0 كيف نوجد الجذر التكعيبى لـكلاً من 2744 ، 512 ؟
الثلاثاء، 30 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة,
نظرية الاعداد
قم بالتحليل مباشرة ً ..
اعطى تخمينا كبيراً نوعاً ما لقابلية العدد 2744
على عدد كبير، فنحن نعلم انه يقبل القسمة
على 2 لأنه عدد زوجى، ولكن هل يوجد عدد
أكبر من ذلك حتى نتخلص من القسمة فى وقت
قصير ؟ للإجابة على هذا السؤال فأنت بحاجة
لمعرفة قواعد قابلية القسمة [مرجع 1] لا سيما
البسيطة منها، وهذا يعتمد فى الأول والأخير على
خبرتك وممارستك لتحليل الأعداد بشكل مستمر
مثلاً عندما رأيت العدد خمنت انه يقبل القسمة
على 7 لأن هناك قاعدة بسيطة [فى نفس مرجع 1]
مضمونها : يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان
حاصل ضرب ضعف آحاده من العدد الأصلى (بعد حذف
الآحاد منه) يقبل القسمة على 7 .
ولديك : 2744 يقبل القسمة على 7 ولإثبات ذلك
نجرى الخطوات الآتية :
274 - 2(4) = 266 مازال العدد كبيراً ؟ ..
وهنا نكرر الخوارزمية مرة ثانية ..
26 - 2(6) = 14 وهنا نتوقف لأنه بالفعل 14
تقبل القسمة على 7 .
لاحظ : كل هذه الخطوات ربما تجرى ذهنياً وكتبتها
هنا لغرض التوضيح، والآن نقوم بقسمة العدد
على7 بقواعد القسمة لبسيطة التى تعلمها
من اليسار الى اليمين، واذا وجد باقى جًُمع
على العدد الذى يليه وهكذا الى ان نأتى بآخر
عدد على اليمين .
2744 ÷ 7 = 392
ثم نسأل هل يقبل القسمة على 7 مرة أخرى ؟
نجرب الخوارزمية : 39 - 2(2) = 35 بالفعل يقبل ...
392 ÷ 7 = 56 ونحن نعلم أن 56 = 8 × 7
وبناء على هذا نكون قد قسمنا العدد 2744
على 7 ثلاث مرات متعاقبة ... وتبقى 8 .
اذاً : 2744 = ³7 × 8
ولكن من الأفضل ان نحلل العدد الى عوامله الأولية ..
فـ 8 = 2×2×2 = ³2
اذاً : 2744 = ³7 × 2³ = (2 × 7)³ = (14)³
وبناء عليه فإن الجذر التكعيبى لـ(2744) = 14
------------------------------------------------------
العدد الثانى صغير نسبياً، يكفى ان تعلم أن :
512 = 2^9 = (³2)³ = ³8
ولهذا فإن : الجذر التكعيبى لـ(512) = 8
اعطى تخمينا كبيراً نوعاً ما لقابلية العدد 2744
على عدد كبير، فنحن نعلم انه يقبل القسمة
على 2 لأنه عدد زوجى، ولكن هل يوجد عدد
أكبر من ذلك حتى نتخلص من القسمة فى وقت
قصير ؟ للإجابة على هذا السؤال فأنت بحاجة
لمعرفة قواعد قابلية القسمة [مرجع 1] لا سيما
البسيطة منها، وهذا يعتمد فى الأول والأخير على
خبرتك وممارستك لتحليل الأعداد بشكل مستمر
مثلاً عندما رأيت العدد خمنت انه يقبل القسمة
على 7 لأن هناك قاعدة بسيطة [فى نفس مرجع 1]
مضمونها : يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان
حاصل ضرب ضعف آحاده من العدد الأصلى (بعد حذف
الآحاد منه) يقبل القسمة على 7 .
ولديك : 2744 يقبل القسمة على 7 ولإثبات ذلك
نجرى الخطوات الآتية :
274 - 2(4) = 266 مازال العدد كبيراً ؟ ..
وهنا نكرر الخوارزمية مرة ثانية ..
26 - 2(6) = 14 وهنا نتوقف لأنه بالفعل 14
تقبل القسمة على 7 .
لاحظ : كل هذه الخطوات ربما تجرى ذهنياً وكتبتها
هنا لغرض التوضيح، والآن نقوم بقسمة العدد
على7 بقواعد القسمة لبسيطة التى تعلمها
من اليسار الى اليمين، واذا وجد باقى جًُمع
على العدد الذى يليه وهكذا الى ان نأتى بآخر
عدد على اليمين .
2744 ÷ 7 = 392
ثم نسأل هل يقبل القسمة على 7 مرة أخرى ؟
نجرب الخوارزمية : 39 - 2(2) = 35 بالفعل يقبل ...
392 ÷ 7 = 56 ونحن نعلم أن 56 = 8 × 7
وبناء على هذا نكون قد قسمنا العدد 2744
على 7 ثلاث مرات متعاقبة ... وتبقى 8 .
اذاً : 2744 = ³7 × 8
ولكن من الأفضل ان نحلل العدد الى عوامله الأولية ..
فـ 8 = 2×2×2 = ³2
اذاً : 2744 = ³7 × 2³ = (2 × 7)³ = (14)³
وبناء عليه فإن الجذر التكعيبى لـ(2744) = 14
------------------------------------------------------
العدد الثانى صغير نسبياً، يكفى ان تعلم أن :
512 = 2^9 = (³2)³ = ³8
ولهذا فإن : الجذر التكعيبى لـ(512) = 8
0 أب ج ء مربع فيه أ=(3،-2) ،ج=(1، 4) فأوجد ميل ب ء ومعادلته ؟
التسميات:
هندسة تحليلية
من خلال مراجعتى لسؤالك تبين لى انك قد
كتبت السؤال بطريقة خاطئة حيث أن أ ب جـ د
ليس مربع وانما مستطيل، ولهذا وجب عليك ان
تكتب سؤالك بطريقة سليمة .
اعتقد ان المربع هو أ جـ ب د
ميل أ جـ كما قلنا = -3
ولكن ب د // أ جـ اذاً ميل ب د = ميل أ جـ
معادلة ب د هى : ص = -3س + ث حيث ث ثابت .
الآن النقطة د تحقق المستقيم ب د (لكنها غير معلومة)
تستطيع ايجادها بالطريقة التى تناسبك، واقترح عليك الآتى :-
طول أ جـ = طول أ د ومن خلال استعمال قانون البعد
بين نقطتين نصل الى أن (نفرض أولاً أن د = (س،ص) )
أ د = جذر[(س - 3)²+(ص + 2)²] = 2جذر(10)
بتربيع الطرفين ...
(س - 3)² + (ص + 2)² = 40 ==> (1)
نحتاج الى معادلة ثانية ...
لديك طول القطر جـ د = جذر(2)×2جذر(10) = 4جذر(5)
حصلنا عليها من خلال مبرهنة فيثاغورث ...
ولكن يمكنك ايجاد طول القطر عن طريق قانون البعد بين نقطتين أيضاً .
طول القطر هو جـ د .
جـ د = جذر[(س - 1)² + (ص - 4)²] = 4جذر(5)
(س - 1)² + (ص - 4)² = 80 ==> (2)
بحل (1) ، (2) توصلنا الى س ، ص وبالتالى نكون قد
حصلنا على النقطة د التى تحقق المستقيم ب د .
بطرح (1) من (2) .
(س-1)² - (س-3)² + (ص-4)² - (ص+2)² = 80-40 = 40
استعمل قانون الفرق بين مربعين من أجل التبسيط .
2(2س - 4) - 6(2ص - 2) = 40
4(س - 2) - 12(ص - 1) = 40 بقسمة الطرفين على 4 .
(س - 2) - 3(ص - 1) = 10 قم بفك الأقواس ...
س - 2 - 3ص + 3 = 10 رتب الحدود واختصر ...
س = 3ص + 9 ==> (3) بالتعويض فى (1)
(س - 3)² + (ص + 2)² = 40 ==> (1)
(3ص+6)² + (ص+2)² = 40
[3(ص+2)]² + (ص+2)² = 40
9(ص+2)² + (ص+2)² = 40
10(ص+2)² = 40 بقسمة الطرفين على 10
(ص+2)² = 4 ومنها ص+2 = ± 2
ص = 0 أو ص = -4
بالتعويض فى معادلة (3) : س = 3ص + 9
س = 9 أو س = -3
الحل الأول والثانى مقبول من حيث انه يجعل الشكل
مربعاًً ، ولكن الحل الثانى فقط مقبول كونه يحافظ على
الترتيب الذى اشرطناه فى بادىء الحل ، ويمكن التعريف
على ذلك من خلال تمثيل هذه النقاط على الشبكة
التربيعية .
الإحداثى س ، ص هذا يحقق ب د .. بالتعويض .
فى المعادلة : ص = -3س + ث
-4 = 9 + ث ومنها ث = -13
اذاً معادلة المستقيم ب ء هى :
ص = -3س - 13
كتبت السؤال بطريقة خاطئة حيث أن أ ب جـ د
ليس مربع وانما مستطيل، ولهذا وجب عليك ان
تكتب سؤالك بطريقة سليمة .
اعتقد ان المربع هو أ جـ ب د
ميل أ جـ كما قلنا = -3
ولكن ب د // أ جـ اذاً ميل ب د = ميل أ جـ
معادلة ب د هى : ص = -3س + ث حيث ث ثابت .
الآن النقطة د تحقق المستقيم ب د (لكنها غير معلومة)
تستطيع ايجادها بالطريقة التى تناسبك، واقترح عليك الآتى :-
طول أ جـ = طول أ د ومن خلال استعمال قانون البعد
بين نقطتين نصل الى أن (نفرض أولاً أن د = (س،ص) )
أ د = جذر[(س - 3)²+(ص + 2)²] = 2جذر(10)
بتربيع الطرفين ...
(س - 3)² + (ص + 2)² = 40 ==> (1)
نحتاج الى معادلة ثانية ...
لديك طول القطر جـ د = جذر(2)×2جذر(10) = 4جذر(5)
حصلنا عليها من خلال مبرهنة فيثاغورث ...
ولكن يمكنك ايجاد طول القطر عن طريق قانون البعد بين نقطتين أيضاً .
طول القطر هو جـ د .
جـ د = جذر[(س - 1)² + (ص - 4)²] = 4جذر(5)
(س - 1)² + (ص - 4)² = 80 ==> (2)
بحل (1) ، (2) توصلنا الى س ، ص وبالتالى نكون قد
حصلنا على النقطة د التى تحقق المستقيم ب د .
بطرح (1) من (2) .
(س-1)² - (س-3)² + (ص-4)² - (ص+2)² = 80-40 = 40
استعمل قانون الفرق بين مربعين من أجل التبسيط .
2(2س - 4) - 6(2ص - 2) = 40
4(س - 2) - 12(ص - 1) = 40 بقسمة الطرفين على 4 .
(س - 2) - 3(ص - 1) = 10 قم بفك الأقواس ...
س - 2 - 3ص + 3 = 10 رتب الحدود واختصر ...
س = 3ص + 9 ==> (3) بالتعويض فى (1)
(س - 3)² + (ص + 2)² = 40 ==> (1)
(3ص+6)² + (ص+2)² = 40
[3(ص+2)]² + (ص+2)² = 40
9(ص+2)² + (ص+2)² = 40
10(ص+2)² = 40 بقسمة الطرفين على 10
(ص+2)² = 4 ومنها ص+2 = ± 2
ص = 0 أو ص = -4
بالتعويض فى معادلة (3) : س = 3ص + 9
س = 9 أو س = -3
الحل الأول والثانى مقبول من حيث انه يجعل الشكل
مربعاًً ، ولكن الحل الثانى فقط مقبول كونه يحافظ على
الترتيب الذى اشرطناه فى بادىء الحل ، ويمكن التعريف
على ذلك من خلال تمثيل هذه النقاط على الشبكة
التربيعية .
الإحداثى س ، ص هذا يحقق ب د .. بالتعويض .
فى المعادلة : ص = -3س + ث
-4 = 9 + ث ومنها ث = -13
اذاً معادلة المستقيم ب ء هى :
ص = -3س - 13
0 كيف نثبت ان أكبر زاوية فى المثلث قطعاً هى أكبر من 60 درجة ؟
الاثنين، 29 أكتوبر 2012
التسميات:
حساب مثلثات,
هندسة مستوية
• مجموع زوايا المثلث = 180 درجة .
ليكن المثلث هو أ ب جـ ، لدينا : أ + ب + جـ = 180 ومنها : أ + جـ = 180 - ب
لتكن الزاوية ب أكبر زاوية ... هذا يؤدى بنا الى أن : ب > أ ، ب > جـ
بجمع المتباينتين معاً : 2ب > أ + جـ ولكن أ + جـ = 180 - ب .. بالتعويض
2ب > 180 - ب بجمع ب للطرفين ...
3ب > 180 بقسمة الطرفين على 3
ب > 60 وهو المطلوب إثباته .
ليكن المثلث هو أ ب جـ ، لدينا : أ + ب + جـ = 180 ومنها : أ + جـ = 180 - ب
لتكن الزاوية ب أكبر زاوية ... هذا يؤدى بنا الى أن : ب > أ ، ب > جـ
بجمع المتباينتين معاً : 2ب > أ + جـ ولكن أ + جـ = 180 - ب .. بالتعويض
2ب > 180 - ب بجمع ب للطرفين ...
3ب > 180 بقسمة الطرفين على 3
ب > 60 وهو المطلوب إثباته .
2 صندوق يحوي 12 تفاحة منها 4 تالفة اختير منها 3 تفاحات عشوائيا ما احتمال ان تكون الثلاث تفاحات سليمة ؟
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
تحدد الإجابة بسحب طريقة السحب، فإذا كانت
طريقة السحب آنية - أى يتم سحب الثلاث كرات
معاً - فإننا نستعمل التوافيق هنا ، واذا كانت طريقة
السحب بالتتبع والتتالى فإننا نستعمل التباديل .
عدد التفاحات السليمة = 12 - 4 = 8
أولاً : اذا كانت طريقة السحب (آنية)
عدد جميع الطرق الممكنة للسحب = 12ق3
عدد جميع الطرق الممكنة لسحب ثلاث
تفاحات سليمة = 8ق3
8ق3 56 14
الإحتمال هنا = ـــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــ
12ق3 220 55
ثانياً : اذا كانت طريقة السحب (بالتتالى)
نستطيع ان نستشف نفس خطوات الحل السابقة
مستخدمين هذه المرة (التباديل)
8ل3 14
فنقول : الإحتمال = ـــــــــــ = ــــــــــ
12ل3 55
هذا يعنى انه سواء كانت طريقة السحب (آنية)
او بالتتبع والتتالى فإن إحتمال سحب ثلاث كرات
سليمة هو 14\55 .
طريقة السحب آنية - أى يتم سحب الثلاث كرات
معاً - فإننا نستعمل التوافيق هنا ، واذا كانت طريقة
السحب بالتتبع والتتالى فإننا نستعمل التباديل .
عدد التفاحات السليمة = 12 - 4 = 8
أولاً : اذا كانت طريقة السحب (آنية)
عدد جميع الطرق الممكنة للسحب = 12ق3
عدد جميع الطرق الممكنة لسحب ثلاث
تفاحات سليمة = 8ق3
8ق3 56 14
الإحتمال هنا = ـــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــ
12ق3 220 55
ثانياً : اذا كانت طريقة السحب (بالتتالى)
نستطيع ان نستشف نفس خطوات الحل السابقة
مستخدمين هذه المرة (التباديل)
8ل3 14
فنقول : الإحتمال = ـــــــــــ = ــــــــــ
12ل3 55
هذا يعنى انه سواء كانت طريقة السحب (آنية)
او بالتتبع والتتالى فإن إحتمال سحب ثلاث كرات
سليمة هو 14\55 .
0 ماهي الخطوات التي أجريها لتكوين المعادله التفاضليه ؟
الخميس، 25 أكتوبر 2012
التسميات:
التفاضل والتكامل
سيكون من المفيد جداً مطالعتك لمرجع [1]
بحيث وضع ملخصاً سريعاً لكيفية تكوين
معادلة تفاضلية من خلال حدها العام بحيث
اذا كانت تحتوى على n من الثوابت فإنه يتم
اشتقاقها n مرة، ثم نحن من نحدد المعادلة
التفاضلية تكون فى اى متغير x ام y ... الخ
وآخر خطوة هى التخلص من الثوابت الإختيارية
بأى طريقة تناسبك، كأن نقوم بالإستعاضة عن
هذه الثوابت بدلالة الدالة نفسها او جزء منها .
وأعطى مثال توضيحى على ذلك ....
كون المعادلة التفاضلية التى حلها العام هو :
$y = a \cos(px - c)$
حيث كلاً من a , c ثابتين اختياريين، p ثابت مطلق .
نجرى الإشتقاق على هذه المعادلة مرتين متتاليتين
نظراً لوجود ثابتين اختياريين .
$y' = - pa \sin(px - c)$
$y" = - p^2 a \cos(px - c)$
الخطوة الأخيرة نتخلص من الثوابت الإختيارية ..
نعلم أن : $a cos(px - c) = y$ بالتعويض ...
اذاً : $y" = - p^2 y$ وهى معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية .
مثال 2) من نفس الكتاب ... أوجد المعادلة التفاضلية
لمجموعة الدوائر المتساوية ؟
الحل : نفرض أن نصف القطر لهذه الدوائر هو r .
فتكون معادلة مجموعة الدوائر هى :
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
بحيث النقطة (a,b) الإحداثيات المختلفة لمراكز هذه
الدوائرة المتساوية فى القطر ويعتبرا هنا ثوابت اختيارية
ولكن r ثابت مطلق .. لماذاً ؟ لأنه يعتبر عن نصف القطر
الثابت حتى يعطينا مفهوم مجموع الدوائر المتساوية
فى نصف القطر (او القطر) لكنها مختلفة المركز فقط .
بمفاضلة المعادلة (ضمنياً) بالنسبة لـ x .
$ 2(x - a) + 2y'(y - b) = 0$
بقسمة الطرفين على 2 ...
$(x - a) + y'(y - b) = 0$
نشتق المعادلة مرة ثانية بالنسبة لـ x .
(ونستعمل هنا قاعدة الضرب بالنسبة للحد
الثانى : مشتقة الأول×الثانى+ مشتقة
الثانى×الأول)
$1 + y"(y - b) + y'^2 = 0$
تأتى المرحلة الأخيرة وهى التخلص من الثوابت الإختيارية ...
سنقوم بوضع ما حصلنا على لكن فى صورة أخرى ...
$y - b = -(1+y'²)/y"$
ثم نعود بالخلف ونعوض فى المعادلة :
$(x - a) + y'(y - b) = 0$
المهم انه بعد التعويض واجراء بعض الخطوات
البسيطة فإننا نحصل على التالى، ونتذكر ان
اهم شىء هو محاولة التخلص من الثوابت
الإختيارية بأى طريقة صحيحة ومناسبة .
$x - a = y'(1+y'²)/y" $
ومن خلال التعويين السابصاً سيكون من
السهل جداً التعويض بهما فى المعادلة
الأصلية : $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
$\frac{y'^2(1+y'^2)^2}{y"^2} + \frac{(1+y'^2)^2}{y"^2} = r^2$
$\frac{(1+y'^2)^2 (1+y'^2)}{y"} = r^2$
$
\frac{(1+y'^2)^3}{y"^2} = r^2$
وأخير بأخذ الجذر التربيع للطرفين ...
$\frac{\sqrt{(1+y'^2)^3}}{y"} = r$
وهكذا تكونت المعادلة التفاضلية لجميع الدوائر
المتساوية فى نصف القطر .
===========================
مثال 3) من نفس الكتاب .
برهن على أن المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
(يقصد شكل القطع المكافىء) التى محورها x هى
$y y" + y'^2 = 0$
الحل : الصورة العامة لمعادلة القطع المكافى
الذى محوره x تكون على الشكل :
$y^2 = 4a(x - b)$
وبإجراء التفاضل مرتين ....
$2y y' = 4a$ بالقسمة على 2
$y y' = 2a$ نشتق مرة ثانية ...
(بإستخدام قاعدة حاصل الضرب product rule)
$y'² + y y" = 0$ #
وبعد مفاضلة العلاقة لا توجد ثوابت إختيارية، وبهذا
نكون قد كونا المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
التى محورها x .
-------------------------------------------------------------
نعلم الدوال الإختيارية تعتبر ثوابت، لكنها ليست
بالضرورة ان تكون مطلقة، فالثوابت الغير مطلقة
هى التى نعتمد على تغيريها لينتج من ذلك معادلة
تفاضلية جديدة .. اذاً فتم اعتمادها ثوابت على (فرضاً)
على أساس نحن من نحدد قيماً لها من خلال التعويض
فى الحل العام لإنتاج معادلات تفاضلية جديدة من هذا
الحل العام .
مثال : اذا كان a ثابت اختيارى فى حل عام لمعادلة
تفاضلية ما فإن $a^2 + \sin(a)$ مثلاً تعتبر دالة او
ثابت اختيارى أيضاً ...
=============================
مرجع[1] : كتاب pdf يشرح فى خطوات بسيطة كيفية تكوين معادلة تفاضلية من خلال حلها العام .
مرجع[2] : Differential equations - Formation of Differential Equations
2 اوجد قياس اصغر زوايا المثلث ا ب جـ الذي فيه 15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ
الأربعاء، 24 أكتوبر 2012
التسميات:
حساب مثلثات,
هندسة مستوية
حقيقة : قياس أصغر زواية فى المثلث هى التى تقابل أصغر ضلع .
15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ
أصغر ضلع هو أ ب لماذاً ؟ لأن اصغر ضلع
هو الذى معامله يكون أكبر .. كيف ذلك ؟
اذا قُلنا أن 1 دولار = 6 جنيه (تقريباً)
هذا يعنى أن الجنيه أقل من الدولار .
الضلع أب تقابله الزواية جـ ..
اذا كان هذا الشىء يبدو ساذجاً عندك فأسعمل
قوانين النسبة والتناسب :
نفرض أن : 15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ = م
حيث م = ثابت التناسب .
وهذا يدلنا على اننا يمكن أن نضع التناسب
السابق لكن فى صورة أخرى .....
أ ب ب جـ أ جـ
ــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــــ = م
(1\15) (1\10) (1\12)
هذا يعنى أن النسبية بين اضلاع المثلث كـنسبة
(1\15) : (1\10) : (1\12) ، وبإستعمال قانون جيب
التمام نوجد قياس اصغر زاوية التى تقابل اصغر ضلع
وهى الزاوية جـ .
(ب جـ)² + (أ جـ)² - (أ ب)²
جتاجـ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2(ب جـ) (أ جـ)
(1\10)² + (1\12)² - (1\15)² 3
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ
2(1\10)(1\12) 4
اذاً : جـ = جتا^-1(3\4) ≈ "34.64 '24 41ْ
اى : 41 درجة ، 24 دقيقة ، 34.64 ثانية .
15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ
أصغر ضلع هو أ ب لماذاً ؟ لأن اصغر ضلع
هو الذى معامله يكون أكبر .. كيف ذلك ؟
اذا قُلنا أن 1 دولار = 6 جنيه (تقريباً)
هذا يعنى أن الجنيه أقل من الدولار .
الضلع أب تقابله الزواية جـ ..
اذا كان هذا الشىء يبدو ساذجاً عندك فأسعمل
قوانين النسبة والتناسب :
نفرض أن : 15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ = م
حيث م = ثابت التناسب .
وهذا يدلنا على اننا يمكن أن نضع التناسب
السابق لكن فى صورة أخرى .....
أ ب ب جـ أ جـ
ــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــــ = م
(1\15) (1\10) (1\12)
هذا يعنى أن النسبية بين اضلاع المثلث كـنسبة
(1\15) : (1\10) : (1\12) ، وبإستعمال قانون جيب
التمام نوجد قياس اصغر زاوية التى تقابل اصغر ضلع
وهى الزاوية جـ .
(ب جـ)² + (أ جـ)² - (أ ب)²
جتاجـ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2(ب جـ) (أ جـ)
(1\10)² + (1\12)² - (1\15)² 3
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ
2(1\10)(1\12) 4
اذاً : جـ = جتا^-1(3\4) ≈ "34.64 '24 41ْ
اى : 41 درجة ، 24 دقيقة ، 34.64 ثانية .
1 كيفية نشر الدالة مكعب ؟
السبت، 20 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
يجب ان تذكر نوع الدالة ...
فمثلاً ربما تقصد الآتى :
(س + أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³
بعيداً عن نظرية ذات الحدين يمكنك نشر هذا المكعب من خلال مفهومك لمفكوك المربع الكامل .
مفكوك المربع الكامل = مفكوك (س + أ)²
= س² + 2أس + أ²
الآن : (س + أ)³ = (س + أ)² (س + أ)
= (س² + 2أس + أ²) (س + أ)
وهنا نستعمل خاصية عامة جداً وهى من خصائص حقل الأعداد الحقيقية بل والمركبة
أيضاً وهى خاصية التوزيع، نقوم بتوزيع س على القوس الكبير، وبعدها نوزع أ ايضاً على
نفس القوس .
= س³ + 2أس² + أ²س + أس² + 2أ²س + أ²
والآن قم بجمع الحدود المشابهة معاً
مثال : الحدين أس² ، 2أس² متشابهين فهم مختلفين فقط فى المعامل، فالأول
معامله 1 والثانى معامله 2، اذاً فالمجموع هو (1 + 2) أس² = 3أس² وهكذا ...
فيتكون لديك هذا الشكل أخيرا ...
(س+أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³
اما اذا كان المقصود هو نشر مكعب لعدد ن من الحدود فهذا أمر آخر ...
مثال : (أ+ب+جـ)³ = أ³+ب³+جـ³ + 3[أب(أ+ب) + أجـ(أ+جـ) + ب جـ(ب+جـ)] + 6أ ب جـ
ويمكنك تعميم الطريقة بصفة عامة لعدد ن من الحدود ...
مثال آخر ...
(أ+ب+جـ+د)³ = أ³+ب³+جـ³+د³ + 3[أب(أ+ب)+ أجـ(أ+جـ) + أد(أ+د) + ب جـ(ب+جـ)
+ ب د(ب+د) + جـ د(جـ+د)] + 6(أ ب جـ + أ ب د + أ جـ د + ب جـ د)
فمثلاً ربما تقصد الآتى :
(س + أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³
بعيداً عن نظرية ذات الحدين يمكنك نشر هذا المكعب من خلال مفهومك لمفكوك المربع الكامل .
مفكوك المربع الكامل = مفكوك (س + أ)²
= س² + 2أس + أ²
الآن : (س + أ)³ = (س + أ)² (س + أ)
= (س² + 2أس + أ²) (س + أ)
وهنا نستعمل خاصية عامة جداً وهى من خصائص حقل الأعداد الحقيقية بل والمركبة
أيضاً وهى خاصية التوزيع، نقوم بتوزيع س على القوس الكبير، وبعدها نوزع أ ايضاً على
نفس القوس .
= س³ + 2أس² + أ²س + أس² + 2أ²س + أ²
والآن قم بجمع الحدود المشابهة معاً
مثال : الحدين أس² ، 2أس² متشابهين فهم مختلفين فقط فى المعامل، فالأول
معامله 1 والثانى معامله 2، اذاً فالمجموع هو (1 + 2) أس² = 3أس² وهكذا ...
فيتكون لديك هذا الشكل أخيرا ...
(س+أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³
اما اذا كان المقصود هو نشر مكعب لعدد ن من الحدود فهذا أمر آخر ...
مثال : (أ+ب+جـ)³ = أ³+ب³+جـ³ + 3[أب(أ+ب) + أجـ(أ+جـ) + ب جـ(ب+جـ)] + 6أ ب جـ
ويمكنك تعميم الطريقة بصفة عامة لعدد ن من الحدود ...
مثال آخر ...
(أ+ب+جـ+د)³ = أ³+ب³+جـ³+د³ + 3[أب(أ+ب)+ أجـ(أ+جـ) + أد(أ+د) + ب جـ(ب+جـ)
+ ب د(ب+د) + جـ د(جـ+د)] + 6(أ ب جـ + أ ب د + أ جـ د + ب جـ د)
2 ما هى نظرية الأعداد، وبماذا تهتم ؟
الخميس، 18 أكتوبر 2012
التسميات:
نظرية الاعداد
نظرية الأعداد : هى نظرية تهتم بدراسة الأعداد
بصفة عامة، ولكن يكون التركيز أكثر على دراسة
الأعداد الطبيعــية، ومن ركائــزها دراسـة مفهوم
القسمة وخوارزمية القسمة، والقاسم المشترك
الأكبر، والمضاعف المشترك الأصغر لكن بمفاهيم
أكبر مما أخذته من قبل، بحيث تتم دراسة هذه
المفاهــيم البــسيطة كمـقدمة لنظرية الأعداد
ودراستها بشكل جبرى بحت .
تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة مفهوم باقى
القسمة فى شكل صور تجريدية بحيث تعتمد
على مفهوم تكافؤ باقى القسمة، وكمثال على
ذلك عندما نقول ان باقى قسمة 14 على 3
يكافىء باقى قسمة 8 على 3 ، وتكتب بهذه
الطريقة l 14 ≡ 8 (mod 3) l
لا يتوقف الموضوع عند هذا فقط بل يتوسع
لما أكثر من ذلك بحيث تم التعامل مع هذه
التطابقات وكأننا نتعامل مع معادلة او مساواة
او شىء من هذا القبيل، بحيث أذكر لك بعض
الخصائص :-
1) يجوز جمع اى عدد صحيح للطرفين .
2) يجوز ضرب الطرفين فى عدد صحيح .
3) يجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح
لكن بشرط وهو : اذا كان : a ≡ b (mod n) l
فيجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح من
القواسم المشتركة بين a و b شرط وهو :
gsd(a,b,n) = 1 أى ان القاسم المشترك
الأكبر بينهما جميعاً = 1 .
4) يجوز رفع الطرفين لأى أس طبيعى .
5) يجوز فرض معادلة كثيرات حدود ومن
ثم تبديل حدى التطابق بصور كلاً منهما
فى الدالة .
تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة الأعداد الخاصة
كأعداد ميرسن وأعداد فيرما، وأعداد بيرنوللى،
والأعداد التامة، والأعداد المتحابة، والأعداد الناقصة
..... وغيرها من الأعداد .
تهتم أيضاً بدراسة الدوال الخاصة، كدالة زيتا الريمانية
و دالة اويلر، ودالة المضاريب، ودالة موبيص ... وغيرها .
كما وتهتم نظرية الأعداد بدراسة المعادلات اليدوفونتية .
تهتم نظرية الأعداد بشكل كبير بدراسة الأعداد
الأولية، بحيث ما يشغل العلماء الآن وجود تسلسل
تتبعة متتالية ما للأعداد الأولية، وآخر ما تم التوصل
اليه منذ أكثر من القرن ونصف القرن فرضية ريمان
بحيث يقال أن حل هذه الفرضية يساهم بشكل
كبير فى فهم توزيع الأعداد الأولية (انظر مرجع [1])
وفى الأخيرة اود ان أشير الى وجود الكثير من
المسائل والتى لم تحل الى الآن فى نظرية
الأعداد من ضمن هذه المسائل فهم توزيع
الأعداد الأولية، حل فرضية ريمان، حدثية جولدباخ
مبرهنة فيرما الأخيرة (مرجع [2]) والتى قد قدم
برهاناً لها عالم الرياضيات وايلز عالم 1995 فى
150 صفحة، لهذا فإن برهان وايلز حديث وطويل
ومعقد .. مرجع [3] (لا سيما فى آخر المقال)
ايضاً حدسية هودج، والكثير من المسائل التى
لم تحل الى الآن، تطلع على بعضاً منها (مرجع [4])
============================
[1] فرضية ريمان .
[2] مبرهنة فيرما الأخيرة .
[3] مقال بحثى عن مبرهنة فيرما الأخيرة .
[4] مسائل غير محلولة فى الرياضيات
بصفة عامة، ولكن يكون التركيز أكثر على دراسة
الأعداد الطبيعــية، ومن ركائــزها دراسـة مفهوم
القسمة وخوارزمية القسمة، والقاسم المشترك
الأكبر، والمضاعف المشترك الأصغر لكن بمفاهيم
أكبر مما أخذته من قبل، بحيث تتم دراسة هذه
المفاهــيم البــسيطة كمـقدمة لنظرية الأعداد
ودراستها بشكل جبرى بحت .
تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة مفهوم باقى
القسمة فى شكل صور تجريدية بحيث تعتمد
على مفهوم تكافؤ باقى القسمة، وكمثال على
ذلك عندما نقول ان باقى قسمة 14 على 3
يكافىء باقى قسمة 8 على 3 ، وتكتب بهذه
الطريقة l 14 ≡ 8 (mod 3) l
لا يتوقف الموضوع عند هذا فقط بل يتوسع
لما أكثر من ذلك بحيث تم التعامل مع هذه
التطابقات وكأننا نتعامل مع معادلة او مساواة
او شىء من هذا القبيل، بحيث أذكر لك بعض
الخصائص :-
1) يجوز جمع اى عدد صحيح للطرفين .
2) يجوز ضرب الطرفين فى عدد صحيح .
3) يجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح
لكن بشرط وهو : اذا كان : a ≡ b (mod n) l
فيجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح من
القواسم المشتركة بين a و b شرط وهو :
gsd(a,b,n) = 1 أى ان القاسم المشترك
الأكبر بينهما جميعاً = 1 .
4) يجوز رفع الطرفين لأى أس طبيعى .
5) يجوز فرض معادلة كثيرات حدود ومن
ثم تبديل حدى التطابق بصور كلاً منهما
فى الدالة .
تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة الأعداد الخاصة
كأعداد ميرسن وأعداد فيرما، وأعداد بيرنوللى،
والأعداد التامة، والأعداد المتحابة، والأعداد الناقصة
..... وغيرها من الأعداد .
تهتم أيضاً بدراسة الدوال الخاصة، كدالة زيتا الريمانية
و دالة اويلر، ودالة المضاريب، ودالة موبيص ... وغيرها .
كما وتهتم نظرية الأعداد بدراسة المعادلات اليدوفونتية .
تهتم نظرية الأعداد بشكل كبير بدراسة الأعداد
الأولية، بحيث ما يشغل العلماء الآن وجود تسلسل
تتبعة متتالية ما للأعداد الأولية، وآخر ما تم التوصل
اليه منذ أكثر من القرن ونصف القرن فرضية ريمان
بحيث يقال أن حل هذه الفرضية يساهم بشكل
كبير فى فهم توزيع الأعداد الأولية (انظر مرجع [1])
وفى الأخيرة اود ان أشير الى وجود الكثير من
المسائل والتى لم تحل الى الآن فى نظرية
الأعداد من ضمن هذه المسائل فهم توزيع
الأعداد الأولية، حل فرضية ريمان، حدثية جولدباخ
مبرهنة فيرما الأخيرة (مرجع [2]) والتى قد قدم
برهاناً لها عالم الرياضيات وايلز عالم 1995 فى
150 صفحة، لهذا فإن برهان وايلز حديث وطويل
ومعقد .. مرجع [3] (لا سيما فى آخر المقال)
ايضاً حدسية هودج، والكثير من المسائل التى
لم تحل الى الآن، تطلع على بعضاً منها (مرجع [4])
============================
[1] فرضية ريمان .
[2] مبرهنة فيرما الأخيرة .
[3] مقال بحثى عن مبرهنة فيرما الأخيرة .
[4] مسائل غير محلولة فى الرياضيات
10 كيف تتم عملية الضرب القياسى والضرب الإتجاهى ؟
الأربعاء، 17 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
سأكتب القوانين التى تعرفها أولاً .
ليكن لدينا المتجهين أ ، ب فإن :
أولاً : الضرب القياسى : ||أ|| ||ب|| جتاهـ
ثانياً : الضرب الإتجاهى : ||أ|| ||ب|| جاهـ فى اتجاه ع
حيث هـ هى قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ..
وكلاً من ||أ|| و ||ب|| تعنى أطوال كلاً منهما ..
الآن اذا كان لديك الزاوية بين المتجهين فبإمكانك
استعمال القانونين أعلاه اما اذا لم يكن لديك الزاوية
بين المتجهين وكان لديك احداثيات المتجهين فإستعمل
القوانين الآتية :
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ، ...) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃ ، ...)
فإن الضرب القياسى لهما هو :
أ ⊙ ب = أ₁ب₁ + أ₂ب₂ + أ₃ب₃ + ....
مثال أ = (3 ، 4 ، 5) ، ب = (2 ، 7 ، 6)
أ ⊙ ب = (3×2) + (4×7) + (5×6) = 64
اما الضرب الإتجاهى فهو أمر شبيه بإيجاد محدد مصفوفة ...
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂) ، ب = (ب₁ ، ب₂)
فإن الضرب الإتجاهى لهما هو :
أ×ب = أ₁ب₂ - أ₂ب₁
بإختصار حاصل ضرب الطرفين - حاصل ضرب الوسطين
((هذا فقط اذا كان المتجهين من الدرجة الثانية))
اما اذا كان المتجهين من الدرجة الثالثة سيكون
الأمر معقد قليلاً (كلما ذدنا من عدد الإحداثيات)
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃)
نفرض أن المتجه الموجه احداثياته (س،ص،ع)
الآن نكون المحدد من الدرجة الثالثة الآتى :
س ص ع
أ₁ أ₂ أ₃
ب₁ ب₂ ب₃
= س(أ₂ب₃ - أ₃ب₂) - ص[أ₁ب₃ - أ₃ب₁] + ع[أ₁ب₂ - أ₂ب₁]
لاحظ الكمية التى حصلنا عليها متجهة ..
والمعنى اننا حصلنا على متجه احداثياته س ، ص ، ع
كما هو موضح حيث كلاً من س ، ص ، ع متجهات الوحدة .
لاحظ أ×ب ≠ ب×أ (الضرب الإتجاهى ليس ابدالى)
ولكن : أ×ب = - ب×أ
مثال : مثال أ = (3 ، 4 ، 5) ، ب = (2 ، 7 ، 6)
الضرب الإتجاهى لهما هو : (لاحظ انا اقصد كلاً من س ، ص ، ع متجهات
الوحدة)
س ص ع
3 4 5
2 7 6
= س[(4×6)-(5×7)] - ص[(3×6)-(2×5)] + ع[(3×7)-(2×4)]
= -11س -8ص + 13ع
والمعنى اننا حصلنا على متجه جديد وهو (-11 ، -8 ، 13)
أرجو ان يكون الشرح واضح ولو انى لم افصل فيه كثيراً ...
فلاش بسيط يوضح الضرب القياسى لمتجهين
فلاش بسيط يوضح الضرب الإتجاهى لمتجهين
ليكن لدينا المتجهين أ ، ب فإن :
أولاً : الضرب القياسى : ||أ|| ||ب|| جتاهـ
ثانياً : الضرب الإتجاهى : ||أ|| ||ب|| جاهـ فى اتجاه ع
حيث هـ هى قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ..
وكلاً من ||أ|| و ||ب|| تعنى أطوال كلاً منهما ..
الآن اذا كان لديك الزاوية بين المتجهين فبإمكانك
استعمال القانونين أعلاه اما اذا لم يكن لديك الزاوية
بين المتجهين وكان لديك احداثيات المتجهين فإستعمل
القوانين الآتية :
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ، ...) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃ ، ...)
فإن الضرب القياسى لهما هو :
أ ⊙ ب = أ₁ب₁ + أ₂ب₂ + أ₃ب₃ + ....
مثال أ = (3 ، 4 ، 5) ، ب = (2 ، 7 ، 6)
أ ⊙ ب = (3×2) + (4×7) + (5×6) = 64
اما الضرب الإتجاهى فهو أمر شبيه بإيجاد محدد مصفوفة ...
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂) ، ب = (ب₁ ، ب₂)
فإن الضرب الإتجاهى لهما هو :
أ×ب = أ₁ب₂ - أ₂ب₁
بإختصار حاصل ضرب الطرفين - حاصل ضرب الوسطين
((هذا فقط اذا كان المتجهين من الدرجة الثانية))
اما اذا كان المتجهين من الدرجة الثالثة سيكون
الأمر معقد قليلاً (كلما ذدنا من عدد الإحداثيات)
لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃)
نفرض أن المتجه الموجه احداثياته (س،ص،ع)
الآن نكون المحدد من الدرجة الثالثة الآتى :
س ص ع
أ₁ أ₂ أ₃
ب₁ ب₂ ب₃
= س(أ₂ب₃ - أ₃ب₂) - ص[أ₁ب₃ - أ₃ب₁] + ع[أ₁ب₂ - أ₂ب₁]
لاحظ الكمية التى حصلنا عليها متجهة ..
والمعنى اننا حصلنا على متجه احداثياته س ، ص ، ع
كما هو موضح حيث كلاً من س ، ص ، ع متجهات الوحدة .
لاحظ أ×ب ≠ ب×أ (الضرب الإتجاهى ليس ابدالى)
ولكن : أ×ب = - ب×أ
مثال : مثال أ = (3 ، 4 ، 5) ، ب = (2 ، 7 ، 6)
الضرب الإتجاهى لهما هو : (لاحظ انا اقصد كلاً من س ، ص ، ع متجهات
الوحدة)
س ص ع
3 4 5
2 7 6
= س[(4×6)-(5×7)] - ص[(3×6)-(2×5)] + ع[(3×7)-(2×4)]
= -11س -8ص + 13ع
والمعنى اننا حصلنا على متجه جديد وهو (-11 ، -8 ، 13)
أرجو ان يكون الشرح واضح ولو انى لم افصل فيه كثيراً ...
0 لماذا تم فرض وجود عدد تخيلى فى الرياضيات ؟
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
الأعداد المركبة تتكون من جزئين،
الجزء الأول حقيقى والجزء الثانى تخيلى، وجائت
الأعداد التخيلية نتيجة توسعة الأعداد الحقيقية
فهى لا تكفى لحل العديد من المسائل الرياضياتية .
دعنى أضرب لك مثال سريع، ولنتحدث عن الأعداد
الكمومية كالأعداد الطبيعية، والتى تستخدم من
أجل توصيف الطول والعرض ومساحة الأشياء والقياس
الموجب بصفة عامة، ولكن فى حقيقة الامر الأعداد
الطبيعية غير كافية تماماً لتوصيف الرياضيات، فإذا كنا
نريد ايجاد كميات سالبة كالسرعة السالبة والزاوية
فى اتجاه عقارب الساعة، أو توصيف الكائنات الرياضياتية
المخالفة للإشارة الموجبة بصفة عامة فكان لابد من
توسيع الحقل ليشتمل على الأعداد السالبة أيضاً ثم
جاء الصفر بعد ذلك كوسيط بينهما .
ولكن فى الواقع الكميات ليس من الضرورى أن
تكون صحية دائماً، فلدينا مثلاً شخص وزنه 75.5
كيلو او طول باب 2.3 متر ... الخ ولهذا تمت توسعة
الأعداد الى الأعداد النسبية .
وأخيراً كان لابد من وجود مجموعة الأعداد الغير
نسبية حتى يكتمل حقل الأعداد الحقيقية، وجائت
هذه الأعداد لتوصيف الكميات التى لا نستطيع وضعها
فى صورة نسبية (كسرية) بحيث يكون كلاً من
البسط والمقام أعداد صحيحة، والمقام لا يساوى
الصفر، وكمثال على ذلك النسبية التقريبية باى
او ط وهى تكتب بالتقريب 77 على 7 أو 3.14
وهى لا تساوى هذا العدد تماماً كما يفعل البعض
ويكتب مثلاً محيط الدائرة = 2 × (22\7) نق
لا هذا غير صحيح، فالنسبة التقريبية ط من
الأفضل كتابتها كما هى (الا اذا طلب منك فكها)
كمثال آخر أيضاً على عدد حقيقى غير نسبى
وهو العدد النيبيرى e باللغة الإنجليزية، هـ باللغة
العربية، وهو أيضاً له قيمة تقريبية .
e ≈ 2.718281828
ولكن فى حقيقة الأمر يحق لنا أن نسأل
مثلاً ما هو حل المعادلة x² + 1 = 0 ؟؟
والتى يمكن وضعها فى صورة أخرى :
x² = -1 كانت المشكلة الأساسية هنا
وهو عدم وجود عدد (حقيقى) مربعه يعطى
-1 او بصفة عامة يعطى قيمة سالبة، او
بتوصيف هندسى نقول لا توجد مساحة
مربع قيمته سالبة .
♣ ما هى المشكلة الأساسية ؟
• المشكلة الأساسية هى عدم وجود حل فى IR
اى فى مجموعة الأعداد الحقيقية، اذاً ما المانع ان
نفرض مجموعة تحمل أعداداً لا وجود لها فى الواقع
وهى الأعداد التخيليلة ونكون بذلك قد خلصنا من
هذه المشكلة .
الآن : x² = -1 ومع أخذ الجذر التربيعى للطرفين
x = i أو x = -i حيث i وحدة تخيليلة = جذر(-1)
فى البداية تبدو الفكرة غير مقبولة عند البعض
لا سيما الذين يدرسون ولأول مرة الأعداد المركبة
وحتى فى المدارس ما قبل دراسة رياضيات 2 فى
المرحلة الثانية كنا نقول أن المعادلة ليس لها حل
ولكن حتى نكون أكثر دقة نقول أن المعادلة ليس
لها فى IR أو فى مجموعة الأعداد الحقيقية .
كميات تخيلية
----------------
هذه عنوان فرعى وضعته تماشياً مع الكميات
الأخرى التى ذكرتها، فما هى الكميات التخيلية ؟
• الكميات التخيلية هى كميات لا وجود لها فى
الواقع، ولكن الرياضيات أو منطق الرياضيات يرحب
بهذا الأمر بحفاوة بالغة، نعم ليس لها وجود فى
الواقع لكن لها وجود كبير جداً فى ساحة الرياضيات
والتى لا تهتم بدراسة الواقع وحده فحسب بل تهتم
بدراسة الكائنات التجريدية ومن ضمن هذه الكائنات
الأعداد التخيلية، ولا اريد ان أدخل فى تفاصيل أكثر
من ذلك كالهندسة الكهربائية وغيرها من فروع علمية
يمكنك البحث عنها، والتى يرددها كثيريين وكأن الأعداد
التخيلية صُنعت لهذا الغرض !!!
♣ طالما أن الأعداد التخيلية ليست فى واقعنا
فلماذا يوجد اهتمام كبير بدراستها بل ويوجد
لها فرع كامل فى الرضيات يسمى بالتحليل العقدى
أو التحليل المركب ؟
• فى الحقيقة تحدثت عن (وجهة نظرى) فى هذا
الموضوع مرات عديد فقلت فمعادلات رياضياتية
بسيطة كانت ام معقدة تستطيع ان تتحول من
شىء تخيلى الى شىء حقيقى فما رأيك فى هذه
الأمر ؟
وسأضرب مثال بسيط على ذلك كى أبين لك
ما يحدث فالمسألة مسألة تبسيط مقادير أو
بنى جبرية فى الرياضيات لا أكثر ولا أقل اى
هى مسألة انتقال من شكل الى آخر ..
لتكن x عدد حقيقى وكانت $f(x) = \cos(x)$
نعلم أن مدى الدالة هو الفترة المغلقة [1 , -1]
وبالتأكيد هذه الفترة تحتوى على جميع الأعداد
الحقيقية من -1 الى 1 فما فيهم -1 ، 1 .
الآن يمكن وضع الدالة السابقة فى صورة مختلفة .
$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$
حيث e : العدد النيبيرى، i وحدة تخيلية .
السؤال : ♣ كيف لدالة مداها معرف على فترة
حقيقية ان تحوى قيماً تخيلية ؟
• فى واقع الأمر هى تبدو للوهلة الأولى انها
قيمة تخيلية، ولكن الحقيقة غير ذلك، بل هى
قيمة حقيقة فى صورة تخيلية، فمن علاقة أويلر
الشهيرة نستطيع إعادة تعريفها، وهناك عدة
طرق للتحويل حقيقة ً .
لدينا : $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$
و لدينا : $e^{-ix} = \cos(x) - i \sin(x)$
بجمع المعادلتين معاً نجد ان الجزء
التخيلى الموجب يتختصر مع الجزء
التخيلى السالب فينتج لنا فقط
الأجزاء الحقيقية ..
$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x)$
ولكن $\cos(x)$ معرفة على IR
اذاً $e^{ix} + e^{-ix}$ عدد حقيقى أيضاً .
ينتمى للفترة [1 , -1] .
لدينا أيضاً العلاقة : $e^{i \pi} + 1 = 0$
حيث $\pi$ النسبية التقريبة 3.14
يمكن وضع المعادلة على الصورة :
$$e^{i \pi} = -1 $$
لاحظ كيف أن الطرف الأيسر يحتوى على
قيمة تخيلية فى الأس الا أن النتيجة النهائية
عدد حقيقى وهو -1 ...
موضوع مشابه (ما أهمية الأعداد العقدية فى الرياضيات ؟)
الجزء الأول حقيقى والجزء الثانى تخيلى، وجائت
الأعداد التخيلية نتيجة توسعة الأعداد الحقيقية
فهى لا تكفى لحل العديد من المسائل الرياضياتية .
دعنى أضرب لك مثال سريع، ولنتحدث عن الأعداد
الكمومية كالأعداد الطبيعية، والتى تستخدم من
أجل توصيف الطول والعرض ومساحة الأشياء والقياس
الموجب بصفة عامة، ولكن فى حقيقة الامر الأعداد
الطبيعية غير كافية تماماً لتوصيف الرياضيات، فإذا كنا
نريد ايجاد كميات سالبة كالسرعة السالبة والزاوية
فى اتجاه عقارب الساعة، أو توصيف الكائنات الرياضياتية
المخالفة للإشارة الموجبة بصفة عامة فكان لابد من
توسيع الحقل ليشتمل على الأعداد السالبة أيضاً ثم
جاء الصفر بعد ذلك كوسيط بينهما .
ولكن فى الواقع الكميات ليس من الضرورى أن
تكون صحية دائماً، فلدينا مثلاً شخص وزنه 75.5
كيلو او طول باب 2.3 متر ... الخ ولهذا تمت توسعة
الأعداد الى الأعداد النسبية .
وأخيراً كان لابد من وجود مجموعة الأعداد الغير
نسبية حتى يكتمل حقل الأعداد الحقيقية، وجائت
هذه الأعداد لتوصيف الكميات التى لا نستطيع وضعها
فى صورة نسبية (كسرية) بحيث يكون كلاً من
البسط والمقام أعداد صحيحة، والمقام لا يساوى
الصفر، وكمثال على ذلك النسبية التقريبية باى
او ط وهى تكتب بالتقريب 77 على 7 أو 3.14
وهى لا تساوى هذا العدد تماماً كما يفعل البعض
ويكتب مثلاً محيط الدائرة = 2 × (22\7) نق
لا هذا غير صحيح، فالنسبة التقريبية ط من
الأفضل كتابتها كما هى (الا اذا طلب منك فكها)
كمثال آخر أيضاً على عدد حقيقى غير نسبى
وهو العدد النيبيرى e باللغة الإنجليزية، هـ باللغة
العربية، وهو أيضاً له قيمة تقريبية .
e ≈ 2.718281828
ولكن فى حقيقة الأمر يحق لنا أن نسأل
مثلاً ما هو حل المعادلة x² + 1 = 0 ؟؟
والتى يمكن وضعها فى صورة أخرى :
x² = -1 كانت المشكلة الأساسية هنا
وهو عدم وجود عدد (حقيقى) مربعه يعطى
-1 او بصفة عامة يعطى قيمة سالبة، او
بتوصيف هندسى نقول لا توجد مساحة
مربع قيمته سالبة .
♣ ما هى المشكلة الأساسية ؟
• المشكلة الأساسية هى عدم وجود حل فى IR
اى فى مجموعة الأعداد الحقيقية، اذاً ما المانع ان
نفرض مجموعة تحمل أعداداً لا وجود لها فى الواقع
وهى الأعداد التخيليلة ونكون بذلك قد خلصنا من
هذه المشكلة .
الآن : x² = -1 ومع أخذ الجذر التربيعى للطرفين
x = i أو x = -i حيث i وحدة تخيليلة = جذر(-1)
فى البداية تبدو الفكرة غير مقبولة عند البعض
لا سيما الذين يدرسون ولأول مرة الأعداد المركبة
وحتى فى المدارس ما قبل دراسة رياضيات 2 فى
المرحلة الثانية كنا نقول أن المعادلة ليس لها حل
ولكن حتى نكون أكثر دقة نقول أن المعادلة ليس
لها فى IR أو فى مجموعة الأعداد الحقيقية .
كميات تخيلية
----------------
هذه عنوان فرعى وضعته تماشياً مع الكميات
الأخرى التى ذكرتها، فما هى الكميات التخيلية ؟
• الكميات التخيلية هى كميات لا وجود لها فى
الواقع، ولكن الرياضيات أو منطق الرياضيات يرحب
بهذا الأمر بحفاوة بالغة، نعم ليس لها وجود فى
الواقع لكن لها وجود كبير جداً فى ساحة الرياضيات
والتى لا تهتم بدراسة الواقع وحده فحسب بل تهتم
بدراسة الكائنات التجريدية ومن ضمن هذه الكائنات
الأعداد التخيلية، ولا اريد ان أدخل فى تفاصيل أكثر
من ذلك كالهندسة الكهربائية وغيرها من فروع علمية
يمكنك البحث عنها، والتى يرددها كثيريين وكأن الأعداد
التخيلية صُنعت لهذا الغرض !!!
♣ طالما أن الأعداد التخيلية ليست فى واقعنا
فلماذا يوجد اهتمام كبير بدراستها بل ويوجد
لها فرع كامل فى الرضيات يسمى بالتحليل العقدى
أو التحليل المركب ؟
• فى الحقيقة تحدثت عن (وجهة نظرى) فى هذا
الموضوع مرات عديد فقلت فمعادلات رياضياتية
بسيطة كانت ام معقدة تستطيع ان تتحول من
شىء تخيلى الى شىء حقيقى فما رأيك فى هذه
الأمر ؟
وسأضرب مثال بسيط على ذلك كى أبين لك
ما يحدث فالمسألة مسألة تبسيط مقادير أو
بنى جبرية فى الرياضيات لا أكثر ولا أقل اى
هى مسألة انتقال من شكل الى آخر ..
لتكن x عدد حقيقى وكانت $f(x) = \cos(x)$
نعلم أن مدى الدالة هو الفترة المغلقة [1 , -1]
وبالتأكيد هذه الفترة تحتوى على جميع الأعداد
الحقيقية من -1 الى 1 فما فيهم -1 ، 1 .
الآن يمكن وضع الدالة السابقة فى صورة مختلفة .
$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$
حيث e : العدد النيبيرى، i وحدة تخيلية .
السؤال : ♣ كيف لدالة مداها معرف على فترة
حقيقية ان تحوى قيماً تخيلية ؟
• فى واقع الأمر هى تبدو للوهلة الأولى انها
قيمة تخيلية، ولكن الحقيقة غير ذلك، بل هى
قيمة حقيقة فى صورة تخيلية، فمن علاقة أويلر
الشهيرة نستطيع إعادة تعريفها، وهناك عدة
طرق للتحويل حقيقة ً .
لدينا : $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$
و لدينا : $e^{-ix} = \cos(x) - i \sin(x)$
بجمع المعادلتين معاً نجد ان الجزء
التخيلى الموجب يتختصر مع الجزء
التخيلى السالب فينتج لنا فقط
الأجزاء الحقيقية ..
$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x)$
ولكن $\cos(x)$ معرفة على IR
اذاً $e^{ix} + e^{-ix}$ عدد حقيقى أيضاً .
ينتمى للفترة [1 , -1] .
لدينا أيضاً العلاقة : $e^{i \pi} + 1 = 0$
حيث $\pi$ النسبية التقريبة 3.14
يمكن وضع المعادلة على الصورة :
$$e^{i \pi} = -1 $$
لاحظ كيف أن الطرف الأيسر يحتوى على
قيمة تخيلية فى الأس الا أن النتيجة النهائية
عدد حقيقى وهو -1 ...
موضوع مشابه (ما أهمية الأعداد العقدية فى الرياضيات ؟)
1 كيف نثبت انه لكل n عدد طبيعى فإن n^5 - n تقبل القسمة على 5 ؟
الاثنين، 15 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر,
نظرية الاعداد
بطرق كثيرة تستطيع ان تثبت ذلك .. اذكر واحدة
العلاقة هى : n^5 - n بوضع n=1 فإن العلاقة
صحيح، والآن نفرض أن عندما n = k فإن العلاقة
صحيحة من أجل k عدد طبيعى، ثم نركز جهدنا
لإثبات صحة العلاقة من أجل n = k+1
n^5 - n = (k+1)^5 - (k+1) l
تستطيع فك k+1 الكل أس 5 بنظرية ذات الحدين ...
نفرض أن العبارة هى E (حتى لا أكررها)
E = k^5 + 5k^4 + 10k³ + 10k² + 5k + 1 - k - 1
E = k^5 - k + 5k^4 + 10k³ + 10k² + 5k
لاحظ عوامل الحدود، نعلم أن 5 ، 10 تقبل
القسمة على 5 ، ونحن فرضنا صحة العلاقة
صحيحة من أجل k^5 - k اذاً المقدار كله
يقبل القسمة على 5 ويسمى هذا الإثبات
(الإستقراء الرياضى)
ملحوظة : العبارة أيضاً تقبل القسمة على 3
الإثبات : n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n²-1)(n+1) l
E = n(n-1)(n+1)(n²+1) l
لاحظ : n(n-1)(n+1) j تعنى حاصل ضرب ثلاثة
أعداد متتالية وهى حتماً تقبل القسمة على 3
ليس هذا وفقط بل تقبل القسمة على 3! = 6
اذاً المقدار الذى وضعته يقبل القسمة على :
3 ، 5 ، 6 معاً من أجل n عدد طبيعى .
==============================
اليك حل آخر عن طريقة مفهوم الباقى .
وصلنا سابقاً الى أن : E = n(n-1)(n+1)(n²+1) l
العدد الطبيعى n له خمس إحتمالات فقط .
1) يقبل القسمة على 5 (الباقى 0)
2) باقى القسمة على 5 = 1
3) باقى القسمة على 5 = 2
4) باقى القسمة على 5 = 3
5) باقى القسمة على 5 = 4
فى الحالة الأولى : اذا كانت n تقبل القسمة
على 5 فإن العبارة E تقبل القسمة على 5
لأن أحد عواملها n .
الحالة الثانية : فى حالة n باقى قسمتها على
5 هو 1 ، وتكتب بهذه الصيغة n ≡ 1 (mod 5) l
بطرح 1 من الطرفين : n - 1 ≡ 0 (mod 5) l
ولكن n - 1 ايضاً أحد عوامل العبارة E اذاً فى
هذه الحالة أيضاً العبارة E تقبل القسمة على 5 .
الحالة الثالثة : n ≡ 2 (mod 5) l بتربيع الطرفين ..
n² ≡ 4 (mod 5) l بإضافة 1 للطرفين ...
n²+1 ≡ 5 (mod 5) l ومنها n²+1 ≡ 0 (mod 5) l
اذاً الحالة الثالثة تحقق أيضاً لأن n²+1 أحد عوامل
العبارة E .
الحالة الرابعة : n ≡ 3 بتربيع الطرفين مع إضافة ..
n²+1 ≡ 9 + 1 (mod 5) l ومنها n²+1 ≡ 0 (mod 5) l
اذاً الحالة الرابع تحقق ...
الحالة الخامسة : n ≡ 4 (mod 5) l
بإضافة 1 للطرفين : n+1 ≡ 5 (mod 5) l
هذا يعنى أن : n+1 ≡ 0 ( mod 5) l
ولكن n+1 أحد عوامل العبارة E أيضاً ...
اذاً فى كل الحالات فإن العبارة E تقبل القسمة على 5 .
================================
طريقة أخرى سهلة (تحتاج فقط ال قليل من التركيز)
نفرض أن n ≡ r (mod 5) l
اذاً : n = 5m + r حيث كلاً من r , m طبيعيان .
بالتعويض ...
n^5 - n = (5m + r)^5 - 5m - r
ولا تتعب نفسك فى فك القوس بمفكوك ذات
الحدين، كل ما فى الأمر هو اننا سندرس عوامل
ذات الحدين من خلال مثلث باسكال :
فنجد أن العوامل هى :
1 5 10 10 5 1
هذا يعنى ان اهتمامنا سينصب نحو الحد الأول
والأخير فقط لأن كلاً من 5 ، 10 يقبل القسمة
على 5 .
الآن معامل الحد الأول هو 1 لكن هذه ليست
الحقيقة كاملة فالحد الأول داخل القوس هو 5m
فمهما ضُرب او روفع الى عدد طبيعى فسيظل
يقبل القسمة على 5 .. انتهينا من هذه اذا بقى
لدينا الحد الأخير والذى بعد فك القوس سكون r^5
لدينا سالب 5m يقبل القسمة على 5 دائماً ، فى
الأخير يتبقى لدينا هذين الحدين r^5 - r والمعنى
أن n^5 - n يقبل القسمة على 5 اذا وفقط اذا
r^5 - r .. لكن ما هو r ؟
الإجابة : r هو بواقى العدد 5
أى أن : r = {0 , 1 , 2 , 3 , 4} l
فقط لن يخرج r عن هذا المفهوم (5 احتمالات فقط)
والمعنى انك ستعوض عن r من 0 الى 5 فى العلاقة
r^5 - r فإذا قبلت القسمة على 5 فإن العبارة E
الأساسية تقبل القسمة على 5 وهذا حدث حقيقى .
اذاً : العبارة E = n^5 - n تقبل القسمة على 5 .
=============================
واليك الإثبات فى سطر (مبرهنة) فيرما الصغرى
(إضغط هنا) وإقرإ مضمون المبرهنة اذا كنت
مهتم بنظرية الأعداد او كنت تعرفها فسيكون
الأمر أفضل، ليس هذا وفقط بل المبرهنة تبتعد
لما هو أكثر من ذلك (من أجل n عدد صحيح)
المبرهنة هى : a^p ≡ a (mod p) l
حيث a عدد صحيح ، p عدد أولى .
لدينا n عدد صحيح ، ولدينا 5 عدد أولى .
اذاً مباشرة ً : n^5 ≡ n (mod 5) l
ومنها n^5 - n ≡ 0 (mod 5) l
هذا يعنى فى مفهوم التطابقات أن : n^5 - n
تقبل القسمة على 5 .
العلاقة هى : n^5 - n بوضع n=1 فإن العلاقة
صحيح، والآن نفرض أن عندما n = k فإن العلاقة
صحيحة من أجل k عدد طبيعى، ثم نركز جهدنا
لإثبات صحة العلاقة من أجل n = k+1
n^5 - n = (k+1)^5 - (k+1) l
تستطيع فك k+1 الكل أس 5 بنظرية ذات الحدين ...
نفرض أن العبارة هى E (حتى لا أكررها)
E = k^5 + 5k^4 + 10k³ + 10k² + 5k + 1 - k - 1
E = k^5 - k + 5k^4 + 10k³ + 10k² + 5k
لاحظ عوامل الحدود، نعلم أن 5 ، 10 تقبل
القسمة على 5 ، ونحن فرضنا صحة العلاقة
صحيحة من أجل k^5 - k اذاً المقدار كله
يقبل القسمة على 5 ويسمى هذا الإثبات
(الإستقراء الرياضى)
ملحوظة : العبارة أيضاً تقبل القسمة على 3
الإثبات : n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n²-1)(n+1) l
E = n(n-1)(n+1)(n²+1) l
لاحظ : n(n-1)(n+1) j تعنى حاصل ضرب ثلاثة
أعداد متتالية وهى حتماً تقبل القسمة على 3
ليس هذا وفقط بل تقبل القسمة على 3! = 6
اذاً المقدار الذى وضعته يقبل القسمة على :
3 ، 5 ، 6 معاً من أجل n عدد طبيعى .
==============================
اليك حل آخر عن طريقة مفهوم الباقى .
وصلنا سابقاً الى أن : E = n(n-1)(n+1)(n²+1) l
العدد الطبيعى n له خمس إحتمالات فقط .
1) يقبل القسمة على 5 (الباقى 0)
2) باقى القسمة على 5 = 1
3) باقى القسمة على 5 = 2
4) باقى القسمة على 5 = 3
5) باقى القسمة على 5 = 4
فى الحالة الأولى : اذا كانت n تقبل القسمة
على 5 فإن العبارة E تقبل القسمة على 5
لأن أحد عواملها n .
الحالة الثانية : فى حالة n باقى قسمتها على
5 هو 1 ، وتكتب بهذه الصيغة n ≡ 1 (mod 5) l
بطرح 1 من الطرفين : n - 1 ≡ 0 (mod 5) l
ولكن n - 1 ايضاً أحد عوامل العبارة E اذاً فى
هذه الحالة أيضاً العبارة E تقبل القسمة على 5 .
الحالة الثالثة : n ≡ 2 (mod 5) l بتربيع الطرفين ..
n² ≡ 4 (mod 5) l بإضافة 1 للطرفين ...
n²+1 ≡ 5 (mod 5) l ومنها n²+1 ≡ 0 (mod 5) l
اذاً الحالة الثالثة تحقق أيضاً لأن n²+1 أحد عوامل
العبارة E .
الحالة الرابعة : n ≡ 3 بتربيع الطرفين مع إضافة ..
n²+1 ≡ 9 + 1 (mod 5) l ومنها n²+1 ≡ 0 (mod 5) l
اذاً الحالة الرابع تحقق ...
الحالة الخامسة : n ≡ 4 (mod 5) l
بإضافة 1 للطرفين : n+1 ≡ 5 (mod 5) l
هذا يعنى أن : n+1 ≡ 0 ( mod 5) l
ولكن n+1 أحد عوامل العبارة E أيضاً ...
اذاً فى كل الحالات فإن العبارة E تقبل القسمة على 5 .
================================
 |
| مثلث باسكال - انظر السطر 1 5 10 10 5 1 |
نفرض أن n ≡ r (mod 5) l
اذاً : n = 5m + r حيث كلاً من r , m طبيعيان .
بالتعويض ...
n^5 - n = (5m + r)^5 - 5m - r
ولا تتعب نفسك فى فك القوس بمفكوك ذات
الحدين، كل ما فى الأمر هو اننا سندرس عوامل
ذات الحدين من خلال مثلث باسكال :
فنجد أن العوامل هى :
1 5 10 10 5 1
هذا يعنى ان اهتمامنا سينصب نحو الحد الأول
والأخير فقط لأن كلاً من 5 ، 10 يقبل القسمة
على 5 .
الآن معامل الحد الأول هو 1 لكن هذه ليست
الحقيقة كاملة فالحد الأول داخل القوس هو 5m
فمهما ضُرب او روفع الى عدد طبيعى فسيظل
يقبل القسمة على 5 .. انتهينا من هذه اذا بقى
لدينا الحد الأخير والذى بعد فك القوس سكون r^5
لدينا سالب 5m يقبل القسمة على 5 دائماً ، فى
الأخير يتبقى لدينا هذين الحدين r^5 - r والمعنى
أن n^5 - n يقبل القسمة على 5 اذا وفقط اذا
r^5 - r .. لكن ما هو r ؟
الإجابة : r هو بواقى العدد 5
أى أن : r = {0 , 1 , 2 , 3 , 4} l
فقط لن يخرج r عن هذا المفهوم (5 احتمالات فقط)
والمعنى انك ستعوض عن r من 0 الى 5 فى العلاقة
r^5 - r فإذا قبلت القسمة على 5 فإن العبارة E
الأساسية تقبل القسمة على 5 وهذا حدث حقيقى .
اذاً : العبارة E = n^5 - n تقبل القسمة على 5 .
=============================
واليك الإثبات فى سطر (مبرهنة) فيرما الصغرى
(إضغط هنا) وإقرإ مضمون المبرهنة اذا كنت
مهتم بنظرية الأعداد او كنت تعرفها فسيكون
الأمر أفضل، ليس هذا وفقط بل المبرهنة تبتعد
لما هو أكثر من ذلك (من أجل n عدد صحيح)
المبرهنة هى : a^p ≡ a (mod p) l
حيث a عدد صحيح ، p عدد أولى .
لدينا n عدد صحيح ، ولدينا 5 عدد أولى .
اذاً مباشرة ً : n^5 ≡ n (mod 5) l
ومنها n^5 - n ≡ 0 (mod 5) l
هذا يعنى فى مفهوم التطابقات أن : n^5 - n
تقبل القسمة على 5 .
0 أوجد مجموعة حلول x فى المعادلة $x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}}$
التسميات:
الجبر
امامك المعادلة : $x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}} $
نفرض أن $\sqrt{x} = y$ ومنها x = y²
بالتعويض : $y^2 = 20 - \sqrt{20 - y}$
ويمكن وضعها على الصورة : $y^2 - 20 = - \sqrt{20 - y} $
بتربيع الطرفين : $(y^2 - 20)^2 = 20 - y$
نقوم بفك الطرف الأيشر (مربع كامل)
$
y^4 - 40y^2 + 400 = 20 - y
$
رتيب الحدود ...
$
y^4 - 40y^2 + y + 380 = 0
$
بكل سهولة ويسر نختبر ما اذا كانت هناك
حلول صحيحة ام لا عن طريق ايجاد القواسم
الصحيحة للحد المطلق 380 فنجد ان كلاً من
4 ، -5 يحققنا المعادلة السابقة ...
وهذا يعنى أن كلاً من l (y-4) , (y+5)
أصفاراً للمعادلة .. الآن نجرى عملية
القسمة المطولة وسأكتبها بالعربى نظراً
لصعوبة كتابتها برموز أجنبية هنا ...
سنقسم على : (ص - 4) (ص + 5)
= ص² + ص - 20
ص² - ص - 19
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص^4 - 40ص² + ص + 380 |ص² + ص - 20
ـــــــــــــــــــــــ
ص^4 + ص³ - 20ص²
---------- بالطرح -----------
- ص³ - 20ص² + ص + 380
-ص³ - ص² + 20ص
---------- بالطرح -----------
-19ص² - 19ص + 380
-19ص² - 19ص + 380
--------- بالطرح ----------
00 00
اذاً لدينا : y² - y - 19 = 0
والتى يمكن حلها بالقانون العام ...
المميز : l ∆ = 1 + 4(19) = 77
$$y = \frac{(1 \pm \sqrt{77})}{2}$$
تمكنا من ايجاد جميع حلول y
ولكن : x = y²
أى ان حلول x هى مربعات حلول y
x = 16 أو x = 25
الآن نربع : $y = \frac{(1 \pm \sqrt{77})}{2}$
$$y^2 = \frac{(39 \pm \sqrt{77})}{2} $$
====================
المشكلة هنا أنه يجب أن نتأكد من هذه الحلول
عن طريق التعويض بها فى المعادلة الأساسية .
$$x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}}$$
نضع x = 16 نجدها تحقق المعادلة
نضع x = 25 لا تحقق المعادلة الأساسية ..
وكذلك أيضاً الحين الآخرين لا يحققون المعادلة الأساسية ...
اذاً مجموعة الحل للمعادلة الأساسية هى $x = \{16 \}$
نفرض أن $\sqrt{x} = y$ ومنها x = y²
بالتعويض : $y^2 = 20 - \sqrt{20 - y}$
ويمكن وضعها على الصورة : $y^2 - 20 = - \sqrt{20 - y} $
بتربيع الطرفين : $(y^2 - 20)^2 = 20 - y$
نقوم بفك الطرف الأيشر (مربع كامل)
$
y^4 - 40y^2 + 400 = 20 - y
$
رتيب الحدود ...
$
y^4 - 40y^2 + y + 380 = 0
$
بكل سهولة ويسر نختبر ما اذا كانت هناك
حلول صحيحة ام لا عن طريق ايجاد القواسم
الصحيحة للحد المطلق 380 فنجد ان كلاً من
4 ، -5 يحققنا المعادلة السابقة ...
وهذا يعنى أن كلاً من l (y-4) , (y+5)
أصفاراً للمعادلة .. الآن نجرى عملية
القسمة المطولة وسأكتبها بالعربى نظراً
لصعوبة كتابتها برموز أجنبية هنا ...
سنقسم على : (ص - 4) (ص + 5)
= ص² + ص - 20
ص² - ص - 19
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص^4 - 40ص² + ص + 380 |ص² + ص - 20
ـــــــــــــــــــــــ
ص^4 + ص³ - 20ص²
---------- بالطرح -----------
- ص³ - 20ص² + ص + 380
-ص³ - ص² + 20ص
---------- بالطرح -----------
-19ص² - 19ص + 380
-19ص² - 19ص + 380
--------- بالطرح ----------
00 00
اذاً لدينا : y² - y - 19 = 0
والتى يمكن حلها بالقانون العام ...
المميز : l ∆ = 1 + 4(19) = 77
$$y = \frac{(1 \pm \sqrt{77})}{2}$$
تمكنا من ايجاد جميع حلول y
ولكن : x = y²
أى ان حلول x هى مربعات حلول y
x = 16 أو x = 25
الآن نربع : $y = \frac{(1 \pm \sqrt{77})}{2}$
$$y^2 = \frac{(39 \pm \sqrt{77})}{2} $$
====================
المشكلة هنا أنه يجب أن نتأكد من هذه الحلول
عن طريق التعويض بها فى المعادلة الأساسية .
$$x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}}$$
نضع x = 16 نجدها تحقق المعادلة
نضع x = 25 لا تحقق المعادلة الأساسية ..
وكذلك أيضاً الحين الآخرين لا يحققون المعادلة الأساسية ...
اذاً مجموعة الحل للمعادلة الأساسية هى $x = \{16 \}$
0 مسألتين على حل معادلات فى مجهولين فى صورة مقادير مركبة
السبت، 13 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر
العدد المركب = جزء حقيقى + جزء تخيلى
وبناء على هذا فالمسألة توضع فى ابسط
صورة ومن ثم تكون المقارنة على طرفى المعادلة
بين الجزئين الحقيقى والتخيلى .
x² + y² + i x + i y = 13 + i
نستطيع ان نقول الضرب الأيمن موضوع فى
الصورة القياسية له : عدد حقيقى + عدد تخيلى .
بقى لنا ان نصنع ذلك ايضاً من الطرف الأيسر بحيث
ننقله الى صورة أخرى (صورة العدد المركب)
x² + y² + i(x+y) = 13 + i
وهذا يعنى ما يلى :
x² + y² = 13 ==> 1
x + y = 1 ==> 2
بحل النظامين معاً بأى طريقة مناسبة لك فينتج
لنا كلاً من قيم x , y .
وانا افضل الحل بهذه الطريقة ...
==> بتحليل معادلة (1) : l (x+y)² - 2xy = 13
ولكن x+y = 1 بالتعويض ..
1²-2xy = 13 ومنها xy = -6
فأصبح من اليسير جداً تكوين معادلة تربيعية
فى متغير افتراضى وليكن z بحيث حلول z
هى حلول x,y .
ان لم تكنب تفهم هذه الطريقة استخدم احدى
طرق التعويض .. من معادلة (2) x+y = 1
اذاً y = 1 - x بالتعويض فى xy = -6
x(1 - x) = -6 ومنها x - x² + 6 = 0
بضرب الطرفين فى سالب : x² - x - 6 = 0
بالتحليل : l (x - 3) (x + 2) = 0
x = 3 او x = -2
بالتعويض فى y = 1 - x
y = 1 - 3 = -2 او y = 1 + 2 = 3
الملخص : x = 3 عندما y = -2
x = -2 عندما y = 3
========================
حل المسألة الثانية نفس الفكرة تقريباً ..
XY + ( 3X+Y) i = 2 + 5 i
xy = 2 ==> 1
3x+y = 5 ==> 2
من (2) : y = 5 - 3x بالتعويض فى (1)
x(5 - 3x) = 2 قم بفك القوس ...
5x -3x² - 2 = 0 بضرب الطرفين فى سالب (مع الترتيب)
3x² - 5x + 2 = 0 بتحليل المقدار الثلاثى ..
l (3x - 2) (x - 1) = 0
اما x = 1 أو x = 2/3
بالتعويض فى : y = 5 - 3x
y = 5 - 3(1) = 2 أو y = 5 - 3(2/3) = 3
أى أن : x = 1 عندما y = 2
x = 2/3 عندما y = 3
0 كيف نشتق س^س ؟
الجمعة، 12 أكتوبر 2012
التسميات:
التفاضل والتكامل
هناك طريقتين :
الطريقة الأولى : د(س) = س^س بأخذ لط للطرفين .
لط[د(س)] = س لط(س) نشتق الطرفين بالنسبة لـ س .
دَ(س)
ـــــــــــــ = لط(س) + 1
د(س)
تم إشتقاق الطرف الأيسر بقاعدة حاصل الضرب product rule
والآن : دَ(س) = د(س)[لط(س) + 1] ولكن د(س) = س^س
اذاً " دَ(س) = س^س [لط(س) + 1]
==================================
الطريقة الثانية : عن طريقة استعمال خاصية مشهورة فى اللوغاريتمات .
س^س = هـ^لط(س^س) حيث هـ هو العدد النيبيرى، لط هو اللوغاريتم الطبيعى .
د(س) = هـ^[س لط(س)] ومن ثم نشتق كما لو كنا نشتق دالة أسية ...
((ملحوظة : الأس نشتق عن طريق قاعدة الضرب أيضاً product rule)
دَ(س) = [لط(س) + 1] × هـ^[س لط(س)]
ولكن : هـ^[س لط(س)] = د(س) = س^س بالتعويض ...
دَ(س) = س^س [لط(س) + 1]
الطريقة الأولى : د(س) = س^س بأخذ لط للطرفين .
لط[د(س)] = س لط(س) نشتق الطرفين بالنسبة لـ س .
دَ(س)
ـــــــــــــ = لط(س) + 1
د(س)
تم إشتقاق الطرف الأيسر بقاعدة حاصل الضرب product rule
والآن : دَ(س) = د(س)[لط(س) + 1] ولكن د(س) = س^س
اذاً " دَ(س) = س^س [لط(س) + 1]
==================================
الطريقة الثانية : عن طريقة استعمال خاصية مشهورة فى اللوغاريتمات .
س^س = هـ^لط(س^س) حيث هـ هو العدد النيبيرى، لط هو اللوغاريتم الطبيعى .
د(س) = هـ^[س لط(س)] ومن ثم نشتق كما لو كنا نشتق دالة أسية ...
((ملحوظة : الأس نشتق عن طريق قاعدة الضرب أيضاً product rule)
دَ(س) = [لط(س) + 1] × هـ^[س لط(س)]
ولكن : هـ^[س لط(س)] = د(س) = س^س بالتعويض ...
دَ(س) = س^س [لط(س) + 1]
0 كيث نثبت أن : ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 مربع كامل من أجل ن عدد طبيعى ؟
التسميات:
الجبر,
مواضيع متنوعة
بعد نشر : ن(ن+1)(ن+2)(ن+3) + 1
نحصل على الآتى :
ن^4 + 5ن³ + 6ن² + ن³ + 5ن² + 6ن + 1
موجهين تركيزنا نحو تشكيل مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة عن طريق دراسة
عوامل ذات الحدين من مثلث باسكال .
عوامل الحدود فى مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة يتخذ هذا الشكل والترتيب .
1 4 6 4 1
ومن خلال هذا نبدأ بإعادة صياغة ما توصلنا اليه ...
ن^4 + 4ن³ + 6ن² + 4ن + 1 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
(أى ان كل الذى تم عبارة عن تحليل بالتقسيم)
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 4ن² + 2ن + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن² + 2ن + 1) + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن+1)² + ن²
= ((ن+1)²)² + 2ن(ن+1)² + ن²
أليس هذا الشكل مربع كامل ؟
= [(ن+1)² + 1]²
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
طريقة أخرى للحل لكنها تحتوى على فكرة مميزة ...
نقول : المفكوك عبارة عن مربع كامل اذا وفقط اذا
كان ما داخل القوس دالة من الدرجة الثانية، وهذا
شىء بديهى حتى يعطينا مفكوك من الدرجة الرابع
ومن خلال هذا المفهوم البسيط نفرض الفرضية الآتية :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + جـ)²
حيث أ ، ب ، جـ ثوابت فى صورة مجاهيل نريد ايجادها .
مع إفتراض أن ما داخل القوس عدداً طبيعياً من أجل ن
عدد طبيعى ثم ننتظر فى آخر الحل هل يوجد تناقض
أم لا من أجل حلول أ ، ب ، جـ ؟
هذه الفرضية تجعلنا نقول أن العلاقة عبارة عن متطابقة .
ولإيجاد كلاً من أ ، ب ، جـ نجرى بعض الخطوات الآتية .
* بوضع ن = 0 نحصل على : جـ = 1
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + 1)²
** بوضع ن=1 للطرفين فنحصل على : (أ+ب+1)² = 25 ==> (1)
*** بوضع ن=2 للطرفين فنحصل على : (4أ+2ب+1)² = 121 ==> (2)
من (1) ، (2)
أ+ب+1 = 5 أو أ+ب+1 = -5
4أ+2ب+1 = 11 أو 4أ+2ب+1 = -11
لدينا أربع معادلات مختلفة نستطيع ان ننشىء منهم
أنظمة مكونة من معادلتين، وعددهم 4 ق 2 = 6
نستثنى منهم 2 نظراً لأنك اذا قمت بحل أ+ب+1 = 5
، أ+ب+1 = -5 معاً من خلال الجمع ينتج لك أن :
أ+ب+1 = 0 وكذلك الأمر مع المعادلتين الأخرتين .
لنبدأ بتشكل النظام الأول :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
حل بأى طريقة تعجبك (بالحذف أو بالتعويض)
فينتج لنا : أ = 1 ، ب = 3
تشكيل النظام الثانى :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج لنا هذا حل إحتمالى وهو : أ = 0 ، ب = -6
ولكن أ = 0 تجعل أ ن² قيمة معدومة وبالتالى ما داخل
القوس لا يكون دالة من الدرجة الثانية وهذا أمر مرفوض .
تشكيل النظام الثالث :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج : أ = -10 ، ب = 14
ولكن هذا الحل يجعل : -10ن² + 14ن + 1 قيمة سالبة لكل ن≥2
تشكيل النظام الرابع والأخير :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
فينتج : أ = 11 ، ب = -17
وهو يجعل ما داخل القوس موجباً فقط اذا كانت ن = 0 أو ن = 2
ملحوظة يمكن التحقق من أن الأنظمة 2 ، 3 ، 4 لا تحقق بمجرد مقارنتها
بحالة (1) الموجبة دائماً فنجد انها لا تكون متطابقة بل هى معادلة فقط
من أجل حلول ن محددة .
مما سبق ينتج أن :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (ن² + 3ن + 1)²
وبالفعل ن² + 3ن + 1 عدد طبيعى دائماً من أجل ن
عدد طبيعى ، وبالتالى (ن² + 3ن + 1)² مربع كامل
ملحوظة أخرى : العلاقة أيضاً تتحقق من أجل ن عدد صحيح (جربها)
نحصل على الآتى :
ن^4 + 5ن³ + 6ن² + ن³ + 5ن² + 6ن + 1
موجهين تركيزنا نحو تشكيل مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة عن طريق دراسة
عوامل ذات الحدين من مثلث باسكال .
 |
| مثلث باسكال لدراسة عوامل ذات الحدين |
عوامل الحدود فى مفكوك ذات الحدين من الدرجة الرابعة يتخذ هذا الشكل والترتيب .
1 4 6 4 1
ومن خلال هذا نبدأ بإعادة صياغة ما توصلنا اليه ...
ن^4 + 4ن³ + 6ن² + 4ن + 1 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
(أى ان كل الذى تم عبارة عن تحليل بالتقسيم)
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 5ن² + 2ن
= (ن+1)^4 + 2ن³ + 4ن² + 2ن + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن² + 2ن + 1) + ن²
= (ن+1)^4 + 2ن(ن+1)² + ن²
= ((ن+1)²)² + 2ن(ن+1)² + ن²
أليس هذا الشكل مربع كامل ؟
= [(ن+1)² + 1]²
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
طريقة أخرى للحل لكنها تحتوى على فكرة مميزة ...
نقول : المفكوك عبارة عن مربع كامل اذا وفقط اذا
كان ما داخل القوس دالة من الدرجة الثانية، وهذا
شىء بديهى حتى يعطينا مفكوك من الدرجة الرابع
ومن خلال هذا المفهوم البسيط نفرض الفرضية الآتية :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + جـ)²
حيث أ ، ب ، جـ ثوابت فى صورة مجاهيل نريد ايجادها .
مع إفتراض أن ما داخل القوس عدداً طبيعياً من أجل ن
عدد طبيعى ثم ننتظر فى آخر الحل هل يوجد تناقض
أم لا من أجل حلول أ ، ب ، جـ ؟
هذه الفرضية تجعلنا نقول أن العلاقة عبارة عن متطابقة .
ولإيجاد كلاً من أ ، ب ، جـ نجرى بعض الخطوات الآتية .
* بوضع ن = 0 نحصل على : جـ = 1
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (أن² + ب ن + 1)²
** بوضع ن=1 للطرفين فنحصل على : (أ+ب+1)² = 25 ==> (1)
*** بوضع ن=2 للطرفين فنحصل على : (4أ+2ب+1)² = 121 ==> (2)
من (1) ، (2)
أ+ب+1 = 5 أو أ+ب+1 = -5
4أ+2ب+1 = 11 أو 4أ+2ب+1 = -11
لدينا أربع معادلات مختلفة نستطيع ان ننشىء منهم
أنظمة مكونة من معادلتين، وعددهم 4 ق 2 = 6
نستثنى منهم 2 نظراً لأنك اذا قمت بحل أ+ب+1 = 5
، أ+ب+1 = -5 معاً من خلال الجمع ينتج لك أن :
أ+ب+1 = 0 وكذلك الأمر مع المعادلتين الأخرتين .
لنبدأ بتشكل النظام الأول :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
حل بأى طريقة تعجبك (بالحذف أو بالتعويض)
فينتج لنا : أ = 1 ، ب = 3
تشكيل النظام الثانى :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج لنا هذا حل إحتمالى وهو : أ = 0 ، ب = -6
ولكن أ = 0 تجعل أ ن² قيمة معدومة وبالتالى ما داخل
القوس لا يكون دالة من الدرجة الثانية وهذا أمر مرفوض .
تشكيل النظام الثالث :
أ+ب+1 = 5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = -11 ==> (2)
فينتج : أ = -10 ، ب = 14
ولكن هذا الحل يجعل : -10ن² + 14ن + 1 قيمة سالبة لكل ن≥2
تشكيل النظام الرابع والأخير :
أ+ب+1 = -5 ==> (1)
4أ+2ب+1 = 11 ==> (2)
فينتج : أ = 11 ، ب = -17
وهو يجعل ما داخل القوس موجباً فقط اذا كانت ن = 0 أو ن = 2
ملحوظة يمكن التحقق من أن الأنظمة 2 ، 3 ، 4 لا تحقق بمجرد مقارنتها
بحالة (1) الموجبة دائماً فنجد انها لا تكون متطابقة بل هى معادلة فقط
من أجل حلول ن محددة .
مما سبق ينتج أن :
ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)+1 = (ن² + 3ن + 1)²
وبالفعل ن² + 3ن + 1 عدد طبيعى دائماً من أجل ن
عدد طبيعى ، وبالتالى (ن² + 3ن + 1)² مربع كامل
ملحوظة أخرى : العلاقة أيضاً تتحقق من أجل ن عدد صحيح (جربها)
0 بالشرح كيف نحل النظام أ+ب+جـ=1 ، أ²+ب²+جـ²=2 ، أ³+ب³+جـ³ = 3 ؟
الخميس، 11 أكتوبر 2012
التسميات:
الجبر
أ + ب + جـ = 1 ==> (1)
أ² + ب² + جـ² = 2 ==> (2)
أ³ + ب³ + جـ³ = 3 ==> (3)
بتحليل المعادلة الثالثة ...
(أ+ب) (أ² + ب² - أ ب) + جـ³ = 3 ==> (4)
من (1) ، (2) نجد أن : أ + ب = 1 - جـ
، أ² + ب² = 2 - جـ²
لكن بقى أن نوجد أ ب بدلالة جـ أيضاً حتى تكون
معادلة (4) تحتوى على جـ فقط ..
من معادلة (1) : أ + ب = 1 - جـ بتربيع الطرفين ...
(أ + ب)² = (1 - جـ)²
==> أ² + ب² + 2أ ب = 1 - 2جـ + جـ²
ولكن : أ² + ب² = 2 - جـ² (بالتعويض)
2 - جـ² + 2أ ب = 1 - 2جـ + جـ²
2أ ب = -2 + جـ² + 1 - 2جـ + جـ² = 2جـ² - 2جـ - 1
أ ب = جـ² - جـ - 0.5 (بالتعويض فى (4) )
(أ+ب) (أ² + ب² - أ ب) + جـ³ = 3 ==> (4)
(1 - جـ) [2 - جـ² - جـ² + جـ + 0.5] - جـ³ = 3
وبعد نشر الحدود ينتج :
1
جـ³ - جـ² - 0.5جـ = ــــــــ ==> (5)
6
ومعادلة (5) يمكن حلها بطريقة كاردان المعممة :
http://goo.gl/ysMDz
لنستخلص منها جميع حلول جـ الحقيقية
والمركبة، ثم التعويض فى المعادلات أعلاه .
فينتج لنا نظامين من س ، ص فيسهل بعد ذلك ايجادهما ...
وكنت سأكمله اذا توفر لدى المزيد من الوقت ...
اما الرابط فالخطوات تشبه ما فعلته (كفكرة)
والحل النهائى لم يُكتب .. وهو ما وضعته فى
المراجع (على موقع ولفرام الفا)
الحل الذى قدمه الموقع : http://goo.gl/QmC3Z
وهى طريقة أخرى كنت سأكتبها لولا أننى وجدت
ان آخر خطوة ستؤدى الى نفس المعادلة التى
كنت قد استنتجتها من حلى الأولى .
أ + ب + جـ = 1 ==> (1)
أ² + ب² + جـ² = 2 ==> (2)
أ³ + ب³ + جـ³ = 3 ==> (3)
بتربيع معادلة (1) (سأتناول شرح الموضوع بدقة
نظراً لأن سؤالك يتطلب هذا)
(أ+ب+جـ)² = ²1 (بنشر الطرف الأيمن)
[(أ+ب) + جـ]² = (أ+ب)² + 2جـ (أ+ب) + جـ² = 1
أ² + ب² + 2أب + 2(أجـ + ب جـ) + جـ² = 1
أ² + ب² + جـ² + 2(أب + أجـ + ب جـ) = 1
ولكن من معادلة (2) : أ² + ب² + جـ² = 2
اذاً : 2 + 2(أب + أجـ + ب جـ) = 1
ومنها : أب + أجـ + ب جـ = -½
بضرب (1) فى (2) :
(أ+ب+جـ)(أ²+ب²+جـ²) = 1×2
أ³ + أ ب² + أ جـ² + أ² ب + ب³ + ب جـ²
+ أ² جـ + ب² جـ + جـ³ = 2
(نرتب الحدود بنسق معين)
أ³ + ب³ + جـ³ + أ²(ب+جـ) +
ب²(أ+جـ) + جـ²(أ+ب) = 2
ولكن : أ³+ب³+جـ³ = 3 (بالتعويض)
3 +أ²(ب+جـ)+ب²(أ+جـ)+جـ²(أ+ب) = 2
أ²(ب+جـ)+ب²(أ+جـ)+جـ²(أ+ب) = -1
ثم قام بتكعيب معادلة (1)
(أ+ب+جـ)³ = ³1
(أ+ب)³ + جـ³ + 3جـ(أ+ب)² + 3جـ²(أ+ب) = 1
أ³+ب³+جـ³ + 3أ²ب + 3أب² + 3جـ(أ+ب)²
+ 3جـ²(أ+ب) = 1 (بفك التربيع ...)
مع وضع أ³+ب³+جـ³ = 3
3 +3أ²ب + 3أب²+ 3جـ(أ²+ب² + 2أب)
+ 3أ جـ² + 3ب جـ² = 1
3أ²ب + 3أب² + 3أ²جـ + 3ب²جـ + 6أ ب جـ
+ 3أ جـ² + 3ب جـ² = 1 - 3 = -2
3أ²(ب+جـ) + 3ب²(أ+جـ) + 3جـ²(أ+ب)
+ 6 أ ب جـ = -2
(ملحوظة من المفترض أن هذا تحليل مشهور
وما فعلته مجرد خطوات زائدة ...)
3[أ²(ب+جـ) + ب²(أ+جـ) +جـ²(أ+ب)]
+ 6أ ب جـ = -2
ولكن : أ²(ب+جـ)+ب²(أ+جـ)+جـ²(أ+ب) = -1
اذاً : 3 × -1 + 6 أ ب جـ = -2
6 أ ب جـ = -2 + 3 = 1 ومنها أ ب جـ = 1\6
وبالتالى الموضوع أشبه ما يكون بتكوين معادلة
من الدرجة الثانية بمجرد معرفة مجموع جذورها
وحاصل ضربهما (لكن هذه المرة تجرى الخطوات
على معادلة من الدرجة الثالثة)
تتكونا معادلة من الدرجة الثالثة بمعرفة بعض
المعلومات عن جذورها (حلولها) الثلاث، وهذه
المعالومات هى :
1) مجموع جذورها .
2) حاصل ضرب جذورها .
3) مجاميع حاصل الضرب المتكون من توافيق جذورها .
نأخذ كل واحدة ونشرحها على حدى ...
1) مجموع جذورها يعنى أ + ب + جـ
وهذه المعلومة متوفرة لدينا .
2) حاصل ضرب جذورها يعنى : أ ب جـ
وهذه المعلومة أيضاً متوفرة لدينا .
3) مجاميع حاصل الضرب المتكون من توافيق جذورها
يعنى بإيجاز شديد : أب + أجـ + ب جـ
وهذه المعلومة أيضاً متوفرة لدينا ...
الصورة العامة لكتابة المعادلة من الدرجة الثالثة
بدلالة جذورها أ ،ب ، جـ هى :
س³ - (أ+ب+جـ) س² + (أب+ب جـ+أ جـ) س - أ ب جـ = 0
حيث س هو مجهول او متغير إفتراضى الذى يجعل تلك
الجذور التى تحقق تلك المعادلة ...
كيف حصلنا او تعرفنا على هذه المعادلة ؟
من خلال فرض مجهول إفتراضى س ولدينا ثلاث جذور
أ ، ب ، جـ ، ثم فرضنا ان هذه الجذور تحقق او مجرد
أصفاراً للمعادلة الآتية :
(س - أ) (س - ب) (س - جـ) = 0
وبعد توسعة او نشر الطرف الأيمن نحصل تماماً
على هذا الشكل :
س³ - (أ+ب+جـ) س² + (أب+ب جـ+أ جـ) س - أ ب جـ = 0
لدينا : أ+ب+جـ = 1
أب + ب جـ + أ جـ = -½
أ ب جـ = 1\6
اذاً : س³ - س² - ½س - 1\6 = 0
ويمكن ضرب الطرفين فى 6
6س³ - 6س² - 3س - 1 = 0
ومن ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة
والتى قد حصلت عليها بطرق أبسط من هذه
فى حلى الأول .
الحلول المقدمة من موقع ولفرام الفا :
http://goo.gl/2OUbU
أ² + ب² + جـ² = 2 ==> (2)
أ³ + ب³ + جـ³ = 3 ==> (3)
بتحليل المعادلة الثالثة ...
(أ+ب) (أ² + ب² - أ ب) + جـ³ = 3 ==> (4)
من (1) ، (2) نجد أن : أ + ب = 1 - جـ
، أ² + ب² = 2 - جـ²
لكن بقى أن نوجد أ ب بدلالة جـ أيضاً حتى تكون
معادلة (4) تحتوى على جـ فقط ..
من معادلة (1) : أ + ب = 1 - جـ بتربيع الطرفين ...
(أ + ب)² = (1 - جـ)²
==> أ² + ب² + 2أ ب = 1 - 2جـ + جـ²
ولكن : أ² + ب² = 2 - جـ² (بالتعويض)
2 - جـ² + 2أ ب = 1 - 2جـ + جـ²
2أ ب = -2 + جـ² + 1 - 2جـ + جـ² = 2جـ² - 2جـ - 1
أ ب = جـ² - جـ - 0.5 (بالتعويض فى (4) )
(أ+ب) (أ² + ب² - أ ب) + جـ³ = 3 ==> (4)
(1 - جـ) [2 - جـ² - جـ² + جـ + 0.5] - جـ³ = 3
وبعد نشر الحدود ينتج :
1
جـ³ - جـ² - 0.5جـ = ــــــــ ==> (5)
6
ومعادلة (5) يمكن حلها بطريقة كاردان المعممة :
http://goo.gl/ysMDz
لنستخلص منها جميع حلول جـ الحقيقية
والمركبة، ثم التعويض فى المعادلات أعلاه .
فينتج لنا نظامين من س ، ص فيسهل بعد ذلك ايجادهما ...
وكنت سأكمله اذا توفر لدى المزيد من الوقت ...
اما الرابط فالخطوات تشبه ما فعلته (كفكرة)
والحل النهائى لم يُكتب .. وهو ما وضعته فى
المراجع (على موقع ولفرام الفا)
الحل الذى قدمه الموقع : http://goo.gl/QmC3Z
وهى طريقة أخرى كنت سأكتبها لولا أننى وجدت
ان آخر خطوة ستؤدى الى نفس المعادلة التى
كنت قد استنتجتها من حلى الأولى .
أ + ب + جـ = 1 ==> (1)
أ² + ب² + جـ² = 2 ==> (2)
أ³ + ب³ + جـ³ = 3 ==> (3)
بتربيع معادلة (1) (سأتناول شرح الموضوع بدقة
نظراً لأن سؤالك يتطلب هذا)
(أ+ب+جـ)² = ²1 (بنشر الطرف الأيمن)
[(أ+ب) + جـ]² = (أ+ب)² + 2جـ (أ+ب) + جـ² = 1
أ² + ب² + 2أب + 2(أجـ + ب جـ) + جـ² = 1
أ² + ب² + جـ² + 2(أب + أجـ + ب جـ) = 1
ولكن من معادلة (2) : أ² + ب² + جـ² = 2
اذاً : 2 + 2(أب + أجـ + ب جـ) = 1
ومنها : أب + أجـ + ب جـ = -½
بضرب (1) فى (2) :
(أ+ب+جـ)(أ²+ب²+جـ²) = 1×2
أ³ + أ ب² + أ جـ² + أ² ب + ب³ + ب جـ²
+ أ² جـ + ب² جـ + جـ³ = 2
(نرتب الحدود بنسق معين)
أ³ + ب³ + جـ³ + أ²(ب+جـ) +
ب²(أ+جـ) + جـ²(أ+ب) = 2
ولكن : أ³+ب³+جـ³ = 3 (بالتعويض)
3 +أ²(ب+جـ)+ب²(أ+جـ)+جـ²(أ+ب) = 2
أ²(ب+جـ)+ب²(أ+جـ)+جـ²(أ+ب) = -1
ثم قام بتكعيب معادلة (1)
(أ+ب+جـ)³ = ³1
(أ+ب)³ + جـ³ + 3جـ(أ+ب)² + 3جـ²(أ+ب) = 1
أ³+ب³+جـ³ + 3أ²ب + 3أب² + 3جـ(أ+ب)²
+ 3جـ²(أ+ب) = 1 (بفك التربيع ...)
مع وضع أ³+ب³+جـ³ = 3
3 +3أ²ب + 3أب²+ 3جـ(أ²+ب² + 2أب)
+ 3أ جـ² + 3ب جـ² = 1
3أ²ب + 3أب² + 3أ²جـ + 3ب²جـ + 6أ ب جـ
+ 3أ جـ² + 3ب جـ² = 1 - 3 = -2
3أ²(ب+جـ) + 3ب²(أ+جـ) + 3جـ²(أ+ب)
+ 6 أ ب جـ = -2
(ملحوظة من المفترض أن هذا تحليل مشهور
وما فعلته مجرد خطوات زائدة ...)
3[أ²(ب+جـ) + ب²(أ+جـ) +جـ²(أ+ب)]
+ 6أ ب جـ = -2
ولكن : أ²(ب+جـ)+ب²(أ+جـ)+جـ²(أ+ب) = -1
اذاً : 3 × -1 + 6 أ ب جـ = -2
6 أ ب جـ = -2 + 3 = 1 ومنها أ ب جـ = 1\6
وبالتالى الموضوع أشبه ما يكون بتكوين معادلة
من الدرجة الثانية بمجرد معرفة مجموع جذورها
وحاصل ضربهما (لكن هذه المرة تجرى الخطوات
على معادلة من الدرجة الثالثة)
تتكونا معادلة من الدرجة الثالثة بمعرفة بعض
المعلومات عن جذورها (حلولها) الثلاث، وهذه
المعالومات هى :
1) مجموع جذورها .
2) حاصل ضرب جذورها .
3) مجاميع حاصل الضرب المتكون من توافيق جذورها .
نأخذ كل واحدة ونشرحها على حدى ...
1) مجموع جذورها يعنى أ + ب + جـ
وهذه المعلومة متوفرة لدينا .
2) حاصل ضرب جذورها يعنى : أ ب جـ
وهذه المعلومة أيضاً متوفرة لدينا .
3) مجاميع حاصل الضرب المتكون من توافيق جذورها
يعنى بإيجاز شديد : أب + أجـ + ب جـ
وهذه المعلومة أيضاً متوفرة لدينا ...
الصورة العامة لكتابة المعادلة من الدرجة الثالثة
بدلالة جذورها أ ،ب ، جـ هى :
س³ - (أ+ب+جـ) س² + (أب+ب جـ+أ جـ) س - أ ب جـ = 0
حيث س هو مجهول او متغير إفتراضى الذى يجعل تلك
الجذور التى تحقق تلك المعادلة ...
كيف حصلنا او تعرفنا على هذه المعادلة ؟
من خلال فرض مجهول إفتراضى س ولدينا ثلاث جذور
أ ، ب ، جـ ، ثم فرضنا ان هذه الجذور تحقق او مجرد
أصفاراً للمعادلة الآتية :
(س - أ) (س - ب) (س - جـ) = 0
وبعد توسعة او نشر الطرف الأيمن نحصل تماماً
على هذا الشكل :
س³ - (أ+ب+جـ) س² + (أب+ب جـ+أ جـ) س - أ ب جـ = 0
لدينا : أ+ب+جـ = 1
أب + ب جـ + أ جـ = -½
أ ب جـ = 1\6
اذاً : س³ - س² - ½س - 1\6 = 0
ويمكن ضرب الطرفين فى 6
6س³ - 6س² - 3س - 1 = 0
ومن ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة
والتى قد حصلت عليها بطرق أبسط من هذه
فى حلى الأول .
الحلول المقدمة من موقع ولفرام الفا :
http://goo.gl/2OUbU
