بعض التكاملات على الدوال المثلثية العكسية والزائدية وأخرى متنوعة ..

1)
                            2 - جذر(1-س²)
    اوجد             ʃ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                             جذر(1-س²)

قم بتوزيع البسط على المقام .


            2                      جذر(1-س²)
= ʃـــــــــــــــــــــــ دس - ʃ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      جذر(1-س²)                 جذر(1-س²)


          2
= ـــــــــــــــــــــــــــ دس -  ʃ دس
    جذر(1 - س²)


ما داخل التكامل هو متطابقة 1 - جا²س

يعنى نفرض أن س = جاص

ومنها دس = جتاص دص   بالتعويض ..



          2جتاص
=ʃ ـــــــــــــــــــــــــــ دص -  ʃ دس
   جذر(1 - جاص²)


       2جتاص
=ʃ ــــــــــــــــــــــــــــ دص - س
       جتاص


= ʃ 2 دص - س

= 2ص - س + ث

ولكن س = جاص  ومنها ص = جا^-1(س) بالتعويض..


= 2جا^-1(س) - س + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
2)

         1
ʃ ـــــــــــــــــــ دس
   س لوس

 

يمكنك حله بالتعويض .. نفرض أن :-

لوس = ص   ومنها 1\س دس = دص

دس = س دص  بالتعويض ...

      س
ʃ ـــــــــــــــــــــــ  دص
    س ص


          1
=ʃ ـــــــــــــــــ دص
         ص


= لط|ص| + ث    بالتعويض عن ص ..

= لط| لط|س|  |  + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

3)تكامل جا2س/جذر(3-جتا^4(س))

 يمكن وضع التكامل على الصورة :

.          جا2س
∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  جذر[3 - [(جتاس)²]²]


لاحظ مشتقة جتا²س = 2جتاس × -جاس

= - 2جاس جتاس = -جا2س

الآن نضرب داخل وخارج التكامل فى -1


.          -جا2س
-∫ ــــــــــــــــــــــــــــأأأــــ دس
   جذر[3 - [(جتاس)²]²]


بأخذ 3 عامل مشترك من تحت الجذر
تخرج خارجاً بـ 1/جذر(3)

                              -جا2س
= -1/جذر(3) ∫   ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                  جذر[1 - [(1\3) جتا²س]²]


بضرب البسط فى (1\3) ومن ثم الضرب فى المعكوس
الضربى 3 .


       
                          -(1\3) جا2س
= (-3/جذر(3)) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                   جذر[1 - [(1\3) جتا²س]²



= (-3\جذر(3) جا^-1[(1\3) جتا²س] + ث


= -جذر(3) جا^-1[(1\3) جتا²س] + ث

حيث جا^-1 هى دالة الجيب العكسى .

 ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

4)  تكامل هــ^2س/(هـــ^4س-5) 


.         هـ^2س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
       هـ^4س - 5

يمكنك حله بالتعويض .

نفرض ان هـ^2س = ص  ومنها

2هـ^2س دس = دص

اى ان : 2ص دس = دص  بالتعويض ..


.           ص
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
     2ص( ص² - 5)


             1
= ½∫ ـــــــــــــــــــ دص
         ص² - 5


بأخذ -5 عامل مشترك من المقام
يخرج طبعاً خاجر التكامل بـ -(1\5)

                     1
= (-2\5) ∫ــــــــــــــــــــــــ دص
                1 - (1\5)ص²


                        1
= (-2\5) ∫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
                1 - [(1\جذر(5))ص]²

لماذا اجيرنا كل هذه الخطوات ؟
للوصول الى المشتقة العكسية للظل الزائدى .

الآن ما هى مشتقة 1\جذر(5))ص ؟

المشتقة هى : 1\جذر(5)

نضرب البسط فى  1\جذر(5)  ومن ثم
خارج التكامل فى جذر(5)


                                (1/جذر(5)
= (-2جذر(5)/5) ∫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
                       1 - [(1\جذر(5))ص]²



= (-2جذر(5)/5) × ظاز^-1[(1\جذر(5))ص] + ث

ولكن ص = هـ^2س   بالتعويض ..

= (-2جذر(5)/5) × ظاز^-1[(1\جذر(5))هـ^2س] + ث


وطبعاً كان يمكنك حل التكامل ابتدائاً بالكسور الجزئية ..

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

 5) تكامل س/(1-س^4)

.
        س
∫ ــــــــــــــــــــــــ دس
     1 - س^4



        س
∫ ــــــــــــــــــــــــ دس
     1 - (س²)²

ما الذى يفيدنا فى ذلك (هى نفسها) ؟

لاحظ مشتقة س²  هى 2س

الآن نضرب البسط فى 2 ومن ثم خارج
التكامل فى ½

                 2س
= ½ ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــ دس
              1 - (س²)²



= ½ظاز^-1(س²) + ث

او الظل الزائدى العكسى لـ س²


ويمكنك حلها بطرق أخرى ...

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
 6)   تكامل جا4س/(جتا^4(2س) +4)
      
 .         جا4س
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   [جتا(2س)]^4 + 4

نقوم بوضع التكامل على هذا الشكل ..

                     -2جا4س
=(-1\2)∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
               [جتا²(2س)]² + 4


مشتقة جتا²(2س) = 2جتا(2س) × -2جا(2س)

= -2 جا4س

الآن نأخذ من المقام 4 عامل مشترك .
عند ضربه فى مقام النصف يعطى ثمن .

                     -2جا4س
=(-1\8)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
           (1\4)[جتا²(2س)]² + 1

ندخل ربع داخل القوس فتصبح نصف
لأنك تعلم أن مربع النصف هو ربع .

                     -2جا4س
=(-1\8)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
             [½جتا²(2س)]² + 1


بالضرب بسطاً ومقاماً فى ½

                     -جا4س
=(-1\16)∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
             [½جتا²(2س)]² + 1

وهذا هو تماماً مشتقة دالة الظل العكس ظا^-1(س)


التكامل = (-1\16) ظا^-1[½جتا²(2س)] + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
7)  تكامل جذر[2-س²]

 .
∫جذر(2 - س²) دس

نفرض أن س = جذر(2)جاص

ومنها : دس = جذر(2) جتاص دص بالتعويض ..

لاحظ جذر(2 - (جذر(2) جاص)²)

= جذر(2 - 2جا²ص) = جذر(2) جذر(1 - جا²ص)

= جذر(2) جتاص   بالتعويض ..


∫جذر(2 - س²) دس

= جذر(2)∫جتاص × جذر(2) جتاص دص

= 2 ∫جتا²ص دص

ولكت جتا²ص = ½جتا2ص + ½ بالتعويض ..

2 ∫جتا²ص دص =  ∫2[½جتا2ص + ½] دص


= ∫جتا2ص + ∫دص


= ½جا2ص + ص + ث

ولكن س = جذر(2)جاص

ومنها جاص = س/جذر(2)

اذاً : ص = جا^-1[س/جذر(2) ]

الآن كيف نوجد جا2ص ؟

نعلم ان : جا2ص = 2جاص جتاص

اذاً ½جا2ص = جاص جتاص

ولكن جاص = س/جذر(2)

ومنها طول المجاور = جذر[2 - س²]

جتاص = (1\جذر(2)) جذر[2 - س²]  

ومنها ½جا2ص = جاص جتاص
= س/جذر(2) × (1\جذر(2)) جذر[2 - س²]

= ½س جذر[2 - س²]    بالتعويض فى :


التكامل = ½جا2ص + ص + ث


= ½س جذر[2 - س²] + ص  + ث

ولكن : جاص = س/جذر(2)   ومنها ص = جا^-1[س/جذر(2) ]


التكامل = ½س جذر[2 - س²] + جا^-1[س/جذر(2)]  + ث
 
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
8)    تكامل جتا^5س × جذرجاس

.
∫ جتا^5(س) جذر(جاس) دس

= ∫ جتا^5(س) جا^0.5(س) دس

= ∫[جتا^1.5(س)]^(10\3) جا^0.5(س) دس

كل الذى حدث من خصائص الأسس فلا تقلق

اضرب 1.5 × (10 على 3) = 5

لكن ما الذى يفيدنا فى ذلك ؟

الذى يفيد هو : أن مشتقة جتا^1.5(س)

= - 1.5 جا^0.5(س)

الآن نضرب داخل التكامل فى -1.5
وخارجه نضرب فى المعكوس الضربى والجمعى معاً
وهو (2\3)

(2\3)∫[جتا^1.5(س)]^(10\3) ×-1.5جا^0.5(س) دس


الدالة هى جتا^1.5(س)

مشتقتها هى -1.5جا^0.5(س)

قيمة هذا التكامل :

            [جتا^1.5(س)]^(13\3)
= (2\3)× ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ +ث
                     (13\3)


    2 [جتا^1.5(س)]^(13\3)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ث
               13

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

9)  تكامل جتاس/جذر [2+جتا 2س]

          جتاس
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(2+جتا2س)



لاحظ : جتا2س = 1 - 2جا²س بالتعويض..


          جتاس
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   جذر(2+1 - 2جا²س)


           جتاس
=∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
     جذر(3 - 2جا²س)


بأخذ 3 عامل مشترك ..

                        جتاس
= 1/جذر(3) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                 جذر[1 - (2\3)جا²س]


                        جتاس
= 1/جذر(3) ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                جذر[1 - [جذر(2\3)جاس]²]


لاحظ : مشتقة جذر(2\3) جاس = جذر(2\3) جتاس

الآن نقوم بضرب البسط فى جذر(2\3)
ومن ثم الضرب فى المعكوس الضربى له .

بعد الضرب وتبسيط المقدار خارج التكامل ينتج ..

                      جذر(2\3) جتاس
= جذر(2)/2 ∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
                جذر[1 - [جذر(2\3)جاس]²]


   
= ½جذر(2) جا^-1[جذر(2\3)جاس] + ث


حيث جا^-1 هى دالة الجيب العكسى .

░░░░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░
10)  تكامل س/[جذر(1+س²)+جذر(1+س²)³] 

.                س
ʃ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  جذر(1+س²)+جذر(1+س²)³


نفرض أن : جذر(1+س²) = ص

               س
ومنها : ــــــــــــــــــــــ دس = دص
         جذر(1+س²)


        س
= ــــــــــــــــــ دس = دص
        ص

بالتعويض فى التكامل .

         س ص
ʃ ـــــــــــــــــــــــــــــــ دص
     س(ص + ص³)


         س  ص
= ʃ ــــــــــــــــــــــــــــــ دص
     س ص (1 + ص²)


            1
= ʃ ـــــــــــــــــــــــ دص
       1 + ص²


= ظا^-1(ص) + ث

= ظا^-1[جذر(1+س²)] + ث


حيث ظا^-1 هو الظل العكسى . 
       
 ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░ ░░░
►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄►◄