0 هل هناك صيغة عامة لحساب مجموع سيجما ك^م لكل م عدد طبيعى ، ك = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...} ؟

كيف وصلنا للعلاقة


  ن               ن(ن+1)(2ن+1)
سيجما ن² = ـــــــــــــــــــــــــــ
ك=1                     6


؟؟

وكذلك

  ن                ن(ن+1)
سيجما ن³ = [ـــــــــــــــ]²
 ك=1                2


؟؟

وهل هناك حد عام عندما تكون ن^م ؟؟؟

فى الحقيقة تجد هذه الصيغ كلاً منهم مبنى على الذى قبله،
 وتجد لها أكثر من إثبات من ضمنها صيغ التكرار
او الـ recurrence relations  .. ولنبدأ من المربع الكامل .


(ك+1)² = ك² + 2ك + 1        ما هى ك ؟


الإجابة : ك هى عدد طبيعى يأخذ قيماً متغيرة
{0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ..........، ن}

ولنبدأ بالفعل بالتعويض بهذه الأعداد الى آخر عدد نتوقف
 عنده نكتب ن .. بحيث ن يعبر عن عدد الحدود . .


(1)² = (0)² + 2(0) + 1
(2)² = (1)² + 2(1) + 1
(3)² = (2)² + 2(2) + 1
(4)² = (3)² + 2(3) + 1
.
.
.
(ن)² = (ن-1)² + 2(ن-1) + 1


عندما نجمع جميع هذه المعادلات ينتج لنا :


(1)² + (2)² + (3)² + .... + (ن)² = (0)² + (1)² + (2)² + .... +(ن-1)²

  + 2[0 + 1 + 2 + 3 + ....+(ن-1)]   + ن


ما هى ن  ؟ هى عدد الوحايد فى آخر حد 1+1+1+1+....+ن


ومن هنا فصاعداً سأكتب إختصارات لأن هذه الطريقة فى الكتابة لا تعتمد
 على رموز الرياضيات الحديثة كـ سيجما .


بإضافة ن² للطرفين لكى نكمل بها الصيغة التربيعية
الناقصة فى الطرف الأيسر .

    ن                         ن                   ن-1
[سيجما ك²] + ن² = [سيجما ك²] + 2 [سيجما ك ] + ن
  ك=1                     ك=1                ك=1


           ن-1
بحذف  سيجما ن² من الطرفين ..       
          ك=1

       ن-1
 2 [سيجما ك ] + ن = ن²  
      ك=1

بعد ترتيب الحدود والقسمة على 2 وأخذ ن عامل مشترك فى البسط ينتج :


    ن-1             ن (ن - 1)
 [سيجما ك] = ـــــــــــــــــــ
   ك=1                  2

ولكن لاحظ هذه تعبر عن مجموعة المتتابعة :

1 + 2 + 3 + ..... + (ن-1)

أى انه بعد اضافتك ن للصيغة السابقة ينتج لك قانون ايجاد مجموع
متتابعة حسابية حدها الأول 1 وأساسها 1 وحدها الأخير ن .

   ن               ن (ن - 1)
سيجما ك = ــــــــــــــــــــــــ + ن
 ك=1                 2


        ن (ن - 1) + 2ن        ن (ن + 1)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ
               2                        2

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
            ن
القانون سيجما ك²  نوجده بنفس الطريقة :-
           ك=1

(ك+1)³ = ك³ + 3ك² + 3ك + 1

ك = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، .......}

(1)³ = (0)³ + 3(0)² + 3(0) + 1
(2)² = (1)³ + 3(1)² + 3(1) + 1
(3)³ = (2)³ + 3(2)² + 3(2) + 1
.
.
(ن)³ = (ن-1)³ + 3(ن-1)² + 3(ن-1) + 1

            ........ بالجمع .......

   ن               ن-1              ن-1               ن-1
سيجما ك³ = سيجما ك³ + 3سيجما ك² + 3 سيجما ك  + ن
 ك=1            ك=1             ك=1              ك=1

بعد اضافتك لـ ن‎³ للطرفين وطرح المجموع الذى يشتمل على ك³ من الطرفين ..
وايضاً تعلم ان من المجموع السابق أن :
   
                       ن-1          ن(ن-1)
                    سيجما ك = ــــــــــــــــ    .. ينتج بعدها    
                      ك=1             2


              ن-1            3ن(ن-1)
 ن³ = 3 سيجما ك² + ـــــــــــــــــــ + ن    ومنه ينتج ..
             ك=1                2


      ن-1                    3ن(ن-1)
 3 سيجما ك² = ن³ - ــــــــــــــــــــ - ن
     ك=1                       2

بعد توحيدك المقامات والقسمة على 3 ينتج ..

  2ن³ - 3ن(ن-1) - 2ن     ن [2ن² - 3(ن-1) - 2]
 ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           6                               6


     ن [2ن² - 3ن + 1]        ن (ن - 1) (2ن - 1)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
               6                                6


ولكن هذا القانون هو : (1)² + (2)² + .... + (ن-1)²

اذاً نقوم بإضافة الحد الأخير  ن²  للقانون فينتج :

   ن              ن(ن-1)(2ن-1)
سيجما ك² = ــــــــــــــــــــــــــــ + ن²
 ك=1                   6


    ن(ن-1)(2ن-1) + 6ن²      ن [(ن-1)(2ن-1) + 6ن]
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               6                                  6


      ن [2ن² + 3ن + 1]        ن(ن+1)(2ن+1)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ
                 6                           6


وهذا هو قانون المجموع : (1)² + (2)² + (3)³ + .... + (ن)²

   ن             ن(ن+1)(2ن+1)
سيجما ك² = ـــــــــــــــــــــــــ
 ك=1                   6

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بناء على الترتيب السابق : (وبإستعمال مفكوك ذات الحدين)

(ك+1)^4 = ك^4 + 4ك³ + 6ك² + 4ك + 1

ك = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...... ،ن}


(1)^4 = (0)^4 + 4(0)³ + 6(0)² + 4(0) + 1
(2)^4 = (1)^4 + 4(1)³ + 6(1)² + 4(1) + 1
(3)^4 = (2)^4 + 4(2)³ + 6(2)² + 4(2) + 1
.
.
(ن)^4 = (ن-1)^4 + 4(ن-1)³ + 6(ن-1)² + 4(ن-1) + 1


                  ........... بالجمع ............

   ن                 ن-1                  ن-1                ن-1              ن-1
سيجما ك^4 = سيجما ك^4 + 4 سيجما ك³ + 6 سيجما ك² + 4سيجما ك + ن
 ك=1              ك=1                ك=1                ك=1            ك=1


بإضافة ن^4 للطرفين مع حذف المجموع الذى يشتمل على ك^4 من الطرفين .. ينتج

                ن-1                ن-1              ن-1
 ن^4 = 4 سيجما ك³ + 6 سيجما ك² + 4سيجما ك + ن
               ك=1               ك=1            ك=1


                         

                                ن-1            ن(ن-1)(2ن-1)           ن-1           ن(ن-1)
 لاحظ : سابقاً قولنا أن : سيجما ك² = ـــــــــــــــــــــــــ   وان سيجما ك = ــــــــــــــــ
                               ك=1                   6                   ك=1              2 



                               ن-1              ن-1
ولنقم بجمع الحدود  6 سيجما ك² + 4سيجما ك
                              ك=1            ك=1


     6ن(ن-1)(2ن-1)        4ن(ن-1)             
= ــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ  = ن(ن-1)(2ن-1) + 2ن(ن-1)
            6                      2



= ن(ن-1) (2ن+1)         ..   الآن



      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن^4 -  ن(ن-1) (2ن+1) - ن
     ك=1


      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن [ن³ - (ن-1)(2ن+1) - 1]
     ك=1


      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن [ن³ - (2ن² - ن - 1) -1]
     ك=1

      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن [ن³ - 2ن² + ن]
     ك=1


      ن-1
 4 سيجما ك³ = ن² (ن-1)²
     ك=1


   ن-1            ن² (ن-1)² 
سيجما ك³ = ــــــــــــــــــــ       بإضافة ن³ للطرفين (ينتج القانون)
  ك=1               4


   ن              ن² (ن-1)²
سيجما ك³ = ــــــــــــــــــ + ن³
 ك=1                4



   ن              ن² (ن-1)² +4ن³       ن² [(ن-1)² + 4ن]
سيجما ك³ = ـــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ   وبعد التحليل ينتج :
 ك=1                     4                          4


       ن² (ن+1)²          ن(ن+1)
= ـــــــــــــــــــــــــ = [ــــــــــــــــــ]²
           4                      2


          ن               ن(ن+1)
اذاً : سيجما ك³ = [ــــــــــــــــــ]²
        ك=1                 2



░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بإمكانك الآن ان تطلع على الطريقة العامة لإيجاد :

   ن
سيجما ك^م     حيث م عدد طبيعى  .
 ك=1

ولكنها تتطلب منك دراسة حول أعداد بيرنوللى، يمكنك
ان تضطلع عليها على موقع ويكيبديا، أو أخذ نبذة بسيطة
عنها على هذا الرابط . (معلومات عامة عن أعداد بيرنولى)


ويكيبيديا : عدد بيرنولى
موقع إجابة : صيغة فاولابر

تابع القراءة

0 هل هناك قاعدة عامة لمعرفة ما اذا كان عدد طبيعى ما له أكثر من جذر ؟

من المعروف ان الجذر التكعيبة لاربعة و ستين = 4 والجذر التربيعيى = 8

فهل هناك اعداد اخري تحقق هذة الميزة ؟  " ليس شرط جذر تكعيبى او تربيعى اى جذرين ؟؟ "

يعنى هل يوجد اعداد اخري تحقق

الجذر الميمي لسين = أ
الجذر النونى لسين = ب
حيث ب=/=أ " اى ان س =/= 1 " ؟؟
وبحيث س و ص اعداد صحيحة طبيعية ؟؟؟؟

هل يوجد ؟؟؟

وما هى القواعد التى نقوم بها للتاكد من ان هذا العدد له هذا النوع من الجذرين .؟

وهل هناك طريقة لاستخراج هذا النوع من الاعداد ؟

دالة مثلا او او ؟؟

س^(1\م) = ك^ن         (1)

ص^(1\ن) = ك^م         (2)

يمكن اعادة ترتيب (2) بحيث تتحول الى :

ص^(1\م) = ك^ن         (2)

س^(1\م) = ك^ن         (1)


بقسمة (1) على (2)

   س
(ـــــــــــ)^(1\م) = 1
  ص


ومنها س/ص = 1  ومنها س = ص

للأسف لن يتحقق الشرط الا اذا كانت :

س = ص           :(

ولنأخذ العدد س = ص = 2

الجذر التكعيبى لـ(2)

الجذر التربيعى لـ (2)

وهذا يتحقق دائماً على اى عددين !

لماذا ؟

مثال اذا أخذنا العدد س .

الجذر التكعيبى لـ س = س^(1\3)

الجذر التربيعى لـ س = س^(1\2)

خذ الجذر التربيعى للأول :

جذر[س^(1\3)] = س^(1\6)

خذر الجذر التكعيبى للثانى ..

الجذر التعكيبى لـ [س^(1\2)]


= س^(1\6)


مثلاً بالنسبة لمثالك :

الجذر التعكيبى لـ (64) = 4

جذر(64) = 8

الآن : جذر(4) = 2

الجذر التعكيبى لـ (8) = 2


وبصفة عامة الطريقة تصلح لأى جذرين مختلفين من الدرجة م ، ن   .

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

لاحظ : الاعداد الطبيعية مجموعة جزئية من مجموعة
الأعداد الحقيقية، لذلك يظل الشرط هو نفسه :

                      س = ص


س^(1\م) = ك^ن     

س^(1\ن) = ك^م 

الشرط الآخر وهو ان يكون الناتج عدد طبيعى
هذا الشرط يتحقق فى حالة تحقق الآتى :

نأخذ أمثلة خاصة على الجذر التربيعى والتكعيبى .


4 × 4 × 4

8 × 8 × 8

16 × 16 × 16


بحيث ان الجذور التعكيبية لهؤلاء هم :

4 ، 8 ، 16 على التوالى .. وجميع نواتجها
مربعات كاملة .. وهذا هو القصد .

مثال آخر : 2 × 2 × 2 = 8

لذلك 8 لا تحقق الشرط :

الجذر التعكيبى لـ (8) = 2

فى حين أن 2 ليست مربع كامل .

الآن نفرض أن : س = ن² × ن² × ن² = ن^6

حيث ن عدد طبيعى .

الجذر الثالث لـ ن² × ن² × ن² = ن²

الجذر التربيعى لـ ن² × ن² × ن²

= الجذر التربيعى لـ ن³ × ن³ = ن³

عند تعميم هذا على جميع الجذور يجب ان
يتحقق أن : الجذر (م×ن) للعدد الطبيعى هو
عدد طبيعى أيضاً :

فى المثال السابق 2×2×2 = 8

نجد ان الجذر السادس للعدد 8 ليس عدد
طبيعى، ولكن :

4 × 4 × 4

الجذر السادس لـ (4×4×4) = 2


وهنا ناتى الى التعميم النهائى وهو ان يكون ناتج
الجذر الذى درجته (م×ن) - او مضاعفاته - ناتج
عدد طبيعى ..

مثال : 16 × 16 × 16

الجذر الأول : م = 3       (تكعيبى)

الجذر الثانى : ن = 2     (تربيعى)

الجذر الذى درجته م×ن = 6  (الجذر السادس)


16 × 16 × 16 = 4×4×4×4×4×4

(لاحظ ست اربعات) هذا دليل كافى على ان
الحالة هنا تجوز على الجذرين 2 ، 3 .

ولكن فى الحقيقة مازال هناك تحليل .. فـ

 4×4×4×4×4×4

= 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12

هكذا اثنى عشر مرة .

ولكن 12 من مضاعفات لـ 6  وهذا أيضاً يؤكد لنا
أنها جائز على الجذور الآتية :

نوجد قواسم العدد  12   وهى المجموعة

ق(12) = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12}

ومن ثم نوجد المجموعات الجزئية ( الثنائية لها
اى التى تتكون من عنصرين فقط .. وهى

{

{1 ، 2}،{1 ، 3}،{1 ، 4}،{1 ، 6}،{1 ، 12}،
{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}،{2 ، 12}،
{3 ، 4}،{3 ، 6}،{3 ، 12}،{4 ، 6}،{4 ، 12}
،{6 ، 12}،

}

ومن ثم نستثنى المجموعات التى حاصل ضرب
عنصريها أكبر من 12 .. فيتبقى لدينا .

{

{1 ، 2}،{1 ، 3}،{1 ، 4}،{1 ، 6}،{1 ، 12}،
{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}، {3 ، 4}

}

منهم 6 مجموعات (لا تضيف لنا شىء جديد)

وهم : {1 ، 2}،{1 ، 3}،{1 ، 4}،{1 ، 6}،{1 ، 12}

فمن المعروف انك لو اخذت الجذر الإثنى عشرى لـ


= 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12

فإن الناتج عدد اذا أخذنا الجذر الأول له يكون
عدد طبيعى .. وهذا حل تستطيع ان تسميه
بالحل التافه لأنه معروف أن أى عدد طبيعى
جذره الأول عدد طبيعى أيضاً ..

خذ مثلاً المجموعة {1 ، 3}

وهى تعنى اذا اخذت الجذر الأول لـ

= 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12

فإن الناتج عدد جذره الثالث ناتجه عدد طبيعى

او العكس : يمكن ان نقول اذا اخذت الجذر الثالث
لـ 2×2×2× ...... × 2     =  [2]^12
فإن الناتج عدد جذره الأول عدد طبيعى، وفى
جميع الحالات فهى حلول لا تضيف الينا جديد .

اذاً نستطيع أن نستخلص أربع مجموعات تعبر عن
مجموعة الحل الفعلية، وهى المجموعة :

{

{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}، {3 ، 4}

}

بحيث استثنينا الجذر الأول والذى لا يفيدنا فى شىء .
وبدئناً من الجذر التربيعى .. فتكون لدينا أربعة حلول
ممكنة .

مثال : خذ المجموعة {2 ، 3} وهى تعنى أن أخذ
جذر أحدهما للعدد (2)^12  يعطى الآخر .


وهنا نلاحظ شىء جيد جداً وهو ان الأعداد الأولية
لا تملك أى حلول فعلية لأن عدد قواسمها 2 فقط
1 والعدد نفسه وعند طرحهم لا تتبقى أى قواسم
أخرى للعدد .


ولنأخذ المثال الذى وضعته : 64

أول شىء نحلل 64 الى عواملها الأولية .

وبعد التحليل ينتج لك 64 = (2)^6

لاحظ (هذا يعنى أن 2 لا تحلل أكثر من ذلك)
وهنا نأخذ الـ 6 (أى نأخذ الأس) ونحلله ايضاً
الى عوامله الأوليه .

6 = 2 × 3

إوجد قواسم العدد 6 واستثنى منها 1 ، 6
يتبقى لك أيضاً المجموعة {2 ، 3}

ومن ثم كون منها المجموعات الجزئية التى
عددها 2ق2 = 1  

اذاً عدد طريق الحل هى طريقة واحدة وهى
المجموعة {2 ، 3}

بمعنى إن 64  لا يصلح معه أى جذرين الى الثانى
والثالث : ( التربيعى التكعيبى)

نأخذ مثالاً آخر : عند تحليلك لهذا العدد 16777216

فإنه = [2]^24

وهنا نوجد قواسم العدد 64 فيما عدا 1 ، 64 .

{2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12}

الآن نوجد المجموعات الجزئية والتى عددها :

6ق2 = 15  مجموعة جزئية .

(لاحظ 6 يعنى عدد عناصر القواسم)
(32 اى عدد عناصر ما تحتويه المجموعه الواحدة)

{

{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}،{2 ، 8}،{2 ، 12}،
{3 ، 4}،{3 ، 6}،{3 ، 8}،{3 ، 12}،{4 ، 6}،
{4 ، 8}،{4 ، 12}،{6 ، 8}،{6 ، 12}،{8 ، 12}

}

نشطب على المجموعة التى حاصل ضرب عنصريا
أكبر من 24 ... فيتبقى لدينا المجموعات الآتية :

{

{2 ، 3}،{2 ، 4}،{2 ، 6}،{2 ، 8}،{2 ، 12}،
{3 ، 4}،{3 ، 6}،{3 ، 8}،{4 ، 6}

}


اذاً عدد الحلول الممكنة = 9


مثال : هذا العدد 19683  عند تحليله يصبح :

[3]^9

الآن نوجد قواسم العدد 9 ونحذف منها طبعاً
1 ، 9  فتجد انه تبقى لدينا قاسم وحيد وهو 3
هل 3 نستطيع ان نكون بها مجموعة واحدة على
الأقل تتكون من عنصرين ؟ بالتأكيد هذا مستحيل
واذا قلت {3 ، 3} فهذه المجموعة كأك كتبت {3}

لذلك عدد الحلول الممكنة = 0


مثال : العدد 4 عند تحليله يعطى (2)²
ولكن الأس 2 عبارة عند عدد أولى .. اذاً

عدد الحلول الممكنة = 0


مثال : 12 عند تحليله يعطى (2)² × 3

هنا لا نختبر أصلاً لأن العدد 12 تحلل الى عددين
أوليين مختلفين .. لذلك :

عدد الحلول الممكنة = 0


وهنا خاصية هامة جداً : عند تحليلك لعدد
ما الى عوامله الأولية ووجدته قد تحلل الى عددين
اولين مختلفين .. اذاً عدد الحلول الممكنة = 0

مثال ولنأخذ عدد كبير : 2736

فى الحقيقة انت غير ملزم بتحليل هذا العدد تحليلاً
كاملاً، فقط تعلم انه عدد زوجى وكما ان مجموع أرقامه
عدد يقبل القسمة على 3 .. اذاً 2 ، 3 من عوامل هذا
العدد .. اذاً عدد الحلول الممكنة = 0


النتيجة النهائية :

اذا استطعنا أن نضع اى عدد طبيعى على
الصورة  [أ]^م لكل أ عدد أولى ، م عدد مؤلف
ليس على الصورة س^ن بحيث س عدد اولى
فإنه يوجد على الأقل مجموعة ثنائية تنتمى
لمجموعة الحل ..

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
طالع السؤال من هنا

تابع القراءة

15 ما هى الحلول العامة للمعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية ؟

مثل : x² y''+xy'+y=2

يمكنك حل هذه المعادلة بعدة طرق منها
الطريقة التى ذكرتها ، ولكن هذه المعادلة
تختلف عن المعادلة y" + ay' + b y = 0

فى أن معاملات هذه دالة فى x .

اما النوع الآخر وهو : y" + ay' + b y = Q(x)   ll

والحل العام لها هو :

y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + particular integral

يعنى تحل كما لو كانت معادلة تفاضلية متجانسة
ومن ثم ايجاد التكامل الجزئى الذى يعبر عن الدالة
التى فى الطرف الأيمن .. نبدأ أولاً بحل معادلة
تفاضلية متجانسة، ولتكن .


y" + 3y' - 4y = 0

الحل : نفرض أن y = e^rx

طبعاً لاحظ الصيحيح هو y = C e^rx

لكن يفضل وضع C فى نهاية الحل لعدم
حدوث مشاكل كما انك تعلم ان C فى المشتقة
فى او فى التكامل (ستكون كما هى )

مثال : مشتقة 2x  فى المشتقة نزلت 2
او مشتقة 2e^x هى نفسها ..وهكذا

نفرض أن : y = e^rx حيث r عدد حقيقى ما (ثابت)

الآن نوجد المشتقة الأولى والثانية ..

y' = re^rx     و  y" = r² e^rx بالتعويض فى ..

y" + 3y' - 4y = 0

 r² e^rx + 3re^rx - 4e^rx = 0


بأخذ e^rx عامل مشترك ..

e^rx [r² + 3r - 4] =0

ومنها اما e^rx = 0 وهذا مستحيل

اذاً نأخذ الحل الثانى : r² + 3r - 4 = 0

ثم نستخدم التحليل : (او بالقانون العام)

ll         (r + 4) (r -1) = 0

تجد r = 1   او r = -4

وبناء عليه تكون جميع الحلول الممكنة للمعادلة السابقة هى :

y = c1 e^x   او y = c2 e^-4x

حيث c1 و c2 ثوابت .. تم اثبات ان كلا الحلين يشكلان
تركيب خطى او تحويل خطى linear transformation
بمعنى ان مجموع الحلين أيضاً حل للمعادلة ..

بحيث يكون الحل العام للمعادلة هو :

y = c1 e^x + c2 e^-4x

وبصفة عامة الحل العام للمعادلة التفاضلية على
الشكل : y" + ay' + b y = 0  هو :

y = c1 e^r1x + c2 e^r2x

بحيث r1 و r2 هما جذوراً للدالة المميزة

r² + ar + b = 0

الآن نأتى الى المعادلات التى على الصورة التالية :

y" + ay' + b y = Q(x)   ll

والحل العام لها هو :

y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + particular integral


مثال : y" + 3y' - 4y = x²

لاحظ هى نفسها الدالة السابقة مع وضع x²
بدلاً من الصفر .. هذا النوع من المعادلات تحل كما
لو كانت : y" + 3y' - 4y = 0

وحلها العام كما اسلفنا : y = c1 e^x + c2 e^-4x

هذا الحل هو حل جزئى لهذه المعادلة التفاضلية
الآن نبحث عن الحل الذى يؤكد لنا صحة أن :
 y" + 3y' - 4y = x²

الآن نلاحظ ان الطرف الأيمن عبارة عن دالة تربيعية
لذلك نفرض أن الدالة الأصلية لها هى دالة من الدرجة
الثانية والصورة العامة لها هى :

y = ax² + bx + c

ومنها y' = 2ax + b  و y" = 2a  بالتعويض فى المعادلة

y" + 3y' - 4y = x²


2a + 3(2ax+b) - 4( ax² + bx + c) = x²

نرتب هذه المعادلة من الأس الأكبر الى الأس
الأصغر مع إعتبار أن a , b , c ثوابت .

2a+6ax+3b-4ax²-4bx-4c-x² = 0


ll    (-4a-1)x² + (6a-4b)x + (2a+3b-4c) = 0

لكى تكون هذه المعادلة صحيحة نشترط أن يكون
كل عامل من هؤلاء يساوى صفر .

4a - 1 = 0  -  ومنها a = -1/4 

6a - 4b = 0  ومنها ll    4b = -6(1/4

ومنها b = -3/8  وأخيراً 2a+3b-4c = 0

ومنها :  ll      -4c = ½ + 9/8 = 13/8

c = -13/32

ويكون الحل العام لهذه المعادلة : y" + 3y' - 4y = x²

هو : y = c1 e^x + c2 e^-4x -(1/4)x² - (3/8)x - (13/32)   ll

وبصفة عامة يمكنك مراجعة الرابط فى المراجع بحيث يخبرك
ماذ نفعل لو كانت الدالة هى  Asinxمثلاً وليست x² ؟
حيث A عدد ثابت

هنا نضع فرضية y = Csinx + D cosx

ونوجد المشتقة الأولى والثانية ونعوض فى الدالة الأصلية ..
ومن ثم نضع شروطاً كما فعلنا لإيجاد كلاً من C و D .
لو كانت الدالة Q(x) = ax فإنا نفرض دالة تآلفية y = Cx + D
لو كانت الدالة فى الطرف الأيمن هى Q(x) = e^Ax فإننا
نفرض أن : y = C e^Ax 

بإختصار الفرضية تكون من نفس فصيلة الدالة التى
فى الطرف الأيمن (ولاحظ كل هذا مجرد تخمين)
او فرضيات صحيحة فى ظل شروط معينة، ومع
التعود عليها تصبح سهلة ..

بإسلوب مشابه ننتقل الى الحالة التى فيها العوامل
دالة أخرى فى x .

P(x)y" + q(x)y' + R(x)y = Q(x)  ll

سأبدأ من حل (مثال) خاص ومن ثم تستطيع ان تعممه
 على أى مسألة من هذا النوع .. وليكن المثال الذى وضعته .

x² y''+xy'+y=2

تلاحظ ان الطرف الأين دالة فى س (هتقولى أين س ؟)
اعتبرها دالة ثابتة فى س (وانتهت المشكلة)
اى تعامل معادلة معادلة تفاضلية غير متجانسة من الدرجة
الثانية .

طريقة أويلر - كوشى تتلخص فى فكرة واحدة وهى :
يمكنك تحويل هذه المعادل السابقة الى معادلة أخرى
على الشكل : y" + ay' + by = 2 بحيث a , b ثوابت
ولكن لكى تتم هذه الطريقة بنجاح ننقل الدالة من المتغير
x الى متغير آخر t (وهى طريقة مشابهة جزئياً لتحويل لا بلاس)    

لاحظ فى المعادلة السابقة عندا اكتب y' المقصود منها هو :

dy/dx وعندما نكتب y" نقصد منها d²y/dx²  اى المشتقة الثانية
بالنسبة لـ x ...  الآن نصنع تحويلا يحول dy/dx الى dy/dt

                               
نفرض أن : x = e^t  اشتق الطرفين بالنسبة لـ t

dx/dt = e^t  لاحظ ما الذى حدث ؟

نعلم ان e^t = x والمشتقة الأولى ايضاً بـ x

لكننا نريد dy/dt   بإستعمال قاعدة chain rule :::

dy/dt = dx/dt  . dy/dx

ولكن  dx/dt  = x  اذاً

dy/dt = x  dy/dx

اشتق مرة ثانية بالنسبة للمتغير t

d²y/dt² = d/dt (x dy//dx)    ll


يمكنك تبسيط الحل هكذا :


d²y/dt² = d/dx (x dy//dx) . dx/dt  

لم يحدث شىء إختصر dx مع dx ينتج لنا
الصورة الأصلية، وقد صنعنا هذه الخطوة للتبسيط
لأن الدالة داخل القوس لا تحتوى على t .. الآن
اشتق ما داخل القوس بالنسبة لـ x بإستعمال
قاعدة الضرب product rule  .


d²y/dt² = (dy/dx + x d²y/dx²) dx/dt

علمان أن dy/dt = x  بالتعويض ..


d²y/dt² = (dy/dx + x d²y/dx²) x


d²y/dt²  = x dy/dx + x² d²y/dx²


القى نظرة على أول المسألة تجد أن :

x dy/dx  = dy/dt  بالتعويض ..


d²y/dt²  = dy/dt + x² d²y/dx²


ومنها : x² d²y/dx² = d²y/dt²  - dy/dt

بالتعويض فى المعادلة الأصلية :::

x² y''+xy'+y=2  

d²y/dt²  - dy/dt + dy/dt + y = 2

أختصر ..

d²y/dt² + y = 2

تحولت الى معادلة تفاصلية غير متجانسة فى
المتغير t ... بحيث يمكنك حلها كما أسلفنا .

بحيث حلها يكون :
 y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + particular integral

c1 و c2 ثوابت . r1 و r2 جذوراً للمعادلة المميزة .

أولاً نوجد الحل الجزئى للمعادلة أعلاه بوضع :

d²y/dt² + y  = 0

المعادلة المميزة هى : r² + 1 = 0

ومنها r1 = i     و  r2 = -i

حيث i وحدة تخيلية .

اذاً : y = c1 e^it + C2 e^-it + particular integral

وهنا نريد تبسيط هذا المقدار (وضعه فى صورة أخرى)
وهى صيغة أويلر ...

c1e^it = c1 cos(t) + c1 i sin(t)   ll

c2 e^-it = c2 cos(t) - c2 i sin(t)  ll

بجمع المعادلتين معاً (مع مراعاة الحدود المشابهة)

c1e^it + c2e^-it = (c1+c2) cos(t) + (c1 - c2) i sin(t)  ll

الآن ماذا لو قلت 3 عدد ثابت .. وماذا عن 2 ؟ ثابت أيضاً
وماذا عن i ? ثابت ... اى ان المعادلات التفاضلية لا تفرق
بين هذا او ذلك (كلهم ثوابت)

نفرض أن c1+c2 = A  و  ll      (c1 - c2) i = B

حيث كلاً من A و B ثوابت .

_ملحوظة : هذه الخطوات وضعتها للتوضيح فقط)
والا فكل هذه الخطوات لا تكتب .. بحيث نستنتج
مباشرة ً أن :-

الحل الجزئى للمعادلة هو : A cos(t) + B sin(t)   ll

لكى نوجد الحل المكمل لهذه المعادلة ننظر الى الطرف
الأيمن نجده دالة ثابتة وهى 2 .. وكما أصلفت اذاً
نفرض (حل جزئى يحقق المعادلة) وهو y = C

حيث C ثابت .. المشتقة الأولى والثانية له تساوى 0

بالتعويض فى المعادلة d²y/dt² + y = 2

ومنها  C = 2  أى أن :  particular integral = 2

لتصبح المعادلة هى :

y = A cos(t) + B sin(t) + 2

ولكن : x = e^t  بأخذ ln للطرفين ينتج : t = lnx

وفى الأخير يصبح شكل المعادلة (فى x) هو :

y = A cos(ln(x)) + B sin(ln(x)) + 2

وهذا هو الحل العام للمعادلة .




.......................................
مراجع :
Inhomogeneous constant-coefficient differential equations



http://www.sosmath.com/diffeq/second/euler/euler.html

تابع القراءة

3 بعض التكاملات على الدوال المثلثية العكسية والزائدية وأخرى متنوعة ..

1)
                            2 - جذر(1-س²)
    اوجد             ʃ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                             جذر(1-س²)

قم بتوزيع البسط على المقام .


            2                      جذر(1-س²)
= ʃـــــــــــــــــــــــ دس - ʃ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      جذر(1-س²)                 جذر(1-س²)


          2
= ـــــــــــــــــــــــــــ دس -  ʃ دس
    جذر(1 - س²)


ما داخل التكامل هو متطابقة 1 - جا²س

يعنى نفرض أن س = جاص

ومنها دس = جتاص دص   بالتعويض ..



          2جتاص
=ʃ ـــــــــــــــــــــــــــ دص -  ʃ دس
   جذر(1 - جاص²)


       2جتاص
=ʃ ــــــــــــــــــــــــــــ دص - س
       جتاص


= ʃ 2 دص - س

= 2ص - س + ث

ولكن س = جاص  ومنها ص = جا^-1(س) بالتعويض..


= 2جا^-1(س) - س + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
2)

         1
ʃ ـــــــــــــــــــ دس
   س لوس

 

يمكنك حله بالتعويض .. نفرض أن :-

لوس = ص   ومنها 1\س دس = دص

دس = س دص  بالتعويض ...

      س
ʃ ـــــــــــــــــــــــ  دص
    س ص


          1
=ʃ ـــــــــــــــــ دص
         ص


= لط|ص| + ث    بالتعويض عن ص ..

= لط| لط|س|  |  + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

3)تكامل جا2س/جذر(3-جتا^4(س))

 يمكن وضع التكامل على الصورة :

.          جا2س
∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  جذر[3 - [(جتاس)²]²]


لاحظ مشتقة جتا²س = 2جتاس × -جاس

= - 2جاس جتاس = -جا2س

الآن نضرب داخل وخارج التكامل فى -1


.          -جا2س
-∫ ــــــــــــــــــــــــــــأأأــــ دس
   جذر[3 - [(جتاس)²]²]


بأخذ 3 عامل مشترك من تحت الجذر
تخرج خارجاً بـ 1/جذر(3)

                              -جا2س
= -1/جذر(3) ∫   ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                  جذر[1 - [(1\3) جتا²س]²]


بضرب البسط فى (1\3) ومن ثم الضرب فى المعكوس
الضربى 3 .


       
                          -(1\3) جا2س
= (-3/جذر(3)) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                   جذر[1 - [(1\3) جتا²س]²



= (-3\جذر(3) جا^-1[(1\3) جتا²س] + ث


= -جذر(3) جا^-1[(1\3) جتا²س] + ث

حيث جا^-1 هى دالة الجيب العكسى .

 ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

4)  تكامل هــ^2س/(هـــ^4س-5) 


.         هـ^2س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
       هـ^4س - 5

يمكنك حله بالتعويض .

نفرض ان هـ^2س = ص  ومنها

2هـ^2س دس = دص

اى ان : 2ص دس = دص  بالتعويض ..


.           ص
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
     2ص( ص² - 5)


             1
= ½∫ ـــــــــــــــــــ دص
         ص² - 5


بأخذ -5 عامل مشترك من المقام
يخرج طبعاً خاجر التكامل بـ -(1\5)

                     1
= (-2\5) ∫ــــــــــــــــــــــــ دص
                1 - (1\5)ص²


                        1
= (-2\5) ∫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
                1 - [(1\جذر(5))ص]²

لماذا اجيرنا كل هذه الخطوات ؟
للوصول الى المشتقة العكسية للظل الزائدى .

الآن ما هى مشتقة 1\جذر(5))ص ؟

المشتقة هى : 1\جذر(5)

نضرب البسط فى  1\جذر(5)  ومن ثم
خارج التكامل فى جذر(5)


                                (1/جذر(5)
= (-2جذر(5)/5) ∫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
                       1 - [(1\جذر(5))ص]²



= (-2جذر(5)/5) × ظاز^-1[(1\جذر(5))ص] + ث

ولكن ص = هـ^2س   بالتعويض ..

= (-2جذر(5)/5) × ظاز^-1[(1\جذر(5))هـ^2س] + ث


وطبعاً كان يمكنك حل التكامل ابتدائاً بالكسور الجزئية ..

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

 5) تكامل س/(1-س^4)

.
        س
∫ ــــــــــــــــــــــــ دس
     1 - س^4



        س
∫ ــــــــــــــــــــــــ دس
     1 - (س²)²

ما الذى يفيدنا فى ذلك (هى نفسها) ؟

لاحظ مشتقة س²  هى 2س

الآن نضرب البسط فى 2 ومن ثم خارج
التكامل فى ½

                 2س
= ½ ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــ دس
              1 - (س²)²



= ½ظاز^-1(س²) + ث

او الظل الزائدى العكسى لـ س²


ويمكنك حلها بطرق أخرى ...

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
 6)   تكامل جا4س/(جتا^4(2س) +4)
      
 .         جا4س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   [جتا(2س)]^4 + 4

نقوم بوضع التكامل على هذا الشكل ..

                     -2جا4س
=(-1\2)∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
               [جتا²(2س)]² + 4


مشتقة جتا²(2س) = 2جتا(2س) × -2جا(2س)

= -2 جا4س

الآن نأخذ من المقام 4 عامل مشترك .
عند ضربه فى مقام النصف يعطى ثمن .

                     -2جا4س
=(-1\8)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
           (1\4)[جتا²(2س)]² + 1

ندخل ربع داخل القوس فتصبح نصف
لأنك تعلم أن مربع النصف هو ربع .

                     -2جا4س
=(-1\8)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
             [½جتا²(2س)]² + 1


بالضرب بسطاً ومقاماً فى ½

                     -جا4س
=(-1\16)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
             [½جتا²(2س)]² + 1

وهذا هو تماماً مشتقة دالة الظل العكس ظا^-1(س)


التكامل = (-1\16) ظا^-1[½جتا²(2س)] + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
7)  تكامل جذر[2-س²]

 .
∫جذر(2 - س²) دس

نفرض أن س = جذر(2)جاص

ومنها : دس = جذر(2) جتاص دص بالتعويض ..

لاحظ جذر(2 - (جذر(2) جاص)²)

= جذر(2 - 2جا²ص) = جذر(2) جذر(1 - جا²ص)

= جذر(2) جتاص   بالتعويض ..


∫جذر(2 - س²) دس

= جذر(2)∫جتاص × جذر(2) جتاص دص

= 2 ∫جتا²ص دص

ولكت جتا²ص = ½جتا2ص + ½ بالتعويض ..

2 ∫جتا²ص دص =  ∫2[½جتا2ص + ½] دص


= ∫جتا2ص + ∫دص


= ½جا2ص + ص + ث

ولكن س = جذر(2)جاص

ومنها جاص = س/جذر(2)

اذاً : ص = جا^-1[س/جذر(2) ]

الآن كيف نوجد جا2ص ؟

نعلم ان : جا2ص = 2جاص جتاص

اذاً ½جا2ص = جاص جتاص

ولكن جاص = س/جذر(2)

ومنها طول المجاور = جذر[2 - س²]

جتاص = (1\جذر(2)) جذر[2 - س²]  

ومنها ½جا2ص = جاص جتاص
= س/جذر(2) × (1\جذر(2)) جذر[2 - س²]

= ½س جذر[2 - س²]    بالتعويض فى :


التكامل = ½جا2ص + ص + ث


= ½س جذر[2 - س²] + ص  + ث

ولكن : جاص = س/جذر(2)   ومنها ص = جا^-1[س/جذر(2) ]


التكامل = ½س جذر[2 - س²] + جا^-1[س/جذر(2)]  + ث
 
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
8)    تكامل جتا^5س × جذرجاس

.
∫ جتا^5(س) جذر(جاس) دس

= ∫ جتا^5(س) جا^0.5(س) دس

= ∫[جتا^1.5(س)]^(10\3) جا^0.5(س) دس

كل الذى حدث من خصائص الأسس فلا تقلق

اضرب 1.5 × (10 على 3) = 5

لكن ما الذى يفيدنا فى ذلك ؟

الذى يفيد هو : أن مشتقة جتا^1.5(س)

= - 1.5 جا^0.5(س)

الآن نضرب داخل التكامل فى -1.5
وخارجه نضرب فى المعكوس الضربى والجمعى معاً
وهو (2\3)

(2\3)∫[جتا^1.5(س)]^(10\3) ×-1.5جا^0.5(س) دس


الدالة هى جتا^1.5(س)

مشتقتها هى -1.5جا^0.5(س)

قيمة هذا التكامل :

            [جتا^1.5(س)]^(13\3)
= (2\3)× ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ +ث
                     (13\3)


    2 [جتا^1.5(س)]^(13\3)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ث
               13

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

9)  تكامل جتاس/جذر [2+جتا 2س]

          جتاس
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(2+جتا2س)



لاحظ : جتا2س = 1 - 2جا²س بالتعويض..


          جتاس
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(2+1 - 2جا²س)


           جتاس
=∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
     جذر(3 - 2جا²س)


بأخذ 3 عامل مشترك ..

                        جتاس
= 1/جذر(3) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                 جذر[1 - (2\3)جا²س]


                        جتاس
= 1/جذر(3) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                جذر[1 - [جذر(2\3)جاس]²]


لاحظ : مشتقة جذر(2\3) جاس = جذر(2\3) جتاس

الآن نقوم بضرب البسط فى جذر(2\3)
ومن ثم الضرب فى المعكوس الضربى له .

بعد الضرب وتبسيط المقدار خارج التكامل ينتج ..

                      جذر(2\3) جتاس
= جذر(2)/2 ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                جذر[1 - [جذر(2\3)جاس]²]


   
= ½جذر(2) جا^-1[جذر(2\3)جاس] + ث


حيث جا^-1 هى دالة الجيب العكسى .

░░░░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░
10)  تكامل س/[جذر(1+س²)+جذر(1+س²)³] 

.                س
ʃ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  جذر(1+س²)+جذر(1+س²)³


نفرض أن : جذر(1+س²) = ص

               س
ومنها : ــــــــــــــــــــــ دس = دص
         جذر(1+س²)


        س
= ــــــــــــــــــ دس = دص
        ص

بالتعويض فى التكامل .

         س ص
ʃ ـــــــــــــــــــــــــــــــ دص
     س(ص + ص³)


         س  ص
= ʃ ــــــــــــــــــــــــــــــ دص
     س ص (1 + ص²)


            1
= ʃ ـــــــــــــــــــــــ دص
       1 + ص²


= ظا^-1(ص) + ث

= ظا^-1[جذر(1+س²)] + ث


حيث ظا^-1 هو الظل العكسى . 
       
 ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░
►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄

تابع القراءة

2 ما هى دالة زيتا الريمانية وما علاقتها بالأعداد الأولية ؟

أعتقد ان سؤالك يحتوى أفكار عديدة تحتاج الى
 بحث طويل، لذلك سأعطيك نبذة فقط عن دالة زيتا
او الذى أعرفه عنها ... يوجد لها رمز خاص يمكنك
الإضطلاع عليه فى موقع ويكيبيديا الذى وضعه الأخ
لكى سأستعمل رمز آخر وهو  ز  مثلاً ز(س)  .

هى الدالة المعرفة على س عدد مركب بحيث :

              ∞          1
ز(س) = سيجما ـــــــــــــــ
            ن=1      ن^س

بمعنى هى دالة فى س

 (س معرفة على حقل الأعداد المركبة)

بحيث الدالة عبارة عن مجموع متسلسلة لا نهائية
 للصورة السابق ذكرها .

مثال : ما هى ز(1) ؟

            ∞        1
ز(1) = سيجما ـــــــــــ
          ن=1      ن


            1            1            1
= 1 + ــــــــــ + ــــــــــــ + ـــــــــــ + ......
           2             3           4


هذه حالة واحدة فقط للدالة عندما س = 1

وبصفة عامة يمكن نشر الدالة بهذا الأسلوب .

          1            1            1
 1 + ـــــــــــ + ــــــــــــ + ـــــــــــــ + .....
       2^س      3^س       4^س


بحيث : س = أ + ب ت

أ = الجزء الحقيقى ، ب = الجزء التخيلى

ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

عندما ت = 0  تتحويل س الى عدد حقيقى .

الآن نريد تحويل دالة زيتا الى صورة جداء على الصورة :


                                     1
ز(س) =  حاصل ضرب ــــــــــــــــــــــــــــ
                                1 - أ^(-س)

حيث أ عدد أولى = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، .......}

بحيث تكون الدالة عل الصورة :

                 1                   1                1
ز(س) = ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ× ......
            1 - 2^-س       1 - 3^-س       1  - 5^-س

وهذا هو ما سألت عنه علاقتها بالأعداد الأولية .. لإثبات ذلك :


ز(س) = 1 + 1\2^س + 1\3^س + 1\4^س + .......   (1)

بضرب طرفى المعادلة فى 1\2^س


1\2^س ز(س) = 1\2^س + 1\4^س + 1\6^س + .... (2)

بصفة عامة عند ضرب الطرفين فى 1\2^س ستجد أن جميع
أساسات المقام أعداد زوجية مرتبة ترتيب جيد .

بطرح (2) من (1) ولاحظ أن :

ز(س) - 1\2^س ز(س) = (1 - 1\2^س) ز(س)

حيث أخذنا ز(س) عامل مشترك .. وعند طرح الطرف الآخر
لن يتبقى لك سوى المقامات الفردية .


(1 - 1\2^س) ز(س) = 1 + 1\3^س + 1\5^س + ... (3)

بضرب (3) فى 1\3^س

1\3^س (1 - 1\2^س) ز(س) = 1\3^س + 1\9^س
+ 1\15^س + 1\21^س + .....        (4)

ماذا تلاحظ ؟ نلاحظ ان جميع المقامات الآن هى مضاعفات
العدد 3 (الفردية فقط) يعنى 24 من مضاعفات 3 لكنه زوجى.

بطرح (4) من (3)   :::: لاحظ نطرح أولاً الأطراف اليمنى .

(1 - 1\2^س) ز(س)  - 1\3^س (1 - 1\2^س) ز(س)

بأخذ (1 - 1\2^س) ز(س) عامل مشترك ..

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) ز(س)

وعند طرح الطرفين الأيسريين نلاحظ اننا نطرح جميع مضاعفات
العدد 3 الفردية من جميع الأعداد الفردية فينتج لنا جميع الأعداد
الفردية (للمقامات) فيما عدا مضاعفات العدد 3 .

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) ز(س) = 1+ْ[1\5^س]+[1\7^س]

+[1\11^س]+[1\13^س]+[1\17^س]+ ...... (5)


الطرف الأيسر عبارة عن جميع الأعداد الفردية بإستثناء مضاعفات
العدد 3 .. بمعنى المقامات كما ترى تسير هكذا ..

1 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 25 ، 29 ، 31 ، .....

وهكذا فى الخطوة التى تليها نقوم بضرب طرفى المعادلة فى
1\5^س فينتج لنا جميع الأعداد الفردية بإستثناء مضاعفات
العدد 3  ومضاعفات العدد 5 ، ثم نقوم بطرح المعادلتين ، تنتج
لنا معادلة جديدة نضرب طرفيها فى 1\7^س فينتج لنا جميع
الأعداد الفردية فيما عدا مضاعفات العدد 3 ، 5 ، 7  .... وهكذ
ماذا تلاحظ ؟   .. لاحظ أويلر أن التكرار اللانهائى لهذه الخوازرمية
اللانهائية تؤدى حتماً الى ان ينتهى الطرف الأيسر الى 1 وان يأخذ
الطرف الأيمن هذا الشكل :

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) (1 - 3^س) (1 - 5^س)
(1 - 7^س) ............. × ز(س)

وسبب هذا كما تعرف هو ان جميع الأعداد الأولية فردية فيما
عدا العدد 2 .

كل مرة نضرب فى 1\(عدد أولى)^س  فيعطينا فى التكرار
اللانهائى أن :

الطرف الأيسر عبارة عن جميع الأعداد الفردية فيما عدا
مضاعفات 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، .... وهكذا
الى مالانهائة .. يفسر لنا ذلك ان التكرار اللانهائى لهذه العملية
يؤدى بنا الى :

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) (1 - 3^س) (1 - 5^س)
(1 - 7^س) ............. × ز(س) = 1


ومنها نحصل على :

                                            1
ز(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
         (1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) (1 - 1\3^س) (1 - 1\5^س) ....



لاحظ ان حاصل الضرب غير منتهى ... والذى يعبر عنها بشكل
أفضل (أنظر الروابط)  ... بحيث نقول :


                                    1
ز(س) =  حاصل ضرب ـــــــــــــــــــــــــ
                              1 - أ^(-س)

حيث أ عدد أولى = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، .......}

طبعاً هنا الأس سالب (للدلالة على انه كسر)

تعلم ان 1\س = س^-1   ... وهكذا

هناك عدة حسابات توصلوا اليها لحساب قيم هذه الدالة
للأعداد الزوجية (بإستخدام أعداد أخرى تسمى أعداد بيرنولى)
بحيث أصحبت صيغة عامة .

                                             ط²
ز(0) = -½  ، ز(1) = ∞  ، ز(2) = ــــــــــ ≈ 1.645
                                             6

ز(3) ≈ 1.202   ،  ز(4) ≈ 1.0823

بصفة عامة يمكنك الإضطلاع على الصيغة العامة لـ 2ن
على موقع ويكبيديا ... لو وضعنا س = 2ن  حيث :

ن = {0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، ......}  

فإن هناك صيغة عامة يمكنك حساب دالة زيتا عندها .

ولا تسألنى عن أشياء أخرى فى الدالة لأننى لم اتعمق
فيها كثيراً :)

ولكن نصيحتى لك هناك أشياء أخرى يتحتم عليك دراستهاد
حتى تكون دراسة مثل هذه الدوال (الخاصة) سهلة الفهم
بالنسبة لك وتحقق منها أكبر استفادة ممكنة .

مراجع :دالة زيتا
Riemann zeta function
Proof of the Euler product formula
فرضية ريمان
Riemann Zeta Function Calculator

تابع القراءة

0 اثبت ان النسبة بين مساحتى مثلثين متشابهين كنسبة مربع طولى أى ضلعين متناظرين

نفرض أن نسبة التشابه كنسبة ك : م

بما أن المثلثان أ ب جـ  ،  د هـ و متشابهان اذاً :-

  أب         ب جـ         أجـ          ك
ــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــ
 دهـ         هـ و           دو          م


تذكر : مساحة المثلث = ½ حاصل ضرب أى ضلعين فى
جيب الزاوية المحصورة بينهما :

مساحة أ ب جـ = ½ أب × أ جـ × جاأ

مساحة د هـ و = ½ دهـ × دو × جاد

بقسمة المساحيتين :

ولاحظ ان جاأ = جاد   لأن زاوية أ = زاوية د

نظراً لتشابه المثلثان .. وبناء عليه


    ½ أب × أ جـ × جاأ         أب × أ جـ
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
    ½ دهـ × دو × جاد         دهـ × دو


ولكن فى أول الإجابة قلنا من التشابه ينتج أن :

  أب           ك        أجـ          ك
ــــــــــــ = ــــــــــ  ، ــــــــــ = ــــــــــ
 دهـ           م         دو           م


      أب × أ جـ         ك         ك          ك
اذاً : ــــــــــــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــ = [ــــــــ]²
      دهـ × دو         م          م           م


هذا يكافئ أن فى المثلين المتشابهين النسبة بين
مساحتى المثلثين كالنسبة بين مربع طولى أى ضلعين
متناظرين فيهما .

تابع القراءة

4 احسب قياس الزاوية x المبينة فى الشكل

الشكل فى المراجع عبارة عن المثلث A B C
فيه الزاوية O N M = x  (بالفرض)

وايضاً : الزاوية O M N = y  (بالفرض)

أى أن : x+y = 110

وايضاً فيه المثلث M B C  متساوى الساقين :

اذاً : BC = BM

فى المثلث N B C  فيه :

BC/sin40  = BN/sin80


اذاً :  (1)    BC = [BN sin40]/sin80


فى المثلث :  M B C  فيه :

BM/sinx = BN/sin(y+50)      ll

ولكن x+y = 110  ومنها y = 100 - x

اذاً : y + 50 = 160 - x  بالتعويض ..

BM/sinx = BN/sin(160 - x)      ll


ومنها : BM = [BN sinx]/sin(160 - x)      (2

ولكن  BC = BM

من (1) ، (2) ينتج أن :

ll          [BN sinx]/sin(160 - x) =  [BN sin40]/sin80


بإختصار BN من الطرفين ..

ll                        sinx/sin(160 - x) =  sin40/sin80


وهكذا نحصل على (نقبل النسبتين فى الطرفين)


ll                        sin(160 - x)/sinx =  sin80/sin40

الآن قم بنشر sin(160 - x)   l  بالمتطابقة المعروفة .


ll      [sin160 cosx - cos160 sinx]/sinx =  sin80/sin40

وبعد توزيع (او قسمة) البسط على المقام نحصل على :


ll            sin160 cosx/sinx  -   cos160 = sin80/sin40


ومنها نحصل على :

ll           sin160 cosx/sinx = sin80/sin40  +  cos160

بضرب الطرفين فى مقلوب sin160

ll   cosx/sinx = sin80/(sin40 sin160)  +  cos160/sin160

بعد توحيدك للمقامات تحصل على :

ll   cosx/sinx = [(sin40 cos160) + sin80] /(sin40 sin160)  ll

اذاً :


ll    sinx/cosx = (sin40 sin160)/[(sin40 cos160) + sin80]   ll


ll          tanx = (sin40 sin160)/[(sin40 cos160) + sin80]   ll


ومن ثم تستطيع ايجاد معكوس tanx بالآلة الحسابة
او حتى من خلال تبسيط الطرف الأيمن ببعض المتطابقات
المثلثية للوصول الى أن :  x = 30ْ‏



للمزيد من التفاصيل اضغط هنا    

تابع القراءة

0 نظام العد الثنائى

يعتبر نظام العد الثنائى من أهم أنظمة العد
بحيث تتعامل معه الحواسيب الحديثة بلغة برمجية
تسمى لغة الآلة يفهمها المعالج .

هذا العدد 36 يقرأ 6 وثلاثون فى نظام العد العشرى
بينما هو لا معنى له فى نظام العد الثنائى لأن نظام
العد الثنائى يتكون من عددين فقط وهما 0 ، 1
والمعنى الأدق هو ان النظام الثنائى يتكون من رمزين
فقط هما true or false يعنى صحيح او خطأ .. تشغيل
إطفاء .. كاذب او صادق .. بصفة عامة الشىء ونقيضة ..
عبرنا عنهم بالرمزين 0 ، 1   .

فالعدد 36 فى نظام العد العشرى يكافىء العدد 100100
فى نظام العد الثنائى :

كما ان نظام العد العشرى يستعمل قوى العدد 10
فإن نظام العد الثنائى يستعمل قوى العدد 2

العدد 100 فى نظام العد العشرى يقرأ مائة

بينما فى نظام العد الثنائى يقرأ واحد صفر صفر .

أولاً : التحويل من النظام الثنائى الى النظام العشرى :

مثال : عند تحويل العدد 100100 الى نظام العد العشرى
نفعل الآتى :

0×(2)^0 + 0×(2)^1 + 1×(2)² +
 0×(2)³ + 0×(2)^4 × 1×(2)^5

= 0 + 0 + 4 + 32 = 36

وبصفة عامة نلاحظ ان الخانات الصفرية قيمها معدم
فى النظام الثنائى والعشرى ايضاً .

نستنتج أن الخانة الأولى عند التحويل تظل كما هى
اذا كان واحد عند التحويل تصبح واحد أيضاً
اذا كانت 0 عند التحويل تصبح صفر أيضاً .

2) الخانات الصفرية معدومة القيمة عند التحويل .

3) أكبر قوى للعدد 2 هى عد خانات العدد فرق 1
لأن الخانة الأولى (ممكن تسميها الخانة الصفرية)

مثال : العدد السابق 100100 يتكون من 6 أرقام
لذلك أكبر قوى عند التحويل هى القوى 5 للأساس 2 .

كل هذا يساعدنا على التحويل المباشر بدون نشر
العدد هكذا كما فعلنا :

مثال : حول العدد 110010001 الى نظام العد العشرى :


= 1 + (2)^4 + (2)^7 + (2)^8 = 401


ثانياً : التحويل من النظام العشرى الى الثنائى :

هناك طريقة تتبع وتذكرها معظم المواقع مع انى فى الغالب
لا استعملها كثيراً وهى : قسمة العدد المراد تحويله على 2
بخوارزمية ثابتة بحيث اذا قبل العدد القسمة على 2
نكتب 0 واذا لم يقبل القسمة على 2 نكتب 1 وهكذا
والناتج يكتب من اليسار الى اليمين .

مثال : حول 401 الى نظام العد الثنائى .

نتبع الخوارزمية الآتية الخاصة بالتحويل :


401 ÷ 2  = 200     والباقى    1

200 ÷ 2 =  100    والباقى     0

100 ÷ 2 = 50      والباقى     0

50 ÷ 2 =  25       والباقى    0

25 ÷ 2 = 12       والباقى     1

12 ÷ 2 = 6       والباقى      0

6 ÷ 2 = 3         والباقى     0

3 ÷ 2 = 1         والباقى     1

1 ÷ 2 = 0         والباقى    1


لتجد أن العدد هو : 110010001

الطريقة الثانةي أفضلها حقيقة ً نظراً لقصرها
فيمكنك ان تكتبها فى سطر واحد فقط .

سأرمز لرمز التحويل بسهم هكذا ← سأشرح الطريقة أولاً:

عشرى ← ثنائى

0 ← 0

1 ← 1

2 ← 10

3 ← 11

4 ← 100

5 ← 101

6 ← 110

7 ← 111

8 ← 1000

9 ← 1001

10 ← 1010

هل لاحظت شيئاً ما ؟ دون :

1) تحويل الأعداد الزوجية الخانة الأولى فيه دائماً 0
بينما عند تحويل الأعداد الفردية فإن الخانة الأولى تصبح 1

2) تحويل أعداد قوى العدد 2 هى 1 واماه مجموعة من الأصفار
تساوى هذه القوى : مثال عند حويل 4 فهى من قوى العدد 2
وتكتب : (2)² لذلك عند تحويلها = 100
وكذلك أيضاً 8 هى عبارة أصلاً عن (2)³ لذلك عند تحويلها الى
نظام العد الثنائى تصبح :  1000      ... وهكذا ...

16  عند تحويلها تعطى 10000        .... الخ

3) تجميعية وإبدالية : بمعنى : قلنا أن : 4 بالنظام
العشرى = (2)² والتى تكافىء 100 بالنظام الثنائى
فما هو تحويل 5 ؟ هنا نستخدم الخاصية التجميعية :

5 = 4 + 1   ونحن نعرف تحويل الـ 4 والواحد كذلك

تحويل الـ 4  هو 100
تحويل الواحد هو 1

اذاً : تحويل الـ 5 هو 100 + 1 = 101

هل هذا يغنينا عن الطريقة السالفة الذكر ؟
نعم تماماً ولكن حتاج الى التدرب عليها أولاً .

والسؤال هو : كيف نعرف أن هذا العدد من قوى العدد 2 ؟

مثال : 32 هذه سهلة جداً  32 = (2)^5

لكن : ماذا لو كان العدد هو : 16384   ؟

هذا هو السؤال الأهم جداً، وهنا نلاحظ اذا كان العدد
فردى فهو بالتأكيد ليس من قوى العدد 2

فى الحقيقة انت غير  ملزم بذلك .. هل العدد كبير ؟
جزئه الى أقرب عدد تعرفه بحيث يكون عبارة عن قوى
العدد 2 .

هل تعلم أن 1024 = (2)^10  ؟

الإستنتاج : 2048 = (2)^11

ما الذى حدث هنا ؟

الذى حدث عندما ضربنا (2)^10 فى 2
اعطتنا (2)^11 وهذا طبيعى جداً لأننا
فى حالة الضرب نجمع الأسس .


الآن : نريد تقسيم العدد السابق الى الوف
ثم مضاعفات العدد 24 ، وهذا تستطيع فعله .

العدد : 16384 = 384 + 16000

اذا كانت 16 ألف هى الهدق فيجب أن نحصل على 24×16

فنجد أن : 24×16 = 384  اذاً :

العدد : 16384 يحتوى على (2)^10 مضروبه فى نفسها 16 مرة

وبناء عليه : = 16 × 2^10 = (2)^4 × (2)^10 = (2)^14

وبناء عليه :

16384 ← 100000000000000

تستطيع بعد ذلك عند التضرب على الطريقتين ان الطريقة
التى تتناسب معك، ولكن لاحظ فإنك لو وجدت 16384
بالطريقة الأولى (القسمة المتتالية) فإنك تظل تقسم على
14 مرة أو ربما 15 مرة .
       

تابع القراءة

0 اوجد تكامل س^5/جذر(س²+1) دس

.         س^5
 ـــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(س² + 1)

نضع س = ظاص ومنها دس = قا²ص دص

اذاً: جذر(س² + 1) = جذر(ظا²ص + 1)

= جذر(قا²ص) = قاص



                     ظا^5(ص) قا²ص
بالتعويض .. ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــ دص
                         قاص


= ∫ ظا^5(ص) قاص دص


= ∫ظاص قاص ظا^4ص دص


ولكن : ظا²ص = قا²ص - 1

اذاً : ظا^4(ص) = [ظا²ص]² = (قا²ص - 1)²

اذاً : التكامل اصبح على هذا الشكل :

∫ظاص قاص (قا²ص - 1)² دص


نفرض أن قاص = ف ومنها قاص ظاص دص = دف

                  دف                       دف
دص = ــــــــــــــــــــــــــــــ   = ــــــــــــــــــــــــــ
              قاص ظاص                ظاص ف


بالتعويض ..


∫ظاص قاص (قا²ص - 1)² دص


     ظاص ف (ف² - 1)²
= ∫ـــــــــــــــــــــــــــــ دف
         ظاص ف



= ∫ (ف² - 1)² دف  نفك المربع الكامل


= ∫(ف^4 -2ف² + 1) دف

نكامل كل حد على حدى ..


        ف^5          2ف³
=  ــــــــــــــــــ - ــــــــــــــــــ + ف  + ث
          5              3


ولكن ف = قاص .. بالتعويض ...


     قا^5(ص)    2قا³(س)
= ـــــــــــــــــ - ــــــــــــــــــ + قاص + ث
        5               3


الآن :  فرضنا منذ البداية أن : س = ظاص

هل نستطيع ايجاد قاص  ؟؟ نعم

                     المقابل
نعمل ان ظاص = ــــــــــــــ
                       المجاور

المقابل = س   والمجاور = 1


اذاً : الوتر = جذر(س² + 1)


                         1
ومنها جتاص = ــــــــــــــــــــــــــ
                   جذر(س² + 1)

نعلم انا قاص  مقلوب الجتاص  اذاً


قاص = جذر(س² + 1)   ::: وبناء عليه



.       س^5
 ـــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(س² + 1)



   [جذر(س² + 1)]^5           2[جذر(س² + 1)]³
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + جذر(س² + 1) + ث
          5                                    3


نختصر الأسس مع الجذور .. يتبقى لدينا :



     (س²+1)³       2(س²+1)
= ــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــــ + جذر(س² + 1) + ث
          5                  3
       

تابع القراءة

0 اشتقاق دالة الأس الطبيعى هـ^س ودالة اللوغاريتم الطبيعى لط (س)

أولاً يجب أن تكون ملم جيداً بقوانين
الأسس واللوغاريتمات نذكر منها ما يلى :

قوانين الأسس :

س^(أ+ب) = س^أ × س^ب

س^(أ×ب) = (س^أ)^ب  او العكس .

أ^0 = 1  حيث أ ≠ 0

النتيجة :

 أى دالة أسية تمر بالنقطة (0 ، 1)

لأن : د(0) = أ^0 = 1

نتيجة(2) : اى دالة أسية تقطع ما مقداره واحد من محور الصادات .


قوانين اللوغاريتمات :



لو(1) = 0            ،   لوأ = 1
 أ                           أ


            لوب
لوب = ــــــــــــــ
 أ          لوأ


بحيث أ ، ب ينتمى الى ح+


اذا كان : أ^س = ب  فإن : لوأ^س = لوب

ومنها : س لوأ = لوب  ومنها :


           لوب
س = ــــــــــــــ = لوب
           لوأ         أ


وتنطق لوغاريتم ب للأساس أ .

مباشرة ً بدون أجراء هذه الخطوات مرة ثانية نقول :

اذا كان  : أ^س = ب فإن  س = لوب
                                        أ

والعكس صحيح : يعنى : اذا كان : س= لوب
                                                 أ

فإن : أ^س = ب


نظرية : أ^لوس  = س
             أ

يعنى اذا وجد اساس مرفوع للوغاريتم س لنفس الأساس
فإن قيمة هذا المقدار = س

والعكس صحيح يعنى يمكن نقول : س = أ^لوس
                                                      أ

ما ينطبق على اللوغاريتم العادية ينطبق أيضاً على
اللوغاريتم النيبيرى (او اللوغاريتم الطبيعى)

اذا كان العدد النيبيرى هـ حيث هـ ≈ 2.71828

فإن لوس = لط (س)
     هـ

أى انه لط هى إختصار لـ لو
                               هـ

................................................................
نأتى الآن لموضوع العدد النيبيرى ونشرحه بالتفصيل :

د(س) = أ^س          حيث أ ينتمى لـ ح+


تعليل أ ينتمى لـ ح+ لأنه لو كانت أ سالبة فإن الدالة
تصبح متذبذبة : مثال : د(س) = (-2)^س

د(1) = -2   ، د(2) = 4 ، د(3) = -8

لاحظ : موجب .. سالب .. موجب ....

اذاً الدالة لا تأخذ شكل منحنى معين نستطيع إجراء الإشتقاق عليه .
فلا هى تزايدية ولا هى تناقصية (متذبذبة) اذاً نستثنى أن تكون
أ قيمة سالبة .

 قانون معدل التغير :

                       د(س+∆) - د(س)
دَ(س) = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ
             ∆←0            ∆


لاحظ وضعت ∆ بدلاً من الرمز المعتاد (هـ) للتفرقة بينه
وبين العدد النيبيرى هـ .

ملحوظة أخرى : الأفضل أن نكتب ∆س وتعنى معدل تغير
س والذى يؤول الى الصفر كما هو واضح، ولكن للإختصار
فقط وضعتها هكذا ∆ .


د(س) = أ^س  دالة الأسية للأساس الموجب أ .


                          أ^(س+∆) - أ^س
دَ(س) = نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
             ∆←0               ∆


               أ^س أ^∆ - أ^س
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــ
    ∆←0           ∆


                            أ^∆  -  1
= نهـــــــــا أ^س × ـــــــــــــــــــــ
    ∆←0                     ∆

للاحظ النهاية تشير على متغير ∆←0  ولا تشير
الى س .. يعنى النهاية بالنسبة لـ ∆ اذاً :

                         أ^∆  -  1
= أ^س نهـــــــا  ــــــــــــــــــــــ
            ∆←0          ∆


أنه من السهل ايجاد هذه النهاية بقاعدة لوبيتال عندما ∆←0
نشتق البسط مرة والمقام مرة .



نهــــــــا = مشتقة (أ^∆) عندما ∆ = 0
 ∆←0

لاحظ أ^∆ هى دالة أسية أيضاً (ان شئت ففقل هى نفسها)


اذاً : نهــــــــا = دَ(0)
       ∆←0

كيف نثبت ذلك بطريقة رياضياتية ؟

ببساطة شديدة جداً اوجد مشتقة الدالة عند الصفر ..


                                         أ^∆  -  1                     
قولنا : دَ(س) = أ^س نهـــــــا  ــــــــــــــــــــــ
                            ∆←0          ∆


                             أ^∆  -  1
دَ(0) = أ^0  نهـــــــا ــــــــــــــــــــــ ولكن أ^0 = 1
                ∆←0          ∆



                  أ^∆  -  1
اذاً : نهـــــــا ــــــــــــــــــــ = دَ(0)
       ∆←0        ∆      



مشتقة الدالة الأسية : اذا كانت : د(س) = أ^س


فإن : دَ(س) = أ^س  دَ(0)

مثال : د(س) = 2^س   اذاً دَ(س) = 2^س دَ(0)

إرسم هذه الدالة (رسم تقريبى) ولسنا بحاجة للتعويض
بإعداد كثيرة ،فقط ارسم الدالة فى الفترة  [1 ، -1]
هل تستطيع أن تقترب من قيمة دَ(0) من الرسم ؟
الإجابة : نعم تستطيع ذلك : ارسم الدالة فى الفترة
السابقة وقلنا أن أى دالة أسية تمر بالنقطة (0 ، 1)
ومن ثم إرسم ميل الخط المماس عندما س = 0
او عند النقطة (0 ، 1) : لاحظ ان ميل الدالة موجب
لأن الزاوية التى يصنعها الخط المماس مع محور السينات
فى الإتجاه الموجب له زواية حادة .

     
            طول المقطع الصادى
الميل= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           طول المقطع السينى


نريد أن نصل الى ماذا ؟

نريد ان نصل الى هل هذا الميل قيمته عدد صحيح ؟
مثلاً : هل قيمته 1 ؟

بالتأكيد اذا كان المقطع الصادى أقل من المقطع السينى
فإن البسط أقل من المقام وبالتالى النتيجة الق من الواحد .
واذا حدث العكس تكون النتيجة أكبر من الواحد ، واذا حدث
ان المقطع السينى = المقطع الصادى فإن النتيجة واحد تماماً

مما سبق نذكر ما يلى :

اذا كانت الدالة د(س) = 2^س  فإن : دَ(0) ≈ 0.6931

اذا كانت الدالة د(س) = 2^س فإن : دَ(0) ≈ 1.0986

الإستنتاج : كلما زاد الأساس كلما كانت : دَ(0) أكبر .

أى أننا نريد عدد ما (اساس للدالة) ما بين الـ 2  ،  3
بحيث تكون عنده : دَ(0) = 1 

السؤال هل يهمنا ما هو العدد ؟

فى الحقيقة هذا لا يهم الآن (فيما بعد ربما نستخدمه)

الأهم هو : اننا تيقنا من أنه يوجد عدد ما بين الـ 2 ، 3
تتحقق عنده أن  دَ(0) = 1

بعد عدة حسابات توصلنا الى أن العدد ≈ 2.71828
وهو العدد النيبيرى ونرمز له بالرمز هـ أو بالإنجليزية e

لماذا بحثنا عن هذا العدد بالذات ؟

لأن هذا العدد يحقق شىء غريب جداً لم يحدث فى تاريخ التفاضل
والتكامل او ان شئت فقل لم يحدث فى تاريخ الرياضيات .

د(س) = هـ^س     ومنها دَ(س) = هـ^س دَ(0)

دَ(س) = هـ^س × 1  اذاً : دَ(س) = هـ^س

يتحقق من خلال ذلك أن : د(س) = دَ(س)

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
اللوغاريتم الطبيعى :

قولنا أن مشتقة هـ^س هى نفسها .. ماذا عن 2^س ؟
او بصفة عامة ماذا عن مشتقة أ^س حيث أ عدد حقيقى
موجب فيما عدا هـ ؟

الإجابة هى اللوغاريتم الطبيعى :

د(س) = أ^س

يمكن أخذ لط للطرفين .. ونكمل ولكن هذا يخرجنا عن سياق
المسألة حيث أننا لم نتتطرق بعد لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى

ولكن يمكن وضع الدالة أ^س فى صورة دالة للأساس هـ

من خصائص اللوغاريتمات ينتج أن : أ = هـ^لوأ
                                                    هـ

يعنى : أ = هـ^لط(أ)   برفع الطرفين للقوى س .


أ^س = [هـ^لط(أ)]^س   ومن خصائص الأسس ينتج :


أ^س = هـ^[لط(أ) س]     اليس أ^س = د(س)  ؟


اذاً : د(س) =  هـ^[لط(أ) س]  تحولت الى دالة الأس الطبيعى


بتطبيق (قاعدة chain rule)


دَ(س) = لط(أ) هـ^[لط(أ) س]

اليس : هـ^[لط(أ) س] = د(س) ؟

اذاً : دَ(س) = لط(أ) د(س)

أو :  دَ(س) = لط(أ) أ^س

مثال : اذا كانت : د(س) = 3^س فإن دَ(س) = لط(3) × 3^س

اذا كانت الدالة : د(س) = هـ^س فإن دَ(س) = لط(هـ) × هـ^س

ولكن لط(هـ) = لوهـ = 1  
                   هـ

اذاً : دَ(س) = هـ^س

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
مشتقة الدالة العكسية لـ هـ^س (دالة اللوغاريتم الطبيعى)

حتى لا أدخلك معى فى متاهات مثل كل مرة :)

ببساطة ويسر الدالة العكسية هى دالة اللوغاريتم الطبيعى
واعتقد إنك لم تدرس اللوغاريتمات بعد فى المدرسة لذلك
اذا وجدت صعوبة فى فهم ذلك فأجله الى حين آخر .

اذا قولنا : س = هـ^ص 

ايجاد ص بدلالة س (هذه هى الدالة العكسية)
نقول بأخذ لط للطرفين .

لط (س) = لط هـ^ص   ومن خصائص اللوغاريتمات ينتج أن :

ص = لط (س)       او    د(س) = لط (س)

كيف نشتق هذه الدالة ؟   نرجعها لأصلها (دالة أس طبيعى)

بما أن : د(س) = لط (س)  اذاً س = هـ^د(س)

لاحظ الأس هنا دالة فى س :::: وهنا نذكر أن

مشتقة هـ^د(س) = دَ(س) هـ^د(س)

حسب قاعدة (chain rule)

اذا كانت : س = هـ^د(س) نشتقة الطرفين بالنسبة لـ س

1 = دَ(س) هـ^د(س)    ولكن د(س) = لط (س)  اذاً


دَ(س) هـ^ لط(س) = 1   ولكن هـ^ لط(س) = س


                                                  1
اذاً : دَ(س) س = 1  ومنها : دَ(س) = ـــــــــــ
                                                 س


                                       1
اذاً : مشتقة لط (س)  هى  ـــــــــــ
                                     س



                                               دَ(س)
بصفة عامة : مشتقة لط[د(س)] = ــــــــــــــــــ
                                               د(س)                                 

بمعنى اذا كان ما داخل اللوغاريتم دالة فى س فإن :


                 مشتقة ما داخل اللوغاريتم
مشتقته = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                      ما داخل اللوغاريتم


الإثبات : نفرض أن : د(س) = لط[ق(س)]

ومنها : ق(س) = هـ^د(س) نشتق الطرفين بالنسبة لـ س


قَ(س) = دَ(س) هـ^د(س)  ولكن د(س) = لط[ق(س)]


اذاً : قَ(س) = دَ(س) هـ^لط[ق(س)]

اذاً : قَ(س) = دَ(س) ق(س)


                قَ(س)
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــ
               ق(س)

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بعض التطبيقات على اللوغاريتم الطبيعى :-

قلت فى خطوات سابقة أن :

د(س) = أ^س

يمكن أخذ لط للطرفين .. ونكمل ولكن هذا يخرجنا عن سياق
المسألة حيث أننا لم نتتطرق بعد لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى

الآن وبعد معرفتنا بمشتقة اللوغاريتم الطبيعى نأخذ لط للطرفين :


لط د(س) = لط أ^س ومنها لط د(س) = س لط(أ)

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س ينتج :

  دَ(س)
ـــــــــــــــ = لط(أ)  ومنها دَ(س) = لط(أ) د(س)
 د(س)


اذاً : دَ(س) = لط(أ) د(س)

بنفس الطريقة نثبت أنه اذا كانت : د(س) = هـ^ق(س)

فإن : دَ(س) = قَ(س) هـ^ق(س)

الإثبات : د(س) = هـ^ق(س)  بأخذ طل للطرفين

لط[د(س)] = لط[هـ^ق(س)]

لط[د(س)] = ق(س)     (راجع خصائص اللوغاريتمات)

نشتق الطرفينب بالنسبة لـ س

  دَ(س)
ــــــــــــــــ = قَ(س)
 د(س)


اذاً : دَ(س) = قَ(س) د(س)

دَ(س) = قَ(س) هـ^ق(س)


.......................................................................

هل تعلم ما هى مشتقة د(س) = س^س   ؟

بأخذ لط للطرفين : لط[د(س)] = لط س^س

لط[د(س)] = س لط (س) وبتطبيق قاعدة الضرب فى المشتقة .


   دَ(س)                                 1     
ــــــــــــــــــ = لط (س) + س× ــــــــــــ
  د(س)                                س


       دَ(س)
اذاً : ـــــــــــــ = 1 + لط (س)
      د(س)



ومنها : دَ(س) = د(س) [ 1 + لط (س)]  ولكن د(س) = س^س


اذاً : دَ(س) = س^س  [ 1 + لط (س)]


هل تعلم ما هى مشتقة د(س) = س^س^س ؟ .. جربها بنفسك .

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
طرق عددية لحساب العدد النيبيرى :

كيف توصل جاكوب برنوللي إلى هذا العدد ؟

يحتاج إلى الأمر إلى شيء من المقدمة في
 الفائدة المركبة (Compound Interest)..


لنفرض أن شخصاً أودع مبلغاً من المال مقداره س في البنك
 ، وهذا البنك يعطي فائدة سنوية مقدارها ف ،
 والفائدة تضاف كل سنة .. كيف ذلك ؟


لنفرض أن الرجل ترك مبلغ 100 دولار 5 سنوات بفائدة
سنوية 10% .. بعد السنة الأولى .. سيكون المبلغ الكلي :

100 + (0.1 × 100) = 110

بالرموز نقول : س + ف س = س (1 + ف)

في السنة الثانية : س(1+ف) + ف س(1+ف)

= س (1+ف) (1+ف) = س (1+ف)²

... وهكذا .. بعد خمس سنوات تكون الفائدة

س (1+ف)^5   وبعد ن من السنوات : تكون :

س(1+ف)^ن

حيث س = المبلغ المودع ، ف = الفائدة المركبة

لكن هذا فى حالة أن الفائدة تضاف سنوياً،، ماذا
لو كانت الفائدة تضاف شهرياً ؟
                                                        0.1
ستجد أن الناتج فى نهاية السنة =س(س + ــــــــ)^12
                                                        12


الآن ماذا لو كانت الفائدة تضاف يومياً ؟ فإن فى خلال سنة

                       0.1
يكون : س(س + ــــــــــ)^365
                       365


ماذا لو كانت الفائدة تضاف بشكل مستمر (لحظة بلحظة) ..
يكون لدينا فائدة مركبة مقدارها :

                           0.1
نهـــــــا س (س + ـــــــــــــ)^ن
 ن←∞                   ن

فكر برنوللي فيما إذا كانت الفائدة 100% سنوياً والمبلغ الأصلي
دولاراً واحداً .. فإذا كانت الفائدة تضاف شهرياً فسنحصل على
2.613 تقريباً في نهاية السنة ، وإذا كانت إضافة الفائدة يومية
 فإن سنحصل على 2.715 تقريباً في نهاية السنة

لاحظ برنوللي أن المتتالية السابقة تتقارب إلى عدد بعينه ..

وإذا كانت الفائدة تضاف بش كل مستمر ( في كل لحظة ) ..
فإننا سنحصل على .

                    1
نهـــــــا  (1 + ــــــــ)^ن
 ن←∞           ن


يمكنك أن تجرب بالآلة الحاسبة ضع مثلاً ن = 100

           1
(1 + ـــــــــــ)^100  ≈ 2.7
         100


ضع ن = 1000

           1
(1 + ــــــــــــ)^1000 ≈ 2.7169
        1000



وأخيراً  نقول إن العدد النيبيرى عدد غير نسبى ويمكننا
الإستمرار هكذا الى لا نهاية من الأعداد العشرية ...


                    1
نهـــــــا  (1 + ــــــــ)^ن ≈ 2.718281828
 ن←∞           ن

طالع اثبات الصيغة من هنا

........................................................
إستعمال متسلسلة ماكلورين لنشر الدالة هـ^س

د(س) = هـ^س  ، دَ(س) = هـ^س ، دً(س) = هـ^س

وهكذا فإن المشتقة النونية أيضاً = هـ^س

                             س²         س³   
هـ^س = 1 + س + ـــــــــــ + ــــــــــــ + ....
                              2!          3!


وبوضع س = 1  للطرفين  :


                      1          1           1
هـ = 1 + 1 + ــــــــــ + ـــــــــ + ــــــــــ + ....
                     2!         3!          4!


          ∞         1                  
هـ = سيجما ــــــــــــــ
        ن=0       ن!

تابع القراءة