0 هل توجد قاعدة عامة لجمع أى عدد من الكسور ؟

القاعدة تتلخص فى ايجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات .

مثال بسيط :

    3              1
ـــــــــــــــ + ــــــــــــ
   8              14

المضاعف المشترك الأصغر لـ (8 ، 14) = 56

كيف عرفنا ذلك ؟
عن طريق التحليل ....

8 = ³2
14 = 2 × 7

ناخذ 2 مرفوعة لأكبر اس
نأخذ 7 مرفوعة لأكبر اس

³2 × 7 = 56

بقسمة 56 على 8 = 7
بقسمة 56 على 14 = 4

وهذا يعنى أننا سنضرب الكسر الأول بسطاً
ومقاماً فى 7 والكسر الثانى بسطاً ومقاماً فى 4
فيتكون ليدينا .

   3×7         1×4       21 + 4           25
ـــــــــــــــ + ــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ـــــــــــ
  56             56           56             56

واذا وجد إختصار نختصر ....

نفس الشىء ينطبق على مجموع أكثر من كسرين ...

مثال عام ...

   أ           ب        جـ         د
ــــــــــ + ــــــــــ + ــــــــ + ــــــــ + .....
 س         ص        ع         ك

ليكن المضاعف المشترك الأصغر للمقامات = م

فإن :     أ           ب        جـ         د
       ــــــــــ + ــــــــــ + ــــــــ + ــــــــ + .....
         س         ص        ع         ك

     (م/س)أ + (م/ص)ب + (م/ع)جـ + (م/ك)د + ....
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                             م


مثال بسيط حتى تتضح الفكرة ....

  1          3          7          5
ــــــــــ + ـــــــــ + ـــــــــ − ــــــــــ
  3         45          8        12

قبل أن نطبق القاعدة .. هل توجد إختصارات ؟
نعم .. ممكن نختصر 3 مع 45  فنقول 3 على 3 =1
45 على 3 = 15  .


  1          1          7          5
ــــــــــ + ـــــــــ + ـــــــــ − ــــــــــ
  3         15          8        12

3 = 3   ،  15 = 3 × 5   ، 8 = ³2  ، 12 = ²2 × 3

تكون لدينا الأعداد الأولية 2 ، 3 ، 5
نأخذ 2 مرفوعة لأكبر أس ، 3 مرفوعة لأكبر أس ، 5 مرفوعة الأكبر أس .

اذاً م.م.أ(3 ، 15 ، 8 ، 12) = ³2 × 3 × 5 = 120

نطبق القاعدة على الفور ...


 (120\3)1 + (120\15)1 + (120\8)7 − (120\12)5
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                            120

    40 + 8 + 105 − 50        103
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــ
             120                    120

ولا توجد إختصارات بين البسط والمقام أكثر من ذلك ...

تابع القراءة

0 كيف نثبت انه يقبل عدد ما القسمة على 4 اذا كان منطوق كلاً من آحاده وعشراته يقبل القسمة على 4 ؟

بوضع العدد فى صورة النظام العشرى هكذا :

ع =  أ₀+أ₁ (10)+...+ أر (10)^ر   حيث ع عدد طبيعى ما ...

أ₀ رقم الآحاد ، أ₁ رقم العشرات ... وهكذا


ع = أ₀+أ₁ (10) + أ₂(10)² + ... + أر (10)^ر

ع = أ₀+أ₁ (10) + ²10[أ₂ + أ₃(10) + ... + أر(10)^(ر-2)]

ولكن 10² = 100 تقبل القسمة على 4 دائماً

وهذا يؤكد لنا أن ²10[أ₂ + أ₃(10) + ... + أر(10)^(ر-2)]
يقبل القسمة على 4 لأن عامله هو 100 .

اذاً يجب ان يقبل أ₀+أ₁ (10)  القسمة على 4 أيضاً

لاحظ : أ₀+أ₁ (10) = منطوق رقم الآحاد والعشرات .

العدد ع يقبل القسمة على 4 اذا وفقط اذا كان أ₀+أ₁ (10)
يقبل القسمة على 4  .

مثال : 136 تقبل القسمة على 4 لأن 36 تقبل القسمة على 4 

 

(طالع الموضوع الأساسى لقابلية القسمة على طبيعى)

سأوضح لك الأمر بعدد ما : ليكن العدد هو 1324

العدد 1324 يمكن وضعه فى صورة النظام العشرى هكذا :

1324 = 4 + 2(10) + 3(10)² + 1(10)³

بتقسيم العدد الى جزئين هكذا :

[4 + 2(10)] + [3(10)² + 1(10)³]

بأخذ ²10 عامل مشترك ...

= [4 + 2(10)] + ²10 [3 + 10]

الآن حتى يقبل العدد 1224 القسمة على 4
يجب ان يقبل [4 + 2(10)] + ²10 [3 + 10]
القسمة على 4 .

ولكن : ²10 [3 + 10]  بالفعل يقبل القسمة على 4
لأن ²10 = 100 تقبل القسمة على 4 .

اذاً يجب ان يقبل القوس الثانى أيضاً القسمة على 4

وهو : [4 + 2(10)] = 24  والذى عبارة عن منقطوق رقمى الآحاد والعشرات .

فنقول بإختصار : العدد 1324 قبل القسمة على 4 لأن 24 يقبل القسمة على 4 .

تابع القراءة

5 كم عددا يمكن تكوينه من 4 ارقام مختلفه وتحتوي على الرقمين 8،0 ؟

لقد فهمت سؤالك هكذا : كم عدداً يمكن تكوينه
من أربع أرقام مختلفة (اى خانات العدد) ويحتوى
على الرقمين 0 ، 8  ويكون الجواب كالتالى .

هذه هى المجموعة الرئيسية {0 ، 8 ، س ، ص}

الآن جميع الأرقام هى من 0 الى 9 = 10 أرقام
نستثنى منها 0 ، 8 فيتبقى 8 أرقام ....

س تكتب بـ 8 طرق ، ص تكتب بسبع طرق نظراً لأننا
نستثنى  منها قيمة  س

المجموعة السابقة يمكن توليد تبديلات منها عددها 4! = 24

ولكن نريد ان نحذف منها المجموعات التى يكون
الصفر على يسارها لأن الصفر على يسار العدد
ليس له قيمة، وهذه المجموعات الإستثنائية تكون
تعتمد على عدد تبديلات المجموعة {8 ، س ، ص}
وعدد تبيدلاتها معروف وهو 3! = 6

وبناء عليه يصبح عدد المجموعات الناشئة من
التبديل هى 24 - 6 = 18 مجموعة ممكنة .

نلاحظ أيضاً أنه لا فرق مثلاً بين المجموعة {0 ، 8 ، س ، ص}
وبين المجموعة {0 ، 8 ، ص ، س} وهذا لأننا نتعامل مع متغيرات
، فمثلاً اذا كانت س = 1 ، ص = 2  فإننا نضمن من
نفس المجموعة وجود س = 2 ، ص = 1  لأننا نتعامل مع متغيرات
وليس ثوابت تأخذ قيماً محددة، ولهذا نقسم العدد 18 على 2
فتكون جميع المجموعات الممكنة = 9

ونظراً لأن س تكتب بـ 8 طرق ، ص تكتب بـ 7 طرق
اذاً كل مجموعة من الـ 18 مجموعة تكتب بـ 8 × 7 = 56 طريقة .

اذاً عدد الأعداد الممكنة = 9 × 56 = 504 عدد

====================================

ولمراعاة المزيد من الدقة، نكتب جميع التبديلات
الناشئة من المجموعة {0 ، 8 ، س ، ص}

{0 ، 8 ، س ، ص} , {0 ، 8 ، ص ، س}
{0 ، س ، 8 ، ص} , {0 ، س ، ص ، 8}
{0 ، ص ، 8 ، س} , {0 ، ص ، س ، 8}
{8 ، 0 ، س ، ص} , {8 ، 0 ، ص ، س}
{8 ، س ، 0 ، ص} , {8 ، س ، ص ، 0}
{8 ، ص ، 0 ، س} , {8 ، ص ، س ، 0}
{س ، 0 ، 8 ، ص} , {س ، 0 ، ص ، 8}
{س ، 8 ، 0 ، ص} , {س ، 8 ، ص ، 0}
{س ، ص ، 0 ، 8} , {س ، ص ، 8 ، 0}
{ص ، 0 ، 8 ، س} , {ص ، 0 ، س ، 8}
{ص ، 8 ، س ، 0} , {ص ، 8 ، 0 ، س}
{ص ، س ، 0 ، 8} , {ص ، س ، 8 ، 0}

لاحظ عددهم = 4! = 24 ولكن عدد المجموعات
التى الصفر آخر عنصر فيها من اليسار تكون عدد
مكون من 3 خانات لأن الصفر على يسار العدد
ليس له قيمة، ونحن لا نريد ذلك .

وعدد هذه المجموعات الإستثنائية = 3! = 6

أو حتى يمكنك عدهم مباشرة ً بشكل تقليدى .

بقسمة هذا العدد على 2 كما قُلنا ...

اذاً عدد المجموعات الممكنة = (24 - 6 )/2 = 9 مجموعات

ولكن نظراً لأننا نريد عدد مكون من اربعة أرقام مختلفة
يكون فيها دائماً الـ 0 ، 8 فإن كلاً من س ، ص يجب ان
تكون أرقام مختلفة ايضاً، ولما كانت جميع الأرقام من
صفر الى 9 عددها 10 فنطرح منها 0 ، 8 فيتبقى 8
أعداد (تأخذها إحتمالات س الممكنة) فتصبح ص
ذو 7 إحتمالات ممكنة .

الخلاصة :

س تكتب بـ 8 طرق ممكنة .
ص تكتب بـ 7 طرق ممكنة .

اذاً : كل مجموعة تكتب بـ 8 × 7 = 56 طريقة ممكنة .

اذاً : عدد الأعداد الممكنة = 9 × 56 = 504

============================
 الآن بعدما فهمنا ما حدث نريد ان نحل السؤال فى بضعة أسطر ...

المجموعة الرئيسية هى {0 ، 8 ، س ، ص} ، عدد طرق س = 8 ، عدد طرق ص = 7
اذاً عدد طرق (س×ص) = 8 × 7 = 56 ، بقى لنا أن نوجد كم مجموعة يمكن إنشائها ؟
الإجابة هنا تتعلق بعدد تبديلات 0 ، 8 والناتج هو 4 ل 2 = 12 (4 تباديل 2 = 12)
ولكن لا نريد المجموعات التى آخر عنصر فيها صفراً ، لنرى كما عددها ...
{س ، ص ، 8 ، 0} , {س ، 8 ، ص ، 0} , {8 ، س ، ص ، 0}  أى ان عددها 3

ليكون بذلك عدد المجموعات الممكنة = 12 - 3 = 9 مجموعات .

وبناء عليه عدد الأعداد الممكنة = 9 × 56 = 504 عدد ممكنة .
============================
• تعليقات إضافية على ضرب المجموعات وبعض خصائصها •

ان ضرب مجموعة فى نفسها تضمن لنا وجود (س،ص) ، (ص،س)

مثال :

س = {1 , 2 , 3}
ص = {1 , 2 , 3}


س×ص = ص×س = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (1 , 3) ، (2 , 1) ، (2 , 2) ، (2 , 3) ،                  
                            (3 , 1) ، (3 , 2) ، (3 , 3)}

فمثلاً وجود العنصر (1 ، 2) يضمن لنا وجود (2 ، 1) لمجرد اننا ضربنا
مجموعة فى نفسها، واذا حذفنا العناصر (س،س) منها يتبقى لنا
عدد عناصر وقدره 2 × 3 = 6

العناصر المكررة هى (1 ، 1) ، (2 ، 2) ، (3 ، 3)

وهذه خاصية هامة جداً عند ضرب مجموعة فى نفسها ... 

معلومة أخرى :

اذا كانت س = ص فإن س ⊆  ص ، ص ⊆ س  ، س×ص = ص×س
، س ∩ ص = ص ∩ س = س = ص

النقطة الثانية : اذا كان  س ∩ ص = ع

فإن : (س×ص) ∩ (ص×س) = ع²

مثال :

س = {1 , 2 , 3 , 4}
ص = {1 , 2}

س×ص = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (2 , 1) ، (2 , 2) ، (3 , 1) ، (3 , 2)
            ، (4 , 1) ، (4 , 2)}

ص×س = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (1 , 3) ، (1 , 4) ، (2 , 1) ، (2 , 2
            ، (2 , 3) ، (2 , 4)}

لاحظ : س ∩ ص = {1 , 2}

(س×ص) ∩ (ص×س) = {(1 , 1) ، (1 , 2) ، (2 , 1) ، (2 , 2)}

وهذه خاصية أيضاً مهمة جداً عند إجراء ضرب المجموعات ...

تابع القراءة

1 كيف نعيد تعريف إقتران القيمة المطلقة ؟

ق(س) = |أس² + ب س + جـ|

ق(س) = |أس² + ب س + جـ|            

حيث أ ، ب ، جـ ثوابت حقيقية لإقتران .

ويعاد تعريفه بهذا الأسلوب ...

نوجد مجموعة الحل أس²+ب س + جـ = 0

ولتكن الحلول هى : س1 ، س2  وبناء على الحل
نعيد تعريف إقتران  القيمة المطلقة بهذه الطريقة :-
((لتكن س1 < س2))
       
           {أس² + ب س + جـ  ، س1≥س≥س2
ق(س) =
           {-(أس² + ب س + جـ) ، س1<س<س2        

كما ترى فالموضوع غاية فى البساطة ...

مثال : ق(س) = |س² - 3س + 2|

نحل المعادلة : س² - 3س + 2 = 0  بالتحليل ...

(س - 1) (س - 2) = 0  ومنها س = 1 او س = 2


           {س² - 3س + 2     ، 1≥س≥2
ق(س) =
           {-(س² - 3س + 2) ، 1<س<2    

ق(س) = |س² + س - 12|

مثال آخر  :
ق(س) = |س² + س - 12|

نوجد حل المعادلة : س² + س - 12 = 0

(س + 4) (س - 3) = 0

(س+4) = 0    ===> اذاً  س = -4

(س - 3) = 0  ===>  اذاً  س = 3

          {س² + س - 12  ، -4≥س≥3
ق(س) =
          {-(س² + س - 12) ، -4<س<3

تابع القراءة

0 كيف نوجد هذا العدد الذى يقبل تلك الشروط فى قابلية القسمة ؟

عدد يقبل القسمة على 10 ويتبقى 9
ويقبل القسمة على 9 ويتبقى 8
ويقبل القسمة على 8 ويتبقى 7
ويقبل القسمة على 7 ويتبقى 6
.
.
وهكذا
الى ان يقبل القسمة على 2 ويتبقى 1
فما هو هذا العدد ؟

بداية ً نفرض أن هذا العدد هو س، وبترجمة ما
سبق الى مفاهيم أساسية فى نظرية الأعداد
فيتكون لدينا هذا النظام من التطابقات .

(ملحوظة : سأعتبر أن س عدداً طبيعياً)

س+1 ≡ 0 (مود 10)
س+1 ≡ 0 (مود 9)
س+1 ≡ 0 (مود 8)
.
.
.
س+1 ≡ 0 (مود 2)

وكأننا نبحث عن العدد س+1 الذى قبل القسمة
على جميع الأعداد من 1 الى 10 بدون باقٍ .

الإجابة هى المضاعف المشترك الأصغر للأعداد
من 1 الى 10 عن طريقة تحليل كل هذه الأرقام .

2 ، 3 ، 4 = ²2 ، 5 ، 6 = 2×3 ، 7 ، 8 =³2 ، 9 = ²3

10 = 2 × 5

النجد انه تكون لدينا هذه الجموعة من الأعداد الأولية
الفريدة (اى الغير مكررة)

{2 , 3 , 5 , 7}

نأخذ 2 مرفوعة لأكبر أس وكذلك 3 مرفوعة لأكبر أس ... وهكذا

المضاعف المشترك الأصغر = ³2 × ²3 × 5 × 7 = 2520

هذا يعنى أن : س+1 = 2520  ومنها س = 2519

وهذا يعتبر حل ابتدائى لـ س .

اما الحل العام نعممه على بقية المضاعفات الأخيرى
(نلاحظ اننا تعاملنا مع المضاعف المشترك الأصغر فقط)
والتعميم يكون بأخذ مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر نفسه .

نضع : س+1 = 2520 ن

حيث ن عدد طبيعى = {1 , 2 , 3 , ...}

ومنها :  س = 2520ن − 1

لتكون مجموعة س هى :

س = {2519 , 5039 , 7559 , 10079 , .....}


والمعنى أن هذه الأعداد الموجودة فى هذه المجموعة
تحقق الشروط المطلوبه فى سؤالك عن طريق اتباع
القاعدة العامة لتوليد هذه الأعداد : س = 2520ن − 1

تابع القراءة

0 هل هذا الإستنتاج المنطقى صحيح ؟

أ , ب , جـ , د ..... أربع جمل تحتمل الصواب و الخطأ .
جـ جملة صحيحة دائماً .
د خاطئة دائماً .

أ^ب ≡ (أ^ب)^جـ ≡ (أ^ب)vد
أvب ≡ (أvب)^جـ^جـ^جـ^جـ^جـ^جـ ≡ (أvب)vدvدvدvدvدvد

امامك 2^4 = 16 إحتمال، وسنعبر عن 1 = صدق
0 = كذب، ومن المؤكد اننا سنثتثنى منها أشياء
كما وضحت أنت جـ جملة صحيحة دائماً .
د خاطئة دائماً ، وهذا يعنى اننا نريد تكون تبديلات
مع التكرار من المجموعة التالية {أ ، ب ، 1 ، 0}
مع تثبيت 1 ، 0  وكأن التبديل على أ ، ب فقط .

أ  ب  جـ  د  (أ^ب) (أ^ب)^جـ (أ^ب)vد
1  1   1  0    1         1            1        
1  0   1  0   0          0            0
0  1   1  0   0          0            0
0  0   1  0   0          0            0

لاحظ نفس الثلاث أعمدة الأخير لهم نفس القيم .

نذهب الى الجدول البسيط الثانى ولاحظ أن :
جـ^جـ^جـ^جـ ......... = 1 لأنهما يصدقان معاً .
كذا ايضاً 0 = دvدvدvدv ..... لأنهما يكذبان معاً .

(أvب)   (أvب)^جـ ..   (أvب)vد ...
1            1                1
1            1                1
1            1                1
0            0                0

وهذا يؤكد لنا صدق ما ذكرته :

أ^ب ≡ (أ^ب)^جـ ≡ (أ^ب)vد
أvب ≡ (أvب)^جـ ... ≡ (أvب)vد ...

اذاً وفقط اذا  جـ = 1  ،  د = 0

 ------------------ طريقة أخرى للحل ----------------
بالإعتماد على مسلمات الجبر البولينى (اضغط هنا)

المطلوب الأول :

أ ب = أ ب × 1 = أ ب = أب + 0

المطلوب الثانى :

أ+ب = (أ+ب)×1×1×1× ..... = (أ+ب)+0+0+0+ .....

ملحوظة الضرب يدل على ^ والجمع يدل على v  .

 

تابع القراءة

2 كيف نثبت أن sqrt(3) - sqrt(2) لا ينتمى الى Q ؟

فى مثل هذه المسائل البرهان نلجأ الى البرهان بالتناقض .

نفرض أن :  $\sqrt(3) - \sqrt(2) = \frac{a}{b}$

حيث أن العدد اذا كان نسبياً فيمكن وضعه فى
أبسط صوره، ولنفرض أننا قد وضعناه فى أبسط
صورة .. اذاً  gcd(a,b) = 1  والمعنى ان المضاعف
المشترك الأكبر بين a و b  يساوى 1 .

والآن نقوم بتربيع الطرفين ...

$$\left(\sqrt(3) - \sqrt(2)\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$$

$$1 - 2\sqrt(6) = \frac{a^2}{b^2}$$

انت تعلم انه مربع عدد نسبى يعطى عدد نسبى أيضاً .
ولكن الواحد عدد نسبى قطعاً، اذاً حتى تكون الفرضية
السابقة صحيحة يجب ان يكون $\sqrt(6)$ عدد نسبى .
ويمكن ان نتعرف على ذلك من خلال ايجاد $\sqrt(6)$
بدلالة كلاً من a و b  .

وهنا نعمل على فرضية أخرى أيضاً :

ليكن :  $\sqrt(6) = \frac{s}{r}$ حيث gcd(s,r) = 1

وهذا يعنى وفق نظرية الأعداد أن : gsc(a²,b²) = 1

بتربيع الطرفين :     $\frac{s^2}{r^2} = 6$

وهذا يؤكد لنا على أن r² قاسم لـ s² والدليل ان
خارج القسمة 6 ولكن هذا يحولنا الى gcs(a,b) = r²
وهذا بالطبع مخالف قد فرضناه الا أن r² = 1   ومنها
نحصل على فى هذه الحالة على أن : s² = 6
,هذا يعنى أن s² عدد زوجى يقبل القسمة على 2
اذاً s ايضاً تقبل القسمة على 2  لأن 2 عدد أولى .

لتكن :  s = 2k  حيث  k  عدد صحيح .. بالتعويض

4k² = 6  ومنها  2/3 = k² = 4/6  وهذا تناقض لأنه اذا
كان k عدد صحيح فإن مربعه يجب أن يكون صحيح أيضاً .
            
النتيجة : $\sqrt(3) - \sqrt(2)$ لا تنتمي إلى المجموعة Q‏

تابع القراءة

0 اذا كان ق(3) = 5 ، ق'(س) = 4 فما هى قيمة نها(س←3) [ 3 ق ( س) ــ س ق(3)]/[س - 3] ؟

مباشرة ً عند التعويض بـ س = 3  تكون النهاية كمية غير معينة 0/0 .
وهذا يعنى أنه بإمكانك حل السؤال بقاعدة لوبيتال .

           3ق(س) - س ق(3)
نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــــا 3قَ(س) - ق(3)
س←3          س - 3               س←3

= 3قَ(3) - ق(3) = 3(4) - 5 = 7

ان لم تكن اخذت هذه القاعدة بعد (قاعدة لوبيتال) فهذه طريقة أخرى للحل :

نفرض أن : س - 3 = هـ  ومنها  س = 3 + هـ

وعندما س تؤول الى 3  فإن هـ تؤول الى الصفر ... بالتعويض

          3ق(3 + هـ) - ق(3) (3 + هـ)
نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0               هـ

             3ق(3 + هـ) - 3ق(3) - هـ ق(3)
= نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0                  هـ

وبتوزيع البسط على المقام ....

              3ق(3 + هـ) - 3ق(3)               هـ ق(3)
= نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهــــــــا ـــــــــــــــ
   هـ←0           هـ                    هـ←0       هـ

فى النهاية الأولى نأخذ 3 عامل مشترك والنهاية الثانية نقسم
على العامل الصفرى هـ .

                ق(3 + هـ) - ق(3)
= 3 نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ - ق(3)
     هـ←0            هـ

ما رأيك .. اليست النهاية عبارة عن ق'(3)  ؟

= 3ق'(3) - ق(3)   بالتعويض بالذى ذكره لك فى السؤال ...

= 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7

تابع القراءة

0 كيف نوجد الأعداد الناقصة التى تحقق هذا النظام ؟

ما هي الارقام التي يجب ان نضعهم بالفراغ مع العلم انه يمكن ان استخدم الارقام من 1 الى 9 فقط.


    8   - ..... + ..... = 4

    +      -        +

  ..... + ..... - ..... = 0

  -         +       -
 ..... -  ..... +   1   = 5

  =      =       =
  2       7       8
---------------------------------------------------

نضع مكان هذه النقاط رموز معينة

 
    8   -  س +  ص = 4

    +      -        +

   ع  +  م  -  ن     = 0

  -        +       -

 هـ   -   و  +    1   = 5

  =      =       =
  2       7       8

فيتكون لدينا هذا النظام من المعادلات .
(بعد وضع المجاهيل فى طرف والأعداد فى طرف)

- س + ص = -4

ع + م - ن = 0

هـ - و = 4

ع - هـ = -6

س - م + و = 7

ص + ن  = 9

----------------------------------

وبما أن جميع هذه المجاهيل هى أرقام من 1 الى 9

مما يعنى أنه بإمكاننا حل المعادلة الأولى على حدى .

- س + ص = -4 ===> ص = س - 4

والمطلوب هو ايجاد جميع الحلول س ، ص الصحيحة
المحصورة فى المجموعة {1 , 2 , 3 , .... ,9}

س = 5    عندما  ص = 1

س = 6    عندما  ص = 2

س = 7  عندما    ص = 3

س = 8  عندما    ص = 4

س = 9  عندما   ص = 5

ولكى نعرف أى ً من هذه الحلول صحيحة ينبغى
أن ننتقل الى حل معادلة أخرى ... ولتكن :

ص + ن - 1 = 8   ===> ن = 9 - ص

ص = 1    عندما  ن = 8
ص = 2    عندما  ن = 7
ص = 3    عندما  ن = 6
ص = 4    عندما  ن = 5
ص = 5   عندما   ن = 4

وبعدها يتكون لدينا الجدول الآتى مكونا ً لديناً
جميع الحلول الممكنة س ، ص ، ن   (معاً)

س          ص           ن
5             1            8
6             2            7
7             3            6
8             4            5
9             5            4

وبالعودة الى النظام السابق :

(بجمع جميع معادلات النظام) فينتج لنا :

ص + ع = 5   ===> ع = 5 - ص

ص = 1  عندما  ع = 4
ص = 2  عندما ع = 3
ص = 3  عندما ع = 2
ص = 4  عندما ع = 1

لاحظ لا يجوز التعويض بـ ص = 5

ليتكن لدينا الجدول التالى :

س    ص    ع      ن
5       1     4       8
6       2     3       7
7       3     2       6
8       4     1       5

ننطلق الى المعادلة الثانية من النظام فيها :

ع + م - ن = 0   ===> م = ن - ع

ولن اعيد خطوات ذكرتها بنفس الفكرة،
المهم سيتغير شكل الجدول لدينا الى :-

س    ص    ع    م    ن
5       1     4    4    8
6       2     3    4    7
7       3     2    4    6
8       4     1    4    5

ننطلق الى المعادلة الرابعة :

ع - هـ = -6  ===> هـ = ع + 6

فيتشكل لدينا الجدول التالى ...

س    ص    ع    م    ن    هـ  
6       2     3    4    7     9
7       3     2    4    6     8
8       4     1    4    5     7

لاحظ تم شطب الصف الأول بأكمله
لأنه عند التعويض بـ ع = 4 ستكون
هـ = 10 وهذا مرفوض .

ننطلق الى المعادلة الثالثة من النظام ...

هـ - و = 4   ===>  و = هـ - 4

فيتكون لدينا الجدول بشكله الأخير ...

س    ص    ع    م    ن    هـ     و
6       2     3    4    7     9     5
7       3     2    4    6     8     4
8       4     1    4    5     7     3

والمعنى ان هناك ثلاث حلول ممكنة تحل
السؤال الذى طلبه، وهذا شكل من الأشكال
بعد التعويض بالحل الأول فقط ...

   8   −   6   +   2   = 4

   +       −        +

   3   +   4   −   7   = 0

  −         +        −

  9   −   5   +   1   = 5

  =      =       =
  2       7       8 


للمزيد اضغط هنا

تابع القراءة

0 اثبت انه اذا كان : اذا كان : أ > س > ب فإن 1/ب > س > 1/أ ؟

   1               1             1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
  ب             س             أ

ويمكن اثبات ذلك نقول :

بما أن : أ > س > ب

اذاً : أ - س  ،  س - ب كلاهم أكبر من الصفر

والآن نريد ان نبين أن :

   1               1             1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
  ب             س             أ
     
                            1            1
أولاً نتحقق من أن : ـــــــــــــ - ــــــــــــ > 0
                           ب           س

نحسب حساب عادى جداً (نوحد المقامات ...)

    1              1             س - ب
ـــــــــــــــ - ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
   ب            س              ب س

ولكننا ذكرنا أن  س - ب  أكبر من الصفر ولهذا
يجب ان نتحقق ايضاً من ان المقام وهو  ب س
أكبر من الصفر .

وبالفعل ب س أكبر من الصفر  لماذا ؟

نقول : بما أن  س - ب أكبر من الصفر  اذاً

س > ب   بضرب الطرفين فى ب

ب س > ب²   ولكن نحن نعلم انه اذا كانت ب عدد حقيقى

ما خلا الصفر .

فإن التربيع دائماً يكون عدد موجب،

                                1               1
وبهذا نكون اثبتنا أن :  ـــــــــــــــ -  ـــــــــــــــــ > 0
                               ب              س

وهكذا نكون اثبتنا الشق الأول من السؤال، والشق الثانى
يكون بنفس الطريقة بحيث نثبت أن :

     1                 1
ـــــــــــــــــ  - ـــــــــــــــــ > 0
    س               أ

علماً أن لدينا علاقة تقول : أ - س > 0

وبعد اثبات الشق الثانى نتحقق من أنه  :


اذا كان : أ > س > ب  فإن

   1               1             1
ـــــــــــــ > ــــــــــــــ > ـــــــــــــ
  ب             س             أ

طبعاً ما سبق صحيح فى حالة كان :

أ ، ب ، س تنتمى لـ ح - {0}

حيث لا يجوز القسمة الصفر . 

تابع القراءة

0 كيف نوجد نها(س←0) [لط(1 - س²) - لط(جتاس)]/س² بدون استخدام قاعدة لوبيتال ؟

لقد اوجدت النهاية بالفعل بدون قاعدة لوبيتال لكن هذا
يتطلب منا ان نعلم مسبقاً التالى :
                                           1
اذا كنا نعلم أن : نهـــــــــــا (1 + ــــــــــ)^س = هـ
                   س←∞             س

                        1                1    
فإن : نهـــــــا (1 - ــــــــ)^س = ــــــــــ
      س←∞       س               هـ

حيث هـ هو العدد النيبيرى ...
------------------------------------------------------------------
بالعودة الى مسألتك، بعد توزيع البسط على المقام ...

          لط(1 - س²)            لط(جتاس)
نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــ
س←0       س²        س←0     س²


             لط(1 - س²)            2لط(جتاس)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــ
  س←0       س²        س←0     2س²


             لط(1 - س²)                لط(جتا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ـــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0     س²

             لط(1 - س²)                لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0     س²

             لط(1 - س²)                جا²س لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0  جا²س  س²

                     جا²س
ولكن : نهــــــــا ـــــــــــــــ = 1
       س←0      س²

ولهذا نقوم بعزلها من النهاية الثانية فتصبح النهاية بهذا الشكل ...

             لط(1 - س²)                لط(1 - جا²س)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0    جا²س


فى النهاية الثانية نفرض أن جاس = ع وعندما س
تؤول للصفر فإن ع ايضاً تؤول للصفر .. بالتعويض

             لط(1 - س²)                  لط(1 - ع²)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              ع←0       ع²

ما الفرق بين النهاية الأولى والنهاية الثانية ؟

الإجابة : لا فرق ...

اذاً بكل بساطة نستطيع ان نقول أن النهاية اصبحت :

             لط(1 - س²)                  لط(1 - س²)
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــ - ½ نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
  س←0       س²              س←0       س²

                  لط(1 - س²)              
= ½ نهــــــــا ــــــــــــــــــــ
     س←0         س²        

           1
بوضع ـــــــــــــ = ص   ومنها ص تؤول الى ∞
         س²

وبعدها تأخذ النهاية هذا الشكل ...

                                  1                      
= ½ نهــــــــا  ص لط(1 - ـــــــــ)
     ص←∞                  ص    

                              1                      
= ½ نهــــــــا  لط(1 - ـــــــــ)^ص
     ص←∞              ص    

              1
= ½ لط(ـــــــــ) = ½ × -1 = -½
            هـ

             

تابع القراءة