7 اثبت ان عدد المجموعات الجزئية لأى مجموعة عدد عناصرها ن هو 2^ن

اعتقد ان هذا شىء أساسى فى المجموعات .

عدد جميع المجموعات الجزئية لأى مجموعة عدد عناصرها ن هو 2^ن

مثال : لتكن المجموعة س = {1 ، 2 ، 3}

ولتكن ج = اتحاد جميع مجموعات س الجزئية .

ج = {

{} , {1} , {2} , {3} , {1 ، 2} , {1 ، 3} , {2 ، 3} , {1 ، 2 ، 3}

}

حيث {} تعنى المجموعة الخالية .

بالإستقراء الرياضى : لتكن س هى المجموعة الخالية اذاً هى تحتوى
على عنصر واحد وعدد عناصراً صفر، ولذلك فإن  2^0 = 1 وهذا يعنى
ان العلاقة صحيحة، كذا ايضاً اذا كان عدد عناصر المجموعة عنصر واحد
فقط فإن عدد المجموعات الجزئية = 2^1 = 2 وهذا صحيح .

وفى الحقيقة قد جربت الإثبات بنفسى سابقاً (اى انى لم اتقيد بإثبات معين)

وكان كالتالى ...

ليكن عدد عناصر المجموعة هو ن فإنه المجموعة الخالية تنتمى لأى
مجموعة، وبذلك نستطيع ان نرمز لها بالرمز (صفر ، ليس كعدد وانما كرمز)

0  ====> ن ق 0

1 ====> ن ق 1

ما معنى ن ق 1  ؟

ن ق 1 = ن  = عدد جميع المجموعات الجزئية التى تتألف من عنصر واحد ..
وهكذا فإنك اذا ما تابعت الحلقة بإستمرار تجد اننا نتحدث عن عوامل ذات الحدين .

0  ====> ن ق 0

1 ====> ن ق 1

2 ====> ن ق 2

3 ====> ن ق 3
.
.
.
ن ====> ن ق ن

اذاً : (ن ق 0) + (ن ق 1) + (ن ق 2) + .... + (ن ق ن) = 2^ن

والإثبات من نظرية ذات الحدين نفسها ...

                                       ن     ن
النظرية هى : (س + أ)^ن = سيجما   ق أ^ر س^(ن-ر)
                                     ر=0        ر

بوضع س = أ = 1  للطرفين ...

                    ن     ن
(1 + 1)^ن = سيجما  ق 1^ر × 1^(ن-ر)
                   ر=0      ر

         ن    ن
اذاً : سيجما   ق  = 2^ن       وهو المطلوب اثباته .
       ر=0       ر

اذاً : عدد المجموعات الجزئية لأى مجموعة منتهية عدد عناصرها ن هو 2^ن .

ولكى نثبت ما سبق بالإستقراء الرياضى يجب ان نتعرف على مفهوم هام جداً وهو
اذا كان لدينا مجموعتين س ، ص وكان عدد عناصر س هو ن وعدد عناصر ص هو م
فإن عدد جميع المجموعات التى تتكون من عنصرين فقط من المجموعتين س ، ص
تتلخص فى القانون س × ص = ن × م


فإذا قولنا أن المجموعة س = {أ ، ب ، جـ}  وكانت عندنا مجموعة اخرى

ص = {ع ، غ}

فإن : س × ص = { {أ ، ع} , {أ ، غ} , {ب ، ع} , {ب ، غ} , {جـ ، ع} , {جـ ، غ}

}

وهم عبارة عن 6 عناصر كل عنصر عبارة عن مجموعة مكون من عنصرين ...
نظراً لأن كل عنصر من عناصر المجموعة س يقابله عنصرين من المجموعة ص .
او العكس يمكن ان نقول كل عنصر من عناصر المجموعة ص يقابلة ثلاث عناصر
من المجموعة س ... وهذا كافى لتكوين جميع المجموعات المكونة من عنصرين ...

فإذا عودنا الى مثال حى مما ذكرناه سابقاً :-

ليكن

ج = {

{} , {1} , {2} , {3} , {1 ، 2} , {1 ، 3} , {2 ، 3} , {1 ، 2 ، 3}

}

ج َ = { {} , {4} }

ج × جَ = {

{} , {1} , {2} , {3} , {1 ، 2} , {1 ، 3} , {2 ، 3} , {1 ، 2 ، 3} ,
{4} , {1 ، 4} , {2 ، 4} , {3 ، 4} , {1 ، 2 ، 4} , {1 ، 3 ، 4} , {2 ، 3 ، 4} ,
{1 ، 2 ، 3 ، 4}

}

اذاً مفهوم عدد عناصر المجموعة التالية هو 2× عدد عناصر المجموعة الجزئية السابقة لها

وبناء على هذه المفاهيم الأساسية : نقول العلاقة 2^ن من أجل ن = 0 ، ن = 1 صحيحة ايضاً
ويمكن تجربتها بأكثر من ذلك ان شئت، ثم نفرض صحتها عندما ن=ك  ، والآن عدد عناصر المجموعة
الجزئية التى تليها تتحد بالآتى ..

لتكن عدد المجموعات الجزئية للمجموعة س هو 2^ك  حيث ك عدد طبيعى .
الآن لإيجاد المجموعة التى تليها ما علينا سوى ضربها فى مجموعة ص تتكون
من عنصر وحيد أ  فتكون مجموعاتها الجزئية { {} , {أ} }

عدد المجموعات الجزئية للمجموعة س = 2^ك
وعدد العناصر الجزئية للمجموعة ص = 2

اذاً عدد عناصر المجموعة الجديدة = س×ص = 2 × 2^ك = 2^(ك+1)

اذاً العلاقة صحيحة ...

تابع القراءة

8 أوجد الحد التالى للمتابعة 1 ، 2 ، 4 ، 7 ، 11 ، .....

من خلال تتبع حالات الحدود الأولى ومقارنتها بسابقيها نلاحظ الآتى :


الحد الأول = 1                (فرضاً كحد ابتدائى)

الحد الثانى = 1 + 1

الحد الثالث = 2 + 2

الحد الرابع = 4 + 3

الحد الخامس = 7 + 4

الحد السادس = 11 + 5 = 16

بإختصار : الحد = قيمة الحد السابق له + رتبته

او نقول الحد العام هو : ح(ن) = ح(ن-1) + (ن-1)

المتتابعة هى : 1 ، 2 ، 4 ، 7 ، 11 ، 16 ، ...

الى هنا سؤالك انتهى، ولكن ماذا لو كنا نرغب فى ايجاد الحد المائة مثلاً؟
هل تنظل نتبع جميع الحدود الى ان نصل الى الحد الذى رتبته 99 ؟
بالطبع هذا شىء ممل ومتعب، لذلك اقترح عليك اتباع الطريقة الآتية .

ح(1) = 1           (شرط بدئى)

بما أن : الحد = الحد السابق له + رتبته     اذاً

ح(ن) = ح(ن-1) + (ن-1)

= ح(ن-2)+(ن-2)+(ن-1)

= ح(ن-3)+(ن-3)+(ن-2)+(ن-1)

= ح(ن-4)+(ن-4)+(ن-3)+(ن-2)+(ن-1)
.
.
.
= ح(1) + 1 + 2 + 3 + ...... + (ن-4)+(ن-3)+(ن-2)+(ن-1)

= 1 + 1 + 2 + 3 + ........ + (ن-1)

نلاحظ انها = 1 + مجموع متتابعة حسابية حدها الأول 1 واساسها 1
وحدها الأخير (ن-1) .

         ن (ن-1)      
= 1 + ــــــــــــــــ
             2
                        ن(ن-1)
اذاً : ح(ن) = 1  + ــــــــــــــــ
                            2

                         6 (6 - 1)
مثال : ح(6) = 1 + ــــــــــــــــــــ = 16
                             2

                     100 × 99
ح(100) = 1 + ــــــــــــــــــــــ = 4951
                         2

                       1000 × 999
ح(1000) = 1 + ـــــــــــــــــــــــــــ = 499501
                             2

تابع القراءة

0 ص = س^4 +6س^3+11س^2+6س فإثبت انه من مضاعفات العدد 24 من أجل س عدد طبيعى .

ص = س^4 + 6س³ + 11س² + 6س بأخذ س عامل مشترك ..

ص = س(س³ + 6س² + 11س + 6)

بتعميل حدود المعادلة (بالتقسيم)

ص = س(س³ + 1 + 6س² + 11س + 5)

ص = س[(س+1) (س² - س + 1) + (6س+5) (س+1)]

بأخذ (س+1) عامل مشترك ...

ص = س(س+1) [س² - س + 1 + 6س + 5]

ص = س(س+1) (س² + 5س + 6)

ص = س(س+1) (س+2)(س+3)

ولكن س عدد طبيعى ، والعلاقة س(س+1) (س+2)(س+3)
هى تعبير عن حاصل ضرب اربعة  أعداد طبيعية متتالية، اذاً تقبل
القسمة على مضروب الأربعة 4!  اى انها تقبل القسمة على 24 .

نقول أن : ن ل 4  تقبل القسمة على مضروب الأربعة .

(ان وجدت طريقة أخرى سأضعها)

..........................................................................................................

** وهذه محاولة جادة لإثبات الحصول على الطريقة **

لاحظ العلاقة : س(س+1) (س+2)(س+3)

تعنى حاصل ضرب 4 أعداد طبيعية متتالية .

لنفرض أن العدد الأخير فى هذه الأعداد الأربعة هو ن .

اذاً العلاقة السابقة تكافىء ..

ن(ن - 1)(ن - 2) ( ن - 3) = ن ل 4

او تقرأ ن تباديل 4

                          ن!                ن!
ولكن :  ن ل 4 = ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ
                       (ن - 4)!        (ن - 4)!


     ن(ن-1)(ن-2) .... × 4 × 3 × 2 × 1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                     (ن - 4)!

ولكن أفضل اثباتها بالإستقراء على ن بحيث ن عدد طبيعى أكبر من او يساوى 4

الآن من أجل ن = 4  فإن 4 ل 4 = 4! = 24 الآن نفرض أن العلاقة صحيحة من أجل

                 ك              ك!
ن = ك   اذاً     ل  = ـــــــــــــــــــــ = 4! م
                     4       (ك - 4)!

حيث م عدد طبيعى ما لا نعرفه (ليس شرط الترتيب هنا) ..
والآن نثبت ان العبارة صحيحة من أجل ن = ك+1

اى لابد ان نثبت أن :

(ك+1)             (ك+1)!
      ل  = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
        4         [(ك+1) - 4]!

السؤال كيف نحصل على ك+1 ؟  عن طريقة ضرب الطرفين فى ك+1 ومن
ثم قسمة الطرفين على (ك - 3)   ... اعلم ان هذه الخطوة غير واضحة .

سأعطى مثالاً للتوضيح : اذا قولنا 8 ل 4 = 8 × 7 × 6 × 5
ونريد ان نحصل على 9 ل 4 من خلالها .. ما الذى نفعله ؟
كل ما الأمر انك تضرب 8 ل 4 فى 9 ومن ثم تقسم على 5
فيكون : 9 ل 4 = 9 × 8 × 7 × 6

ليكن 8 هى ك  اذاً  9 هى ك+1

وطالما ان 8 هى ك  اذاً  ك
                              ل = ك(ك-1)(ك-2)(ك-3)
                                4

اى ان الحد الأخير الذى قسمنا عليه هو  (ك - 3)

بعد هذا التوضيح نقول (بضرب الطرفين فى (ك+1) ومن ثم القسمة على (ك-3)


ك
ل × (ك+1)
 4                       (ك+1)  ك!                    (ك+1)
ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ = 4!م×ــــــــــــــــ
   (ك - 3)            (ك-3)   (ك - 4)!               (ك-3)


(ك+1)          (ك+1)!              (ك+1)!                  (ك+1)
      ل  = ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = 4!م×ـــــــــــــــ
        4         (ك-3)!           [(ك+1) - 4]!              (ك-3)


                             (ك+1)
ولكن بالفعل :  4!م × ــــــــــــــــــ من مضاعفات العدد 4! = 24
                             (ك-3)

                        ك+1
ولكن هل فعلاً :م× ــــــــــ عدد طبيعى  من أجل ك = {4 ، 5 ، 6 ، .....}  ؟
                        ك-3

اما م فهو عدد طبيعى ....

هذا هو اساس البرهان، وهذا ما سنعتمد عليه ... اذا وضعت ك=4

م( 4 + 1)                                          م(5 + 1)                          
ــــــــــــــــــ = 5م  واذا وضعت ك = 5  فإن : ـــــــــــــــــ = 3م
   4 - 3                                                5 - 3

وكلاً من 5م ، 3م أعداد طبيعية ... ضع ك = 6  

م(6 + 1)        7م
ــــــــــــــــ = ــــــــــــ  كما تلاحظ هنا فلا نقول ان 7م على 3 عدد غير طبيعى
  6 - 3            3

لأن م عدد طبيعى (يحقق شروط معينة، وليس اى عدد طبيعى)

لذلك دعك من كل ما سبق (أى احد يقرأ هذا الكلام ووصل لنتيجة يكتبها
ولا يبخل علينا ...)

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
واليك عزيزى الطريقة المبسطة التى وعدتك بها وتتلخص فى الآتى

حاصل ضرب اربعة أعداد متتالية يقبل القسمة على 4 (حقيقة)

وهذا لأن بواقى العدد 4 محصورة فى المجموعة {1 ، 2 ، 3}
فإن لم يقبل العدد الأول فالثانى، وان لم يقبل الثانى فالثالث، وان
لم يقبل الثالث فلابد ان يقبل العدد الرابع على 4 .

مثال : 9 × 8 × 7 × 6

تجد أن الأول 9 لا يقبل القسمة على 4
لكن الثانى 8 يقبل القسمة على 4  وهكذا ...

اذاً : لا شك ان حاصل ضرب اربع أعداد طبيعية متتالية يقبل القسمة على 4

الآن : 4! = 24 = 4 × 6  اذاً بقى لنا ان نثبت ان العدد يقبل القسمة على 6

ولكن ما هى الـ 6 ؟   6 = 3 × 2

لنفترض الآن ان حدث وقوع عدد يقبل القسمة على 4 قد وقع بالفعل
(قد يكون الأول - الثانى - الثانى - الرابع) اى ً منهم قد وقع الإختيار
عليه انه يقبل القسمة على 4 يتبقى لدينا ثلاثة أعداد لابد ان احدهم
يقبل القسمة على 3 ، ثم يتبقى لدينا عددين لا بد اون احدهما يقبل
القسمة على 2 .

اذاً العدد يقبل القسمة على 4 × 3 × 2 × 1 = 24 = 4!

ولكى اوضح المسألة أكثر نقول : حاصل ضرب أى أعداد طبيعية متالية عددها ن
تقبل القسمة ن ، ولكنها تقبل القسمة على ن - 1 ايضاً وتقبل القسمة على  ن - 2
و ن - 3  ... وهكذا الى ان ننتهى عند العدد 1 .

مثال : اذا قولنا ان حاصل ضرب ثلاثة أعداد طبيعية متتالية يقبل القسمة على 3 (حقيقة)

اذاً حاصل ضرب اربعة أعداد طبيعية متتالية يقبل القسمة على 3 ايضاً (غير قبول القسمة على 4)

لماذا ؟ لأن حاصل ضرب اربعة أعداد طبيعية متتالية تعنى اننا قد حصلنا بالفعل على ثلاثة
أعداد طبيعية متتالية، وتعنى ايضاً بالفعل اننا قد حصلنا على عددين متتاليين .. والمسألة
اصحبت هكذا أكثر وضوحاً .( وهى تشبه تكرار خوارزمية ما)


الإستنتاج الأخير : حاصل ضرب مجموعة أعداد طبيعية متتالية عدد عناصر ن
تقبل القسمة على ن!  .

.................................................................................................

يوجد اثبات آخر مباشر وهو :

                          ن!              
ولكن :  ن ل 4 = ــــــــــــــــــ  بقسمة الطرفين على 4!
                      (ن - 4)!      

       ن ل 4                 ن!               ن
= ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ =    ق
         4!                (ن - 4)! 4!            4

وهذا يتطلب منك ان تثبت ان التوافيق لأعداد طبيعيى تعطى عدد طبيعى دائماً

والمعنى انه عند قسمة ن ل 4  على مضروب 4 اعطتنا ن ق 4 والذى هو عدد
طبيعى اذاً ن ل 4 قبل القسمة على 4! لأن خارج القسمة كان عدد طبيعى وهو
ن ق 4 .

ولكن يبقى من وجهة نظرى البرهان (المبسط) الذى قدمته دليل يثبت
ان التوافيق دائماً عدد طبيعى (التى على الشكل ن ق ر) حيث كلاً من
ن ، ر أعداد الطبيعية ، ن أكبر من او تساوى ر  .

تابع القراءة

0 اوجد مشتقة جا^-1(س) بإستخدام التعريف سَ = (صَ)^-1

ابدأ معك من اى دالة بصفة عامة (لأنى الاحظ ان هذا ما تقصده)

نفرض د : دالة د(س) لها دالة عكسية وهى د^-1(س) اذاً هذا شرط
اساسى ان تكون للدالة نظير الدالة (او الدالة العكسية)

مثال سريع ...

ص = هـ^س   ومنها صَ = هـ^س

س = لوص      ومنها  سَ = 1/ص

ويمكن ايجاد س َ بطريقة أخرى ..... وهذا ما اوردته ..

                           1              1
سَ =  (صَ)^-1 = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــ
                       هـ^س          ص

بتطبيق هذه الخطوة على الدوال المثلثية والزائدية بحكم انها قابلة
لأن تكون لها دالة عكسية ..

مثال : د(س) = جاس     او  :  ص = جاس   كتابة أخرى

اذاً  صَ = جتاس  ، والآن ايجاد مشتقة الدالة العكسية يعنى بالأمر

اننا نريد سَ  .

             1                    1
سَ = ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
           (صَ)            (جتاس)

وهنا لابد من تحويل جتاس الى جاس لأن الدالة الأساسية هى جاس .

 
             1                          1
= ـــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ
    جذر(1 - جا²س)         جذر( 1 - ص²)

وطبعاً س ، او ص او ع .. كلها رموز اعتباطية .. يعنى بصفة عامة

اذا كانت الدالة هى : د(س) = جا^-1(س)  فإن

                       1
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ
             جذر( 1 - س²)

وهذه وجهة نظرى فى اثبات الطريقة، بدأت معك بإشتقاق دالة الأس
الطبيعى، لأن اى دالة تستطيع وضعها فى صورة دالة الأس الطبيعى .

مثال : د(س) = 2^س  هى نفسها د(س) = هـ^لط(2^س)

بإختصار كل دالة   ص = هـ^لط(د(س))

الآن نشتق الطرفين بالنسبة لـ ص

      دَ(س)
1 = ـــــــــــــ × هـ^(لط(د(س)) × سَ
     د(س)

ولكن د(س) = هـ^(لط(د(س)) = ص  بالتعويض ...

      دَ(س)
1 = ـــــــــــــ × ص × سَ
       ص
                                                  1
اذاً : دَ(س) × سَ = 1   ومنها  سَ =  ـــــــــــ
                                              دَ(س)

او بإختصار نقول : سَ = (صَ)^-1

.....................................................................................................
مثال على مشتقة  ص = جازس  (اى الجيب الزائدى)

ويمكن كتابتها بالطريقة : ص = هـ^لط(جازس)

الآن اشتق الطرفين بالنسبة لـ ص .

         (جازس) َ
1 = ـــــــــــــــــــــ × هـ^لط(جازس) × سَ
         جازس

ولكن جازس =  هـ^لط(جازس) = ص  

                                                     1
اذاً : 1 = (جازس) َ × سَ  ومنها سَ = ــــــــــــــــــ
                                                (جازس)َ

              1                  
سَ = ـــــــــــــــــ   ولكن جتاز²س - جاز²س = 1
         جتازس

ومنها  جتازس = جذر(1 + جاز²س)

                         1                          1
اذاً : سَ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ
              جذر(1 + جاز²س)         جذر(1 + ص²)


والتى كان يمكن حلها مباشرة ً من عند الخطوة سَ = (صَ)^-1

             1                 1                         1
سَ = ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ
         جتازس     جذر(1 + جاز²س)      جذر(1 + ص²)

..................................................................................

مثال 3) على دالة ليس لها معكوس .

ص = س²

ويمكنك معرفة ذلك هندسياً وجبرياً .. اما هندسياً فأسهل شىء
هو الإختبار الخط الأفقى (كما هو موضح بالرسم) فتجده تقطع
الدالة فى نقتطين، اذاً الدالة العكسية غير موجودة .

او جبرياً مباشرة ً س = جذر(ص)  او س = - جذر(ص)

نقول : ص =  هـ^لط(س²)  اشتق الطرفين بالنسبة لـ ص

        2س
1 = ــــــــــــــ ×  هـ^لط(س²) × سَ
        س²

                                    1                                
1 = 2س سَ  ومنها سَ = ـــــــــــــ
                                 2س

ولكن س = جذر(ص) او س = - جذر(ص)

وهذا يعنى ان الدالة العكسية غير موجودة . 

تابع القراءة

0 حل لغز السيارة

ثلاثة طلبة رياضيات يتجولون في مدينة ، فجأة لاحظوا سائق سيارة ارتكب مخالفة خطيرة في الطريق ، وفر السائق مسرعا . لم يتذكر أي منهم رقم السيارة المكون من أربعة أرقام ولكن تذكر أحدهم أن الرقمين الأولين متشابهين ، ثم قال الآخر وأنا أتذكر أيضا أن الرقمين الأخيرين متشابهين ، وقال الثالث وأنا أتذكر أن رقم السيارة مربع تــام . هل يمكن باستعمال هذه الخاصيات الثلاث معرفة رقم السيارة ؟؟؟؟

حسب فهمى لمعطيات المسألة اقول :

نفرض أن س ، س ، ص ، ص هى ارقام الآحاد والعشرات والمئات والأولوف
على الترتيب .

الآن نضع العدد المشار اليه فى صورة النظام العشرى ..

س + 10س + 100ص + 1000ص = ن²

= 11س + 1100ص = ن²

حيث ن عدد طبيعى فى الفترة ينتمى لـ [32 ، (10)²[

لماذا ؟ لأن اصغر مربع كامل مكون من اربع ارقام هو 1024
والذى يساوى (32)² واكبر مربع هو ما قبل الـ 10000 مباشرة ً

كلاً من س ، ص ينتميان الى المجموعة {1 ، 2 ، 3 ، .... ،9}

وهو جميع الإحتمالات التى نرقم بها الخانات العشرية ...

س = {1 ، 2 ، 3 ، ........ ،9}

ص = {1 ، 2 ، 3 ، ........ ،9}


وجميع الإحتمالات الممكنة هى (نرمز لها بالمجموعة ع)

ع = {

       {1 , 2} , {1 , 3} , {1 , 4} , ..... ,{1 , 9}
       {2 , 1} , {1 , 3} , {1 , 4} , ..... ,{1 , 9}
       {3 , 1} , {3 , 2} , {3 , 4} , ..... ,{1 , 9}
       .
       .
       .
      {9 , 1} , {9 , 2} , {9 , 3} , ..... , {9 , 8}

}

مثلاً المجموعة  {1 , 2} = المجموعة   {2 , 1} لذلك سمع لك بتجربة الإثنين ..


11(1) + 1100(2) = 2211  ليس مربع كامل ...

اعكس وضع الأرقام .. 1122 ايضاً ليست مربع كامل ...

اذاً انت بحاجة لتجربة 72 امكانية ... ولكن هذا شىء صعب لذلك ارجع
الى المعادلة الأساسية وهى :

11س + 1100ص = ن²  ومنها 11س = ن² - 1100ص

          ن²
س = ــــــــــ - 100ص
         11

من أجل س عدد طبيعى  ===> اذاً ينبغى ان يقبل ن² القسمة على 11

                                            ن²
الشرط الثانى يجب أن يتحقق أن : ــــــــــ  -  100ص
                                            11

هو ناتج محصور فى المجموعة {1 ، 2 ، 3 ، ...... ، 9}

بما ان ن² من مضاعفات العدد 11 اذاً ينبغى ان تكون ن من مضاعفات العدد 11

نفرض أن : ن = 11م  حيث م عدد طبيعى           ...   اذاً


ولكن كما قولنا ن محصورة فى المجموعة من 32  الى 100
هذا يعنى ان : 11م محصورة فى المجموعة من 32 الى 100
من اجل م عدد طبيعى .. اذاً ينبغى ان نأخذ جميع العناصر
التى من مضاعفات العدد 11 والمحصورة من 32 الى 100
وجميعها هى :

33 ، 44 ، 55 ، 66 ، 77 ، 88 ، 99  بالتعويض بكل واحدة فى العلاقة


          ن²
س = ــــــــــ - 100ص   من اجل  ن = 33   فإن
         11

        (33)²
س = ــــــــــ - 100ص    ولكن الشرط الثانى يجب ان يتحقق
         11

لذلك فإن وضع ص = 1 هنا يجعل س = -1 ، وبناء عليه فإن وضع قيمة
لـ ص اكبر من الواحد يجعلها سالبة ايضاً ...

الخطوة الثانية : من اجل ن = 44


        (44)²
س = ــــــــــ - 100ص = 176 - 100ص
         11

من اجل ص = 1  فإن : س = 176 - 100 = 76  وهذا مرفوض لأن س محصورة
فى المجموعة من 1 الى 9  واذا وضعت ص = 2 فإن س تكون سالبة ..

الخطوة الثالثة : من أجل ن = 55

        (55)²
س = ــــــــــ - 100ص = 275 - 100ص
         11

لا يتحقق شىء ..

الخطوة الرابعة : من اجل ن = 66

         (66)²
س = ــــــــــ - 100ص = 396 - 100ص
          11

من اجل ص = 4 فإن : س = -4  وهذا مرفوض ..

الخطوة الخامسة : من اجل ن = 77

        (77)²
س = ــــــــــ - 100ص = 539 - 100ص
         11

ايضاً لن يتحقق شىء ...

الخطوة السادسة : من اجل ن = 88

         (88)²
س = ــــــــــ - 100ص = 704 - 100ص
         11

من أجل ص = 7  فإن  س = 704 - 700 = 4

ويكون العدد هو : 7744 وهو مربع كامل جذره = 88

الخطوة السابعة ( والأخيرة) : من اجل  ن = 99

        (99)²
س = ــــــــــ - 100ص = 891 - 100ص
         11

من أجل ص = 9  فإن س تكون سالبة وهذا مرفوض ..

اذاً العدد الوحيد هو : 7744

تابع القراءة

0 كيف نثبت أن π=4(1-1/3+1/5-1/7+...) ؟

يمكنك اثبات أن القيمة التقريبية "باى" تساوى 4 * مقاليب مجموع الأعداد الفردية
بإشارات مخالفة بالطريقة السهلة الآتية :

ليكن لدينا الدالة : f(x) = tan^-1(x)  ll

((اى الدالة العكسية لـ tan))  اشتق الطرفين بالنسبة لـ x

f'(x) = 1/(1+x²)   ll     اذا اردت اثبات هذه الخطوة فلا مانع

الآن نقول : f'(x) = 1/[1 - (-x²)]         ll

لماذا ؟  لأن هذا الشكل يذكرك بـ مجموع متتابعة هندسية متقاربة لا نهائية
بشرط أن x فى الفترة ]-1 ، 1[  اذاً يمكنك كتابة f'(x)  فى صورة متسلسلة
هندسية بهذه الطريقة ...

f'(x) = 1+(-x²)+(-x²)²+(-x²)³ + ......   ll

بمكاملة الطرفين بالنسبة لـ x ينتج لك الدالة الأصلية ..

tan^-1(x) = x - x³/3 + x^5/5 - x^7/7 + .....   ll

طبعاً كما قولنا من أجل x فى الفترة ]-1 ، 1[

بوضع x = 1   للطرفين


tan^-1(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .....   ll

ولكن الظل العكسى لواحد هو pi/4  اذاً

pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .....   ll

بضرب الطرفين فى 4   اذاً

pi  = 4[1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + ......]   ll

اتمنى ان يكون الشرح واضح بالنسبة لك ...

تابع القراءة

1 اثبت ان 12ن+5 لا يمكن ان يكون مربع كامل من أجل ن عدد طبيعى

12ن+5  دائماً عدد فردى لأن زوجى+فردى = فردى

ولكن ليست هذه هى القضية، فالقضية الأساسية هى أن جميع المربعات
الكاملة هى حاصل مجموع الأعداد الفردية من 1 الى ن  ... فمثلاً

4 = 1 + 3   وهنا نلاحظ ان عدد الحدود 2 فى حين أن 4 = (2)²

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7               ... وهكذا

وبما أن العدد 12ن+5 فردى دائماً اذاً وان كان من الممكن ان نصنع منه مربع كامل
فلابد ان يعطينا عدد حدود (فردية) وكل حد فردى، ويبدأ من العدد 1 .. ولكن هل هذا
جائز فى حقل الأعداد الطبيعية ؟  لنرى ... بحيث نفرض أن العدد الفردى هو

                                    2ك+1

مربعه = (2ك+1)²   ((من اجل ك ، ن عددان طبيعان (فرض))

12ن+5 = (2ك+1)²    

12ن+5 = 4ك² + 4ك + 1

12ن =  4ك² + 4ك - 4  بقسمة الطرفين على 4

3ن = ك² + ك - 1    ومنها

        ك² + ك - 1
ن = ــــــــــــــــــــــــ
             3

ن عدد طبيعى اذا وفقط اذا كان   ك² + ك - 1  من مضاعفات العدد 3
ولذلك نفرض أن :  ك² + ك - 1 = 3م  حيث م عدد طبيعى، والآن نوجد
ك بدلالة م بالقانون العام .. المعادلة هى ك² + ك - (3م+1) = 0

المميز =  1 + 4(3م+1) = 12م+2 = 2(6م+1)

             -1 ± جذر(2) جذر(6م+1)
اذاً : ك = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        2

وتظهر المشكلة هنا جلية وواضحة تماماً ان ك ليس عد طبيعى .. اذاً

مستحيل ان يكون 12ن+5 مربع كامل من أجل ن عدد طبيعى ..

تابع القراءة

0 كيف نثبت أن cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny ؟

لهذا القانون أكثر من إثبات سأستعرض بعضعها ، وسأبدأ بالأسهل والأفضل .. ارسم دائرة الوحدة
وقم برسم شعاعين (وليكونوا فى الربع الأول مثلاً) ثم إن الزاوية الأولى التى بين الشعاع الأول
والمحور الأفقى هى y والزاوية الثانية (الكبرى) هى x فيكون بذلك الزاوية المحصورة بين المتجهين
A و B هى x - y  وبناء عليه يتم استعمال الضرب القياسى هنا لإيجاد  cos(x - y)  ll

دائرة الوحدة وكما يظهر - المتجهان A و B ,الزاوية بينهما x-y

قانون الضرب القياسى لمتجهين هو : A . B = ||A|| . ||B|| cos(x-y)  ll

ولكن : ||A|| . ||B|| يساوى 1 لأننا نتعامل هنا مع دائرة الوحدة (معيار كل متجه = 1)

اذاً : cos(x-y) = A . B  وبإستعمالك للقانون المعروف للضرب القياسى لمتجهين تحصل على القانون ..

ولكن هذا يتحقق على فرض أننا وضعنا المتجهات (او النقاط) فى الصورة البارمترية وهى

ll    (cosx , sinx)   , (sinx , siny)      ll

cos(x-y) = (cosx , sinx) . (sinx , siny)= cosx.cosy + sinx.siny

الحل الثانى قد يكون أطول لكنه أوضح لمن لم يدرسون المتجهات بعد ...


عندما طولا نصف القطرين فى المثلث الذى يحتوى cos(x-y) ll هما 1 ، 1
بإستعامل قانون البُعد بين نقطتين نحصل على طول الضلع الثالث .

طول الضلع الثالث : = ll    sqrt[(cosx-cosy)² + (sinx-siny)²]  ll

الآن اصبح الطريق ممهداً لإيجاد cos(x-y)  ll  عن طريق قانون جيب التمام

cos(x-y) = [1²+1² - (cosx-cosy)² - (sinx - siny)²]/2

cos(x-y) = [2 - (cos²x+cos²y-2cosxcosy) - (sin²x+sin²y-2sinxsiny) ]/2

cos(x-y) = [2 - cos²x-cos²y+2cosxcosy - sin²x-sin²y+2sinxsiny]/2

بإستعمال المتطابقة المعروفة : cos²x + sin²x = 1  وبنفس الطريقة مع y

cos(x-y) = [2 - 2 + 2(cosxcosy+sinxsiny)]/2

بعد الإختصارات نحصل على القانون وهو :

cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny

ولكن يظل الحل عن طريق الضرب القياسى لمتجهين هو الأسهل فى الحل
لكنى وضعت هذا الحل ايضاً لمن لم يروق لهم فكرة الحل عن طريق المتجهات

الآن كيف نحصل على قانون مجموع زاويتين ؟

ببساطة شديدة جداً ضع -y للطرفين (لأنها متطابقة)

cos(x - -(y)) = cos(x+y) = cosx.cos(-y)+sinx.sin(-y)  ll

نحن نعلم أن: cos(-y) = cosy  السالب لا يفرق مع cos

بينما sin(-y) = -siny  لأنها دالة فردية بينما دالة cosine زوجية ..

اذاً : cos(x+y) = cosx.cosy - sinx.siny‏

...................................................................................
الحل الثالث : متقدم بعض الشىء ويكون عن طريق فك دالة الـ cosine بدلالة الدالة الأسية
حيث أن : cosx = (e^ix + e^-ix)/2   (متطابقة معروفة) وبناء عليه يمكن تبديل x بـ x+y

cos(x+y) = ½[e^i(x+y) + e^-i(x+y)]   ll

وبإستعمال قوانين الأسس البسيطة المعروفة ... حيث نعلم مسبقاً أن :
cosx = (e^ix + e^-ix)/2  وأن sinx = (e^ix - e^-ix)/2i  وطبعاً يمكنك تبديل y مكان x ...

نكمل ...        cos(x+y) = ½[e^i(x+y) + e^-i(x+y)]   ll

cos(x+y) = ½[e^ix.e^iy + e^-ix.e^-iy]  ll

ولكن :
e^ix.e^iy = (cosx+isinx) (cosy+isiny) = cosxcosy-sinx.siny+i(sinx.cosy+cosx.siny)  ll

فى المقابل نجد أن :

e^-ix.e^-iy = cosxcosy-sinx.siny-i(sinx.cosy+cosx.siny)  ll

بجمع المعادلتين معاً نجد أن الجزء التخيلى قد حذف تماماً ويتبقى فقط الجزء الحقيقى

وبعد التعويض واختصار ½ مع 2 ...

اذاً : cos(x+y) = cosx.cosy - sinx.siny

تابع القراءة

0 كيفية حساب المساحة السطحية للكرة ؟

تستطيع ان توجد مساحة الكرة من خلال مساحة الجسم الناتج عن دوران نصف
دائرة (تمر بنقطة الأصل) نصف قطرها نق عن طريقة التكامل المحدود ..

نفرض أن الدائرة هى : س²+ص² = نق²

ومنها : ص = جذر(نق² - س²)   اخذنا الحل الموجب فقط ...

                                                     أ
قانون حساب مساحة الجسم الدورانى : 2ط ∫د(س) دم
                                                     ب
حيث : دم = جذر[1+دَ(س)²] دس

لذللك نوجد أولاً مشتقة الدالة ...

                  - س
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ   نقوم بالتربيع واضافة 1
           جذر(نق² - س²)


     س²                       نق²
ـــــــــــــــــــــ + 1 = ــــــــــــــــــــــ
نق² - س²                نق² - س²

                     نق
اذاً : دم = ــــــــــــــــــــــــــــ دس
              جذر(نق² - س²)


التكامل لحساب  مساحة الكرة هو (تكامل محدود من -نق الى نق)

     نق                                 نق
= 2ط∫ جذر(نق² - س²) × ــــــــــــــــــــــــــ دس
     -نق                         جذر(نق² - س²)

      نق                           نق
= 2ط ∫ نق دس = 2ط [نق س]  = 2ط نق [نق - (-نق)]
       -نق                        -نق

= 2ط نق × 2نق = 4 ط نق²

تابع القراءة

0 اثبت ان مشتقة جتاس هى - جاس ؟

هناك عدة طرق للإثبات منها اعادة تعريف كلاً من دالتى الـ جا و الـ جتا ولكن
الطريقة  تلزمك على معرفة طريقة اشتقاق دالة الأس الطبيعى e^f(x)  ll وايضاً تحتاج
لأن تثبت الصيغة من الأساس (اى تحتاج ان تثبت أن : cosx = (e^ix+e^-ix)/2
و sinx = (e^ix - e^-ix)/2i ، لذا فمن الأفضل هنا أن نلجأ الى التعريف العام للمشتقة .

د(س) = جتاس

                      د(س+هـ) - د(س)                جتا(س+هـ) - جتاس
دَ(س) = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           هـ←0           هـ                  هـ←0             هـ

بإستعمال متطابقة مجموع زاويتين ...

              جتاس جتاهـ - جاس جاهـ - جتاس
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0                هـ

بتوزيع البسط والنهاية على المقام بالطرييقة التالية ...

             جتاس جتاهـ - جتاس                جاس جاهـ
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهــــــــــا ــــــــــــــــــ
   هـ←0           هـ                  هـ←0          هـ

وهنا اريد ان انبه على شىء هام جداً وهى ان هذه النهايات بالنسبة لـ هـ
اذاً القسمة س نستطع ان نضعها خارجها كما يلى ..

                       جتاهـ - 1                       جاهـ
= جتاس نهــــــــا ــــــــــــــــــ  - جاس نهـــــــا ــــــــــ
            هـ←0       هـ                  هـ←0    هـ

                       جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
              هـ←0    هـ

((لأن النهاية الثانية جاهـ/هـ = 1 عندما هـ تؤول للصفر - اضغط هنا ))

الآن : نعزل النهاية التى نريد ايجادها عن المقدار ...

          جتاهـ - 1
نهـــــــا ــــــــــــــــ  = 0    مباشرة ً اذا ما استعملت قاعدة لوبيتال .        
هـ←0      هـ

ولكن كيف نوجدها بدون استعمال قاعدة لوبيتال ؟

بالضرب بسطاً ومقاماً فى مرافق البسط

            جتاهـ - 1       جتاهـ + 1                   جتا²هـ - 1
نهــــــــا ــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــ = نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــ
هـ←0         هـ                هـ            هـ←0  هـ (جتاهـ+1)

                 1 - جتا²هـ
=  - نهــــــــا ـــــــــــــــــــ   (( البسط عبارة متطابقة مثلثية))
     هـ←0  هـ(1+جتاهـ)
     
                   جا²هـ                          جاهـ × جاهـ
= - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــ = - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ
     هـ←0   هـ (1+جتاهـ)        هـ←0   هـ (1+جتاهـ)

                 جاهـ                     جاهـ
= - نهـــــــا ـــــــــــــــ × نهــــــــا ـــــــــــــــــ
     هـ←0     هـ          هـ←0     1+جتاهـ

النهاية الأولى = -1 والنهاية الثانية بعد التعويض المباشر تعطى 0

= -1 × 0 = 0

اذاً وفى المسألة الرئيسية وصلنا الى ...

                       جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
              هـ←0    هـ

= جتاس × 0   - جاس = - جاس

اى ان : مشتقة جتاس هى - جاس

تابع القراءة