0 اوجد معدل تغير المسافة بين الرجلين بعد ساعة واحدة ؟

 تحرك رجل من نقطة بسرعة 4كلم/ساعة في اتجاه الشرق وبعد 

ساعة تحرك رجل آخر من النقطة نفسها متجها نحو الشمال بسرعة 6كلم/ساعة .
اوجد سرعة التباعد بين الرجلين (اي معدل تغير المسافة بينهما )بعد ساعة اخرى .

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

نفرض ان المسافة ( المتغيرة ) للرجل

الاول المتجه نحو الشرق هى س

فيكون بذلك معدل تغير المسافة

بالنسبة للزمن = السرعة .. يعنى

دس/دن = 4

وان المسافة ( المتغيرة ) التى يقطعها

 الرجال الثانى متجهاً نحو الشمال هى ص

فيكون بذلك معدل مسافته بالنسبة للزمن = 6

يعنى :

دص/دن = 6

واخيراً نفرض ان المسافة ( المتغيرة )

بينهما هى  ع .. فيكون بذلك 

ع² = س² + ص²    ( من علاقة فيثاغورث )

ع = جذر(س² + ص² )

ولا نأخذ الحل السالب .. 

ثم نشتق الطرفين بالنسبة للزمن (ن)

               2س ×دس/دن + 2ص × دص/دن

دع/دن = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                     2 جذر(س² + ص² )

هذه ( مشتقة الجذر التربيعى ) = مشتقة مادخل

الجذر على 2 × الجذر نفسيه .. نختصر 2 فى البسط

والمقام ..

              س ×دس/دن + ص × دص/دن

دع/دن = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                   جذر(س² + ص² )

بالتعويض عن كلاً من دس/دن = 4

                         دص/دن = 6

ولكن المسافة = السرعة × الزمن 

بعد ساعة أخرى بالنسبة للرجال الثانى ص

انما بالنسبة للرجل الاول س تكون ( عدت 

عليه ساعتين .. يعنى 2 )

اذاً : س = 4 × 2 = 8  ( مسافة الاول بعد ساعتين )

      ص = 6 × 1 = 6  ( مسافة الاول بعد ساعة )

بالتعويض بكل هذه المتغيرات ..

              س ×دس/دن + ص × دص/دن

دع/دن = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                   جذر(س² + ص² )

                    8 × 4 + 6  × 6

دع/دن = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                   جذر(8² + 6² )

ومنها : دع/دن = 6.8 كلم/ساعة

اى ان معدل تغير المسافة بين الرجلين

بعد ساعة واحدة = 6.8 كلم/ساعة

إبلاغي بالبريد الإلكتروني عند ورود إجابات

تابع القراءة

0 بدون قاعدة لوبيتال اوجد : اوجد نها(س←2) ظتا(باى/س)/(س-2)

             ظتا(باى/س)
 نهــــــــا  ــــــــــــــــــــــ = 0/0 عدم تعيين
 س←2       س - 2

                              جتا(باى/س)
بفك ظتا(باى/س) الى ــــــــــــــــــــــــ
                             جا(باى/س)
بالتعويض ..

                             جتا(باى/س)
نهـــــــــا  جا(باى/س)ـــــــــــــــــــــــــــــــ
س←2                        (س-2)

لاحظ انهما نهايتان الأول هى جا(باى/س)
وقيمتها عندما س = 2 هى جا(باى/2) = 1
وانت تعلم ان الواحد محايد ضربى .. اذاً
كأن السؤال يطلب منك ايجاد النهاية لـ

               جتا(باى/س)
نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ
س←2          (س-2)


ولكن : جتا(الزاوية) = جا(ط/2 - الزاوية)
ومنها جتا(باى/س) = جا(ط/2 - باى/س)
                       =حا[باى (س-2)/2س]

بالتعويض ...

               جتا(باى/س)
نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ
س←2          (س-2)


             حا[باى (س-2)/2س]
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  س←2          (س-2)

بقسمة كلاً من البسط والمقام على 2س

             ½س حا[باى (س-2)/2س]
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  س←2            (س-2)/2س

نفس السابقة اعطتنا نهايتين الأولى هى ½س
عند التعويض بـ س = 2 تعطى ¼ والثانية نوجد
النهاية لها ( فقط تذكر درس نهاية الدوال المثلثية )

                  حا[باى (س-2)/2س]
= ¼ نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
        س←2       (س-2)/2س

لا لاحظت شكل هذا المقدار :  (س-2)/2س ؟؟
هو نفسه زاوية الجا لكن ينقصه باى .. وهذه النهاية
وحدها  = باى


اذاً ... النتيجة النهائية هى باى/4 او يعنى ¼ باى

المسألة على بعضها ..



             ظتا(باى/س)
 نهــــــــا  ــــــــــــــــــــــ = ¼ باى
 س←2       س - 2

تابع القراءة

0 اوجد القيم العظمى، والصغرى المحلية والمطلقة ؟

سأجعلك تحل هذه المسألة بطريقتين :-
السؤال يقول :
اوجد القيم العظمى والصغرى لدالة :
د(س) = س4 – 4س2 + 3

نوجد المشتقة الأولى للدالة ..

دَ(س) = 4س³ - 8س  .. نساويها بصفر
            لإيجاد النقاط الحرجة ..

4س³ - 8س = 0

4س (س² - 2 ) = 0  ومنها

اما 4س = 0 ومنها س = 0
واما س² - 2 = 0 ومنها س² = جذ(2)
س = ± جذر(2)

اذاً هناك ثلاث نقاط حرجة للدالة .. الى هنا
وامامك طرقتين، لإختبار ما اذا كانت صغرى
محلية، او عظمى محلية .. الطريقة
الأولى عن طريقة المشتقة الأولى نفسها ..
وبإختبار النقطة صفر ، بالتعويض على يمينه وعلى
يسارا برقم معين ، وليكن 1 ، -1

دَ(س) = 4س³ - 8س

دَ(-1) = 4(-1)³ - 8(-1) = 4
دَ(1) = 4(1)³ - 8(1) = -4

على اليسار تزايدية، وعلى اليمين تناقصية
اذاً عندما س = 0  هناك نقطة قيمة عظمى
محلية .. وهكذا نختبر كلاً من جذر(2) ، -جذر(2)

امسك الآلة واكتب جذر(2) تجدها تقريباً 1.14
عوض على  يسار هذا الرقم بـ 1 مثلاً
وعلى يمينه بـ 2

دَ(1) = 4(1)³ - 8(1) = -4
دَ(2) = 4(2)³ - 8(2) = 16

تناقصية ، تزايدية .. اذاً عندما س = جذ(2)
هناك قيمة صغرى محلية للدالة .. نختبر
ايضاً عندما س = - جذر(2) = على الآلة تقريباً
 - 1.14 نعوض على يساره برقم وليكن -2
وعلى يمينه برقم وليكن -1

دَ(-2) = 4(-2)³ - 8(-2) = -8
دَ(-1) = 4(-1)³ - 8(-1) = 4

تناقصية .. تزايدية .. اذاً ايضاً عندما
س = -جذر(2) هناك قيمة صغرى
محلية للدالة ...

الآن نريد المقارنة بين هذه النقاط الحرجة
السؤال الآخر : اوجد القيم العظمى المطلقة
والقيم الضغرى المطلقة .. نأخذ اولاً النقطة
الحرجة (0) هذه النقطة تمثل قيمة عظمى
محلية، ومطلقة ايضاً نظراً لعدم وجود مقارنة
بينها وبين نقطة أخرى عظمى محلية ..
نأخذ كلاً من النقتطين جذر(2) ، - جذر(2)
كنا قد قلنا ان كلاً منهم صغرى محلية
لكن ايهما صغرى مطلقة ؟؟ ام الإثنان معاً
صغرى مطلقة ؟؟ نعوض بكلاهما فى الدالة
الاصلية ..د(س) = س4 – 4س2 + 3

د(جذر(2)) =  (جذر2)^4 - 4(جذر2)² + 3
            = 4 - 4(2) + 3 = -1

وكذلك : د(-جذر(2)) = -1

اذاً كلاً من : س = {جذر(2) ، - جذر(2)}
قيمة عظمى مطلقة ايضاً .


الطريقة الآخر التى كنت اريد ان اوردها لك
وهى اختبار القيم العظمى والصغرى
المحلية من خلال المشتقة الثانية
بلتعويض بالنقاط الحرجة اذا كانت سالبى
كانت عظمى محلية، اذا كانت موجبة
كانت صغرى محلية .. توصلنا الى ان
المشتقة الأولى : دَ(س) = 4س³ - 8س

المشتقة الثانية : دً(س) = 12س² - 8
ثم نختبر كلاً من النقاط الحرجة (0 ، جذر2 ، -جذر2)

دً(0) = 12(0)² - 8 = -8

طالما سالبة اذاً القيمة عندما س = 0
قيمة عظمى محلية ..

دً(جذر2) = 12 (جذر2)² - 8 = 16
موجبة : اذاً القيمة صغرى محلية ..
وكذلك : دً(جذر2) = 16
هى ايضاً صغرى محلية ، وبالعويض
فى الدالة الاصلية بهذه النقاط
تجد ان القيمة س = 0  عظمى
محلية مطلقة ..

ملحوظة أخيرة : س = 0 قيمة عظمى مطلقة بشرط
ان تكون الدالة محددة فى فترة من الفترات، واذا
لم يكن كذلك فلا يوجد قيمة عظمى مطلقة، لأن
الدالة مفتوحة المدى الى مالانهاية ..

تابع القراءة

0 اوجد المعادلة القياسية للقطع الناقص (16س^2-72س)+(9ص^2+54ص) +18=0

(16س² - 72س) + (9ص² + 54ص) + 18 = 0

= 16(س² - 4.5س) + 9(ص² + 6ص) + 18 = 0

هذه الخطوة واضحة اخذنا 16 عامل مشترك
من القوس الأول ثم 9 مشترك من القوس الثانى ..
= 16(س² - 4.5س) + 9(ص² + 6ص) + 18 = 0

نقوم بإكمال المربع ..

الحد الاوسط فى المربع الكامل هو :
2 جذر(الحد الأول) ( جذر الحد لثالث )

                              الحد الاوسط
اذاً جذر الحذر الثالث = ــــــــــــــــــــــــــ
                            2جذر(الحد الأول)

                  (مربع الحد الاوسط)
الحد الثالث = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                      4 الحد الاول
     (-4.5)²
= ـــــــــــــــــ =[ (4.5)/2 ]²
       4

وكذلك الحد الثالث بالنسبة لـ ص

         36
= ــــــــــــــــــــ = 9
         4

بإكمال المربع ..

= 16(س² - 4.5س) + 9(ص² + 6ص) + 18 = 0

= 16(س²-4.5س+[ (4.5)/2 ]² - [ (4.5)/2 ]² )
+ 9 (ص²+6ص+9 - 9) = -18

= 16 [(س-2.25)² - [ (4.5)/2 ]² ]
+ 9[(ص+3)² - 9] = -18

= 16(س-2.25)² - 16 [ (4.5)/2 ]²
+ 9(ص+3)² - 81 = -18

16(س-2.25)² + 9(ص+3)² = -18+81+16 [ (4.5)/2 ]²

16(س-2.25)² + 9(ص+3)² = 144

بقسمة الطرفين على 144

16(س-2.25)²       9(ص+3)²
ـــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ = 1
  144                      144

(س-2.25)²          (ص+3)²
ـــــــــــــــــــــ +  ــــــــــــــــــــــ = 1
      9                    16

وتعتبر معادلة قطع ناقص فيه
أ = 3 ، ب = 4 ، جـ = 5

ومركزه النقطة (2.25 ، -3)

تابع القراءة

0 اوجد نها(س←3) (س² -2س - 3) ظا((ط/2)س)

                                   
نهــــــــــــا (س² -2س - 3) ظا((ط/2)س)
س←3  

= نهـــــــــا (س - 3)(س+1) ظا((ط/2)س)      
    س←3              
= حاصل ضرب نهاتين، الأولى بعد التعويض فى (س+1)
تعطى 4 ، والثانية نوجد النهاية لها ..

= 4 نهـــــــــا (س - 3) ظا((ط/2)س)      
      س←3    

بفك ظا الى جا/جتا

                      جا (ط/2)س)                  
ظا((ط/2)س) = ـــــــــــــــــــــــــ        
                     جتا(ط/2)س)  

بالتعويض ..
                               جا ((ط/2)س)          
= 4 نهـــــــــا (س - 3) ـــــــــــــــــــــــــ  
      س←3                جتا((ط/2)س)

   بالتعويض فى هذه النهاية تعطى 0/0
كمية غير معينة ... بإستخدام قاعدة
لوبيتال تصل الى المطلوب ..

         جا ((ط/2)س) + (ط/2)(س - 3)جتا((ط/2)س)
= 4 × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    - (ط/2) جا ((ط/2)س)

وبوضع = 3    ..

               -1                 -2
= 4 × ــــــــــــــــ = 4 × ـــــــــــ
            (ط/2)               ط

        -8
= ــــــــــــــــ
        ط

تابع القراءة

0 اوجد مساحة السطح الدورانى للدالة س = لط(ص) حول محور الصادات

أحسب مساحة السطح الناشئ
بيان الداله X=2LnY من Y=1 إلى Y=جذر3
حول محور X‏

 مساحة السطح الدورانى فى الفترة من أ الى ب
للدالة ص .. هو ..

       ب
=  2ط∫ ص دح      
        أ
 حيث دح = جذر[(دَ(س) )² + 1] دس

س = 2 لط(ص) وبوضع ص مكان س ، والعكس
صحيح .. وحدود التكامل تصبح من س=1 ، س = جذر(3)
 قتصبح .. ص = 2لط(س) ، ص َ = 2/س
     
                             4
= 2ط ∫ س جذر(1 + ــــــــ ) دس
                           س²

                   4
س جذر(1 + ـــــــــ )
                  س²

               س² + 4
= س جذر( ـــــــــــــــــ)
                 س²

            جذر(س² + 4)
= س × ـــــــــــــــــــــــــ =  جذر(س² + 4)
                 س

بالعودة الى التكامل اعلاه اصبح ..

2ط ∫ جذر(س² + 4) دس

وبوضع س = 2ظاف بالتعويض ..
ومنها دس = 2قا²ف دف

2ط ∫ جذر(4ظا²ف+ 4) دس

4ط ∫ جذر(ظا²ف+ 1) دس

8ط ∫قاف قا²ف دف

8ط ∫قا³ف دف .. لاحظ لقد
تحدثنا عن تكامل تلك الصيغة
فى سؤال سابق .. تجد
فى المراجع .. لن نخوض
فيها كثيراً، التكامل بالتجزىء ..
                                                  جذر3
= 8ط [½قاف ظاف +½لط|قاف + ظاف| ]
                                                    1

                                           
= 4ط [قاف ظاف +لط|قاف + ظاف| ]
ان نكرر حدود التكامل فى كل مرة نظراً
لطول المسألة ..
                                                 
بما ان : س = 2ظاف .. اذاً ظاف = ½س
قاف = جذر(س² + 4)/2  .. بالتعويض ..
= 4ط [قاف ظاف +لط|قاف + ظاف| ]

= 4ط [¼س جذر(س² + 4)
+ لط |½س + ½جذر(س² + 4)|]

= ط [س جذر(س²+4)                جذر3
+ 4 لط |½س + ½جذر(س² + 4)|]
                                             1

= ط [جذر(10)+4لط|جذر3\2 +½جذر7|
- جذر(5)-4 لط|½+½جذر(5)] ≈ 2.74 ط

≈ 8.614

تابع القراءة

0 اوجد طول منحنى الدالة د(س) = س² فى الفترة [0 ، 1]

 :
let x = ½ tan(u)
dx =½ sec²(u) du
∫sqrt(4x² + 1) dx

from 0 to sqrt(1)

½∫sqrt(tan²u + 1) sec²(u) du
= ½∫sec³(u) du
لاحظ اننا ذكرنا تكامل
الصيغة sec^n(u)
ll
= ½[½sec(u) tan(u) +½ ln|sec(u)+tan(u)|]

= ¼[sec(u) tan(u) + ln|sec(u)+tan(u)| ]

but x = ½tan(u)
tan(u) = 2x
sec(u) = sqrt(4x² + 1 )  ... by substitution

¼[2x sqrt(4x² + 1 ) + ln|2x+sqrt(4x² + 1 )|]
from 0 to 1

= ¼[2sqrt(5) + ln|2+sqrt(5)] ≈ 1.4789

تابع القراءة

1 اوجد اصغر عدد صحيح يحقق الشروط الآتية

اوجد اصغر عدد صحيح موجب الذى اذا قسم على 2
كان الباقى 3 واذا قسم على 5 كان الباقى 2 واذا قسم
على 3 كان الباقى 5 واذا قسم على 7 كان الباقى 11


ربما فهمت انك تقصد مبرهنة الباقى الصينية
نفرض ان العدد المراد هو x فيكون بذلك ..

  (1) ... x ≡ 3 (mod2)
x ≡ 2 (mod5) ... (2)
x ≡ 5 (mod3) ... (3)
x ≡ 11 (mod7) ... (4)

ll

لاحظ انه لا توجد عوامل مشتركة بين :
(2 ، 3) ، (5 ، 2) ، (3 ، 5) ، (7 ، 11)
، (3 ، 7)

 from (1) we find that x = 3+2r ... (5)
by substitution in (2)

3+2r ≡ 2 (mod5) ... (2)

2r ≡ -1 (mod5)
2r ≡ 4 (mod5)
r ≡ 2 (mod5)
r = 2 + 5s
by substitution in (5)
x = 3+2r ... (5)
x = 3+2(2+5s)
x = 3+4+10s
x=7+10s ... (6)
by substitution in (3)
x ≡ 5 (mod3) ... (3)

7+10s ≡ 5 (mod3) ... (3)
10s ≡ -2 (mod3)
10s ≡ 10 (mod3)
s ≡ 1 (mod3)
s = 1+3t
x=7+10s ... (6)
x = 7+10(1+3t)
x = 7+10+30t
x = 17+30t  ... (7)
by substitution in (4)
x ≡ 11 (mod7) ... (4)

17+30t ≡ 11 (mod7)
30t ≡ -6 (mod7)
30t ≡ 1 (mod7)
2t ≡ 1 (mod7)
2t ≡ 8 (mod7)
t ≡ 4 (mod7)
t = 4+7u
by substitution in (7)
x = 17+30t  ... (7)
x = 17+30(4+7u)
x = 17+120+210u
x = 137+210
x ≡ 137 (mod210)
ll

وهذا معناه ان اصغر عدد صحيح موجب
يحقق المطلوب هو  137

تابع القراءة

0 اوجد int (sin(x)+1)/cos(x)+1) dx

int (sin(x)+1)/cos(x)+1) dx
= - int  -sin(x)/(sox(x)+1) dx + int 1/(cos(x)+1) dx

= -ln|cos(x)+1| + int 1/(cos(x)+1) dx

but 1/(cos(x)+1) = 1/(2cos²(x/2)+1-1)

= 1/(2cos(x/2)) = ½sec²(x/2)

let  x/2 = u    then   dx = 2 du   by substitution ..

= -ln|cos(x)+1| + int sec²(u) du

= -ln|cos(x)+1| + tan(u) + c

but  u = x/2    by substitution to figure out ..

int (sin(x)+1)/cos(x)+1) dx = tan(x/2) - ln|cos(x)+1| + c‏

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

.
       جاس + 1
∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      جتاس + 1


          - جاس                          1
= -∫ ـــــــــــــــــــــ دس + ∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
       جتاس + 1                   جتاس + 1

التكامل الأول = - لط ( مقياس المقام )
والتكامل الثانى ،نقوم بفك جتاس

           1                          
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ½ جتا²(س/2)
2جتا²(س/2) - 1 + 1

= ½ قا²(س/2)   ثم نكامل بالتعويض ، وبفرض ان

         س                 دص          1
ص = ـــــــــــ   ، ومنها  ــــــــــ = ــــــــــ
         2                   دس         2

اى ان : دس = 2 دص ، بالتعويض ..

½∫ قا²(س/2) دس = ∫قا²(ص) دص

= ظاص    ولكن ص = س/2

اذاً قيمة التكامل الثانى = ظا(س/2)

بالعدوة الى التكامل الاصلى ....

       جاس + 1
∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      جتاس + 1

= ظا(س/2) - لط(جتاس + 1) + ث

تابع القراءة

0 اوجد تكامل 2س * [جاس]^4 دس

∫2س جا^4(س) دس

اولاً نفك المقدار جا^4(س)

جا^4(س) = [جا²س]²

= [½(1-جتا2س)]²

= [¼(1 - 2جتا2س + جتا²(2س)]

= [¼(1 - 2جتا2س + ½(1+جتا(4س)]

= ¼ - ½جتا2س + ⅛(1+جتا(4س)

= ¼ - ½جتا2س + ⅛ + ⅛جتا(4س)

= ⅜ - ½جتا2س + ⅛جتا(4س)

نقوم بضرب ذلك المقدار فى س ، فيصبح

= ⅜س - ½س جتا2س + ⅛س جتا(4س)

ويتضح من خلاله ان التكامل اعلاه ..
∫2س جا^4(س) دس =

2[⅜∫س دس - ½∫س جتا2س دس + ⅛∫س جتا(4س) دس ]

نأخذ كل تكامل على حدى .. اولاً
⅜∫س دس = 3\16 س²

التكامل الثانى :

- ½∫س جتا2س دس

نفرض ان : ف = س
اذاً : دف = دس
، وان : دق = جتا2س دس
بمكاملة الطرفين ..

ق = ½ جا2س ،، بالتعويض ..

- ½∫س جتا2س دس

= -½[½س جا2س - ½∫جا2س دس ]

=  -½[½س جا2س + ¼ جتا2س]

= -¼ س جتا2س - ⅛جتا2س

وأخيراً نوجد التكامل الأخير ..
⅛∫س جتا(4س) دس

نضع : ف = س ، ومنها دف = دس
دق = جتا(4س)دس ومنها ق =¼ جا(4س)

⅛∫س جتا(4س) دس

= ⅛[¼س جا(4س) - ¼ ∫جا(4س) دس]

= ⅛[¼س جا(4س) + (1\16)جتا(4س) ]

= (1\32) س جا(4س) + (1\128) جتا(4س)

اذاً التكاملا اعلاه .. ∫2س جا^4(س) دس

= 2[ 3\16 س² -¼ س جتا2س - ⅛جتا2س
+(1\32) س جا(4س) + (1\128) جتا(4س)] + ث

تابع القراءة