2 اوجد صيغة تكرارية لتكامل ظا^ن(س) دس

نبدأ من التكامل التالى ...
                 
∫ظا(س) دس = ∫جاس/جتاس دس

= -لط|جتا(س)| + ث
((لأن البسط عبارة عن مشتقة المقام اذا ضربنا التكامل فى -1))
ولكن من خصائص الللوغاريتمات ينتج أن :

-لط|جتا(س)| + ث = لط|1/جتا(س) + ث

= لط|قاس| + ث     .. اذاً

∫ظا(س) دس = -لط|جتاس|+ث = لط|قاس|+ث

نضع ن=2

∫ظا²س دس = ∫(قا²س - 1) دس     (( متطابقة مثلثية))

= ∫قا²س دس - ∫دس

= ظاس - س + ث

كما رأيت فإن تكامل ظا²س تكامل يسهل حسابه من هنا نستغل هذه
 الميزة ونبدأ بتجزءى الأسس ن على هذا الأساس ..

∫ظا^ن(س) دس = ∫ظا^(ن-2)(س) ظا²س دس

= ∫ظا^(ن-2)(س) (قا²س - 1) دس

= ∫ظا^(ن-2)(س) قا²س دس - ∫ظا^(ن-2)(س) دس

التكامل الأول عبارة عن حاصل ضرب دالة مضروبة فى مشتقتها ..

الدالة هى ظا(س) ومشتقتها هى قا²س

اما التكامل الثانى ما هو الا حالة تكرارية لنفس حالة
التكامل الأساسى (بمعنى كرر نفس الخطوات)

((ضيف لأس الدالة ظا^(ن-2)(س) واحد واقسم على الأس الجديد))

اذاً :

∫ظا^ن(س) دس

      1
= ــــــــــ ظا^(ن-1) (س) - ∫ظا^(ن-2)(س) دس
    ن-1

التكامل الثانى يمكن تكامله بنفس الطريقة ..


∫ظا^(ن-2)(س) دس = ∫ظا^(ن-4)(س) ظا²س دس


= ∫ظا^(ن-4) (س) دس (قا²س - 1) دس

=  ∫ظا^(ن-4) (س) قا²س دس - ∫ظا^(ن-4) (س) دس

      1
= ــــــــــ ظا^(ن-3) - ∫ظا^(ن-4) (س) دس
     ن-3

عوض فى التكامل الأصلى ...


∫ظا^ن(س) دس

      1
= ــــــــــ ظا^(ن-1) (س) - ∫ظا^(ن-2)(س) دس
    ن-1


      1                             1
= ــــــــــ ظا^(ن-1) (س) - ـــــــــ ظا^(ن-3) (س)
    ن-1                           ن-3

+ ∫ظا^(ن-4)(س) دس

ما معنى (زائد) ؟ المعنى ان هذا التكامل يطعى

1\(ن-5) ظا^(ن-5) (س) - ∫ظا^(ن-6)(س) دس

ومن هنا نلاحظ أن :

                          
∫ظا^ن(س) دس =
                        
  1                             1
ـــــــــ ظا^(ن-1) (س) - ــــــــ ظا^(ن-3) (س)
 ن-1                         ن-3

      1                      1
+ ــــــــــ ظا^(ن-5) - ـــــــــ ظا^(ن-7) + ....+ث
   ن-5                     ن-7

░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░░ْ░

مثال :

∫ظا^6 (س) دس = (1\5)ظا^5 (س) - (1\3)ظا³س + ظاس - س + ث

وهى نفس النتيجة التى تحصل عليها اذا كاملت بالطرق العادية ..

∫ظا^4 (س) (قا²ص - 1) دس

∫ظا^4 (س) قا²س - ∫ظا^4(س) دس

= (1\5)ظا^5(س) - ∫ظا²س (قا²س - 1) دس

= (1\5)ظا^5(س) - (1\3)ظا³س + ∫(قا²س - 1) دس

= (1\5)ظا^5(س) - (1\3)ظا³س + ∫قا²س دس - ∫دس

= (1\5)ظا^5(س) - (1\3)ظا³س + ظاس - س + ث

وفى الأخير نقول ان الصيغة التكرارية هى :

                      ظا^(ن-1)
ظا^ن(س) دس = ـــــــــــــــ - ∫ظا^(ن-2) دس
                        ن-1

ولكن ماذا لو كان الأس عدداً فردياً ؟

مثال :

∫ظا^5 (س) دس = (1\4)ظا^4(س) - ½ظا²س +لط|قاس| + ث

وهى نفس النتيجة التى تحصل عليها لو كاملت بالطرق العادية ..

∫ظا^5 (س) دس = ∫ظا³س (قا²س - 1) دس

= ∫ظا³س قا²س -س - ∫ظا³س دس

= (1\4)ظا^4(س) - ∫ظاس (قا²س - 1) دس

= (1\4)ظا^4(س) - ∫ظاس قا²س دس +∫ظاس دس

= (1\4)ظا^4(س) - ½ظا²س + لط|قاس| + ث

وهنا يكون الفرق أنه اذا كان الأس زوجياً فإن آخر حد
من حدود هذا المنشور هو س ، وان كان الأس فردياً
فإن آخر حد من هذا المنشور هو لط|قاس|
لأن تكامل ظاس = لط|قاس|

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

وهنا تلاحظ شىء هام جداً (للتأكد من الحل)

اذا كان الأس زوجياً فإن عدد الحدود =

(قيمة الأس)÷2   + 1

واذا كان الأس فردياً فإن عدد الحدود =

(قيمة الأس+1) ÷ 2

(طبعاً هنا لم احسب الثابت ضمن الحدود)

لاحظ ايضاً اشارات الحدود كيف تكون

+  -  +  -  +  -  +  .....

لاحظ الترتيب فى الأسس : كل أس اقل
من السابق له بمقدار 2 .. وهكذا لاحظ
الترتيب فى العوامل :

1/(ن-1) ثم 1/(ن-3)   .... 1/(ن-5) ....

وهكذا المقام هو : ن - عدد فردى

فى ترتيب جيد  .. مجموعة الأعداد الفردية هى

{1 ، 3 ، 5 ، 7 ، ......}

مرتبة ترتيب جيد ..

تابع القراءة

0 اثبات نظرية ذات الحدين

يمكنك اثبات النظرية بطرق مختلفة منها بالإستقراء الرياضى 

على درجة الأس، بعد ان تكون قد لاحظت عوامل الحدود بعد
النشر شكلها كيف يكون، وما هو الشكل الأساسى الذى تتخذه
بحيث تلاحظ ان عوامل ذات الحدين عبارة عن توافيق مرتبة ترتيب
جيد يبدأ من الصفر وهم (ن ق 0) ، (ن ق 1) ، (ن ق 2) ، .... ، (ن ق ن)
وتذكر ان : (ن ق 0) = (ن ق ن) = 1

الآن : الصيغة العامة للنظرية فى شكل مجموع هى :

                     ن   ن
(س+أ)^ن = سيجما  ق أ^ك س^(ن-ك)
                   ك=0     ك

بوضعك ن = 0 او ن=1 تجد ان العلاقة صحيحة
يمكنك وضع ن=2
   
             2                2             2
(س+أ)² = ق أ^0 س² + ق  أ س + ق أ²
                0                 1             2


= س² + 2أس + أ² وهى علاقة صحيحة ...

والآن نفرض أن العلاقة صحيحة فى حال بدلنا
ن بـ ن+1  ونريد ان نصل الى الشكل التالى ..

                   ن+1   ن+1
(س+أ)^ن = سيجما  ق   أ^ك س^(ن+1-ك)
                   ك=0    ك


نأخذ الصيغة الأساسية و نضرب الطرفين فى (س+أ)

                                     ن    ن
(س+أ)^(ن+1) = (س+أ) سيجما  ق أ^ك س^(ن-ك)
                                   ك=0     ك

       ن   ن                                 ن    ن
= سيجما  ق أ^ك س^(ن+1-ك) + سيجما  ق أ^(ك+1) س^(ن-ك)
     ك=0    ك                              ك=0    ك

الآن نفصل الحد الأول من المجموع الأول والحد الأخير من المجموع الأخير
اى انك تأخذ الحد الذى فيه ك=0 من المجموع الأول، وتأخذ الحد الذى
فيه ك=ن فى المجموع الثانى، فينتج لدينا الآتى ..

       ن    ن                                 ن    ن
= سيجما  ق أ^ك س^(ن+1-ك) + سيجما  ق أ^ك س^(ن+1-ك)
     ك=1    ك                             ك=1   ك-1

   ن                   ن
+  ق س^(ن+1) + ق  أ^(ن+1)
      0                    ن

ما الذى حدث ؟ الذى حدث هو اننا نريد ان نجعل المجموع الأول كالمجموع
الثانى ويكون الفرق فقط فى التوافق (اى فى العوامل) بحيث يسهل جمعهم
وعندما فصلنا الحد الذى فيه ك=ن من المجموع الثانى بدئنا من ك=1 وبدلنا
ك بـ ك-1 لماذا ؟ لأنك عندما تعتقد ان الحد الأول يكون عندما ك=1 بمجرد اننا
انقصنا حد من المجموع تكون مخطىء لأن الحد الأول يكون عندما ك=0
اذاً انت اما مشكلة كيف نوفق بين الحد الذى حذفناه وبين الحفاظ على
صيغة المجموع صحيحة ؟ لذلك بدلنا ك بـ ك-1 هذه من جهة .. من جهة أخرى
ك هنا تعبر عن الرتبة التى يتخذها الحد بناء على درجة الأس للعد (أ)، وانت
تعلم ان الحد الأول فيه أ^0 وليس أ^1 ، وبصفة عامة خذها قاعدة عند فصل
الحد الأول من المجموع نبقى صيغة المجموع كما هى، ولكن عند فصلك
للحد الأخير فيجب تغيير ك بـ ك-1 (خطوة للحفاظ على المجموع يكون صحيح)

والآن استعمل متطابقة باسكال والتى تقول  :

ن       ن         (ن+1)
 ق  +  ق  =       ق   وبجمع المجموعين أعلاه تحصل على ..
  ك     ك-1           ك


          ن    (ن+1)                            ن                   ن
=     سيجما  ق    أ^ك س^(ن+1-ك) +  ق س^(ن+1) + ق  أ^(ن+1)
        ك=1      ك                                 0                   ن

                ن                    ن
ولكن الحدين  ق س^(ن+1) + ق  أ^(ن+1)  ما هما الا الحد الأول والأخير
                  0                    ن

من هذا المجموع، بحيث ان الحد الأول يحول بداية قيمة ك من 1 الى 0
الومجموع الثانى يحول المجموع من ن الى ن+1  فيتكون الصيغة النهاية هى :

                        (ن+1)  (ن+1)
(س+أ)^(ن+1) = سيجما     ق  أ^ك س^(ن+1-ك)
                         ك=0       ك

اذاً العلاقة صحيحة من أجل ن+1   .... اذاً

                     ن   ن
(س+أ)^ن = سيجما  ق أ^ك س^(ن-ك)
                   ك=0     ك

وفى الحقيقة يمكنك اثبات النظرية بطرق أخرى .. منها طريقة
جربتها وتحققت منها وهى عن طريقة نشر الدالة (س+أ)^ن
بمنشور ماكلورين ..

نفرض أن : د(س) = (س+أ)^ن   ومنها د(0) = أ^ن

دَ(س) = ن(س+أ)^(ن-1)   ومنها  دَ(0) = ن أ^(ن-1)

                                             ن
وهكذا تستطيع ان القول أن : دً(0) = ل ن أ^(ن-2)
                                              2

وبصفة عامة المشتقة التى رتبتها ك عند الصفر هى :

              ن
د^ك(0) = ل ن أ^(ن-ك)   .. والآن نقوم بنشر الدالة ..
              ك

        
د(س) = أ^ن + ن أ^(ن-1) س + (ن ل 2)/2! س² + (ن ل 3)/3! س³ + .... + (ن ل ن)/ن! س^ن

  ن              ن                     ن
=  ق س^ن + ق أ س^(ن-1) + ق أ² س^(ن-2) + ..... + أ^ن
       0             1                     2


أى أن :   
                     ن    ن
(س+أ)^ن = سيجما  ق أ^ك س^(ن-ك)
                   ك=0     ك

تابع القراءة

0 ما هى الاشكال التى تتخذها اشكال المنحني التكعيبي ؟

رسم1

رسم2

رسم3

هذا سؤال جيد ...

الصورة العامة لدالة من الدرجة الثالثة :

د(س) = أس³+ب س² + جـ س + د

حيث كلاً من أ،ب،جـ،د أعداد حقيقية، أ≠0

هذه الدالة تتميز بصفة غريبة جداً ومميزه وهى لابد
من وجود صفر حقيقى على الأقل يحققها، ويمكن
اثبات ذلك بصيغة كاردان، او صيغة كاردان المعممة .

الإحتمالات الممكنة لمجموعة الأصفار الحقيقية للدالة :

1) صفر واحد للدالة، ورسمها عبارة عن نصف منحنى
أعلى واسفل محور تماثلها فى اتجاهين متضادين ..

2) صفرين للدالة، او ثلاثة أصفار حقيقية، وكلاهم عبارة
عن منحنيين متلاصقين، تقعرهم فى اتجاه مختلف
(اى واحدة مقعرة لأعلى والأخرى لأسفل)، والفرق بين
الأولى (صفرين) هى انها تتقاطع مع محور السينات فى
نقتطين، بينما الثانية فتتقاطع فى ثلاث نقاط ..

مثال على الحالة الأولى :

د(س) = س³+س²+س+1

عند حلك : س³+س²+س+1 = 0

فتجد ان س=-1 حل وحيد حقيقى للدالة ..

شكل الدالة (رسم 1)

الحالة 2 : مثال قم برسم الدالتين التاليتين ..

د(س) = س³ + س² - س - 1

عند حلك لها تجد اصفار الدالة = 1 ، -1  (رسم 2)

دالة أخرى : د(س) = س³ -2س² - س + 2

(س-1)(س² -س-2) = س³ - س² -2س - س² + س + 2

= س³ -2س² - س + 2

لتجد ان اصفار الدالة هما -1 ، 1 ، 2   (رسم 3)

هندسياً وتعرفنا ما الذى، لكن جبرياً كيف نفسر الأمر ؟

لنأخذ كل حالة ونفند فيها : مثلاً الحالة الأولى ...

د(س) = س³+س²+س+1

ونجرى عليها بعض العمليات الجبرية ..

بإضافة 2س² + 2س وطرحها مرة ثانية .. وهذا
لأننا نريد الوصول الى الشكل الذى تتخذه نظرية
ذات الحدين للمكعب الكامل ..

س³+3س²+3س²+1 -(2س²+2س)

= (س+1)³ - 2س(س+1) بأخذ (س+1) مشترك ...

= (س+1)[(س+1)² - 2س]

= (س+1)(س²+2س+1-2س)

= (س+1)(س²+1)

من هنا نجد ان هناك صفر واحد حقيقى وهو س=-1
والقوس الثانى ليس له تحليل فى ح اذاً الشكل الذى
تتخذه الدالة هو شكل الحالة الأولى .. هذه طريقة
الطريقة الثانية (وهى الأصح) نحاول وضع الدالة على
الصورة (أس+ب)³ + جـ بحيث اذا كان :(أس+ب)³ + جـ=0

فإن : (أس+ب)³ = -جـ ومنها نحصل على الحل الحقيقى

أس+ب = (-جـ)^(1\3) 

أس = الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب

           الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب    
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       أ

ويمكن اثبات انه صفر وحيد للدالة بالتحليل ..

(أس+ب)³ + جـ=0

(أس+ب)³ + (جـ^1\3)³ = 0

[أس+ب+(جـ^1\3)][(أس+ب)² - (جـ^1\3) (أس+ب) + (جـ^1\3)²] = 0


اما : [أس+ب+(جـ^1\3)] = 0  ومنها نحصل على الصفر الحقيقى

           الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب    
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       أ


واما : [(أس+ب)² - (جـ^1\3) (أس+ب) + (جـ^1\3)²] = 0

[أ²س²+2أب س+ب² - أ(جـ^1\3)س - (جـ^1\3)ب +(جـ^1\3)²] = 0

[أ²س² +[2أب - أ(جـ^1\3)]س + (ب² - (جـ^1\3)ب +(جـ^1\3)²)] = 0

المميز = [2أب - أ(جـ^1\3)]² - 4أ²[ب² - (جـ^1\3)ب +(جـ^1\3)²]

نضع (جـ^1\3) = ن  للتبسيط ..

المميز = [2أب - أن]² - 4أ²[ب² - ن ب +ن²]

= [4أ²ب² -4أ² ن ب +أ²ن² - 4أ²ب² +4أ² ن ب - 4أ² ن²]

= أ²ن² - 4أ² ن² ≤ 0

وبما ان المميز أقل من الصفر، اذاً لا توجد أصفار حقيقية
فى القوس الآخر .. اذاً يوجد صفر وحيد فقط وهو  :

           الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب    
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       أ

ولكن : قد تقول ربما تتحق حالة المساواه فى
المتباينة : أ²ن² - 4أ² ن² ≤ 0 عندما جـ = 0
وهذا شىء صحيح وبديهى .. نعوض فى الصورة العامة
بعد وضعك جـ = 0

د(س) = (أس+ب)³  الآن اوجد اصفار الدالة ..


(أس+ب)³ = 0  ومنها أس+ب=0

                    -ب
ومنها : س = ـــــــــــ وهو نفس الحل الذى تحصل عليه
                     أ

عند تعويضك فى الحل الوحيد س بوضعك جـ = 0

           الجذر الثالث لـ(-جـ) - ب      -ب
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ
                       أ                         أ

الإستنتاج: ان استطعنا وضع الدالة من الدرجة الثالثة
على الشكل : د(س) = (أس+ب)³ + جـ فإن هناك
صفر حقيقى وحيد فقط يحققها، من أجل أ ، ب ، جـ
أعداد حقيقية ، أ≠0

د(س) = (أس+ب)³ + جـ  اشتق الطرفين بالنسبة لـ س

دَ(س) = 3أ(أس+ب)² = 0  لإيجاد النقاط الحرجة

                                               -ب
اذاً : يوجد نقطة حرجة عند س = ـــــــــــــ
                                               أ

والآن نوجد نقاط الإنعطاف ...
                                                      -ب
دً(س) = 6أ²(أس+ب) = 0 ومنها س = ـــــــــــ
                                                       أ

نقطة اتعطاف للدالة، من هنا نرى ان هذه النقطة هى
التى تفصل عندها الدالة منحنى أعلى ومنحنى أسفل
كما هو واضح بالرسم، وهى مركز تماثل الدالة ..
وتلاحظ انه اذا كان معامل س موجب فإن المشتقة تكون
دائماً موجبة، وبالتالى تكون الدالة تزايدية على مجالها
بينما لو كان معامل س سالباً تكون المشتقة الأولى
دائماً سالبة، وبناء عليه الدالة تناقصية على مجالها ..

ايضاً : نلاحظ تكون الدالة على الصورة (أس+ب)³ + جـ فردية
اذا كات تمر بنقطة الأصل (0،0) غير ذلك فهى ليست وليست ...

وحتى لا نعيد الخطوات مرة ثانية، لاحظنا ان الدوال التى لها صفر
واحد فإنها تأخذ شكل رسم1 ، بينما اذا كان لها صفرين تأخذ شكل
رسم2 ، واذا كان لها ثلاثة أصفار تأخذ شكل رسم2 ، وطبعاً اقصد
بالأصفار هنا (اصفار حقيقية)

............... الإستنتاج السهل جبرياً ....................

الصورة العامة هى : د(س) = أس³+ب س² + جـ س + د

حيث كلاً من أ،ب،جـ،د أعداد حقيقية، أ≠0

دَ(س) = 3أس² + 2ب س + جـ = 0 لإيجاد النقاط الحرجة

اذا كان مميز المشتقة = 0  او سالباً يكون للمعادلة حل وحيد
او ليس لها حل فى ح وبناء عليه لها نقطة حرجة واحدة او
لا تملك نقاط حرجة .. اذاً رسمها يأخذ رسم1

بينما اذا كان مميز المعادلة موجباً، اذاً المعادلة لأساسية تملك
نقتطين حرجتين، وبناء عليه الرسم يكون اما رسم2 او 3

والآن نوجد المميز :

المميز = 4ب² - (4×3أ×جـ) = 4ب² - 12أجـ
....................................................................
مثال 1)
          د(س) = س³+س²+س+1

فيها : أ = ب = جـ = 1
      
نختبر قانون المميز = 4ب² - 12أجـ = 4(1)² - 12(1)(1) = 4 - 12 = -8

بما ان المميز سالباً  .. اذاً شكل الدالة يأخذ نفسك نموذج سم1

مثال2)    د(س) = س³ + س² - س - 1

4ب² - 12أجـ = 4(1)² - 12(1 × -1) = 4 + 12 = 16

بما ان المميز موجباً : اذاً شكل الدالة يأخذ نفس نموذج رسم2 او 3
      

تابع القراءة

0 اثبات نظرية ليبنتز للمشتقة النونية لحاصل ضرب دالتين

تهتم الطريقة فى الأساس للمشتقات العليا لحاصل

 ضرب قالبتين للإشتقاق ن مرة عن طريقة قاعدة محصلة

 الضرب product rule ، ولنفرض ان الدالتين هما د ، ر فإن

            

                   ن   ن

(د×ر)^ن = سيجما ق د^(ن-ك) ر^ك

                   ك     ك

حيث ن هنا (ليست اس) لكن المقصود منها درجة المشتقة ..

وكما لاحظت فهى نفس عوامل نظرية ذات الحدين، ونفس الشكل أيضاً ..

الإثبات يكون بالإستقراء الرياضى على ن ، ويمكنك
ان تبدأ بالجربة بنفسك، لتكن الدالتين هما د ، ر

(د×ر) َ = دَ ر + د رَ

وهى صحيحة فى هذه الحالة .. لاحظ لفظة اس ن لا تعنى (اس)
بالمعنى الذى تعرفه ولكن تعنى المشتقة النونية، مثلاً الأولى ، الثانية
الثالثة ... وهكذا ، وايضاً لاحظ ر ليست فوقها شرطة وتعنى المشتقة
الصفرية (والتى تكافىء الدالة نفسها) .. اذا ما جمعت المشتقة الأولى
مع المشتقة الصفرية تعطيك العدد 1 ، وايضاً لاحظ العوامل 1 ، 1

لأن : 1                     1
         ق = 1    و        ق = 1
           0                   1

اشتق مرة ثانية (يعنى ضع ن = 2)

(د×ر) ً = دً ر + دَ رَ + دَ رَ + د رً

= دً ر + 2دَ رَ + د رً

نفس الصيغة التى تحصل عليها عند تربيع هذا المقدار

(س+ص)² = س² + 2س ص + ص²

اذاً انت بحاجة فقط للتعرف على عوامل نظرية ذات الحدين ...

اشتق مرة ثالثة ..

د"'(د ر) َ = د"' ر + دً رَ + 2دً رَ + 2دَ رً + دَ رً + د ر"'

= د"' ر + 3د"ر' + 3د'ر" + د ر"'

وبصفة عامة اذا كانت ن هى درجة المشتقة :

                   ن    ن
(د×ر)^ن = سيجما  ق د^(ن-ك) . ر^ك
                 ك=0    ك

         ن              ن!
حيث :   ق = ـــــــــــــــــــــــــ
            ك      ك! (ن - ك)!

الإثبات (فرضنا ان الفرضية صالحة فى حالة ن =1 ، 2 ، 3 ، ...

والآن نفرض ان العلاقة صالحة فى حالة بدلنا ن بـ ن+1
هذا يعنى تماماً اننا نوجد المشتقة التى درجتها ن+1 للطرفين
بمعنى اننا نشتق العلاقة السابقة الطرفين ......... بحيث نصل
لنفس الصيغة من أجل ن+1 تكون العلاقة صحيحة .. عن طريقة
بعض المهارات الجبرية المتقدمة ..

                         ن     ن
(د×ر)^(ن+1) = [سيجما  ق د^(ن-ك) . ر^ك ] َ
                        ك=0     ك

ولكن التوافيق هنا عبارة عن عدد ثابت .. اذاً

       ن    ن                       
= سيجما ق [ د^(ن-ك) . ر^ك]  َ
    ك=0    ك

الآن طبق قاعدة محصلة الضرب product rule

      ن     ن
= سيجما  ق [د^(ن+1-ك) ر^ك + د^(ن-ك) ر^(ك+1)]
     ك=0    ك


       ن    ن                               ن    ن 
= سيجما  ق د^(ن+1-ك) ر^ك + سيجما ق د^(ن-ك) ر^(ك+1)
     ك=0    ك                          ك=0    ك

لاحظ ليست هذه هى الصيغة التى نريدها، وتركيزك على  الأسس فى
كلتا المجموعين ..بحيث نريد ان اس (د) هو ن+-ك  ، واس (ر) هو ك
وايضاً نريد ان نحافظ على شكل علامة السيجما كما هى حد انى - حد أعلى
بحيث انك تعلم اننا اذا قولنا س + س² فهنا لا يجوز الجمع، بينما لو قولنا
3س + 2 = 5س   .. القضية تشبه هذا المعنى كثيراً

      ن      ن                               ن     ن                             ن                 
= سيجما   ق د^(ن+1-ك) ر^ك + سيجما   ق  د^(ن+1-ك) ر^ك + ق د^(ن+1) ر
    ك=1      ك                           ك=1    ك-1                            0           
 ن
ق + ق د ر^(ن+1)
ن

اعلم انك فى غاية الإرتباك الآن .. لكن الموضوع ابسط من ذلك، فلكى نجعل المجموع
الثانى (درجات مشتقاته) نفس المجموع الأول كان يجب علينا ان نفصل الحد الأخير
منه والذى يكون عندما ك=ن وهو الحد : (ن ق ن) د ر^(ن+1) كما قلت لك المشتقة الصفرية
هى الدالة الأساسية .. فلا تظن انك تتعامل مع اسس .. ولكن اذا فصلنا الحد الأخير من المجموع
الثانى فهذا يؤدى الى نقصان فى عدد الحدود بمقدار 1 ، اذاً نريد ان تقف النهاية على الحد الذى
يشتمل على العامل ن ق (ك-1) حسب  نظرية ذات الحدين (هذا هو الحد قبل الأخير) ولكى
يتحقق هذا يجب ان تبدل ك بـ ك-1 فى المجموع الثانى فيتكون لديك ما وجدته بحيث نبدأ من ك=1
كل هذا لغرض الوصول الى شكل معين نريده ، ولكن هذا يجعل المجموع الثانى يبدأ من ك=0 مختلف
عن المجموع الأول، اذاً انت تحتاج ان تفصل حد من المجموع الأول بحيث يبدأ عند ك=1 ولكن اذا
فصلنا الحد الأخير فإن المجموع (درجات مشتقاته ستتغير) وهذا لا نريده، فقمنا فصل الحد الأول
والذى يكون عندما ك=0 ، وهذا ما حدث وهو الحد الذى قيمته (ن ق 0) د^(ن+1) ر

اؤكد مرة أخرى .. مثلاً  5س + 4س = (5 + 4) س
ما الذى حدث ؟؟ ببساطة شديدة جمعنا عوامل س لأنهما لهما نفس الشكل
او نفس درجة الأس ... وهذا ما حدث بالفعل المجموعين متماثلين ولهما نفس
الدرجات التفاضلية، اذاً نأخذ مجموع واحد فقط، ونجمع العوامل ..

                      ن             ن         (ن+1)
مجموع العوامل =  ق      +    ق   =       ق
                          ك          ك-1            ك


هذه قاعدة أساسية فى التوافيق تسمى بقاعدة باسكال يمكنك البحث
عنها او اثبتها لك فى رباط مستقل عن هذا الموضوع ... والآن يتبقى لدينا


   ن    (ن+1)                          ن                   ن
سيجما      ق  د^(ن+1-ك) ر^ك + ق د^(ن+1) ر + ق د ر^(ن+1)
 ك=1         ك                            0                    ن

لاحظ : توافيق اى عدد فوق الصفر دائماً = 1
توافيق اى عدد فوق نفسه دائما ً = 1 

                    ن         (ن+1)           ن      (ن+1)
وهذا يعنى أن :   ق   =       ق   وكذلك  ق =       ق
                        0             0             ن          (ن+1)
    

ومن هنا ينتج لنا المجموع السابق بشكل مختلف ..

       ن     (ن+1)                        (ن+1)               (ن+1)
= سيجما      ق  د^(ن+1-ك) ر^ك +    ق د^(ن+1) ر +  ق   د ر^(ن+1)
    ك=1         ك                                0                   (ن+1)

ولكن هذين الحدين المنفصلين ما هما الا الحد الأول والأخير من المجموع سيجما
وتأكد بنفسك .. ضع ك=0  فى المجموع ثم ضع ك=ن+1  ... فنصل الى المشتقة
النونية+1 هى :-

                      (ن+1)   (ن+1)
(د×ر)^(ن+1) = سيجما        ق  د^(ن+1-ك) ر^ك
                      ك=1          ك

اذاً القاعدة صالحة من أجل ن+1

حيث : ن هى درجة المشتقة .. ن تتميز هنا بالتعميم بحيث انه من أجل
المشتقة النونية صحيحة فإن العلاقة ن+1 التى تليها صحيحة أيضاً ...

تابع القراءة

4 ايجاد مساحة القطعة الدائرية

نصف قطر الدائرة = نق
د هى قياس الزاوية بالتقدير الدائرى

العلاقة التى تربط بين التقدير الدائرة وطول القوس
ونصف قطر الدائرة هى :

ل/نق = د   ومنها ل = د نق

حيث ل = طول القوس ..

مساحة القطعة الدائرية = مساحة القطاع الدائرى
- مساحة المثلث المتساوى الساقين الناشىء على الوتر


مساحة القطاع الدائرى = ½ل نق = ½ د نق × نق

= ½ د نق²

مساحة المثلث = ½حاصل ضرب الضلعين×جيب الزاوية المحصور بينهما


= ½ نق² جاد

والآن : مساحة القطعة الدائرية :


= ½ د نق² - ½ نق² جاد

بأخذ ½نق² عامل مشترك ..

= ½نق² (د - جاد)

حيث د قياس الزاوية المركزية بالتقدير الدائرى ..

الآن اذا أعطاك نق والزاوية .. اذاً ومباشرة ً استخدم
الصيغة أعلاه : المساحة = ½نق² (د - جاد)

واذا اعطاك نق والوتر ، او الزاوية والوتر فيمكنك استخدما
نفس القانون، ولكن تحتاج الى ايجاد العلاقة التى تربط
بين الوتر ونصف القطر والزواية بالرديان .. وتوجدها عن
طريق استعمالك لقانون جيب التمام .. نفرض أن طول
الوتر س .. اذاً

س² = نق²+نق² - 2نق×نق جتاد

= 2نق² - 2نق² جتاد = نق² (2 - 2جتاد)

اذاً س = نق جذر(2 - 2 جتاد)

تابع القراءة

0 اوجد مجموع المتتابعة من 1 الى ن التى حدها العام هو ح(ن) = ن×10^ن

نبدأ من مجموع المتتابعة الهندسية الآتية والتى تعتمد
على الأساس س ، والحد الأول لها هو 1


                                           س^(ن+1)  - 1                            
1+س+س²+س³+....+س^ن = ــــــــــــــــــــــــــــ
                                                س - 1

بإشتقاق الطرفين بالنسبة لـ س

                                                         (ن+1) (س-1) س^ن - س^(ن+1) + 1
1 +2س+3س²+4س³+ ... +ن س^(ن-1) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                                            (س-1)²

بضرب الطرفين فى س

                                           (ن+1) (س-1) س^(ن+1) - س^(ن+2) + س
س+2س²+3س³+...+ن س^ن = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                                    (س-1)²

البسط حدوده كثيرة .. نقوم بتبسيطة

 (ن+1) (س-1) س^(ن+1) - س^(ن+2) + س

= (ن+1) [س^(ن+2) - س^(ن+1)] - س^(ن+2) + س

= (ن+1) س^(ن+2) - (ن+1) س^(ن+1) - س^(ن+2) + س

= ن س^(ن+2) - (ن+1) س^(ن+1) + س          ..  اذاً


                                            ن س^(ن+2) - (ن+1) س^(ن+1) + س
س+2س²+3س³+...+ن س^ن = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                             (س-1)²


وبوضع : س = 10  للطرفين يعطيك مجموع المتتابعة التى حدودها
على الشكل : ح(ن) = ن 10^ن

   ن                     ن 10^(ن+2) - (ن+1) 10^(ن+1) + 10
سيجما ك 10^ك = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 ن=1                                          81

تابع القراءة

0 ما هو تكامل (س^4 + 1)/(س^6 + 1) دس ؟

يحل هذا التكامل بالكسور الجزئية، بحيث نلاحظ ان المقام
يمكن تحليله كـمجموع بين مكعبين س^6 + 1 = (س²)³ + 1
ومنها نحصل على :  (س²)³ + 1 = (س² + 1)(س^4 - س² + 1)

   س^4 + 1                     س^4 + 1
ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   س^6 + 1         (س²+1)(س^4 - س² + 1)

الآن البسط معادلة من الدرجة الرابعة، وبناء عليه الفرضيات التى نضعها ستكون كالتالى

            س^4 + 1                                د                    أس²+ب س + جـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــ
   (س²+1)(س^4 - س² + 1)              (س²+1)               (س^4 - س² + 1)

لكل أ ، ب ، جـ ، د أعداد حقيقية   بحيث نكون على يقين من أن التالى يتحقق من أجل س عدد حقيقى


(س²+1)(أس²+ب س + جـ) + د(س^4 - س² + 1) = س^4 + 1  

بوضع س = 0  للطرفين ..

جـ + د = 1                                           (1)    

بوضع س = 1

2(أ+ب+جـ) + د = 2                               (2)
بوضع س = -1

2(أ-ب+جـ) + د =  2                               (3)

بجمع 2 ، 3 ينتج أن :  ب=0

2(أ+جـ) + د = 2                            (من 2 ، 3)

بوضع س = 2

5(4أ+2ب+جـ) + 13د = 17

20أ + 10ب + 5جـ + 13د = 17

20أ + 5جـ + 13د = 17

2أ + 2جـ + د = 2                          (4)  ×  -10

-20أ - 20جـ - 10د = -20  
......................................................

-15جـ + 3د = -3       ÷ -3

5جـ - د = 1                                          (5)
جـ + د = 1                                           (1)

6جـ = 2    ومنها جـ = 1\3        د =2\3

2أ + 2جـ + د = 2 

2أ = 2\3       ومنها  أ = 1\3

            س^4 + 1                               2                       س² + 1
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــ
  (س²+1)(س^4 - س² + 1)              3(س²+1)            3(س^4 - س² + 1)


التكامل الأول معروف (يمكن وضعه فى صورة دالة الظل العكسى) .. ولنأخذ الثانى ونقوم بتبسيطه ..

         س² + 1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ         نقوم بتحليل المقام    .. بإضافة 2س² وطرحها مرة ثانية
   3(س^4 - س² + 1)


س^4 - س² + 1 = س^4 + 2س² + 1 - 3س²  = (س² + 1)² - 3س²

= (س² + 1)² - (جذر(3) س)²           بتحليلك فرق المربعين ..

= [س² + 1 - جذر(3) س][س² + 1 + جذر(3) س]

= (س² - جذر(3)س + 1)(س² + جذر(3)س + 1)


        س² + 1                                    س² + 1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  3(س^4 - س² + 1)       3 (س² - جذر(3)س + 1)(س² + جذر(3)س + 1)


                                            أ                                       ب                  
نفرض أن هذا الكسر = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                               3 (س² - جذر(3)س + 1)         (س² + جذر(3)س + 1)


ومنها : أ(س² + جذر(3)س + 1) + 3ب(س² - جذر(3)س + 1) = س² + 1


بوضعك س = 0 للطرفين ينتج أن :  أ + 3ب = 1                (1)

بوضع س = جذر(3) للطرفين ينتج : 7أ + 3ب = 4              (2)

بضرب (1) × -1

-أ - 3ب = -1       وبجمعها مع (2) ينتج 6أ = 3  ومنها أ = ½  بالتعويض فى (1)

½ + 3ب = 1   ومنها 3ب = ½    اذاً  ب = 1\6           اذاً :-

        س² + 1                              1                                      1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 3(س^4 - س² + 1)        6 (س² - جذر(3)س + 1)        6 (س² + جذر(3)س + 1)


والآن نحلل المقامات بإكمال المربع بحيث نضعها على الصورة : (مربع كامل) + ثابت
عن طريق القاعدة الأساسية المشهورة وهى إضافة (نصف معامل س)²
معامل س = جذر(3)  ،  نصفه = جذر(3)/2   والآن [جذر(3)/2]² = 3\4

الآن : س² - جذر(3)س + 1 = س² - جذر(3)س + 3\4  +1 - 3\4

= [س - جذر(3)/2]² + 1\4   بالمثل نجد أن : س² + جذر(3)س + 1 = [س + جذر(3)/2]² + 1\4


            س^4 + 1                           1
اذاً : ∫ ــــــــــــــــــــــــ دس = (2\3)∫ــــــــــــــــ دس
            س^6 + 1                      س²+1

                          1                                         1
 +(1\6)∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس+(1\6)∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  دس
           [س - جذر(3)/2]² + 1\4                  [س + جذر(3)/2]² + 1\4


ولنأخذ كل تكامل منهم على حدى (وبدون ما نكتب الثابت ث)

              1                        -1
(2\3)∫ــــــــــــــ دس = (2\3) ظا (س)
         س²+1

                       1                                          
(1\6)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس   بضرب المقام كلاً من البسط والمقام فى 4 ولاحظ 4
          [س - جذر(3)/2]² + 1\4          داخل القوس التربيعى تكافىء 2 .

         
                         1
= 4\6 ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس   ولاحظ مشتقة ماداخل القوس = 2  اذاً نقوم بضرب
             [2س - جذر(3)]² + 1        كلاً من البسط والمقام فى العدد 2 .


                              2                                -1
= (4\12) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس = (1\3) ظا [2س - جذر(3)]
                 [2س - جذر(3)]² + 1



وبنفس الطريقة نصل الى أن :

                        1                                   -1
(1\6)∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس = (1\3) ظا [2س + جذر(3)]
         [س + جذر(3)/2]² + 1\4


وأخيراً نقول :

     س^4 + 1              1      -1                          -1                          -1
∫ ــــــــــــــــــــــ دس = ـــــــ [ظا (2س + جذر(3)) + ظا (2س - جذر(3)) + 2ظا (س)] + ث
     س^6 + 1              3

تابع القراءة

0 احسب المساحة الكلية للهرم وحجم الجسم المحصور بين الأسطوانة والهرم

اليك القوانين أولاً :

الهرم الرباعى :

المساحة = مساحة اوجه الأربعه + مساحة القاعدة

الحجم = 1\3 مساحة القاعدة × الإرتفاع

الإسطوانة :

الحجم = ط نق² ع

نق = 10\2 = 5    ،  ع = 10

لك ان تتخيل الشكل المطلوب (كما فى المراجع)

مساحة المثلث = ½ القاعدة × الإرتفاع

ولكن (اى ارتفاع ؟) وتر مثلث فيثاغورث الذى
طولا ضلعى القائمة فيه 10 ، 4  هو ارتفاع
للمثلث الذى طول قاعدته 8 سم

الآن كل مثلثين متقابلين متساويين فى المساحة

ب جـ = 8 

ولكن : أ جـ = 10  (قطر الدائرة)

اذاً ومن مبرهنة فيثاغورث ينتج أن :

(أب)² = جذر(100 - 64) = 6

انصاف الـ 6 ، 8 هما 3 ، 4 على التوالى

لكى نوجد ارتفاعى كل مثلثين متناظرين
نستعمل فقط مبرهنة فيثاغورث ..

ارتفاع المثلث الذى طول القاعدة فيه 8 سم
يتعيم من خلال ايجاد الوتر فى المثلث القائم
الذى طولا ضلعى القائمة فيه هما 10 ، 3

ارتفاعه = جذر(100 + 9) = جذر(109)

ارتفاع المثلث الآخير يتعين من خلال ايجاد
الوتر فى المثلث القائم الذى طولا ضلعى
القائمة فيه هما 10 ، 4

الإرتفاع = جذر(100 + 16) = جذر(116)

مساحة المثلثين المتناظرين (طول القاعدة 8)

= القاعدة × الإرتفاع = 8 جذر(109)

مساحة المثلثين المتناظرين (طول القاعدة 6)

=  القاعدة × الإرتفاع = 6 جذر(116)

مساحة المستطيل = الطول×العرض = 8 × 6 = 48

اذاً المساحة الكلية للهرم =  8 جذر(109) +6 جذر(116) + 48

 ≈ 196 سم²       لأقرب جزء من عشرة
....................................................................
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
المطلوب الثانى :

الحجم المتبقى = حجم الإسطوانة - حجم الهرم

حجم الإسطوانة = ط نق² ع = ط (5)² × 10 = 250ط

حجم الهرم = 1\3 مساحة القاعدة × الإرتفاع

= 48\3  × 10 = 160

اذاً : حجم الجسم المحصور بين الأسطوانة والهرم

= 250ط - 160 ≈ 625.4 سم³

تابع القراءة

0 كيف نختبر نظام مكون من معادلتين فى مجهولين ان لهم عدد لا نهائى من الحلول او لا يلحوا معاً ؟

نختبر الجزء المقطوع من المحور y، اذا كان مختلف فلا يوجد حل لهاتين

 المعادلتين معاً، واذا كان متماثل فإنه يوجد عدد لانهائى من الحلول .

تفسير الطريقة : نقول ان للمعادلتين فى مجهولين انهما لهما عدد لا
نهائى  من الحلول او لا يلحوا معاً اذا وفقط اذا كان m1 = m2 والتى
تفسر فى صورة محدد المصفوفة، حيث كلاً من m1 و m2 ميلى
رسم المعادلتين (فى صورة خط مستقيم)

الحالة الأولى :عدد لا نهائى من الحلول
*****************************
عندما يتطابق المستقيمان، فنعطى تفسيراً لهذا انهم يتقاطعوا فى
عدد لا نهائى من النقاط يترتب عليها عدد لا نهائى من الحلول .

جبرياً : اذا كانت : y = ax + b  فإن الجزء المقطوع من المحور y هو b

اذا كانت هناك معادلتان هما : y = ax + b    و y = ax + b'       ll
الميل = a فى كلتا المعادلتين

هناك عدد لا نهائى من الحلول اذا تحقق

b = b'                  ll

الحالة الأولى :عدد ليس لها حل وحيد على الأقل

فى نفس المثال السابق a = الميل

ولكن : b ≠ b'           ll

وتعنى هندسياً ان الخطان متوازيان (غير متطابقان)
لذلك لم يتقاطعوا فى اى نقطة واحدة على الأقل .


السؤال هو : لماذا b هى الجزء المقطوع من محور y ؟
***********************************
نعلم ان الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم فى
الغالب تكون على الصورة : y = ax + b  بحيث اوجدنا y بدلالة x .
a = المشقتة الأولى للدالة = ميل الدالة ((حاول ان تثبتها بنفسك))

هندساً انظر الشبكة التربيعية لتجد ان الجزء المقطوع من محور y
ان وجد فهو موجود عندما تكون x معدومة القيمة أى x=0 

نعلم من ذلك ان y هى الجزء المقطوع من المحور
y عندما x = 0  .. الآن نضع x = 0

y = a(0) + b   ومنها y = b

تساوى الجزء المقطوع من محور y-axis

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
ليكن لدينا : ax+by=c
             'a'x+b'y=c

وكان : ab'-a'b=0

هنا نضع x=0 فى كلتا المعادلتين فينتج لنا :

by=c  ومنها y=c/b

بنفس الطريقة فى المعادلة الثانية y=c/b'  ll

اذا تحقق أن : c/b = c/b'      ll

فإن هناك عدد لا نهائى من الحلول .

بينما اذا تحقق : c/b ≠ c/b'    ll

فلا يوجد حل لهاتين المعادلتين معاً .
◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄◄

مثال : 3x + 4y = 5
       6x + 8y = 7

الآن : 3*8  - 4*6 = 0

ولكن : 5/4 ≠ 7/8

النتيجة : لا يوجد حل للمعادلتين (معاً)

تابع القراءة

8 هل يمكن ايجاد جذر(7) بدون آلة حاسبة ؟

نعم بالتحليل العددى، واشهر طريقة هى :
طريقة نيوتن رافسون :

نفرض أن : جذر(7) = س

بتربيع الطرفين نحصل على : س² = 7

ومنها : س² - 7 = 0

ما هى القيمة س التى تجعل المعادلة = 0  ؟

نضع المقدار السابق فى صورة دالة :

د(س) = س² - 7

قاعدة نيوتن رافسون :

                            د(س(ن))
س(ن+1) = س(ن) - ـــــــــــــــــــ
                           دَ(س(ن))

دعك من الصيغة فقد تبدو مربكة قليلاً

الصيغة تقول حدد س (اى عدد تشك انه قريب من الناتج)

ثم الصيغة تقول :
                                             قيمته فى الدالة
العدد الذى يليه = العدد السابق له - ــــــ،،،،ــــــــــــــــــ
                                            قيمته فى المشقة


نوجد المشتقة الأولى للدالة :

دَ(س) = 2س

الآن نخمن جذر(7) = ؟  بالتقريب

مثلاً نحن نعلم أن جذر(4) = 2
وجذر(9) = 3

اذاً جذر(7) محصور بين الـ 2 و الـ 3
ولنبدأ بالعدد س = 2

ثم ندرس حالات س (المتغيرة)

              د(2)               -3
س = 2 - ــــــــــــــ = 2 -  ــــــــــ = 2.75
              دَ(2)                4

لاحظ س = 2.75 قريبة ايضاً من جذر(7)

هذه الخوارزمية كررها الى أن تحصل على أعلى
دقة ممكن لجذر(7)

نكرر نفس الخطوات ..

                د(2.75)                0.5625
س = 2.75 - ـــــــــــــ = 2.75 - ــــــــــــــــ
               دَ(2.75)                  5.5


≈ 2.647727273    

وهذا قيمة قريبة معقولة لـ جذر(7)

اذا كتبت جذر(7) على الآلة يظهر لك :

جذر(7) ≈ 2.645751311

وهى قريبة جداً من القيمة التى حصلنا عليها

ولكن كما ترى طريقة ربما تكون طويلة فى البداية
تحتاج منك فقط ان تفمهما جيداً ، وان تتعود على استعمالها
وتوجد ايضاً طريقة أخرى للتقريب وهى مبرهنة القيمة الوسيطة .

بحيث نعطى لـ س قيمتين .. قيمه منهم تجعل الدالة د(س) = س² - 7
موجبة ، والقيمة الأخرى تجعل الدالة سالبة، ومن ثم نجمع س الأول
مع س الثانية ونقسم على 2 .. الناتج الذى يظهر لك عوض به فى الدالة
الى ان تعطيك صفر .. او عدد قريب جداً من الصفر ، تكون وقتها س هى
أقرب ما يمكن للحل ..

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بطريقة القيمة الوسيطة :

(وأقترح عليك هذه الطريق لأنها سهلة الفهم والتطبيق)

نعلم أن جذر(7) محصور بين س = 2   و  س = 3

بالتعويض فى الدالة : د(س) = س² - 7

بحيث نريد س التى تجهل د(س) = 0

د(2) = 4 - 7 = -3
د(3) = 9 - 7 = 2

لاحظ الأولى اعطتنا قيمة سالبة والثانية اعطتنا قيمة موجبة
وهذا شرط اساسى لتطبيق المبرهنة، بحيث تقترح عليك الآتى

                                            2 + 3
نأخذ س المتغير فى هذه الحالة = ــــــــــــــــ = 2.5
                                               2

عوض فى الدالة الأصل ..

د(2.5) = (2.5)² - 7 = -0.75

بما ان القسمة س = 2.5 اعطت قيمة سالبة
اذاً نأخذ آخر قيمة موجبة اعطتها لنا س وهى 3

  2.5 + 3
ـــــــــــــــــــ = 2.75
      2


د(2.75) = 9\16 = 0.5625

نأخذ مع س = 2.75       س  = 2.5

    2.75 + 2.5
ــــــــــــــــــــــــــــــ  = 2.625
          2


د(2.625) = (2.625)² - 7 = -7\64 = - 0.109375


س =  2.625  نأخذ معها  س = 2.75

  2.75 + 2.625          43
ـــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = 2.6875
          2                  16

وهكذا لاحظ كلما كررت التجربة أكثر من مرة كلما تتوصل
الى أعلى دقة ممكن لـ جذر(7)

تابع القراءة

0 لدينا أ³+1\أ³=18 احسب أ²+1\أ²

بتحليلك لمجموع المكعبين :
أ³ + 1\أ³ = (أ + 1\أ) (أ² - 1 + 1\أ²) = 18 
وبتحليل المقدار الثانى :
أ² + 1\أ² = (أ + 1\أ)² - 2 = س  (فرضاً)

من المعادلة الأولى نجد أن :

(أ + 1\أ) (أ² - 1 + 1\أ²) = 18  ومنها

(أ + 1\أ) (س - 1) = 18

                          18
ومنها (أ + 1\أ) = ـــــــــــــــ
                       س - 1

بالتعويض فى المعادلة الثانية :

(أ + 1\أ)² - 2 = س

       18
[ـــــــــــــــــ]² - 2 = س
    س - 1


     324
ـــــــــــــــــــــ - 2 = س
 (س - 1)²

بضرب الطرفين فى (س - 1)²

324 - 2(س-1)² = س(س-1)²

324 - 2(س² -2س + 1) = س(س² -2س + 1)

324 -2س² + 4س - 2 = س³ - 2س² + س

324 -2س² + 4س - 2 - س³ + 2س² - س = 0

-س³ + 3س + 322 = 0

س³ - 3س - 322 = 0

هناك طرق عديدة لحل هذه المعادلة منها بالتقسيم
واسهلها هلى ان تقوم بتحليل الحد المطلق 322 تحسباً
لإحتمالية وجود حلول صحيحة لهذه المعادلة .

بتحليل العدد 322 الى عوامله الأولية ..

322 | 2
161 | 7
23   | 23

بتجربة العدد الأول (2) .. عوض فى المعادلة، ويجب
ان تكون النتيجة بصفر .

(2)³ - 3(2) - 322 = -320  اذاً س = 2 ليست حلاً للمعادلة

جرب الـ 7

(7)³ - 3(7) - 322 = 0  بالفعل س = 7 حلاً للمعادلة

هذا يدل على أن : (س - 7) من عوامل المعادلة

((هذا ان احببت التحليل اكثر ، وليكن فى حقل الأعداد المركبة))
او تستطيع ان تنهى المسألة عند ذلك وتقول :

أ² + 1\أ² = 7

تريد ان تكمل استخدم القسمة المطولة على (س - 7)

 س² + 7س + 46
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  س³ - 3س - 322        | (س - 7)
                               ــــــــــــــــــــــ
  س³ -7س²
............... بالطرح ....................
 7س² - 3س - 322
 7س² -49س
...............بالطرح.....................
    46س - 322
    46س - 322
................ بالطرح .................

    00               00


اذاً : س³ - 3س - 322 = (س - 7) (س² + 7س + 46) = 0

اما س = 7   او   (س² + 7س + 46) = 0

الحل بالقانون العام :

جذر(المميز) = جذر[(7)² - (4×46)] = جذر(-135)

= 3ت جذر(15)   حيث ت وحدة تخيلية = جذر(-1)


          -7 ± 3ت جذر(15)
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ½[-7 ± 3ت جذر(15)]
                  2

لذلك انت لم تحدد منذ البداية الحل فى اى مجموعة :
فإذا كنت تريد الحل فى مجموعة الأعداد المركبة فالحلول هى :

{ 7 ،  ½[-7 + 3ت جذر(15)] ،  ½[-7 - 3ت جذر(15)] }

اما اذا كان الحل فى مجموعة الأعداد الحقيقية فقط فإن :

س = 7    اى ان : أ² + 1\أ² = 7


ملحوظة : طريقة الحل التى وضعتها لا تعنى بالضرورة انها تلك الطريقة الوحيدة، 
 حاول ان تجرب بنفسك ربما تصل الى حلول أخرى ..

تابع القراءة

3 حل المعادلة xy+2x+y=15 فى Z

هذا النوع من المعادلات لها طريقة خاصة للحل
تسمى (المعادلات الديفونتية) من الرتبة الثانية :
وحلها يكون بتلك الطريقة السريعة التى اذكرها لك .

xy+2x+y=15

نوجد القاسم المشترك الأكبر لجميع عواملها فيما عدا
الحد المطلق :

gcd(1 , 2 , 1) = 1

متى يقبل الطرف الأيسر التحليل ؟
عندما نضيف للطرفين العدد 2

xy + 2x + y + 2 = 17

ومنها نحصل على : ll                                      ( x + 1) ( y + 2) = 17

هكذا تم التحليل ، الآن نقول ماذا لو كانت x + 1
عامل من عوامل العدد 17 ؟
لتحليلك للعدد 17 تجد أنه عدد أولى غير قابل
للتحليل .. فقط يمكن القول ان 17 = 1 × 17
او : 17 = -1 × -17

نضع : x + 1 = 1   ومنها     x = 0

بالتعوض فى الأصل تحصل على y + 2 = 17
ومنها y = 15

الفرض الثانى ضع x+1 = -1  ومنها x = -2

عوض فى الأصل : ll                                      ( x + 1) ( y + 2) = 17

اذاً : ll                                                                     -(y+2) = 17

ومنها  y + 2 = -17   اذاً  y = -19

الآن 17 نفسها هى احدى قواسم العدد 17

اذاً نضع x + 1 = 17  ومنها x = 16

بالتعويض فى المعادلة الأصل ..

ll                                                                        17(y+2) = 17

ومنها  y + 2 = 1   اذاً   y = -1


وأخيراً نأخذ آخر قاسم من قواسم العدد 17
وهو العدد -17  .

نضع : x+1 = -17   ومنها  x = -18

بالتعويض فى المعادلة الأصل :


ll                                                                    -17 (y+2) = 17

ومنها  y+2 = -1   اذاً  y = -3

وهذه هى جميع الحلول الممكنة فى Z

مجموعة الحل فى Z  هى :

ll                            {(0,15) , (-2,19) , (16,-1) , (-18,-3)}           ll‏

تابع القراءة

0 ما هى طريقة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعى لط(س) ؟

يمكنك اشتقاقه بعدة طرق، وكل طريقة تتميز بأنها تحوى على فكرة او مجموعة أفكار معينة .

د(س) = لط(س)


              لط(س+هـ) - لط(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 هـ←0              هـ

أعتقد انها هكذا اصبحت أكثر تعقيداً فى حين ان
هناك برهان لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى عن طريق
تحويل الدالة من الصورة اللوغاريتمية الى الصورة الأسية .

د(س) = لط(س)  ومنها  هـ^د(س) = س

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س  ينتج لنا

دَ(س) هـ^د(س) = 1


                 1               1
دَ(س) = ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ
            هـ^د(س)        س

...........................................................................
اما اذا كنت مصر ان تبدأ من التعريف الأساسى للمشتقة الأولى للدالة
فستحتاج الى حلها بتلك الطريقة كما لو كانت نهاية أعطت كمية غير معينة 0/0
ونتحايل على الحل بإبتكار بعض الطرق الجبرية للوصول فى النهاية الى ايجاد ناتج النهاية .

لكن : لا مفر من استخدام بعض خواص اللوغاريتمات .

             لط(س+هـ) - لط(س)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ←0              هـ


                لط[(س+هـ)/هـ]
= نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   هـ←0             هـ


=  نهـــــــا (1\هـ)  لط[(س+هـ)/هـ]
   هـ←0


= نهـــــــا لط[(س+هـ)/س]^(1\هـ)
  هـ←0


= نهـــــــا لط[(هـ/س) + 1]^(1\هـ)
  هـ←0

وبوضع : هـ/س = ص


فينتج عندها أن : 1/هـ = 1/(س ص)

عندما تؤول هـ الى الصفر فإن ص ايضاً تؤول الى الصفر .


= نهـــــــا لط[ص + 1]^1/(س ص)
  ص←0



= (1\س) نهـــــــا لط[ص + 1]^(1\ص)
            ص←0


ضع : (1\ص) = ن

ومنها ص = (1\ن) وعندما تؤول ص الى الصفر فإن :-

ن تؤول الى مالانهاية .


= (1\س) نهـــــــا لط[1 + (1\ن)]^ن
            ن←∞


= (1\س) لط نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
               ن←∞


اليس المقدار : نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
                  ن←∞

هو العدد النيبيرى ذاته ؟

تكملة للحل نصل الى أن :
                 
(1\س) لط نهــــــا[1 + (1\ن)]^ن
              ن←∞


= (1\س) لط(هـ) = 1\س  حيث هـ العدد النيبيرى .

اذاً مشتقة لط(س) = 1\س

تابع القراءة

0 حل المعادلة التفاضلية : صَ = [ص² + 2س ص]/س²

دص           ص² + 2س ص
ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
دس                س²


بتوزيع البسط على المقام ينتج :-

 دص           ص²        2س ص
ــــــــــــــ = ـــــــــــــ + ــــــــــــــــ
دس           س²          س²


 دص           ص²         2 ص
ــــــــــــــ = ـــــــــــــ + ــــــــــــــ
دس           س²          س


هكذا تم البسط، ولذلك نفرض أن :-

بوضع ص/س = ع

ومنها  ص = س ع نشتق الطرفين بالنسبة لـ س


دص/دس = ع + س دع/دس      بالتعويض ..


 دص           ص²           2 ص
ــــــــــــــ = ـــــــــــــ + ــــــــــــــ
دس           س²          س


ع + س دع/دس = ع² + 2ع

اصبحت دالة فى ع ، س يمكن حلها بسهولة .. نرتب الحدود فتصبح ..

س دع/دس = ع² + ع

  دع          ع² + ع
ــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
 دس            س


ومن خصائص النسبة والتناسب ينتج أن :-

    دع               دس
ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
 ع² + ع            س


     دع                 دس
∫ــــــــــــــــــ = ∫ــــــــــــــــ
   ع² + ع             س


     دع
∫ــــــــــــــــــ  = لط(س) + ث
 ع(ع+1)


وبالتالى يمكن حل الطرف الأيمن بالكسور الجزئية

                     1               أ                ب
نفرض أن : ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ + ـــــــــــــــ
                 ع(ع+1)          ع             (ع+1)



ومنها أ(ع+1) + ب ع = 1     هذه متطابقة لأى عدد ع .

وبوضع  ع = -1

أ(-1 + 1) - ب = 1

ومنها - ب = 1  ومنها ب = -1

وبوضع ع = 0

أ(0 + 1) + ب 0 = 1

أ = 1

             1              1               1
اذاً : ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ  - ـــــــــــــــ
      ع(ع+1)            ع              ع+1


بالتعويض فى التكامل ..


     دع
∫ــــــــــــــــــ  = لط(س) + ث
 ع(ع+1)


   1                1
∫ــــــــ دع - ∫ـــــــــــــ = لط(س) + ث
  ع               ع+1


لط(ع) - لط(ع+1) = لط(س) + ث


ولكن : ص/س = ع  بالتعويض ..

لط(ص/س) - لط((ص/س)+1) = لط(س) + ث

يمكنك التبسيط أكثر من ذلك بحيط من خصائص
اللوغاريتمات ينتج أن :-

          ص/س
لط(ــــــــــــــــــــــــــــ) = لط(س) + ث
       (ص/س)+1


ما هو ث ؟ ث هو ثابت لذلك يمكنك وضع بدلاً
من ث لط (ث)  ما الفرق ؟ لا فرق كلها ثوابت ..

          ص/س
لط(ــــــــــــــــــــــــــــ) = لط(س) + لط(ث)
       (ص/س)+1  



          ص/س
لط(ــــــــــــــــــــــــــــ) = لط(س/ث)
       (ص/س)+1  


      ص/س                  س
ــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ
   (ص/س) + 1             ث



   ث ص
ـــــــــــــــــ = ص + س
   س


ث ص = س ص + س²


ث ص - س ص = س²

ص(ث - س) = س²

             س²
ص = ـــــــــــــــــــــ
          ث - س

تابع القراءة

0 اثبت أن : ل(أ∪ب∪جـ) = ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) + ل(أ∩ب∩جـ) - ل(أ∩ب) - ل(ب∩جـ) - ل(أ∩جـ)

ل(أ∪ب∪جـ) = ل(أ∪ب) ∪ ل(جـ)

= ل(أ∪ب)+ل(جـ) - ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ)

= ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) - ل(أ∩ب) - ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ)


نأخذ الحد : ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ) ونقوم بتبسيطه


ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ) = [ل(أ)+ل(ب) - ل(أ∩ب)] ∩ ل(جـ)

الآن التقاطع يتمتع بخاصية التوزيع (كالضرب)

= [ل(ب∩جـ)+ل(ب∩جـ) - ل(أ∩ب∩جـ)]

بالتعويض فى آخر خطوة وصلنا اليها ..

ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) - ل(أ∩ب) - ل(أ∪ب) ∩ ل(جـ)

= ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) - ل(أ∩ب) -  [ل(ب∩جـ)+ل(ب∩جـ) - ل(أ∩ب∩جـ)]

= ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) + ل(أ∩ب∩جـ) - (أ∩ب) - (ب∩جـ) - (أ∩جـ)


(وهو المطلوب إثباته)

مثال : تقدم 3 طلاب لحل سؤال في الاحتمالات كل على حدة , فاذا كان احتمال ان يحله الطالب الاول هو 0.8 , واحتمال ان يحله الثاني هو 0.7  , واحتمال ان يحله الثالث هو 0.6 , فما احتمال ان يُحل السؤال ؟

ل(أ∪ب∪جـ) = ل(أ)+ل(ب)+ل(جـ) + ل(أ∩ب∩جـ) - ل(أ∩ب) - ل(ب∩جـ) - ل(أ∩جـ)

وبما أن الأحداث مستقلة .. اذاً :-

= 0.6 + 0.7 + 0.8 + (0.6×0.7×0.8) - (0.6×0.7) - (0.7×0.8) - (0.6×0.8)

= 0.976

تابع القراءة