاس جتا²س [1 - 2جا²س] + جاس [(1 - 2جا²س )² - 4جا²س جتا²س]

= 4 جاس ( 1 - جا²س) (1 - 2جا²س) + جاس [ 1 - 4جا²س  + 4جا^4(س) - 4جا²س (1 - جا²س) ]

= 4 جاس [2جا^4(س) - 3جا²س + 1 ]  + جاس [ 1 - 4جا²س + 4جا^4(س) - 4جا²س + 4جا^4(س) ]

= 8جا^5(س) - 12جا³س + 4جاس + جاس ( 8جا^4(س) - 8جا²س + 1)

= 8جا^5(س) - 12جا³س + 4جاس +  8جا^5(س) - 8جا³س + جاس

= 16جا^5(س) - 20جا³(س) + 5جا(س)

تابع القراءة

0 اوجد العدد جـ²(أ+ب) اذا علمت ان ....

بفرض ان أ ، ب ، جـ ثلاثة اعداد حقيقية مثنى تحقق أ² (ب+جـ) = ب² (أ+جـ) = 2009
فإن العدد جـ² (أ+ب) = ؟؟

الحل :
أ² (ب+جـ) = 2009   اذاً   أ² ب + أ² جـ = 2009                     (1)
ب² (أ+جـ) = 2009   اذاً   أ ب² + ب² جـ = 2009                    (2)

بضرب (1) فى ب  ،  وضرب (2) فى أ  فينتج لدينا نظامين، وهما

أ² ب² + أ² ب جـ = 2009 ب                  (3)
أ² ب² + أ ب² جـ = 2009 أ                    (4)

ـــــــــــــــــ بطرح (3) ، (4) ـــــــــــــــــــــــــ

أ² ب جـ - أ ب² جـ = 2009ب - 2009 أ      ومنها نحصل على

أ ب جـ ( أ - ب ) = 2009 ( ب - أ )         اى ان :

أ ب جـ ( أ - ب ) = - 2009 ( أ - ب )      بقسمة الطرفين على ( أ - ب ) فنحصل على

أ ب جـ = - 2009                                (5)

بعد ان حصلنا على معادلة (5) نقوم بجمعها مع معادلة (1)

أ² ب + أ² جـ = 2009                     (1)
أ ب جـ = - 2009                           (5)

ــــــــــــــــــ بالجمع ــــــــــــــــــــــــــــــــ

أ² ب + أ² جـ + أ ب جـ = 0      بقسمة الطرفين على أ

أب + أجـ + ب جـ = 0      اذاً  جـ (أ+ب) + أ ب = 0

ثم :    جـ (أ+ب) = - أ ب          بضرب الطرفين فى  جـ

جـ² (أ+ب) = - أ ب جـ      ولكن : أ ب جـ = - 2009         (5)

اى ان : - أ ب جـ = 2009

اذاً  :  جـ² (أ+ب) = 2009

تابع القراءة