اوجد int (sin(x)+1)/cos(x)+1) dx

int (sin(x)+1)/cos(x)+1) dx
= - int  -sin(x)/(sox(x)+1) dx + int 1/(cos(x)+1) dx

= -ln|cos(x)+1| + int 1/(cos(x)+1) dx

but 1/(cos(x)+1) = 1/(2cos²(x/2)+1-1)

= 1/(2cos(x/2)) = ½sec²(x/2)

let  x/2 = u    then   dx = 2 du   by substitution ..

= -ln|cos(x)+1| + int sec²(u) du

= -ln|cos(x)+1| + tan(u) + c

but  u = x/2    by substitution to figure out ..

int (sin(x)+1)/cos(x)+1) dx = tan(x/2) - ln|cos(x)+1| + c‏

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

.
       جاس + 1
∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      جتاس + 1


          - جاس                          1
= -∫ ـــــــــــــــــــــ دس + ∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
       جتاس + 1                   جتاس + 1

التكامل الأول = - لط ( مقياس المقام )
والتكامل الثانى ،نقوم بفك جتاس

           1                          
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ½ جتا²(س/2)
2جتا²(س/2) - 1 + 1

= ½ قا²(س/2)   ثم نكامل بالتعويض ، وبفرض ان

         س                 دص          1
ص = ـــــــــــ   ، ومنها  ــــــــــ = ــــــــــ
         2                   دس         2

اى ان : دس = 2 دص ، بالتعويض ..

½∫ قا²(س/2) دس = ∫قا²(ص) دص

= ظاص    ولكن ص = س/2

اذاً قيمة التكامل الثانى = ظا(س/2)

بالعدوة الى التكامل الاصلى ....

       جاس + 1
∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      جتاس + 1

= ظا(س/2) - لط(جتاس + 1) + ث