اثبت ان جا(5س) = 16جا^5(س) - 20جا³(س) + 5جا(س)

يعتمد الإثبات فى الأساس على قانون مجموع زاويتين لدالة الجيب، وايضاً قانون ضعف الزاوية
والقانون :  جتا²س = 1 - جا²س ،  ... الخ

جا(5س) = جا(4س+س) = جا4س جتاس + جتا4س جاس

= 2جا2س جتا2س جتاس + جتا4س جاس

 = 2جاس جتا²س جتا2س + جاس (جتا²(2س) - جا²(2س) )

= 4جاس جتا²س [1 - 2جا²س] + جاس [(1 - 2جا²س )² - 4جا²س جتا²س]

= 4 جاس ( 1 - جا²س) (1 - 2جا²س) + جاس [ 1 - 4جا²س  + 4جا^4(س) - 4جا²س (1 - جا²س) ]

= 4 جاس [2جا^4(س) - 3جا²س + 1 ]  + جاس [ 1 - 4جا²س + 4جا^4(س) - 4جا²س + 4جا^4(س) ]

= 8جا^5(س) - 12جا³س + 4جاس + جاس ( 8جا^4(س) - 8جا²س + 1)

= 8جا^5(س) - 12جا³س + 4جاس +  8جا^5(س) - 8جا³س + جاس

= 16جا^5(س) - 20جا³(س) + 5جا(س)