اوجد اصغر عدد صحيح يحقق الشروط الآتية

اوجد اصغر عدد صحيح موجب الذى اذا قسم على 2
كان الباقى 3 واذا قسم على 5 كان الباقى 2 واذا قسم
على 3 كان الباقى 5 واذا قسم على 7 كان الباقى 11


ربما فهمت انك تقصد مبرهنة الباقى الصينية
نفرض ان العدد المراد هو x فيكون بذلك ..

  (1) ... x ≡ 3 (mod2)
x ≡ 2 (mod5) ... (2)
x ≡ 5 (mod3) ... (3)
x ≡ 11 (mod7) ... (4)

ll

لاحظ انه لا توجد عوامل مشتركة بين :
(2 ، 3) ، (5 ، 2) ، (3 ، 5) ، (7 ، 11)
، (3 ، 7)

 from (1) we find that x = 3+2r ... (5)
by substitution in (2)

3+2r ≡ 2 (mod5) ... (2)

2r ≡ -1 (mod5)
2r ≡ 4 (mod5)
r ≡ 2 (mod5)
r = 2 + 5s
by substitution in (5)
x = 3+2r ... (5)
x = 3+2(2+5s)
x = 3+4+10s
x=7+10s ... (6)
by substitution in (3)
x ≡ 5 (mod3) ... (3)

7+10s ≡ 5 (mod3) ... (3)
10s ≡ -2 (mod3)
10s ≡ 10 (mod3)
s ≡ 1 (mod3)
s = 1+3t
x=7+10s ... (6)
x = 7+10(1+3t)
x = 7+10+30t
x = 17+30t  ... (7)
by substitution in (4)
x ≡ 11 (mod7) ... (4)

17+30t ≡ 11 (mod7)
30t ≡ -6 (mod7)
30t ≡ 1 (mod7)
2t ≡ 1 (mod7)
2t ≡ 8 (mod7)
t ≡ 4 (mod7)
t = 4+7u
by substitution in (7)
x = 17+30t  ... (7)
x = 17+30(4+7u)
x = 17+120+210u
x = 137+210
x ≡ 137 (mod210)
ll

وهذا معناه ان اصغر عدد صحيح موجب
يحقق المطلوب هو  137