اوجد اقرب نقطة تقع على منحنى الدالة y²+x = 0 للنقطة ll (0,-3) ll

نستعمل قانون المسافة بين نقطتين ::::
 
النطقة الأولى ll  (0,-3)  ll

النقطة الثانية (نقطة تقع على المنحنى)

ولتكن النقطة : ll (x,y)  ll

نفرض أن المسافة بينهما = d


d² = x² + (y+3)²   ll


ولكن : y²+x = 0

ومنها  y = ± sqrt(-x)   ll

ولا تنزعج فإنه من الطبيعى ان x سالبة

بالعويض ..

d² = x² + [±sqrt(-x)+3]²   ll


d² = x² -x ±6sqrt(-x) + 9

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين ...

d = sqrt[x² -x ±6sqrt(-x) + 9]  ll

ولا نأخذ الحالة السالبة لأنه لا يوجد مسافة طول سالبة .

اصبحت d دالة فى x وبإيجاد القيم القصوى للدالة
ونوجد x التى تجعل d اقل ما يمكن .

                       
الآن : مشتقة الجذر التربيعى


          مشتقة ماداخل الجذر
 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           2× الجذر نفسه


المشتقة الأولى = 0  عندما :

  مشتقة ماداخل الجذر = 0


2x - 1 ±3/sqrt(-x) = 0


ll    ±3/sqrt(-x) = (1 - 2x)   ll


حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين

sqrt(-x) (1 - 2x) = ±3

الآن نحن قد علمنا أنه لا يكن ان تكون x موجبة
لأنه اذا كانت موجبة يكون ما بداخل الجذر سالب
ولكن نحن نريد الحل فى مجموعة الأعداد الحقيقة
اذاً لابد ان تكون x سالبة .

الآن : x سالبة تؤدى الى ان ما داخل الجذر موجب
اذاً قيمته موجبة .. تؤدى الى أن المقدار :
(1 - 2x) قيمته سالبة .. اذاً نأخذ الحالة السالبة فقط .

sqrt(-x) (1 - 2x) = -3

بتربيع الطرفين ينتج :

ll                 -x(1 - 2x)² = 9


ll           -x(1 -4x + 4x²) = 9


ll            -x + 4x² - 4x³ = 9


ll       -4x³ + 4x² - x - 9 = 0


4x³ - 4x² + x + 9 = 0

بإضافة 8x وطرحها مرة أخرى ..


4x³ - 4x² - 8x + 9x + 9 = 0


4x(x² - x - 2) + 9(x+1) = 0


4x(x+1)(x-2) + 9(x+1) = 0


بأخذ (x+1) عامل مشترك ..

ll          (x+1) (4x(x-2) +9) = 0


ll       (x+1) (4x² - 8x + 9) = 0


اذاً : x + 1 = 0  ومنها x = -1

القوس الثانى عند حله بالقانون العام ينتج لك أعداد مركبة .

ويمكنك التأكد من انها قيمة صغرى محلية للدالة عند ايجاد
المشتقة الثانية للدالة عندما x = -1 تجد انها تعطى قيمة
موجبة .. اذاً x = -1 قيمة صغرى محلية .

الآن نعوض فى الدالة الاصلية عند x = -1


y²+x = 0   بعد التعويض : y² = 1

ومنها : y = 1    أو  y = -1

احدهم فقط مقبول وهو الحل السالب
ويمكن التأكد من ذلك بعد طرق منها رسم
تقريبى للدالة لتجد أن y = -1 اقرب الى
النقطة ll  (0,-3)  ll

اذاً أقرب نقطة تقع على منحنى y^2+x=0

من النقطة ll (0,-3) ll هى النقطة ll  (-1,-1)  ll
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

حل آخر :

نعلم أنه اذا كانت لدينا نقطة تنتمى لقطعة مستقيمة وكانت
 لدينا نقاط أخرى فى المستوى فإن أقصر طول بين النقطة
التى تنتمى للقطعة المستقيمة الى اى نقطة فى المستوى
هى النقطة التى تكون مسقط عمودى على على القطعة المستقيمة .

وهذا يدلنا على أن : أقرب طول بين نقطة ما على منحنى الدالة
والنقطة (-1,-1) هو العمودى على ميل المماس للدالة عند هذه 
النقطة : الآن نوجد المشتقة الأولى للدالة ..

y²+x = 0    ومنها 2y y' + 1 = 0   اذاً :  y' = -1/2y

والميل العمودى له هو :ll            2y

الآن نوجد الميل العمودى بين النقتطين : ll  (x,y)   , (0,-3)  ll

ll                                  = (y+3)/x =2y

ll                         x = (y+3)/2y        (1


ولكن المعادلة الأصلية هى : y²+x = 0    (2

بالتعويض فى (1) فى (2)




y² + (y+3)/2y = 0    بضرب الطرفين فى 2y



2y³ + y+3 = 0


وبعد حلك للمعادلة ينتح أن y = -1  وبالتعويض فى الدالة الأصلية

ينتج أن x = -1  

اذاً النقطة هى : (-1,-1)