كيف نثبت انه لكل n عدد طبيعى فإن n^5 - n تقبل القسمة على 5 ؟

بطرق كثيرة تستطيع ان تثبت ذلك .. اذكر واحدة

العلاقة هى :  n^5 - n  بوضع n=1 فإن العلاقة
صحيح، والآن نفرض أن عندما n = k فإن العلاقة
صحيحة من أجل k عدد طبيعى، ثم نركز جهدنا
لإثبات صحة العلاقة من أجل n = k+1

n^5 - n = (k+1)^5 - (k+1)     l

تستطيع فك k+1 الكل أس 5 بنظرية ذات الحدين ...

نفرض أن العبارة هى E (حتى لا أكررها)

E = k^5 + 5k^4 + 10k³ + 10k² + 5k + 1 - k - 1

E = k^5 - k  + 5k^4 + 10k³ + 10k² + 5k

لاحظ عوامل الحدود، نعلم أن 5 ، 10 تقبل
القسمة على 5 ، ونحن فرضنا صحة العلاقة
صحيحة من أجل k^5 - k اذاً المقدار كله
يقبل القسمة على 5 ويسمى هذا الإثبات
(الإستقراء الرياضى)

ملحوظة : العبارة أيضاً تقبل القسمة على 3

الإثبات : n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n²-1)(n+1)  l

E = n(n-1)(n+1)(n²+1)   l

لاحظ :  n(n-1)(n+1) j تعنى حاصل ضرب ثلاثة
أعداد متتالية وهى حتماً تقبل القسمة على 3
ليس هذا وفقط بل تقبل القسمة على 3! = 6

اذاً المقدار الذى وضعته يقبل القسمة على :
3 ، 5 ، 6  معاً من أجل n عدد طبيعى .

==============================
اليك حل آخر عن طريقة مفهوم الباقى .

وصلنا سابقاً الى أن : E = n(n-1)(n+1)(n²+1) l

العدد الطبيعى n له خمس إحتمالات فقط .

1) يقبل القسمة على 5 (الباقى 0)
2) باقى القسمة على 5 = 1
3) باقى القسمة على 5 = 2
4) باقى القسمة على 5 = 3
5) باقى القسمة على 5 = 4

فى الحالة الأولى : اذا كانت n تقبل القسمة
على 5 فإن العبارة E تقبل القسمة على 5
لأن أحد عواملها n .

الحالة الثانية : فى حالة n باقى قسمتها على
5 هو 1 ، وتكتب بهذه الصيغة n ≡ 1 (mod 5) l

بطرح 1 من الطرفين :  n - 1 ≡ 0 (mod 5)  l

ولكن n - 1 ايضاً أحد عوامل العبارة E اذاً فى
هذه الحالة أيضاً العبارة E تقبل القسمة على 5 .

الحالة الثالثة :  n ≡ 2 (mod 5) l  بتربيع الطرفين ..

n² ≡ 4 (mod 5)  l  بإضافة 1 للطرفين ...

n²+1 ≡ 5 (mod 5) l  ومنها  n²+1 ≡ 0 (mod 5)  l

اذاً الحالة الثالثة تحقق أيضاً لأن n²+1 أحد عوامل
العبارة E .

الحالة الرابعة :  n ≡ 3  بتربيع الطرفين مع إضافة ..

n²+1 ≡ 9 + 1 (mod 5)  l  ومنها  n²+1 ≡ 0 (mod 5) l

اذاً الحالة الرابع تحقق ...

الحالة الخامسة :  n ≡ 4 (mod 5)  l

بإضافة 1 للطرفين :  n+1 ≡ 5 (mod 5)  l

هذا يعنى أن :  n+1 ≡ 0 ( mod 5)  l

ولكن n+1  أحد عوامل العبارة E أيضاً ...

اذاً فى كل الحالات فإن العبارة E تقبل القسمة على 5 .

================================

مثلث باسكال - انظر السطر 1  5  10  10  5  1

طريقة أخرى سهلة (تحتاج فقط ال قليل من التركيز)

نفرض أن n ≡ r (mod 5)    l

اذاً :  n = 5m + r  حيث كلاً من r , m طبيعيان .

بالتعويض ...

n^5 - n = (5m + r)^5 - 5m - r

ولا تتعب نفسك فى فك القوس بمفكوك ذات
الحدين، كل ما فى الأمر هو اننا سندرس عوامل
ذات الحدين من خلال مثلث باسكال :



فنجد أن العوامل هى :

1   5   10  10  5  1

هذا يعنى ان اهتمامنا سينصب نحو الحد الأول
والأخير فقط لأن كلاً من 5 ، 10 يقبل القسمة
على 5 .

الآن معامل الحد الأول هو 1 لكن هذه ليست
الحقيقة كاملة فالحد الأول داخل القوس هو 5m
فمهما ضُرب او روفع الى عدد طبيعى فسيظل
يقبل القسمة على 5 .. انتهينا من هذه اذا بقى
لدينا الحد الأخير والذى بعد فك القوس سكون r^5
لدينا  سالب 5m يقبل القسمة على 5 دائماً  ، فى
الأخير يتبقى لدينا هذين الحدين r^5 - r والمعنى
أن n^5 - n  يقبل القسمة على 5 اذا وفقط اذا
r^5 - r  .. لكن ما هو r ؟

الإجابة : r هو بواقى العدد 5

أى أن : r = {0 ,  1 , 2 , 3 , 4}   l

فقط لن يخرج r عن هذا المفهوم (5 احتمالات فقط)

والمعنى انك ستعوض عن r من 0 الى 5 فى العلاقة
r^5 - r  فإذا قبلت القسمة على 5 فإن العبارة E
الأساسية تقبل القسمة على 5 وهذا حدث حقيقى .

اذاً : العبارة E = n^5 - n تقبل القسمة على 5 .
=============================
واليك الإثبات فى سطر (مبرهنة) فيرما الصغرى
(إضغط هنا) وإقرإ مضمون المبرهنة اذا كنت
مهتم بنظرية الأعداد او كنت تعرفها فسيكون
الأمر أفضل، ليس هذا وفقط بل المبرهنة تبتعد
لما هو أكثر من ذلك (من أجل n عدد صحيح)

المبرهنة هى :  a^p ≡ a (mod p)  l

حيث a عدد صحيح ، p عدد أولى .

لدينا n عدد صحيح ، ولدينا  5 عدد أولى .

اذاً مباشرة ً :  n^5 ≡ n (mod 5)  l

ومنها           n^5 - n ≡ 0 (mod 5)   l

هذا يعنى فى مفهوم التطابقات أن : n^5 - n
تقبل القسمة على 5 .