كيف تتم عملية الضرب القياسى والضرب الإتجاهى ؟

سأكتب القوانين التى تعرفها أولاً .

ليكن لدينا المتجهين أ ، ب فإن :

أولاً : الضرب القياسى  : ||أ|| ||ب|| جتاهـ

ثانياً : الضرب الإتجاهى : ||أ|| ||ب|| جاهـ  فى اتجاه ع

حيث هـ هى قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ..
وكلاً من ||أ|| و ||ب|| تعنى أطوال كلاً منهما ..

الآن اذا كان لديك الزاوية بين المتجهين فبإمكانك
استعمال القانونين أعلاه اما اذا لم يكن لديك الزاوية
بين المتجهين وكان لديك احداثيات المتجهين فإستعمل
القوانين الآتية :

لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ، ...) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃ ، ...)

فإن الضرب القياسى لهما هو :

أ ⊙ ب = أ₁ب₁ + أ₂ب₂ + أ₃ب₃ + ....

مثال أ = (3 ، 4 ، 5)  ، ب = (2 ، 7 ، 6)

أ ⊙ ب = (3×2) + (4×7) + (5×6) = 64

اما الضرب الإتجاهى فهو أمر شبيه بإيجاد محدد مصفوفة ...

لتكن أ = (أ₁ ، أ₂) ، ب = (ب₁ ، ب₂)

فإن الضرب الإتجاهى لهما هو :

أ×ب = أ₁ب₂ - أ₂ب₁

بإختصار حاصل ضرب الطرفين - حاصل ضرب الوسطين

((هذا فقط اذا كان المتجهين من الدرجة الثانية))

اما اذا كان المتجهين من الدرجة الثالثة سيكون
الأمر معقد قليلاً (كلما ذدنا من عدد الإحداثيات)

لتكن أ = (أ₁ ، أ₂ ، أ₃ ) ، ب = (ب₁ ، ب₂ ، ب₃)

نفرض أن المتجه الموجه احداثياته (س،ص،ع)

الآن نكون المحدد من الدرجة الثالثة الآتى :

س   ص   ع
 أ₁    أ₂    أ₃
ب₁  ب₂  ب₃

= س(أ₂ب₃ - أ₃ب₂) - ص[أ₁ب₃ - أ₃ب₁] + ع[أ₁ب₂ - أ₂ب₁]

لاحظ الكمية التى حصلنا عليها متجهة ..

والمعنى اننا حصلنا على متجه احداثياته س ، ص ، ع
كما هو موضح حيث كلاً من س ، ص ، ع متجهات الوحدة .
لاحظ  أ×ب ≠ ب×أ  (الضرب الإتجاهى ليس ابدالى)

ولكن : أ×ب = - ب×أ

مثال : مثال أ = (3 ، 4 ، 5)  ، ب = (2 ، 7 ، 6)

الضرب الإتجاهى لهما هو : (لاحظ انا اقصد كلاً من س ، ص ، ع متجهات
الوحدة)

س   ص    ع
3      4     5
2      7     6

= س[(4×6)-(5×7)] - ص[(3×6)-(2×5)] + ع[(3×7)-(2×4)]

= -11س -8ص + 13ع

والمعنى اننا حصلنا على متجه جديد وهو (-11 ، -8 ، 13)


أرجو ان يكون الشرح واضح ولو انى لم افصل فيه كثيراً ...

فلاش بسيط يوضح الضرب القياسى لمتجهين فلاش بسيط يوضح الضرب الإتجاهى لمتجهين