ما هى دالة زيتا الريمانية وما علاقتها بالأعداد الأولية ؟

أعتقد ان سؤالك يحتوى أفكار عديدة تحتاج الى
 بحث طويل، لذلك سأعطيك نبذة فقط عن دالة زيتا
او الذى أعرفه عنها ... يوجد لها رمز خاص يمكنك
الإضطلاع عليه فى موقع ويكيبيديا الذى وضعه الأخ
لكى سأستعمل رمز آخر وهو  ز  مثلاً ز(س)  .

هى الدالة المعرفة على س عدد مركب بحيث :

              ∞          1
ز(س) = سيجما ـــــــــــــــ
            ن=1      ن^س

بمعنى هى دالة فى س

 (س معرفة على حقل الأعداد المركبة)

بحيث الدالة عبارة عن مجموع متسلسلة لا نهائية
 للصورة السابق ذكرها .

مثال : ما هى ز(1) ؟

            ∞        1
ز(1) = سيجما ـــــــــــ
          ن=1      ن


            1            1            1
= 1 + ــــــــــ + ــــــــــــ + ـــــــــــ + ......
           2             3           4


هذه حالة واحدة فقط للدالة عندما س = 1

وبصفة عامة يمكن نشر الدالة بهذا الأسلوب .

          1            1            1
 1 + ـــــــــــ + ــــــــــــ + ـــــــــــــ + .....
       2^س      3^س       4^س


بحيث : س = أ + ب ت

أ = الجزء الحقيقى ، ب = الجزء التخيلى

ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

عندما ت = 0  تتحويل س الى عدد حقيقى .

الآن نريد تحويل دالة زيتا الى صورة جداء على الصورة :


                                     1
ز(س) =  حاصل ضرب ــــــــــــــــــــــــــــ
                                1 - أ^(-س)

حيث أ عدد أولى = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، .......}

بحيث تكون الدالة عل الصورة :

                 1                   1                1
ز(س) = ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ× ......
            1 - 2^-س       1 - 3^-س       1  - 5^-س

وهذا هو ما سألت عنه علاقتها بالأعداد الأولية .. لإثبات ذلك :


ز(س) = 1 + 1\2^س + 1\3^س + 1\4^س + .......   (1)

بضرب طرفى المعادلة فى 1\2^س


1\2^س ز(س) = 1\2^س + 1\4^س + 1\6^س + .... (2)

بصفة عامة عند ضرب الطرفين فى 1\2^س ستجد أن جميع
أساسات المقام أعداد زوجية مرتبة ترتيب جيد .

بطرح (2) من (1) ولاحظ أن :

ز(س) - 1\2^س ز(س) = (1 - 1\2^س) ز(س)

حيث أخذنا ز(س) عامل مشترك .. وعند طرح الطرف الآخر
لن يتبقى لك سوى المقامات الفردية .


(1 - 1\2^س) ز(س) = 1 + 1\3^س + 1\5^س + ... (3)

بضرب (3) فى 1\3^س

1\3^س (1 - 1\2^س) ز(س) = 1\3^س + 1\9^س
+ 1\15^س + 1\21^س + .....        (4)

ماذا تلاحظ ؟ نلاحظ ان جميع المقامات الآن هى مضاعفات
العدد 3 (الفردية فقط) يعنى 24 من مضاعفات 3 لكنه زوجى.

بطرح (4) من (3)   :::: لاحظ نطرح أولاً الأطراف اليمنى .

(1 - 1\2^س) ز(س)  - 1\3^س (1 - 1\2^س) ز(س)

بأخذ (1 - 1\2^س) ز(س) عامل مشترك ..

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) ز(س)

وعند طرح الطرفين الأيسريين نلاحظ اننا نطرح جميع مضاعفات
العدد 3 الفردية من جميع الأعداد الفردية فينتج لنا جميع الأعداد
الفردية (للمقامات) فيما عدا مضاعفات العدد 3 .

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) ز(س) = 1+ْ[1\5^س]+[1\7^س]

+[1\11^س]+[1\13^س]+[1\17^س]+ ...... (5)


الطرف الأيسر عبارة عن جميع الأعداد الفردية بإستثناء مضاعفات
العدد 3 .. بمعنى المقامات كما ترى تسير هكذا ..

1 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 25 ، 29 ، 31 ، .....

وهكذا فى الخطوة التى تليها نقوم بضرب طرفى المعادلة فى
1\5^س فينتج لنا جميع الأعداد الفردية بإستثناء مضاعفات
العدد 3  ومضاعفات العدد 5 ، ثم نقوم بطرح المعادلتين ، تنتج
لنا معادلة جديدة نضرب طرفيها فى 1\7^س فينتج لنا جميع
الأعداد الفردية فيما عدا مضاعفات العدد 3 ، 5 ، 7  .... وهكذ
ماذا تلاحظ ؟   .. لاحظ أويلر أن التكرار اللانهائى لهذه الخوازرمية
اللانهائية تؤدى حتماً الى ان ينتهى الطرف الأيسر الى 1 وان يأخذ
الطرف الأيمن هذا الشكل :

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) (1 - 3^س) (1 - 5^س)
(1 - 7^س) ............. × ز(س)

وسبب هذا كما تعرف هو ان جميع الأعداد الأولية فردية فيما
عدا العدد 2 .

كل مرة نضرب فى 1\(عدد أولى)^س  فيعطينا فى التكرار
اللانهائى أن :

الطرف الأيسر عبارة عن جميع الأعداد الفردية فيما عدا
مضاعفات 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، .... وهكذا
الى مالانهائة .. يفسر لنا ذلك ان التكرار اللانهائى لهذه العملية
يؤدى بنا الى :

(1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) (1 - 3^س) (1 - 5^س)
(1 - 7^س) ............. × ز(س) = 1


ومنها نحصل على :

                                            1
ز(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
         (1 - 1\3^س) (1 - 1\2^س) (1 - 1\3^س) (1 - 1\5^س) ....



لاحظ ان حاصل الضرب غير منتهى ... والذى يعبر عنها بشكل
أفضل (أنظر الروابط)  ... بحيث نقول :


                                    1
ز(س) =  حاصل ضرب ـــــــــــــــــــــــــ
                              1 - أ^(-س)

حيث أ عدد أولى = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، .......}

طبعاً هنا الأس سالب (للدلالة على انه كسر)

تعلم ان 1\س = س^-1   ... وهكذا

هناك عدة حسابات توصلوا اليها لحساب قيم هذه الدالة
للأعداد الزوجية (بإستخدام أعداد أخرى تسمى أعداد بيرنولى)
بحيث أصحبت صيغة عامة .

                                             ط²
ز(0) = -½  ، ز(1) = ∞  ، ز(2) = ــــــــــ ≈ 1.645
                                             6

ز(3) ≈ 1.202   ،  ز(4) ≈ 1.0823

بصفة عامة يمكنك الإضطلاع على الصيغة العامة لـ 2ن
على موقع ويكبيديا ... لو وضعنا س = 2ن  حيث :

ن = {0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، ......}  

فإن هناك صيغة عامة يمكنك حساب دالة زيتا عندها .

ولا تسألنى عن أشياء أخرى فى الدالة لأننى لم اتعمق
فيها كثيراً :)

ولكن نصيحتى لك هناك أشياء أخرى يتحتم عليك دراستهاد
حتى تكون دراسة مثل هذه الدوال (الخاصة) سهلة الفهم
بالنسبة لك وتحقق منها أكبر استفادة ممكنة .

مراجع :دالة زيتا
Riemann zeta function
Proof of the Euler product formula
فرضية ريمان
Riemann Zeta Function Calculator