ما هو تكامل 3س/(س² -2س + 5) دس ؟

.                3س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
         س² - 2س + 5

بأخذ 3 خارج التكامل، فيصبح :-

                س
3 ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
         س² - 2س + 5


بالضرب فى 2 ثم القسمة عليها مرة أخرى ..

  3                2س
ـــــــ  ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  2         س² - 2س + 5

بضرح 2 من البسط ثم جمعها مرة أخرى ..

  3              2س - 2 + 2
ـــــــ  ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  2         س² - 2س + 5

بتوزيع البسط على المقام ..

      3        2س - 2                            2
= ـــــــ [∫ـــــــــــــــــــــــــ دس +∫ـــــــــــــــــــــــــــــ دس ]
     2      س² - 2س + 5             س² - 2س + 5

لاحظ ان التكامل الأول يعتبر البسط مشتقة المقام
وقيمته = لط (س² - 2س + 5 )

                                       3
لاحظ معى : سأهمل مؤقتاً الـ ـــــــ المضروبة
                                       2
فى التكامل . وسأهمل ايضاً قيمة التكامل الأول
والذى = لط (س² - 2س + 5 )
فلا اريد تكرارهم فى الخطوات التالية، وسنركز فقط
على :
           2
∫ـــــــــــــــــــــــــــــ دس
  س² - 2س + 5


بالقسمة بسطاً ومقاماً على 4 ( لماذا ؟؟ حاول ان تبحث
عنها بنفسك حيث اننا نهدف الى صيغة بعينها )

                 ½
∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  1\4 س² - ½ س + 1\4  +  1

لاحظ ان المقدار :  1\4 س² - ½ س + 1\4
عبارة عن مربع كامل = (½س - ½)²

اذاً التكامل اعلاه اصبح : -

                 ½
∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
        (½س - ½)²  +  1

تماماً هى الصيغة التى نريدها وقيمة هذا التكامل
= الظل العكسى لـ للزاوية (½س - ½ )

نأتى الى التكامل من اوله.. اذاً

                 3س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
         س² - 2س + 5

     3                                   -1
= ـــــــ [لط|س² - 2س + 5| + ظا (½س - ½ )] + ث
     2

حيث لط هو ln بالإنجليزى ، او اللوغاريتم الطبيعى
وظا^-1  هو الظل العكسى ، ث هو ثابت التكامل