3 اذا علمت ان أ+ب=225 فإثبت أن : ظتاأ/(1+ظتاأ) × ظتاب/(1+ظتاب) = 0.5

• القانون الأول :
                     1 + ظاس ظاص
ظتا(س - ص) = ـــــــــــــــــــــــــ
                      ظاس - ظاص

• ظا225 = ظتا225 = 1

•
أ+ب = 225  هذا يعنى أن : ظتا(أ+ب) = ظتا(225) = 1

استعمل المتطابقة :

                 1 - ظاأ ظاب
ظتا(أ+ب) = ــــــــــــــــــــــ = 1
                  ظاأ + ظاب  

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين .

1 - ظاأ ظاب = ظاأ + ظاب

ومنها   ظاأ ظاب = 1 - (ظاأ + ظاب)

فى اعتقادى انه توجد أكثر من طريقة للحل، ولكن من خلال النظر
الى الطرف الأيمن نجد ان كلاً من الدالة التى تحتوى على أ والدالة
التى تحتوى على ب منفصل كلاً منهم عن الآخر ، لهذا يمكن ان
نقول : بما أن  أ + ب = 225   اذاً  أ = 225 - ب

                              1 + ظا225 ظاب      1 + ظاب  
ظتاأ = ظتا(225 - ب) = ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
                               ظا225 - ظاب         1 - ظاب

                             1 + ظاب            2
ومنها : 1 + ظتاأ = 1 + ــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
                              1 - ظاب        1 - ظاب

            ظتاأ           1 + ظاب       1 - ظاب       1 + ظاب
اى أن : ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ × ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
          1 + ظتاأ       1 - ظاب            2                2


بالمثل تماماً (وبتكرار نفس الخطوات) :

 ظتاب          1 + ظاأ
ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ
1 + ظتاب          2

                ظتاأ          ظتاب         1 + ظاأ           1 + ظاب
هذا يعنى : ـــــــــــــ × ـــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــ
              1+ظتاأ       1+ظتاب          2                   2

   (1+ظاأ)(1+ظاب)     1 + ظاأ + ظاب + ظاأ ظاب
= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           4                                4

ولكن ظاأ ظاب = 1 - (ظاأ + ظاب)      بالتعويض ...

   1 + (ظاأ + ظاب) + 1 - (ظاأ + ظاب)        2
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ½
                      4                                4

اتمنى ان اجد طريقة أخرى للحل ...

تابع القراءة

2 اثبت ان : ( أ َ² - بَ² )/جـَ² = جا(أ - ب)/جا(أ + ب)

بعد تفكير وجدت ان قانون الجيب مناسباً للحل، لكن قبل الحل
نعلم أن : أ + ب + جـ = 180  ومنها أ + ب = 180 - جـ

هذا يعنى :  جا(أ+ب) = جا(180 - جـ)

ولكن : جا(الزاوية) = جا(الزاوية المكلمة لها)

اذاً : جا(أ+ب) = جاجـ    وهذه خطوة هامة جداً ...

ثانياً : ارشدك الى قوانين النسبة والتناسب .

• مجموعة المقدمات على مجموع التوالى = احدى النسب .

• اذا تساوت نسبتان فإنه اذا تم تبديل الطرفين او الوسطين
فإن التناسب يظل صحيح .

ما سبق اذا لم يكن فيه شىء واضح عندك فيمكنك السؤال عنه
ولم اتناقش فيه كثيراً اولاً حتى لا اترك السؤال الأساسى الذى
نحن بصدده واششت ذهنك، ثانياً لأنك من المفترض انك اخذته
فى السابق (اظن فى المرحلة الإعدادية) .

القانون الثالث (وهذا مهم جداً جداً وهو محور السؤال)

المتطابقة : جا²أ - جا²ب = جا(أ + ب) جا(أ - ب)

وسأثبتها أولاً حتى لا يتشتت تفكيرك عند حل السؤال .

اثبات المتطابقة السابقة :-

جا(أ + ب) جا(أ - ب) = (جاأ جتاب + جاب جتاأ)(جاأ جتاب - جاب جتاأ)

= جا²أ جتا²ب - جا²ب جتا²أ

= جا²أ (1 - جا²ب) - جا²ب (1 - جا²أ)

تعليق : لأن جا²س = 1 - جتا²س   (متطابقة مشهورة)

والآن نقوم بعملية التوزيع على الأقواس ..

= جا²أ - جا²أ جا²ب - جا²ب + جا²أ جا²ب

= جا²أ - جا²ب     (وهو المطلوب)

فقط اريدك ان تعلم أن : جا²أ - جا²ب = جا(أ+ب) جا(أ - ب)

------------------------------------------
والآن نعود الى السؤال الأصلى ...
------------------------------------------
ذكرنا سابقاً أن : جا(أ + ب) = جاجـ   (فى المثلث فقط)

الآن ومن قانون الجيب .

  أَ َ          بَ         جـَ
ـــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــ
جاأ         جاب     جاجـ

لكن مجموع المقدمات على مجموع التوالى = احدى النسب .

  أ َ          بَ         جـَ       أ َ - بَ         أ َ + بَ
ـــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــ = ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
جاأ         جاب     جاجـ     جاأ - جاب     جاأ + جاب

سنأخذ النسبة جـ َ/جاجـ   (لأنها المناسبة هنا)

اذاً :

 أ َ - بَ             جـ َ
ـــــــــــــــــ  =  ــــــــــ         ==> (1)
جاأ - جاب         جاجـ

أ َ + بَ          جـ َ
ـــــــــــــــــ = ــــــــــ          ==> (2)
جاأ + جاب      جاجـ

بضرب (1) × (2)

   (أ َ - بَ)(أ َ + بَ)             جـَ ²
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ
(جاأ - جاب)(جاأ + جاب)       جا²جـ

استعمل قانون فرق المربعين من اجل فك البسط والمقام .

 أ َ² - بَ²           جـَ²
ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
جا²أ - جا²ب       جا²جـ

استعمل خاصية تبديل الوسطين (فى التناسب) ...

 أ َ² - بَ²         جا²أ - جا²ب
ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
    جـَ²               جا²جـ

ولكن جاجـ = جا(أ + ب)

و :   جا²أ - جا²ب = جا(أ + ب) جا(أ - ب)

 أ َ² - بَ²         جا(أ + ب) جا(أ - ب)
ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
    جـَ²                جا²(أ + ب)

اختصر ...


 أ َ² - بَ²          جا(أ - ب)
ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ          #
    جـَ²             جا(أ + ب)

تابع القراءة

2 اذا كانت أ,ب,ج,د فى تناسب متسلسل فاثبت ان: (أ - د)/(أ+ب+ج) = (أ-2ب+ج)/(أ - ب)

أ ب جـ د فى تناسب متسلسل ... اذاً

 أ         ب       جـ
ـــــــ = ـــــــ = ـــــــ = م  حيث م ثابت التناسب
 ب       جـ        د

هذا يعنى حسب قانون التناسب المتسلسل، والذى
اذا اردت اثباته  (سأضعه لك) ، وهو بالمناسبة يعتمد
على التناسب العادى مع اجراء بعض التعويضات البسيطة .

أ = د م³ ، ب = د م² ، جـ = د م

                      أ - د            د م³ - د
الطرف الأيمن = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
                    أ+ب+جـ     دم³ + دم² + دم

       د(م³ - 1)             م³ - 1
= ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ
  دم(م² + م + 1)     م(م² + م + 1)

حلل البسط كفرق بين مكعبين ...

   (م - 1)(م² + م + 1)         م - 1
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
      م(م² + م + 1)               م

                    د م³ - 2 د م² + د م
الطرف الأيسر = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        د م³ - د م²

   دم(م² - 2م + 1)      م² - 2م + 1
= ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ
     دم²(م - 1)              م(م - 1)

حلل البسط كمربع كامل ...

     (م - 1)²          م - 1
= ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
    م(م - 1)             م

من هنا يتبين ان الطرف الأيمن = الطرف الأيسر   #

تابع القراءة

6 اوجد مشتقة 1/جذر(3س) بقانون المشتقة العام .

                1
د(س) = ـــــــــــــــــ  بالضرب بسطاً ومقاماً فى جذر(3س)
           جذر(3س)

           جذر(3س)     جذر(3)     جذر(س)
د(س) = ــــــــــــــــ = ــــــــــــ × ـــــــــــــــ
              3س            3            س


                     د(س+هـ) - د(س)
دَ(س) =  نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــ
            هـ←0         هـ

                          جذر(3)  جذر(س+هـ)      جذر(س)              
د(س+هـ) - د(س) = ــــــــــ [ـــــــــــــــــــــ  - ــــــــــــــــ]
                             3       (س+هـ)            س

   جذر(3)    س جذر(س+هـ) - (س+هـ) جذر(س)
= ـــــــــــــ [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
      3                    س(س+هـ)

   جذر(3)    س جذر(س+هـ) - س جذر(س) - هـ جذر(س)
= ـــــــــــــ [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
      3                       س(س+هـ)

بعد هذا التبسيط نعود لأصل القانون ....

جذر(3)           س جذر(س+هـ) - س جذر(س) - هـ جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0                   هـ س(س + هـ)

نقوم بتوزيع البسط على المقام ...

جذر(3)          س جذر(س+هـ) - س جذر(س)             هـ جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0     هـ س(س + هـ)                 هـ←0  هـ س(س + هـ)

بقسمة النهاية الأولى بسطاً ومقاماً على س
وقسمة النهاية الثانية بسطاً ومقاماً على هـ  (العامل الصفرى)

جذر(3)           جذر(س+هـ) -  جذر(س)                    جذر(س)
ــــــــــ نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ - نهـــــا ـــــــــــــــــــــــ
 3      هـ←0       هـ (س + هـ)                    هـ←0  س(س + هـ)

فى النهاية الثانية نضع هـ = 0 (لأننا اختزلنا العامل الصفرى)

اما النهاية الأولى فنقوم بإخراج 1/(س+هـ) وهذه النهاية = 1/س
بعد وضع هـ = 1  (والمعنى ان النهاية الأولى عبارة عن حاصل
ضرب نهاتين) ...


جذر(3)      1               جذر(س+هـ) -  جذر(س)    جذر(س)
ــــــــــ × ـــــــــ  نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ -  ــــــــــــــ
 3          س     هـ←0              هـ                      س²

                  جذر(س+هـ) - جذر(س)
ولكن : نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = مشتقة جذر(س)
         هـ←0             هـ
                     
وسنرمز لنا بالرمز جذر(س) َ       ...

                 جذر3  جذر(س)َ    جذر(س)
اذاً : دَ(س) = ـــــــــ [ــــــــــــ - ــــــــــــــ]
                   3        س         س²

وبعد توحيد المقامات ...

   جذر3   س جذر(س) َ - جذر(س)
= ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
    3                   س²

وهذا يحولنا مباشرة ً الى ايجاد مشتقة جذر(س) بالقانون العام .

           جذر(س+هـ) - جذر(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0              هـ

وهذه هى الفكرة فى السؤال وكان بالإمكان البدء ....

هنا نقوم بضرب البسط والمقام فى المرافق وهو : جذر(س+هـ) + جذر(س)
وكل هذا من أجل اظهار العامل الصفرى (هـ) فى البسط حتى يُختصر مع نظيره
فى المقام .


           جذر(س+هـ) - جذر(س)    جذر(س+هـ) + جذر(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0              هـ                    جذر(س+هـ) + جذر(س)


                        س + هـ - س
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0    هـ [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  

                       هـ
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  نختصر العامل الصفرى ...
   هـ←0  هـ [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  


                         1
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0   [جذر(س+هـ) + جذر(س)]  

والآن وبعد إختصار العامل الصفر جاز لنا ان نستعيض هـ بـ 0 .

               1                     1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = مشتقة جذر(س)
   جذر(س) + جذر(س)      2ذر(س)


نعود الى آخر خطوة :

             جذر3   س جذر(س) َ - جذر(س)
دَ(س) = ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
              3                 س²


   جذر3   س/2جذر(س) - جذر(س)
= ـــــــــ [ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
    3                  س²

طريقة أخرى اسرع فى الحل .

                                1/جذر(س+هـ) - 1/جذر(س)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ـــــــــــــــــــــتـــــــــــــــــــ
                      هـ←0               هـ

بالضرب بسطاً ومقاماً فى المرافق = 1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)

                                      1/(س+هـ) - 1/س
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0   هـ[1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نقوم بتوحيد المقامات فى البسط فقط ...

فنجد أن : 1/(س+هـ) - 1/س = -هـ/س(س+هـ)  بالتعويض ...

                                                -هـ/س(س+هـ)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0   هـ[1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نختزل العامل الصفرى هـ  .

                                                -1/س(س+هـ)
دَ(س) = 1/جذر(3) نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ←0    [1/جذر(س+هـ) + 1/جذر(س)]

نضع هـ = 0
   
                                      -1/س²
دَ(س) = 1/جذر(3) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                          [1/جذر(س) + 1/جذر(س)]

                             -1/س²                       -1            2
دَ(س) = 1/جذر(3) ــــــــــــــــــــــ = 1/جذر(3) ــــــــــ ÷ ـــــــــــــــ
                         2/جذر(س)                     س²       جذر(س)

      -1           جذر(س)     - جذر(س)
= ـــــــــــــــــ × ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ
  جذر(3) س²       2          2جذر(3) س²

وهى نفسها النتيجة التى حصلنا عليها سابقاً لكن بعد وضعها فى ابسط صورة .

تابع القراءة

0 ما هو آحاد العدد 3^139 ؟

سأبدأ من سؤال آخر وهو اوجد آحاد 91 وهذا سؤال
سهل للغاية ، فالآحاد هنا هو 1 ولكن يمكننا معرفة
ذلك عن طريق القسمة على 10 ، فباقى قسمة 91
على 10 هى 1 ولأن باقى القسمة 1 اذاً آحاد 91 هو 1 .

ما سبق هو البادئة التى سنعتمد عليها فى الحل ....

الآن نقوم بقسمة 3^139 على 10 ولكن بالتدريج ...

فنقول باقى قسمة 3^4 على 10 هو 1 لماذا ؟
لأن 3^4 = 81 وعند قسمتها على 10 يكون الباقى 1 .

هذا يعنى اننا مهما رفعنا العدد (3^4) الى اى عدد موجب طبيعى
سيكون أيضاً باقى قسمته على 10 هو 1 ، لكننا نريد 3^139
فنقول ما العدد الذى لو ضُرب فى 4 يعطى عدد قريب من  139 ؟

انصحك بإستعمال الآلة هنا .. اكتبى مثلاً 4 × 30 يظهر
الناتج على الآلة 120 مازال العدد بعيداً عند 139 ... الى
ان تصلى (ومع التجربة المتكررة) الى أن  4 × 34 = 136
وهى تقارب معقول نحو 139.... هذا يعنى ان آحاد العدد
(3^4)^34 = 3^136 هو 1 ..

نعلم انه فى حالة تشابهه الأساسات نقوم بجمع الأسس ...

نقوم بضرب 3^136 فى ³3  فيكون :

3³ × 3^136 = 3^139  هذا يعنى ان باقى قسمة

3^139 على 10 يكافىء باقى قسمة ³3 على 10

نعلم أن ³3 = 27  وباقى قسمتها على 10 هو 7 .

اذاً آحاد العدد 3^139   هو  7  .

(ملحوظة يمكن ترتيب حل المسألة عن طريق الطابقات
ولكن من خلال قرآتى لملفك الشخصى تبين لى عدم
دراستك لنظرية الأعداد) 

الحل مباشرة ً عن طريق تكافؤ باقى القسمة (المتعلق بنظرية الأعداد)

نبدأ من : 3^4 ≡ 1 (مود 10) ==> (3^4)^34 ≡ 1^34 (مود 10)

3^136 ≡ 1 (مود 10)  ==> ³3 × 3^136 ≡ 1 × ³3 (مود 10)

3^139 ≡ 27 (مود 10)  ==> 3^139 ≡ 7 (مود 10)

اذاً آحاد 3^139 هو 7 .  

حل آخر - آراه من وجهة نظرى مناسب لكِ -

نلاحظ ما يلى جيداً ... (يعتمد على التجربة والملاحظة)

3^1 = 3
²3 = 9
³3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243
3^6 = 729
.
.
.
وهكذا .. ما الذى حدث هنا ؟

نجد ان أرقام الآحاد الأولى كانت 3  ، 9  ،  7  ، 1
ثم من بعد 3^5 تعيد نفس آرقام الآحاد مرة ثانية
والمعنى اننا اذا قمنا برفع الـ 3 الى عدد ما من مضاعفات
العدد 4 فإن آحاده سيكون 1  .

وهذا ما حدث وجدنا ان 136 قريبة من 139 وهى من مضاعفات
العدد 4  .. اذاً  3^136 آحاده هو 1 .

الآن وبالترتيب السابق :

3^137   آحاده 3
3^138  آحاده 9
3^139  آحاده 7

تابع القراءة

0 كيفية اثبات أن مشتقة س^ن = ن س^(ن-1)

تستطيع اثباتها بالإستقراء الرياضى على ن .

العبارة صحيحة من أجل ن = 1  لأن مشتقة س هى 1

1 = 1س^0  حيث س لا تساوى الصفر .

نفرض أن العبارة صحيحة من أجل ن = ك

اى اننا نفرض صحة ان مشتقة س^ك = ك س^(ك-1)

والآن نبرهن على صحة العبارة عندما ن = ك+1

(س^(ك+1))  َ= (س^ك × س) َ

انت الآن بحاجة الى تطبيق قاعدة حاصل الضرب product rule

مشتقة الاول × الثانى + مشتقة الثانى × الأول

= (س^ك) َ س + س^ك

ولكن (س^ك) َ = ك س^(ك-1)     (فرضاً كما بينا)

اذاً : (س^(ك+1))  َ = ك س^(ك-1)×س + س^ك

==> نجمع الأسس لأن الأساسات متشابهة

= ك س^ك + س^ك   بأخذ س^ك عامل مشترك ...

= (ك+1) س^ك   وهو المطلوب اثباته ....... كيف ؟؟

لاحظ تبعاً للقاعدة فإن مشتقة س^(ك+1) = (ك+1) س^ك

وهذا ما حصلنا عليه، اذاً العبارة صحيحة .

ولكن ماذا لو كنا نريد الإثبات بدون استعمال قاعدة حاصل الضرب ؟

تستطيع اثبات ذلك عن طريق اللوغاريتم الطبيعى ...

نفرض أن د(س) = س^ن  بأخذ لط للطرفين ...

لط[د(س)] = ن لط(س)   نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

    دَ(س)        ن
= ـــــــــــــ = ــــــــــ   اذاً دَ(س) س = ن د(س)
    د(س)       س

           ن د(س)     ن س^ن
دَ(س) = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ن س^(ن-1)
             س              س

وأخيراً يمكنك اثباتها عن طريق القانون العام للإشتقاق .

                        د(س+هـ) - د(س)
دَ(س) = نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ
           هـ←0             هـ

تابع القراءة

2 سؤال فى الإحتمالات

ممكن حل السؤال هذا بالرياضيات ؟ ويفضل شرح فرق بين السحب مع اعادة وبدون اعادة وعشوائيا
صندوق يحوي 6 كرات سوداء و4 بيضاء نسحب 3 كرات احسب احتمال ان تكون السحب كرتين بيضاوين على الاقل، علماً بأن السحب على التتالي مع اعادة .

سحب بالتتالى ==> تباديل
سحب آنياً ==> توافيق
سحب مع الإعادة ==> هو مفهوم آخر للتباديل ولكن بشكل موسع .

عدد الكرات = 6 + 4  = 10

لاحظ حتى يكون الحل المرتب انصحك ان تكتب
فضاء العينة، أو على الأقل حاول ان تتخيله ...

سحب كرتين مع مع الإعادة :

حتى اوضحك لك ما الذى يحدث .. نرمز للست
كرات سوداء من 1 الى 6 ، ونرمز للأربع كرات
بيضاء من 7 الى 10 ، فتتكون لدينا هذه المجموعة .

س = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10}


نوجد أولاً فضاء العينة، وهى عبارة عن عدد طرق
سحب ثلاث كرات من عشرة .

عدد طرق فضاء العينة = ³10 = 1000

وهذا لأن كل عنصر من عناصر هذه المجموعة
يمكن اختياره بعشر طرق، ولما كانت التجربة
ثلاث مرات اذاً فعدد الطرق الممكنة للسحب
(او ما يسمى بفضاء العينة) = 10×10×10 = ³10

كرتين بيضاوتين على الأقل ، وهنا لابد من وقفة

بالمصرى (يعنى ايه ؟) يعنى ايه كرتين بيضاوتين على الأقل ؟؟؟

يعنى : اما ان يكون لدينا فى القوس الثلاثى المرتب
كرتين بيضاوتين، وكرة سوداء  ... وإما ان تكون جميع
الكرات فى الثلاثى المرتب بيضاء .

لنحلل ما سبق سوياً ...  (بالغة الرياضيات والمنطق)

نفرض أن الكرة السوداء  س
وان الكرة البيضاء ض

بحيث س من 1 الى 6
اما ض من 7 الى 10

بمعنى آخر :

س لها 6 طرق للإختيار
ض لها 4 طرق للإختيار

من خلال ذلك نحلل ما سبق (بالغة الرياضيات والمنطق الرمزى)

الثلاثى المرتب الناتج عملية السحب سيتخذ هذه الأشكال
اذا ما أعطينا للترتيب أى أهمية ...

(ض ، ض ، س) ، (ض ، ض ، ض)

لنأخذ القوس الأول ونحلله تفصيلياً ...

(ض ، ض ، س) والمعنى كم ثلاثى مرتب على هذا الشكل ؟

للإجابة على هذا السؤال السهل : نقول بما أن عدد طرق
اختيار ض اربع طرق وعدد طرق اختيار س 6 طرق اذاً فعدد
طرق الثلاثى المرتب على الشكل أعلاه = 4 × 4 × 6 = 96

ولكن هذا ثلاثى مرتب، اى ان الترتيب فيه مهم، فيمكن إعادة
ترتيب العناصر أعلا فتكون :

(ض ، ض ، س) ، (ض ، س ، ض) ، (س ، ض ، ض)

وبهذا نخلص الى أن الثلاثى المرتب الذى يكون على
شكل هؤلاء = 3 × 96 = 288  .

نأخذ الثلاثى المرتب (ض ، ض ، ض)

وهذا أسهل ما يمكن لأن عدد طرق اختيار ض هو 4 .

اذاً جميع الثلاثى المرتب على الشكل أعلاه = ³4 = 64

فنقول ان عدد جميع طرق الإختيار = 288 + 64 = 352

                                      352         44
وأخيراً فالإحتمال المطلوب = ـــــــــــــ = ــــــــــ = 0.352
                                     1000        125

قيد المراجعة ...

تابع القراءة

3 ما الفائدة من النهايات والإتصال فى الرياضيات ؟

ارغب بمعرفة الفائدة من النهايات و الاتصال
يعني مثلا المعادلات تفيد بايجاد المجاهيل
ماذا عن النهايات و الاتصال ماهي فائدتها العلمية ؟

استطيع ان افيدك بشكل مختصر بأن النهايات من مبادىء التفاضل الذى
يهتم بدراسة الإشتقاق بوجه عام عن طريق دراسة مفاهيم أساسية
عن " الكميات المتناهية فى الصغر " .

لماذا بُنى التفاضل على النهايات ؟ .. الإجابة بهدف دراسة اشتقاق الدالة .
وما هو اشتقاق الدالة ؟.. حتى تفهمين ما حدث يجب ان تفهمى او تدرسى
جيداً مفهوم مشتقة الدالة، فعلى الرغم من ان المناهج التعليمية تهتم بدراسة
النهايات أولاً الا ان الذى دعى الى النهايات هو البحث عن مفهوم مشقتة الدالة .

المشتقة الأولى للدالة : هى مفهوم مجرد تجريد تام، وخطواته (ان لم تفيهمها)
اشبه ما تكون بالحفظ، لأن الرياضيات تنتقل من مفاهيم أساسية ومفهومة وواضحة
الى مفاهيم أخرى مجردة (أى لا تعلمين من اين أتت، ولماذا يتم الإشتقاق بهذه
الطريقة ان لم تكونى فى الأساس قد درستى البراهين، او المفاهيم الأساسية)

مثال :   .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
          .   .   .   .   .   .   .   .
         
من المفترض أن الشكل مستطيل والمكون الأساسى له هو مجموع
عدد لا متناهى من هذه النقاط (لم اكلها طبعاً لصعوبة ذلك) هنا ولتكن
الكمية المتناهية فى الصغر هى هذه النقطة " . " - وان كانت اقل من
ذلك بكثير - لأنها كمية تؤول الى الصفر طولاً ومساحاً وحجماً .. فكان
السؤال هو متى نحصل على أكبر مساحة ممكنة لمستطيل ؟

التفاضل يجيب على سؤال كهذا بحيث يتم فرض أن العرض x
والطول y  .
          

مساحة المستطيل = الطول * العرض

يمكن فرض أن مساحة المستطيل = m 

وبتعبير رياضياتى فإن :  m = x y   وتعنى مساحة جميع اى مستطيل مهما
كان طوله أو عرضه (طبعاً لا يوجد طول بالسالب) .

يمكن الإجابة على هذا السؤال من خلال تجربة (اى بدون التفاضل) ولكن
ستكون طريقة طويلة وصعبة ومملة، بحيث يمكن دراسة جميع حالات
المستطيل، كالمربع فهو حالة خاصة من خالات المستطيل، ومفهوم
المربع هو x = y  أى الطول = العرض، ما هو الإحتمال الثانى ؟
قد يكون الإحتمال الثانى هو ان الطول أكبر من العرض .. فنقول
عندما كان الطول أكبر من العرض كانت مساحة المستطيل = ؟؟؟
ثم نطرح احتمال أخير، عندما كان الطول اصغر العرض كم كانت
مساحة المستطيل ؟ .. ونبدأ بالمقارنة ايهما أكبر فى المساحة ؟
من خلال علمان أن كلاً من x , y  كميات موجبة، او بالأكبر أكبر
من او تساوى الصفر .

بملاحظة ما حدث نجد اننا نتعامل مع كميات معينة تتغير بتغير كميات
أخير، أى ان بتغير الطول قد يتغير العرض، او لا يتغير فيبقى ثابتاً
نجد ايضاً اننا نتعامل مع مفهومين أساسياً (الثابت والمتغير)
ستجدين عبارات كثيرة مثل هذه .. عندما تغيرت x (اى الطول)
من ...... الى .......  تغيرت (معها) y  من ...... الى .........
ما هى نسبة تغير y الى نسبة تغير x ؟

هذا ما يكتب فى الرياضيات  dy/dx

dx   ثابت  ... اما  dy  فهو متغير (وكل هذه فرضيات)

أى قد نفعل العكس فنقول dx متغير و y ثابت ، لكن بشرط
ان يتم حل المسألة كاملاً بناء على قبول صحة هذه الفرضية .

dx  هى معدل التغير الذى طرأ على طول المستطيل، وكما عبرت
عنها بالنقطة مثلاً  " . " ان لم تكن أقل من هذا بكثير، لكنها لن
تصل بأى حال من الأحوال الى الصفر، لأن القسمة على الصفر
مفهوم صعب ومعقد جداً لم يتم التعرف اليه الى الآن، فنكتفى
بالقول بأن القسمة على الصفر كمية غير معرفة .


dy هى أيضاً التغيير الذى طرأ على العرض .

وأخيراً   dm  هو التغير الذى طرأ على المساحة .

ملحوظة : كل هذه تغييرات متناهية فى الصغر ..

d إختصار لكملة derivative اى اشتقاق .

المشكلة الرئيسية وهى : لتكن dx = 0  بالصفر ، وأن dy = 0 بالفعل
فما هى قيمة dy/dx والتى = 0/0  >>> تسمى كمية غير معينة فى
التفاضل، وهذا بإيجاز شديد يعود الى عدة أسباب وهى ان dx , dy
لا يساوون صفر تماماً بل كلاً منهم يؤول الصفر  .. السب الآخر وهو
انه ليس من الضرورى ان تؤول x الى الصفر بنفس ما تؤول y الى الصفر
كأن نقول مثلاً سرعة الضوء أكبر من سرعة الصوت ..

مثال آخر ، ليكن قانون ما فى متغييرت تحكمه القاعدة y = (x² - 1)/(x-1)   l

الآن عندما x = 1  فإن y غير معرفة .. لأنه عندما x = 1  فإن المقام = 0
والقسمة على الصفر غير معرفة .. النهايات توجد نهاية y عندما x تؤول
الى الواحد (بحكم ان الدالة غير متصلة عندما x = 1

العامل الصفرى هو x - 1  يجب التخلص منه بحيث يجوز القسمة
عليه بسطاً ومقاماً (بعدما فرضنا أن x تؤول الى 1 وهذا يؤدى الى
ان x - 1  تؤول الى الصفر) وبالتالى فالقسمة ستكون على شىء
يؤول الى الصفر (وليس الصفر تماماً)  .

الحل سريعاً : نحلل البسط كفرق مربعين (اى نضع الدالة فى صورة أخرى)

y = (x-1)(x+1)/(x-1)   l  وبالقسمة على x - 1

y = x+1   شرط ان x تؤول الى الواحد ... هنا بعدما اختزلنا العامل
الصفرى يجوز ان نضع x = 1  مباشرة ً، ولن نكتب x = 0.9999 مثلاً
لأن 0.999999  تؤول الى الواحد .  اذاً  y = 1 + 1 = 2   .

هذا يعنى أن y تؤول الى 2 عندما  x تؤول الى الواحد .
ملحوظة عادة ما يكتب y = 2  مباشرة ً لأننا نتعامل مع
كميات متناهية فى الصغر .

خلاصة القول : أن مفهوم النهايات مرتبط ارتباط وثيق بمفهوم الإشتقاق
والعكس صحيح، ومفهوم الإشتقاق مرتبط ارتباط وثيق بالتغييرات التى
تطرأ على الدالة .. يعنى سبب ومسبب، مثلاً x = 1  عندما y = 2
اى ان x لن تكون 1 الا عندما تكون y = 2 (كتعويض فى دالة ما)

ومفهوم الإشتقاق مرتبط ارتباط وثيق برسم الدوال، ورسم الدوال
مرتبط ارتباط وثيق بالهندسة التحليلية، والهندسة التحليلية مرتبطة
ارتباط وثيق بالهندسة الإقليدية بحيث تعالجها فى صورة جبرية .
(اى تقوم بعملية ربط الجبر بالهندسة) ، ومن خلال اعطاء رسم
لكل لدالة تم التعرف على مفهوم الإشتقاق، وهو مفهوم هندسى
فى المقام الأول ومتعلق كثيراً بنظرية فيثاغورث .

نتسوع أكثر من ذلك من خلال مفاهيم بسيطة جداً :

مثلاً : اذا رأينا شكل ما يشبه المربع او المستطيل فنقول ان هذا الشكل
مربع (اذا وفقط اذا) كانت أضلاعه متساوية والقطران عموديان وينصف كلاً
منهما الآخر .

اى اذا تحقق العكس فإن الشكل مربع ..

نبتعد لما هو أكثر من ذلك : اذا وجدنا شكل ما منحنى مرسوم
فنقول هذا المنحنى هو بمثابة حلول المعادلة y = x²  اذا وفقط
اذا كانت شكل الدالة كيت وكيت .... ونضع تفاصيل .. بإختصار
ربطنا هنا الهندسة بالجبر ، وهو ما قادنا بالفعل لفتح باب كبير
فى الرياضيات هو والتفاضل والتكامل .

صورة تفيد بأن جميع النقاط الواقعة على هذا المنحنى هى
حلول العلاقة y = x²  اللانهائية، وكما نرى هنا فإن ثم تغير يحدث
لـ x نجد تغيراً ملحوظاً على y

الرابطة اذا وفقط اذا

وهذا روابط ممكن تفيدك : http://www.youtube.com/watch?v=77Uuo_1bgFs


سأتوقف الى هذا الحد نظراً لأنى أطلت، وايضاً لأن المفاهيم كثيرة لا تكفى
ان الخصها فى موضوع واحد ..

تابع القراءة

0 تمرين على دالة فى أكثر من قيمة مطلقة واحدة ..

التمرين عن القيمة المطلقة.

A(x)= |2x-3|- |1-x|+2
أحسب :(A(1) . A(6) . A(3/2
أكتب (A(x دون استعمال رمز القيمة المطلقة.
أوجد الأعداد الحقيقية x التي تحقق

A(x)≥2 . A(x )=7

سؤالك هو  (إقراه من اليمين الى اليسار)

د(س) = |2س - 3| - |1 - س| + 2

د(1) = 3
د(6) = 6
د(3\2) = 1.5

ولا اعتقد ان هناك شىء إعجازى اوقفك من
أن تقوم بالتعويض فى الدالة بشكل مباشر ..

السؤال الثانى :  نستعمل الحقيقة القائلة بأن
ما داخل المقياس موجباً او سالباً او قد يكون صفراً.

الحقيقة الثانية : قيمة المقياس ≥ 0

الحقيقة الثالثة : هناك اربع حالات ممكنة
لكتابة الدالة بتعريفات مختلفة (سنرى ان
واحدة منهم غير صالحة ...)

اتحدث عما داخل المقياس، فلدينا مقياسين فى الدالة ..

1) موجبين معاً .
2) سالبين معاً .
3) الأول موجب والثانى سالب .
4) الأول سالب والثانى موجب .

الحالة الأولة مرفوضة، فلن يكونو موجبين معاً أبداً
ولإثبات ذلك : نفرض بالفعل انهم موجبين معاً .
(ملحوظة فى كل مرة نأخذ حالة المساواة)

2س - 3 ≥ 0   ومنها  س ≥ 1.5

1 - س ≥ 0   ومنها    س ≤ 1

وهذا تناقض فمجموعة الحل هنا فاى وتستطيع نا
تتحقق من ذلك من خلال رسم خط الأعداد فلن
تجد تقاطع فيما بينهما، ويتم استعمال خط الأعداد
هنا لتسهيل ايجاد الحل .

2) سالبتين معاً .

2س - 3 ≤ 0   ومنها  س ≤ 1.5

1 - س ≤ 0   ومنها    س ≥ 1

الحل :    1.5> س > 1

3) الأول موجب والثانى سالب .

2س - 3 ≥ 0   ومنها  س ≥ 1.5

1 - س ≤ 0   ومنها    س ≥ 1

الحل :   س ≥ 1.5  

4) الأول سالب ، والثانى موجب .

2س - 3 ≤ 0   ومنها  س ≤ 1.5

1 - س ≥ 0   ومنها    س ≤ 1

الحل : س ≤ 1

ليتكون لدينا :

           { -3س + 6  عندما 1.5> س > 1
د(س) =  {س          عندما  س ≥ 1.5
           {-س + 4    عندما  س ≤ 1

ملحوظة : هناك طرق أكثر تجريداً لم لتطرق اليها ..

السؤال الثالث : اوجد حل د(س) ≥ 2

|2س - 3| - |1 - س| + 2 ≥ 2

نحذف 2 من الطرفين، ونأتى بـ -|1 - س|
الى الطرف الأيسر لكن بإشاة مخالفة .

|2س - 3| ≥ |1 - س|

الآن نوجد حالة المساواة : |2س - 3| = |1 - س|

ومنها : 2س - 3 = 1 - س

أو 2س - 3 = -1 + س

فى الحالة الأولى نحصل على : س = 4\3
فى الحالة الثالنية نحصل على : س = 2

ارسم خط الأعداد لـ "س" وعلم عند 4\3 ، 2
فيتكون لديك ثلاث فترات، وبمجرد أخذ عينة
س من كل فترة وتجربتها فى العلاقة :
|2س - 3| ≥ |1 - س|  اذا حققتها فإن تلك
الفترة ضمن حلول س .. وهكذا الى ان يتبين
لنا أن الحل المتضمن هو :

                 4/3 ≥ س ≥ 2

الحالة الثانية من السؤال الثالث ...

|2س - 3| - |1 - س| + 2 = 7
|2س - 3| - |1 - س| = 5

|2س - 3| = |1 - س| + 5

2س - 3 = |1 - س| + 5

أو : 2س - 3 = -|1 - س| - 5

وبعد الترتيب والإختصار نحصل على :

|1 - س| = 2س - 8

أو : |1 - س| = -2س - 2

بأخذ المقياس الأول وحله على حدى ...

1 - س = 2س - 8

أو : 1 - س = -2س + 8

اذاً : اما  س = 3   أو  س = 7

بأخذ المقياس الثانى، وفكه أيضاً ...

1 - س = -2س - 2

أو : 1 - س = 2س + 2

اذاً : اما س = -3   أو  س = -1\3

ليس هذا وفقط بل يجب ان نتحقق من هذه
الحلول بالتعويض فى العلاقة :
|2س - 3| - |1 - س| = 5

لنجد أن الحلو هى : س = {-3 ، 7}

صورة توضيحية لرسم الدالة

----------------------------------------------------
ملحوظة : طرحك للسؤال بهذه الطريقة يدل
على انك شخص كسول .. فأنتبه لذلك

تابع القراءة

0 كيف نوجد الجذر التكعيبى لـكلاً من 2744 ، 512 ؟

قم بالتحليل مباشرة ً ..

اعطى تخمينا كبيراً نوعاً ما لقابلية العدد 2744
على عدد كبير، فنحن نعلم انه يقبل القسمة
على 2 لأنه عدد زوجى، ولكن هل يوجد عدد
أكبر من ذلك حتى نتخلص من القسمة فى وقت
قصير ؟ للإجابة على هذا السؤال فأنت بحاجة
لمعرفة قواعد قابلية القسمة [مرجع 1] لا سيما
البسيطة منها، وهذا يعتمد فى الأول والأخير على
خبرتك وممارستك لتحليل الأعداد بشكل مستمر
مثلاً عندما رأيت العدد خمنت انه يقبل القسمة
على 7 لأن هناك قاعدة بسيطة [فى نفس مرجع 1]
مضمونها : يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان
حاصل ضرب ضعف آحاده من العدد الأصلى (بعد حذف
الآحاد منه) يقبل القسمة على 7 .

ولديك : 2744 يقبل القسمة على 7 ولإثبات ذلك
نجرى الخطوات الآتية :

274 - 2(4) = 266 مازال العدد كبيراً ؟ ..

وهنا نكرر الخوارزمية مرة ثانية ..

26 - 2(6) = 14  وهنا نتوقف لأنه بالفعل 14
تقبل القسمة على 7 .

لاحظ : كل هذه الخطوات ربما تجرى ذهنياً وكتبتها
هنا لغرض التوضيح،  والآن نقوم بقسمة العدد
على7 بقواعد القسمة لبسيطة التى تعلمها
من اليسار الى اليمين، واذا وجد باقى جًُمع
على العدد الذى يليه وهكذا الى ان نأتى بآخر
عدد على اليمين .

2744 ÷ 7 = 392

ثم نسأل هل يقبل القسمة على 7 مرة أخرى ؟

نجرب الخوارزمية : 39 - 2(2) = 35  بالفعل يقبل ...

392 ÷ 7 = 56  ونحن نعلم أن 56 = 8 × 7

وبناء على هذا نكون قد قسمنا العدد 2744
على 7 ثلاث مرات متعاقبة ... وتبقى 8 .

اذاً : 2744 = ³7 × 8

ولكن من الأفضل ان نحلل العدد الى عوامله الأولية ..

فـ  8 = 2×2×2 = ³2

اذاً : 2744 = ³7 × 2³ = (2 × 7)³ = (14)³

وبناء عليه فإن الجذر التكعيبى لـ(2744) = 14

------------------------------------------------------

العدد الثانى صغير نسبياً، يكفى ان تعلم أن :

512 = 2^9 = (³2)³ = ³8

ولهذا فإن : الجذر التكعيبى لـ(512) = 8 

مرجع[1] : قواعد عامة فى قابلية القسمة على عدد صحيح .

تابع القراءة

0 أب ج ء مربع فيه أ=(3،-2) ،ج=(1، 4) فأوجد ميل ب ء ومعادلته ؟

من خلال مراجعتى لسؤالك تبين لى انك قد                 
كتبت السؤال بطريقة خاطئة حيث أن أ ب جـ د
ليس مربع وانما مستطيل، ولهذا وجب عليك ان
تكتب سؤالك بطريقة سليمة .

اعتقد ان المربع هو أ جـ ب د

ميل أ جـ كما قلنا = -3

ولكن ب د // أ جـ  اذاً ميل ب د = ميل أ جـ

معادلة ب د هى : ص = -3س + ث  حيث ث ثابت .

الآن النقطة د تحقق المستقيم ب د (لكنها غير معلومة)

تستطيع ايجادها بالطريقة التى تناسبك، واقترح عليك الآتى :-

طول أ جـ = طول أ د  ومن خلال استعمال قانون البعد
بين نقطتين نصل الى أن (نفرض أولاً أن د = (س،ص) )

أ د = جذر[(س - 3)²+(ص + 2)²] = 2جذر(10)

بتربيع الطرفين ...

(س - 3)² + (ص + 2)² = 40  ==> (1)

نحتاج الى معادلة ثانية ...

لديك طول القطر جـ د = جذر(2)×2جذر(10) = 4جذر(5)

حصلنا عليها من خلال مبرهنة فيثاغورث ...

ولكن يمكنك ايجاد طول القطر عن طريق قانون البعد بين نقطتين أيضاً .

طول القطر هو جـ د  .

جـ د = جذر[(س - 1)² + (ص - 4)²] = 4جذر(5)

(س - 1)² + (ص - 4)² = 80  ==> (2)

بحل (1) ، (2) توصلنا الى س ، ص وبالتالى نكون قد
حصلنا على النقطة د التى تحقق المستقيم ب د .

بطرح (1) من (2) .

(س-1)² - (س-3)² + (ص-4)² - (ص+2)² = 80-40 = 40

استعمل قانون الفرق بين مربعين من أجل التبسيط .

2(2س - 4) - 6(2ص - 2) = 40

4(س - 2) - 12(ص - 1) = 40  بقسمة الطرفين على 4 .

(س - 2) - 3(ص - 1) = 10  قم بفك الأقواس ...

س - 2 - 3ص + 3 = 10    رتب الحدود واختصر ...

س = 3ص + 9      ==> (3)  بالتعويض فى (1)

(س - 3)² + (ص + 2)² = 40  ==> (1)

(3ص+6)² + (ص+2)² = 40 

[3(ص+2)]² + (ص+2)² = 40

9(ص+2)² + (ص+2)² = 40

10(ص+2)² = 40   بقسمة الطرفين على 10

(ص+2)² = 4  ومنها ص+2 = ± 2

ص = 0        أو    ص = -4

بالتعويض فى معادلة (3) : س = 3ص + 9  

س = 9        أو  س = -3

الحل الأول والثانى مقبول من حيث انه يجعل الشكل
مربعاًً ، ولكن الحل الثانى فقط مقبول كونه يحافظ على
الترتيب الذى اشرطناه فى بادىء الحل ، ويمكن التعريف
على ذلك من خلال تمثيل هذه النقاط على الشبكة
التربيعية .


الإحداثى س ، ص هذا يحقق ب د  .. بالتعويض .

فى المعادلة : ص = -3س + ث

-4 = 9 + ث   ومنها  ث = -13

اذاً معادلة المستقيم ب ء هى :

ص = -3س - 13

تابع القراءة

0 كيف نثبت ان أكبر زاوية فى المثلث قطعاً هى أكبر من 60 درجة ؟

• مجموع زوايا المثلث = 180 درجة .

ليكن المثلث هو أ ب جـ  ، لدينا : أ + ب + جـ = 180 ومنها : أ + جـ = 180 - ب

لتكن الزاوية ب أكبر زاوية ... هذا يؤدى بنا الى أن : ب > أ     ،    ب > جـ

بجمع المتباينتين معاً : 2ب > أ + جـ    ولكن أ + جـ = 180 - ب  .. بالتعويض

2ب > 180 - ب       بجمع ب للطرفين ...

3ب > 180        بقسمة الطرفين على 3

ب > 60    وهو المطلوب إثباته .

تابع القراءة

2 صندوق يحوي 12 تفاحة منها 4 تالفة اختير منها 3 تفاحات عشوائيا ما احتمال ان تكون الثلاث تفاحات سليمة ؟

تحدد الإجابة بسحب طريقة السحب، فإذا كانت
طريقة السحب آنية - أى يتم سحب الثلاث كرات
معاً - فإننا نستعمل التوافيق هنا ، واذا كانت طريقة
السحب بالتتبع والتتالى فإننا نستعمل التباديل .

عدد التفاحات السليمة = 12 - 4 = 8

أولاً : اذا كانت طريقة السحب (آنية)

عدد جميع الطرق الممكنة للسحب = 12ق3

عدد جميع الطرق الممكنة لسحب ثلاث
تفاحات سليمة = 8ق3

                   8ق3         56         14
الإحتمال هنا = ـــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــ
                  12ق3       220         55

ثانياً : اذا كانت طريقة السحب (بالتتالى)

نستطيع ان نستشف نفس خطوات الحل السابقة
مستخدمين هذه المرة (التباديل)

                        8ل3          14
فنقول : الإحتمال = ـــــــــــ = ــــــــــ
                        12ل3        55

هذا يعنى انه سواء كانت طريقة السحب (آنية)
او بالتتبع والتتالى فإن إحتمال سحب ثلاث كرات
سليمة هو 14\55 .

تابع القراءة

0 ماهي الخطوات التي أجريها لتكوين المعادله التفاضليه ؟

وهل أعامل الدوال الإختياريه على أنها ثوابت ؟

سيكون من المفيد جداً مطالعتك لمرجع [1]
بحيث وضع ملخصاً سريعاً لكيفية تكوين
معادلة تفاضلية من خلال حدها العام بحيث
اذا كانت تحتوى على n من الثوابت فإنه يتم
اشتقاقها n مرة، ثم نحن من نحدد المعادلة
التفاضلية تكون فى اى متغير x ام y ... الخ
وآخر خطوة هى التخلص من الثوابت الإختيارية
بأى طريقة تناسبك، كأن نقوم بالإستعاضة عن
هذه الثوابت بدلالة الدالة نفسها او جزء منها .

وأعطى مثال توضيحى على ذلك ....

كون المعادلة التفاضلية التى حلها العام هو :

$y = a \cos(px - c)$

حيث كلاً من a , c ثابتين اختياريين، p ثابت مطلق .

نجرى الإشتقاق على هذه المعادلة مرتين متتاليتين
نظراً لوجود ثابتين اختياريين .

$y' = - pa \sin(px - c)$

$y" = - p^2 a \cos(px - c)$

الخطوة الأخيرة نتخلص من الثوابت الإختيارية ..

نعلم أن :  $a cos(px - c) = y$   بالتعويض ...

اذاً :    $y"  = - p^2 y$   وهى معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية .

مثال 2) من نفس الكتاب ... أوجد المعادلة التفاضلية
لمجموعة الدوائر المتساوية  ؟

الحل : نفرض أن نصف القطر لهذه الدوائر هو r .
فتكون معادلة مجموعة الدوائر هى :

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$                   

بحيث النقطة (a,b) الإحداثيات المختلفة لمراكز هذه
الدوائرة المتساوية فى القطر ويعتبرا هنا ثوابت اختيارية
ولكن r  ثابت مطلق .. لماذاً ؟ لأنه يعتبر عن نصف القطر
الثابت حتى يعطينا مفهوم مجموع الدوائر المتساوية
فى نصف القطر (او القطر) لكنها مختلفة المركز فقط .

بمفاضلة المعادلة (ضمنياً) بالنسبة لـ x .

$ 2(x - a) + 2y'(y - b) = 0$           

بقسمة الطرفين على 2 ...

$(x - a) + y'(y - b) = 0$             

نشتق المعادلة مرة ثانية بالنسبة لـ x .
(ونستعمل هنا قاعدة الضرب بالنسبة للحد
الثانى : مشتقة الأول×الثانى+ مشتقة
الثانى×الأول)

$1 + y"(y - b) + y'^2 = 0$             

تأتى المرحلة الأخيرة وهى التخلص من الثوابت الإختيارية ...

سنقوم بوضع ما حصلنا على لكن فى صورة أخرى ...

$y - b =  -(1+y'²)/y"$

ثم نعود بالخلف ونعوض فى المعادلة :

$(x - a) + y'(y - b) = 0$

المهم انه بعد التعويض واجراء بعض الخطوات
البسيطة فإننا نحصل على التالى، ونتذكر ان
اهم شىء هو محاولة التخلص من الثوابت
الإختيارية بأى طريقة صحيحة ومناسبة .

$x - a = y'(1+y'²)/y" $

ومن خلال التعويين السابصاً سيكون من
السهل جداً التعويض بهما فى المعادلة
الأصلية : $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$  

$\frac{y'^2(1+y'^2)^2}{y"^2} + \frac{(1+y'^2)^2}{y"^2} = r^2$

$\frac{(1+y'^2)^2 (1+y'^2)}{y"} = r^2$

$
\frac{(1+y'^2)^3}{y"^2} = r^2$

وأخير بأخذ الجذر التربيع للطرفين ...

$\frac{\sqrt{(1+y'^2)^3}}{y"} = r$

وهكذا تكونت المعادلة التفاضلية لجميع الدوائر
المتساوية فى نصف القطر .

===========================
مثال 3)  من نفس الكتاب .

برهن على أن المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
(يقصد شكل القطع المكافىء) التى محورها x هى
$y y" + y'^2 = 0$

الحل : الصورة العامة لمعادلة القطع المكافى
الذى محوره x تكون على الشكل :

$y^2 = 4a(x - b)$

وبإجراء التفاضل مرتين ....

$2y y' = 4a$  بالقسمة على 2

$y y' = 2a$   نشتق مرة ثانية ...

(بإستخدام قاعدة حاصل الضرب product rule)

$y'² + y y" = 0$                   #

وبعد مفاضلة العلاقة لا توجد ثوابت إختيارية، وبهذا
نكون قد كونا المعادلة التفاضلية للقطاعات المكافئة
التى محورها x .

-------------------------------------------------------------
نعلم الدوال الإختيارية تعتبر ثوابت، لكنها ليست
بالضرورة ان تكون مطلقة، فالثوابت الغير مطلقة
هى التى نعتمد على تغيريها لينتج من ذلك معادلة
تفاضلية جديدة .. اذاً فتم اعتمادها ثوابت على (فرضاً)
على أساس نحن من نحدد قيماً لها من خلال التعويض
فى الحل العام لإنتاج معادلات تفاضلية جديدة من هذا
الحل العام .

مثال : اذا كان a ثابت اختيارى فى حل عام لمعادلة
تفاضلية ما فإن   $a^2 + \sin(a)$  مثلاً تعتبر دالة او
ثابت اختيارى أيضاً ...
=============================

مرجع[1] : كتاب pdf يشرح فى خطوات بسيطة كيفية تكوين معادلة تفاضلية من خلال حلها العام .

مرجع[2] : Differential equations - Formation of Differential Equations

تابع القراءة

2 اوجد قياس اصغر زوايا المثلث ا ب جـ الذي فيه 15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ

حقيقة : قياس أصغر زواية فى المثلث هى التى تقابل أصغر ضلع .

15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ

أصغر ضلع هو أ ب لماذاً ؟ لأن اصغر ضلع
هو الذى معامله يكون أكبر .. كيف ذلك ؟
اذا قُلنا أن 1 دولار = 6 جنيه  (تقريباً)
هذا يعنى أن الجنيه أقل من الدولار .

الضلع أب تقابله الزواية جـ  ..

اذا كان هذا الشىء يبدو ساذجاً عندك فأسعمل
قوانين النسبة والتناسب  :

نفرض أن : 15 أب = 10 ب جـ = 12 أجـ = م

حيث م = ثابت التناسب .

وهذا يدلنا على اننا يمكن أن نضع التناسب
السابق لكن فى صورة أخرى .....

 أ ب         ب جـ         أ جـ
ــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــــ = م
(1\15)     (1\10)      (1\12)

هذا يعنى أن النسبية بين اضلاع المثلث كـنسبة
(1\15) : (1\10) : (1\12) ، وبإستعمال قانون جيب
التمام نوجد قياس اصغر زاوية التى تقابل اصغر ضلع
وهى الزاوية جـ .

          (ب جـ)² + (أ جـ)² - (أ ب)²
جتاجـ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               2(ب جـ) (أ جـ)

   (1\10)² + (1\12)² - (1\15)²       3
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ
            2(1\10)(1\12)                4

اذاً : جـ = جتا^-1(3\4)  ≈ "34.64   '24    41ْ
               
اى : 41 درجة ، 24 دقيقة ، 34.64 ثانية .

تابع القراءة

1 كيفية نشر الدالة مكعب ؟

يجب ان تذكر نوع الدالة ...

فمثلاً ربما تقصد الآتى :

(س + أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³

بعيداً عن نظرية ذات الحدين يمكنك نشر هذا المكعب من خلال مفهومك لمفكوك المربع الكامل .

مفكوك المربع الكامل = مفكوك (س + أ)²

= س² + 2أس + أ²

الآن : (س + أ)³ = (س + أ)² (س + أ)

= (س² + 2أس + أ²) (س + أ)

وهنا نستعمل خاصية عامة جداً وهى من خصائص حقل الأعداد الحقيقية بل والمركبة
أيضاً وهى خاصية التوزيع، نقوم بتوزيع س على القوس الكبير، وبعدها نوزع أ ايضاً على
نفس القوس .

= س³ + 2أس² + أ²س + أس² + 2أ²س + أ²

والآن قم بجمع الحدود المشابهة معاً

مثال : الحدين أس² ، 2أس² متشابهين فهم مختلفين فقط فى المعامل، فالأول
معامله 1 والثانى معامله 2، اذاً فالمجموع هو  (1 + 2) أس² = 3أس²  وهكذا ...

فيتكون لديك هذا الشكل أخيرا ...

(س+أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³

اما اذا كان المقصود هو نشر مكعب لعدد ن من الحدود فهذا أمر آخر ...

مثال : (أ+ب+جـ)³ = أ³+ب³+جـ³ + 3[أب(أ+ب) + أجـ(أ+جـ) + ب جـ(ب+جـ)] + 6أ ب جـ

ويمكنك تعميم الطريقة بصفة عامة لعدد ن من الحدود ...

مثال آخر ...

(أ+ب+جـ+د)³ = أ³+ب³+جـ³+د³ + 3[أب(أ+ب)+ أجـ(أ+جـ) + أد(أ+د) + ب جـ(ب+جـ)

+ ب د(ب+د) + جـ د(جـ+د)] + 6(أ ب جـ + أ ب د + أ جـ د + ب جـ د)

تابع القراءة

2 ما هى نظرية الأعداد، وبماذا تهتم ؟

نظرية الأعداد : هى نظرية تهتم بدراسة الأعداد
بصفة عامة، ولكن يكون التركيز أكثر على دراسة
الأعداد الطبيعــية، ومن ركائــزها دراسـة مفهوم
القسمة وخوارزمية القسمة، والقاسم المشترك
الأكبر، والمضاعف المشترك الأصغر لكن بمفاهيم
أكبر مما أخذته من قبل، بحيث تتم دراسة هذه
المفاهــيم البــسيطة كمـقدمة لنظرية الأعداد
ودراستها بشكل جبرى بحت .

تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة مفهوم باقى
القسمة فى شكل صور تجريدية بحيث تعتمد
على مفهوم تكافؤ باقى القسمة، وكمثال على
ذلك عندما نقول ان باقى قسمة 14 على 3
يكافىء باقى قسمة 8 على 3 ، وتكتب بهذه
الطريقة l           14 ≡ 8 (mod 3)       l
لا يتوقف الموضوع عند هذا فقط بل يتوسع
لما أكثر من ذلك بحيث تم التعامل مع هذه
التطابقات وكأننا نتعامل مع معادلة او مساواة
او شىء من هذا القبيل، بحيث أذكر لك بعض
الخصائص :-

1) يجوز جمع اى عدد صحيح للطرفين .
2) يجوز ضرب الطرفين فى عدد صحيح .
3) يجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح
لكن بشرط وهو : اذا كان : a ≡ b (mod n)  l
فيجوز قسمة الطرفين على عدد صحيح من
القواسم المشتركة بين a و b شرط وهو :
gsd(a,b,n) = 1 أى ان القاسم المشترك
الأكبر بينهما جميعاً = 1  .

4) يجوز رفع الطرفين لأى أس طبيعى .
5) يجوز فرض معادلة كثيرات حدود ومن
ثم تبديل حدى التطابق بصور كلاً منهما
فى الدالة .

تهتم أيضاً نظرية الأعداد بدراسة الأعداد الخاصة
كأعداد ميرسن وأعداد فيرما، وأعداد بيرنوللى،
والأعداد التامة، والأعداد المتحابة، والأعداد الناقصة
..... وغيرها من الأعداد .

تهتم أيضاً بدراسة الدوال الخاصة، كدالة زيتا الريمانية
و دالة اويلر، ودالة المضاريب، ودالة موبيص ... وغيرها .
كما وتهتم نظرية الأعداد بدراسة المعادلات اليدوفونتية .

تهتم نظرية الأعداد بشكل كبير بدراسة الأعداد
الأولية، بحيث ما يشغل العلماء الآن وجود تسلسل
تتبعة متتالية ما للأعداد الأولية، وآخر ما تم التوصل
اليه منذ أكثر من القرن ونصف القرن فرضية ريمان
بحيث يقال أن حل هذه الفرضية يساهم بشكل
كبير فى فهم توزيع الأعداد الأولية (انظر مرجع [1])

وفى الأخيرة اود ان أشير الى وجود الكثير من
المسائل والتى لم تحل الى الآن فى نظرية
الأعداد من ضمن هذه المسائل فهم توزيع
الأعداد الأولية، حل فرضية ريمان، حدثية جولدباخ
مبرهنة فيرما الأخيرة (مرجع [2]) والتى قد قدم
برهاناً لها عالم الرياضيات وايلز عالم 1995 فى
150 صفحة، لهذا فإن برهان وايلز حديث وطويل
ومعقد  .. مرجع [3] (لا سيما فى آخر المقال)
ايضاً حدسية هودج، والكثير من المسائل التى
لم تحل الى الآن، تطلع على بعضاً منها (مرجع [4])
============================
[1] فرضية ريمان .
[2] مبرهنة فيرما الأخيرة .
[3] مقال بحثى عن مبرهنة فيرما الأخيرة .
[4] مسائل غير محلولة فى الرياضيات

تابع القراءة

10 كيف تتم عملية الضرب القياسى والضرب الإتجاهى ؟

سأكتب القوانين التى تعرفها أولاً .

ليكن لدينا المتجهين أ ، ب فإن :

أولاً : الضرب القياسى  : ||أ|| ||ب|| جتاهـ

ثانياً : الضرب الإتجاهى : ||أ|| ||ب|| جاهـ  فى اتجاه ع

حيث هـ هى قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ..
وكلاً من ||أ|| و ||ب|| تعنى أطوال كلاً منهما ..

الآن اذا كان لديك الزاوية بين المتجهين فبإمكانك
استعمال القانونين أعلاه اما اذا لم يكن لديك الزاوية
بين المتجهين وكان لديك احداثيات المتجهين فإستعمل
القوانين الآتية :

لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ، ...) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃ ، ...)

فإن الضرب القياسى لهما هو :

أ ⊙ ب = أ₁ب₁ + أ₂ب₂ + أ₃ب₃ + ....

مثال أ = (3 ، 4 ، 5)  ، ب = (2 ، 7 ، 6)

أ ⊙ ب = (3×2) + (4×7) + (5×6) = 64

اما الضرب الإتجاهى فهو أمر شبيه بإيجاد محدد مصفوفة ...

لتكن أ = (أ₁ ، أ₂) ، ب = (ب₁ ، ب₂)

فإن الضرب الإتجاهى لهما هو :

أ×ب = أ₁ب₂ - أ₂ب₁

بإختصار حاصل ضرب الطرفين - حاصل ضرب الوسطين

((هذا فقط اذا كان المتجهين من الدرجة الثانية))

اما اذا كان المتجهين من الدرجة الثالثة سيكون
الأمر معقد قليلاً (كلما ذدنا من عدد الإحداثيات)

لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃)

نفرض أن المتجه الموجه احداثياته (س،ص،ع)

الآن نكون المحدد من الدرجة الثالثة الآتى :

س   ص   ع
 أ₁    أ₂    أ₃
ب₁  ب₂  ب₃

= س(أ₂ب₃ - أ₃ب₂) - ص[أ₁ب₃ - أ₃ب₁] + ع[أ₁ب₂ - أ₂ب₁]

لاحظ الكمية التى حصلنا عليها متجهة ..

والمعنى اننا حصلنا على متجه احداثياته س ، ص ، ع
كما هو موضح حيث كلاً من س ، ص ، ع متجهات الوحدة .
لاحظ  أ×ب ≠ ب×أ  (الضرب الإتجاهى ليس ابدالى)

ولكن : أ×ب = - ب×أ

مثال : مثال أ = (3 ، 4 ، 5)  ، ب = (2 ، 7 ، 6)

الضرب الإتجاهى لهما هو : (لاحظ انا اقصد كلاً من س ، ص ، ع متجهات
الوحدة)

س   ص    ع
3      4     5
2      7     6

= س[(4×6)-(5×7)] - ص[(3×6)-(2×5)] + ع[(3×7)-(2×4)]

= -11س -8ص + 13ع

والمعنى اننا حصلنا على متجه جديد وهو (-11 ، -8 ، 13)


أرجو ان يكون الشرح واضح ولو انى لم افصل فيه كثيراً ...

فلاش بسيط يوضح الضرب القياسى لمتجهين فلاش بسيط يوضح الضرب الإتجاهى لمتجهين

تابع القراءة

0 لماذا تم فرض وجود عدد تخيلى فى الرياضيات ؟

الأعداد المركبة تتكون من جزئين،
الجزء الأول حقيقى والجزء الثانى تخيلى، وجائت
الأعداد التخيلية نتيجة توسعة الأعداد الحقيقية
فهى لا تكفى لحل العديد من المسائل الرياضياتية .

دعنى أضرب لك مثال سريع، ولنتحدث عن الأعداد
الكمومية كالأعداد الطبيعية، والتى تستخدم من
أجل توصيف الطول والعرض ومساحة الأشياء والقياس
الموجب بصفة عامة، ولكن فى حقيقة الامر الأعداد
الطبيعية غير كافية تماماً لتوصيف الرياضيات، فإذا كنا
نريد ايجاد كميات سالبة كالسرعة السالبة والزاوية
فى اتجاه عقارب الساعة، أو توصيف الكائنات الرياضياتية
المخالفة للإشارة الموجبة بصفة عامة فكان لابد من
توسيع الحقل ليشتمل على الأعداد السالبة أيضاً ثم
جاء الصفر بعد ذلك كوسيط بينهما .

ولكن فى الواقع الكميات ليس من الضرورى أن
تكون صحية دائماً، فلدينا مثلاً شخص وزنه 75.5
كيلو او طول باب 2.3 متر ... الخ ولهذا تمت توسعة
الأعداد الى الأعداد النسبية .

وأخيراً كان لابد من وجود مجموعة الأعداد الغير
نسبية حتى يكتمل حقل الأعداد الحقيقية، وجائت
هذه الأعداد لتوصيف الكميات التى لا نستطيع وضعها
فى صورة نسبية (كسرية) بحيث يكون كلاً من
البسط والمقام أعداد صحيحة، والمقام لا يساوى
الصفر، وكمثال على ذلك النسبية التقريبية باى
او ط وهى تكتب بالتقريب 77 على 7 أو 3.14
وهى لا تساوى هذا العدد تماماً كما يفعل البعض
ويكتب مثلاً محيط الدائرة = 2 × (22\7) نق
لا هذا غير صحيح، فالنسبة التقريبية ط من
الأفضل كتابتها كما هى (الا اذا طلب منك فكها)
كمثال آخر أيضاً على عدد حقيقى غير نسبى
وهو العدد النيبيرى e باللغة الإنجليزية، هـ باللغة
العربية، وهو أيضاً له قيمة تقريبية .

e ≈ 2.718281828

ولكن فى حقيقة الأمر يحق لنا أن نسأل
مثلاً ما هو حل المعادلة x² + 1 = 0 ؟؟
والتى يمكن وضعها فى صورة أخرى :
x² = -1  كانت المشكلة الأساسية هنا
وهو عدم وجود عدد (حقيقى) مربعه يعطى
-1 او بصفة عامة يعطى قيمة سالبة، او
بتوصيف هندسى نقول لا توجد مساحة
مربع قيمته سالبة .

♣ ما هى المشكلة الأساسية ؟

• المشكلة الأساسية هى عدم وجود حل فى IR
اى فى مجموعة الأعداد الحقيقية، اذاً ما المانع ان
نفرض مجموعة تحمل أعداداً لا وجود لها فى الواقع
وهى الأعداد التخيليلة ونكون بذلك قد خلصنا من
هذه المشكلة .

الآن : x² = -1  ومع أخذ الجذر التربيعى للطرفين

x = i   أو   x = -i  حيث  i وحدة تخيليلة = جذر(-1)

فى البداية تبدو الفكرة غير مقبولة عند البعض
لا سيما الذين يدرسون ولأول مرة الأعداد المركبة
وحتى فى المدارس ما قبل دراسة رياضيات 2 فى
المرحلة الثانية كنا نقول أن المعادلة ليس لها حل
ولكن حتى نكون أكثر دقة نقول أن المعادلة ليس
لها فى IR أو فى مجموعة الأعداد الحقيقية .

كميات تخيلية
----------------

هذه عنوان فرعى وضعته تماشياً مع الكميات
الأخرى التى ذكرتها، فما هى الكميات التخيلية ؟

• الكميات التخيلية هى كميات لا وجود لها فى
الواقع، ولكن الرياضيات أو منطق الرياضيات يرحب
بهذا الأمر بحفاوة بالغة، نعم ليس لها وجود فى
الواقع لكن لها وجود كبير جداً فى ساحة الرياضيات
والتى لا تهتم بدراسة الواقع وحده فحسب بل تهتم
بدراسة الكائنات التجريدية ومن ضمن هذه الكائنات
الأعداد التخيلية، ولا اريد ان أدخل فى تفاصيل أكثر
من ذلك كالهندسة الكهربائية وغيرها من فروع علمية
يمكنك البحث عنها، والتى يرددها كثيريين وكأن الأعداد
التخيلية صُنعت لهذا الغرض !!!

♣ طالما أن الأعداد التخيلية ليست فى واقعنا
فلماذا يوجد اهتمام كبير بدراستها بل ويوجد
لها فرع كامل فى الرضيات يسمى بالتحليل العقدى
أو التحليل المركب ؟

• فى الحقيقة تحدثت عن (وجهة نظرى) فى هذا
الموضوع مرات عديد فقلت فمعادلات رياضياتية
بسيطة كانت ام معقدة تستطيع ان تتحول من
شىء تخيلى الى شىء حقيقى فما رأيك فى هذه
الأمر ؟

وسأضرب مثال بسيط على ذلك كى أبين لك
ما يحدث فالمسألة مسألة تبسيط مقادير أو
بنى جبرية فى الرياضيات لا أكثر ولا أقل اى
هى مسألة انتقال من شكل الى آخر ..

لتكن x عدد حقيقى وكانت $f(x) = \cos(x)$

نعلم أن مدى الدالة هو الفترة المغلقة [1 , -1]
وبالتأكيد هذه الفترة تحتوى على جميع الأعداد
الحقيقية من -1 الى 1 فما فيهم -1 ، 1 .

الآن يمكن وضع الدالة السابقة فى صورة مختلفة .

$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$

حيث e : العدد النيبيرى، i وحدة تخيلية .

السؤال : ♣ كيف لدالة مداها معرف على فترة
حقيقية ان تحوى قيماً تخيلية ؟

• فى واقع الأمر هى تبدو للوهلة الأولى انها
قيمة تخيلية، ولكن الحقيقة غير ذلك، بل هى
قيمة حقيقة فى صورة تخيلية، فمن علاقة أويلر
الشهيرة نستطيع إعادة تعريفها، وهناك عدة
طرق للتحويل حقيقة ً .

لدينا :  $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$

و لدينا : $e^{-ix} = \cos(x) - i \sin(x)$

بجمع المعادلتين معاً نجد ان الجزء
التخيلى الموجب يتختصر مع الجزء
التخيلى السالب فينتج لنا فقط
الأجزاء الحقيقية ..

$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x)$

ولكن $\cos(x)$  معرفة على IR
اذاً $e^{ix} + e^{-ix}$ عدد حقيقى أيضاً .
ينتمى للفترة [1 , -1] .

لدينا أيضاً العلاقة : $e^{i \pi} + 1 = 0$

حيث $\pi$ النسبية التقريبة 3.14

يمكن وضع المعادلة على الصورة :

$$e^{i \pi} = -1 $$
لاحظ كيف أن الطرف الأيسر يحتوى على
قيمة تخيلية فى الأس الا أن النتيجة النهائية
عدد حقيقى وهو -1  ...

موضوع مشابه (ما أهمية الأعداد العقدية فى الرياضيات ؟)

تابع القراءة

1 كيف نثبت انه لكل n عدد طبيعى فإن n^5 - n تقبل القسمة على 5 ؟

بطرق كثيرة تستطيع ان تثبت ذلك .. اذكر واحدة

العلاقة هى :  n^5 - n  بوضع n=1 فإن العلاقة
صحيح، والآن نفرض أن عندما n = k فإن العلاقة
صحيحة من أجل k عدد طبيعى، ثم نركز جهدنا
لإثبات صحة العلاقة من أجل n = k+1

n^5 - n = (k+1)^5 - (k+1)     l

تستطيع فك k+1 الكل أس 5 بنظرية ذات الحدين ...

نفرض أن العبارة هى E (حتى لا أكررها)

E = k^5 + 5k^4 + 10k³ + 10k² + 5k + 1 - k - 1

E = k^5 - k  + 5k^4 + 10k³ + 10k² + 5k

لاحظ عوامل الحدود، نعلم أن 5 ، 10 تقبل
القسمة على 5 ، ونحن فرضنا صحة العلاقة
صحيحة من أجل k^5 - k اذاً المقدار كله
يقبل القسمة على 5 ويسمى هذا الإثبات
(الإستقراء الرياضى)

ملحوظة : العبارة أيضاً تقبل القسمة على 3

الإثبات : n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n²-1)(n+1)  l

E = n(n-1)(n+1)(n²+1)   l

لاحظ :  n(n-1)(n+1) j تعنى حاصل ضرب ثلاثة
أعداد متتالية وهى حتماً تقبل القسمة على 3
ليس هذا وفقط بل تقبل القسمة على 3! = 6

اذاً المقدار الذى وضعته يقبل القسمة على :
3 ، 5 ، 6  معاً من أجل n عدد طبيعى .

==============================
اليك حل آخر عن طريقة مفهوم الباقى .

وصلنا سابقاً الى أن : E = n(n-1)(n+1)(n²+1) l

العدد الطبيعى n له خمس إحتمالات فقط .

1) يقبل القسمة على 5 (الباقى 0)
2) باقى القسمة على 5 = 1
3) باقى القسمة على 5 = 2
4) باقى القسمة على 5 = 3
5) باقى القسمة على 5 = 4

فى الحالة الأولى : اذا كانت n تقبل القسمة
على 5 فإن العبارة E تقبل القسمة على 5
لأن أحد عواملها n .

الحالة الثانية : فى حالة n باقى قسمتها على
5 هو 1 ، وتكتب بهذه الصيغة n ≡ 1 (mod 5) l

بطرح 1 من الطرفين :  n - 1 ≡ 0 (mod 5)  l

ولكن n - 1 ايضاً أحد عوامل العبارة E اذاً فى
هذه الحالة أيضاً العبارة E تقبل القسمة على 5 .

الحالة الثالثة :  n ≡ 2 (mod 5) l  بتربيع الطرفين ..

n² ≡ 4 (mod 5)  l  بإضافة 1 للطرفين ...

n²+1 ≡ 5 (mod 5) l  ومنها  n²+1 ≡ 0 (mod 5)  l

اذاً الحالة الثالثة تحقق أيضاً لأن n²+1 أحد عوامل
العبارة E .

الحالة الرابعة :  n ≡ 3  بتربيع الطرفين مع إضافة ..

n²+1 ≡ 9 + 1 (mod 5)  l  ومنها  n²+1 ≡ 0 (mod 5) l

اذاً الحالة الرابع تحقق ...

الحالة الخامسة :  n ≡ 4 (mod 5)  l

بإضافة 1 للطرفين :  n+1 ≡ 5 (mod 5)  l

هذا يعنى أن :  n+1 ≡ 0 ( mod 5)  l

ولكن n+1  أحد عوامل العبارة E أيضاً ...

اذاً فى كل الحالات فإن العبارة E تقبل القسمة على 5 .

================================

مثلث باسكال - انظر السطر 1  5  10  10  5  1

طريقة أخرى سهلة (تحتاج فقط ال قليل من التركيز)

نفرض أن n ≡ r (mod 5)    l

اذاً :  n = 5m + r  حيث كلاً من r , m طبيعيان .

بالتعويض ...

n^5 - n = (5m + r)^5 - 5m - r

ولا تتعب نفسك فى فك القوس بمفكوك ذات
الحدين، كل ما فى الأمر هو اننا سندرس عوامل
ذات الحدين من خلال مثلث باسكال :



فنجد أن العوامل هى :

1   5   10  10  5  1

هذا يعنى ان اهتمامنا سينصب نحو الحد الأول
والأخير فقط لأن كلاً من 5 ، 10 يقبل القسمة
على 5 .

الآن معامل الحد الأول هو 1 لكن هذه ليست
الحقيقة كاملة فالحد الأول داخل القوس هو 5m
فمهما ضُرب او روفع الى عدد طبيعى فسيظل
يقبل القسمة على 5 .. انتهينا من هذه اذا بقى
لدينا الحد الأخير والذى بعد فك القوس سكون r^5
لدينا  سالب 5m يقبل القسمة على 5 دائماً  ، فى
الأخير يتبقى لدينا هذين الحدين r^5 - r والمعنى
أن n^5 - n  يقبل القسمة على 5 اذا وفقط اذا
r^5 - r  .. لكن ما هو r ؟

الإجابة : r هو بواقى العدد 5

أى أن : r = {0 ,  1 , 2 , 3 , 4}   l

فقط لن يخرج r عن هذا المفهوم (5 احتمالات فقط)

والمعنى انك ستعوض عن r من 0 الى 5 فى العلاقة
r^5 - r  فإذا قبلت القسمة على 5 فإن العبارة E
الأساسية تقبل القسمة على 5 وهذا حدث حقيقى .

اذاً : العبارة E = n^5 - n تقبل القسمة على 5 .
=============================
واليك الإثبات فى سطر (مبرهنة) فيرما الصغرى
(إضغط هنا) وإقرإ مضمون المبرهنة اذا كنت
مهتم بنظرية الأعداد او كنت تعرفها فسيكون
الأمر أفضل، ليس هذا وفقط بل المبرهنة تبتعد
لما هو أكثر من ذلك (من أجل n عدد صحيح)

المبرهنة هى :  a^p ≡ a (mod p)  l

حيث a عدد صحيح ، p عدد أولى .

لدينا n عدد صحيح ، ولدينا  5 عدد أولى .

اذاً مباشرة ً :  n^5 ≡ n (mod 5)  l

ومنها           n^5 - n ≡ 0 (mod 5)   l

هذا يعنى فى مفهوم التطابقات أن : n^5 - n
تقبل القسمة على 5 . 

تابع القراءة

0 أوجد مجموعة حلول x فى المعادلة $x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}}$

$$x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}}$$

امامك المعادلة : $x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}} $

نفرض أن $\sqrt{x} = y$   ومنها  x = y²

بالتعويض : $y^2 = 20 - \sqrt{20 - y}$

ويمكن وضعها على الصورة : $y^2 - 20 = - \sqrt{20 - y}  $

بتربيع الطرفين :   $(y^2 - 20)^2 = 20 - y$

نقوم بفك الطرف الأيشر (مربع كامل)

$
y^4 - 40y^2 + 400 = 20 - y

$

رتيب الحدود ...

$
y^4 - 40y^2 + y + 380 = 0

$
بكل سهولة ويسر نختبر ما اذا كانت هناك
حلول صحيحة ام لا عن طريق ايجاد القواسم
الصحيحة للحد المطلق 380 فنجد ان كلاً من
4 ، -5 يحققنا المعادلة السابقة ...

وهذا يعنى أن كلاً من l (y-4) , (y+5)
أصفاراً للمعادلة .. الآن نجرى عملية
القسمة المطولة وسأكتبها بالعربى نظراً
لصعوبة كتابتها برموز أجنبية هنا ...

سنقسم على : (ص - 4) (ص + 5)
= ص² + ص - 20

ص² - ص - 19
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص^4 - 40ص² + ص + 380 |ص² + ص - 20
                                   ـــــــــــــــــــــــ
ص^4 + ص³ - 20ص²
---------- بالطرح -----------
- ص³ - 20ص² + ص + 380
-ص³ - ص² + 20ص
---------- بالطرح -----------
-19ص² - 19ص + 380
-19ص² - 19ص + 380
--------- بالطرح ----------
00               00

اذاً لدينا : y² - y - 19 = 0

والتى يمكن حلها بالقانون العام ...

المميز :  l           ∆ = 1 + 4(19) = 77

$$y = \frac{(1 \pm \sqrt{77})}{2}$$

تمكنا من ايجاد جميع حلول y

ولكن :  x = y²

أى ان حلول x هى مربعات حلول y

x = 16   أو   x = 25

الآن نربع :  $y = \frac{(1 \pm \sqrt{77})}{2}$


$$y^2 = \frac{(39 \pm \sqrt{77})}{2} $$

====================

المشكلة هنا أنه يجب أن نتأكد من هذه الحلول
عن طريق التعويض بها فى المعادلة الأساسية .

$$x = 20 - \sqrt{20 - \sqrt{x}}$$

نضع  x = 16  نجدها تحقق المعادلة

نضع x = 25  لا تحقق المعادلة الأساسية ..

وكذلك أيضاً الحين الآخرين لا يحققون المعادلة الأساسية ...

اذاً مجموعة الحل للمعادلة الأساسية هى $x = \{16 \}‏$

تابع القراءة

0 مسألتين على حل معادلات فى مجهولين فى صورة مقادير مركبة

المعادلة الاولى
X^2 + Y^2 + X i - Y i = 13 + i


والمعادلة الثانية
XY + ( 3X+Y) i = 2 + 5 i

العدد المركب = جزء حقيقى + جزء تخيلى
وبناء على هذا فالمسألة توضع فى ابسط
صورة ومن ثم تكون المقارنة على طرفى المعادلة
بين الجزئين الحقيقى والتخيلى .

x² + y² + i x + i y = 13 + i

نستطيع ان نقول الضرب الأيمن موضوع فى
الصورة القياسية له : عدد حقيقى + عدد تخيلى .
بقى لنا ان نصنع ذلك ايضاً من الطرف الأيسر بحيث
ننقله الى صورة أخرى (صورة العدد المركب)

x² + y² + i(x+y) = 13 + i

وهذا يعنى ما يلى :

x² + y² = 13     ==>  1
x + y = 1      ==>  2

بحل النظامين معاً بأى طريقة مناسبة لك فينتج
لنا كلاً من قيم x , y  .

وانا افضل الحل بهذه الطريقة ...

==> بتحليل معادلة (1) : l    (x+y)² - 2xy = 13

ولكن x+y = 1        بالتعويض ..

1²-2xy = 13  ومنها   xy = -6

فأصبح من اليسير جداً تكوين معادلة تربيعية
فى متغير افتراضى وليكن z بحيث حلول z
هى حلول x,y  .

ان لم تكنب تفهم هذه الطريقة استخدم احدى
طرق التعويض .. من معادلة (2)  x+y = 1

اذاً  y = 1 - x   بالتعويض فى xy = -6

x(1 - x) = -6   ومنها   x - x² + 6 = 0

بضرب الطرفين فى سالب :  x² - x - 6 = 0

بالتحليل :  l         (x - 3) (x + 2) = 0

x = 3    او  x = -2

بالتعويض فى y = 1 - x

y = 1 - 3 = -2   او  y = 1 + 2 = 3

الملخص : x = 3  عندما  y = -2
            x = -2 عندما  y = 3

========================
حل المسألة الثانية نفس الفكرة تقريباً ..

XY + ( 3X+Y) i = 2 + 5 i

xy = 2     ==>   1
3x+y = 5 ==>   2

من (2) :  y = 5 - 3x  بالتعويض فى (1)

x(5 - 3x) = 2  قم بفك القوس ...

5x -3x² - 2 = 0   بضرب الطرفين فى سالب (مع الترتيب)

3x² - 5x + 2 = 0     بتحليل المقدار الثلاثى ..

l            (3x - 2) (x - 1) = 0

اما  x = 1    أو    x = 2/3

بالتعويض فى : y = 5 - 3x

y = 5 - 3(1) = 2  أو  y = 5 - 3(2/3) = 3

أى أن : x = 1   عندما  y = 2
        x = 2/3  عندما y = 3‏

تابع القراءة