0 حل تمرين فى القطع المكافىء ..

ليكن P القطع المكافئ الذي معادلته x²=2y و ليكن [pQ] و ترا محرقيا فيه ميله m ( اي p و Q هما نقطتا تقاطع مستقيم ميله m مار بمحرق القطع )
1 - أثبت ان المماسين في p و Q للقطع P متعامدان
2 - أثبن ان المماسين في p , Q يتقاطعان في نقطة تقع على دليل P
3 - هل تبقى الخاصتان السابقتان صحيحتين في حالة اي قطع مكافئ
التمرين موجود في صفحة 93 تمرين رقم 2 (الهندسة التحليلية)
و ارجو ان تكون الإجابة مفصلة بشكل دقيق جدا و لو مع الرسم

السؤال خفيف .. لذيذ .. وسأكتبه بالرموز العربية نظراً لصعوبة الكتابة باللغتين معاً

معادة القطع المكافىء هى : س² = 2ص  (نضعها على الصورة القياسية)

اذاً : س² = 4 × ½ص   اى ان أ = ½  وهى المسافة بين رأس القطع المكافىء
وبؤرته او بين الرأس ودليله .. من هنا نستخلص ما يلى .

معادلة دليله هى : ص = -½  احداثيات بؤرته (محرقه) هى : (0 ، ½)



المستقيمات المارة من محرقة تقطع محور الصادات فى ½  اذا الصورة
القياسية لجميع هذه المستقيمات هى : ص = م س + ½  حيث م
هى الميل المتغير لهذه المستقيمات ...

أولاً نوجد نقطة تقاطع القطع المكافىء مع المستقيم  ص = م س + ½ بأن
نقوم بحلهم معاً ....  بالتعويض فى معادلة القطع عن : ص = م س + ½

س² = 2(م س + ½)   ومنها  س² = 2 م س + 1  (نحل المعادلة فى س)

س² - 2 م س - 1 = 0    نحل المقدار الثلاثى بالقانون العام .....

                     
المميز(او دلتا) =  4م² - 4(-1) = 4(م²+1)


          2م + 2جذر(م²+1)
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــ  = م+جذر(م²+1)
                   2
أو : س = م - جذر(م²+1)

الآن وبكل بساطة ويسر يريد ميل المماس (فى القطع المكافىء) عند هذه الإحداثيات ..


س² = 2ص  ومنها ص = ½س²  (نشتق الطرفين بالنسبة لـ س)

صَ = س    او تكتب هكذا  دَ(س) = س

دَ(م+جذر(م²+1)) = م+جذر(م²+1)

دَ(م - جذر(م²+1)) = م - جذر(م²+1)

بضرب الميل الاول × الثانى

 [م+جذر(م²+1)][م - جذر(م²+1)] = م² - (م²+1) = -1

اذاً المماسان متعامدان (لأن حصاصل ضرب الميلين المتعامدين = -1)

نفرض أن معادلة المماس الأول : ص = [م+جذر(م²+1)]س + ب

معادلة المماس الثانى : ص =  [م - جذر(م²+1)]س + جـ

حيث ب ، جـ الأجزاء المقطوعة من محور الصادات ... بحل المماسين معاً ينتج لنا
نقطع تقاطع المماسين (والتى نريد ان نتحقق هل بالفعل تقع على دليل القطع ؟ )


ص = [م+جذر(م²+1)]س + ب                      (1)

ص = [م - جذر(م²+1)]س + جـ                     (2)

بضرب س فى القوس ينتج لنا ...


ص = م س +جذر(م²+1)س + ب                    (1)

ص = م س - جذر(م²+1)س + جـ                    (2)

بجمع (1) ، (2)

2ص = 2 م س + (ب+جـ)                              (3)  

بطرح (1) ، (2)

 0 = 2جذر(م²+1) س + (ب - جـ)                   (4)         

ومنها   2جذر(م²+1) س = (جـ - ب) 

                   (جـ - ب)
اذاً : س = ــــــــــــــــــــــــ     بالتعويض فى معادلة (3) 
               2جذر(م²+1)


             م (جـ - ب)
2ص = ـــــــــــــــــــــــــــ + (جـ+ب)
            جذر(م²+1)


 كيف نوجد ب ، جـ  ؟
من خلال نقطتى ميل المماس للدالة ..

س = م+جذر(م²+1)   او  س = م - جذر(م²+1)  بالتعويض فى معادلة القطع ..

د(س) = ½س²   ومنها  د(م+جذر(م²+1)) = ½[م+جذر(م²+1)]²

وبالمثل : د(م - جذر(م²+1)) = ½[م - جذر(م²+1)]²

بالتعويض بـ النقطة (م+جذر(م²+1) ، ½[م+جذر(م²+1)]²) فى المماس الأول ..

ص = [م+جذر(م²+1)]س + ب

 ½[م+جذر(م²+1)]² = [م+جذر(م²+1)][(م+جذر(م²+1)] + ب

ب =  ½[م+جذر(م²+1)]² - [م+جذر(م²+1)][(م+جذر(م²+1)]

= ½[م+جذر(م²+1)]² - [م+جذر(م²+1)]² = -½[م+جذر(م²+1)]²

بنفس الطريقة نوجد جـ .. عوض بالنقطة (م - جذر(م²+1) ، ½[م - جذر(م²+1)]²)
  فى المماس الثانى .. ص = [م - جذر(م²+1)]س + جـ

 ½[م - جذر(م²+1)]² = [م - جذر(م²+1)] [م - جذر(م²+1)] + جـ

اذاً : جـ  = ½[م - جذر(م²+1)]² - [م - جذر(م²+1)] [م - جذر(م²+1)]

= ½[م - جذر(م²+1)]²  - [م - جذر(م²+1)]² = -½[م - جذر(م²+1)]²

الآن نوجد كلاً من   جـ +ب    ،  جـ - ب

جـ+ب = -½[م - جذر(م²+1)]² - ½[م+جذر(م²+1)]²

= -½ [ [م - جذر(م²+1)]² + [م+جذر(م²+1)]² ] 

= -½ [م² - 2م جذر(م²+1) + (م²+1) + م² + 2م جذر(م²+1)+ (م²+1) ]

= -½(4م²+2) = - (2م²+1)

ثانياً ايجاد : جـ - ب

جـ - ب = -½[م - جذر(م²+1)]² + ½[م+جذر(م²+1)]²

= -½[ [م - جذر(م²+1)]² - [م+جذر(م²+1)]² ]

= -½ [ م² - 2م جذر(م²+1) + (م²+1) - م² -2م جذر(م²+1) - (م²+1)]

= -½[-4م جذر(م²+1)] = 2م جذر(م²+1)

بالتعويض فى :

             م (جـ - ب)
2ص = ـــــــــــــــــــــــــــ + (جـ+ب)
            جذر(م²+1)


                 2م² جذر(م²+1)
اذاً : 2ص  = ــــــــــــــــــــــــــــ - (2م²+1) = 2م² - 2م² - 1 = -1
                   جذر(م²+1)


ص = -½  ولكن هذه معادلة دليل القطع المكافىء

اذاً المطلوب الثانى تحقق ...

تابع القراءة

4 اثبت ان منصفات المثلثات تتلاقى فى نقطة واحدة بنسبة 2 : 1 من جهة الرأس و 1 : 2 من جهة القاعدة ؟

هناك طريقة استنتجتها، ومفهومها سهل وبسيط ..
فى المثلث أ ب جـ عبرت عن نقطة تلاقى متوسطات المثلثات بـ  " و "

فى الإثبات سأستعمل النظريات الآتية (واذا اردتى اثبات كل نظرية منها فليس عندى مانع) :

1) متوسط اى مثلث يقسمه الى مثلثين متساويين فى المساحة .

2) جا(الزاوية) = جا(الزاوية المكملة لها)

مثال : جا(30) = جا(180 - 30) = جا150    وهكذا ..

3) مساحة المثلث (حسب مفهوم حساب المثلثات) =

½ حاصل ضرب طولى اى ضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما

4) نقطة تلاقى متوسطات المثلث تتقابل فى نقطة واحدة داخله " النقطة و "

.............................................................................................



الإثبات : فى المثلث أ ب جـ فيه ب ص ينصف القاعدة أ جـ   .. اذاً

مساحة المثلث ب أ ص = مساحة المثلث ب جـ ص

ولكن و ص منصف للمثلث و أ جـ   اذاً  مساحة أ و ص = مساحة جـ و ص

اذاً : مساحة المثلث  أ و ب = مساحة المثلث و ب جـ   كيف تم ذلك ؟

"سأضرب مثل سريع : اذا كان معك حقيبتين بهما اموال الأولى بها مليون دولار والثانية
ايضاً تحتوى على مليون دولار (اى ان الحقيبة الأولى = الحقيبة الثانية)
.. اخذنا من الحقيبة الأولى 100 الف دولار ومن الحقيبة الثانية 100 الف دولار فهل
الحقيبة الأولى = الحقيبة الثانية ؟  .. اظن الإجابة واضحة جداً   "

وصلنا الى : مساحة المثلث  أ و ب = مساحة المثلث و ب جـ

ولكن و س منصف للقاعدة أ ب  اذاً مساحة أ و س = مساحة و س ب

وايضاً : و د منصف للقاعدة ب جـ  اذاً مساحة و ب د = و د جـ

مما سبق ينتج أن : مساحة أ س و = مساحة س و ب = مساحة و ب د

أو : مساحة أ ب و = 2×مساحة و ب د

اى أن : ½ أ و × ب و × جا(أ و ب) = 2×½ ب و × و د × جا(ب و د)

بإختصار ½ ب و من الطرفين ....

أ و × جا(أ و ب) =  2 و د × جا(ب و د)

ولكن : الزاوية أ و د مستقيمة = 180  اى ان الزاوية أ و ب تكمل الزاوية ب و د

وبالتالى : جا(أ و ب) = جا( ب و د)         (نختصرها من الطرفين ...)  ينتج لنا

أ و = 2 و د        (وهو المطلوب اثباته)

((طبعاً بنفس الطريقة نطبق البرهان على المنصفين الآخرين فى المثلث))

تابع القراءة

0 أوجد عدد الواحايد فى الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ومليون ؟

السؤال يعتمد فى الأساس على المجموعات المرتبة جيداً، والتباديل والتوافيق
ومبدأ العد الأساسى، وسأبدأ اولاً برسم خريطة للحل بحيث انى غير ملزم
بذكرها، ولكنى توضيحاً فقط لصعوبة الوصول الى الحل بهذه الطريقة .

1 ، 2 ، 3 ، ....... ، 10     ====>   2
11، 12 ، 13 ، .... ، 20    ====>  10
21 ، 22 ، 23 ، ....، 30    ====>   1
31 ، 32 ، ..........، 40     ====>  1
من 41 الى 50              ====>   1
من 51 الى 60              ====>   1
من 61 الى 70              ====>   1
من 71 الى 80              ====>   1
من 81 الى 90              ====>   1
من 91 الى 100            ====>   2

المجموع : من 1 الى 100 = 21 واحد .

اما المائة الثانية تكون .

من 101 الى 110    ====> 12
من 111 الى 120    ====> 18
من 121 الى 130    ====> 11
من 131 الى 140    ====> 11
من 141 الى 150    ====> 11
من 151 الى 160    ====> 11
من 161 الى 170    ====> 11
من 171 الى 180    ====> 11
من 181 الى 190    ====> 11
من 191 الى 200    ====> 10

المجموع : من 101 الى 200 = 117

ستجد انها طريقة مفصلة تفصيلاً مملاً وربما تقع فى بعض الأخطاء الواردة ..
ولكن ما رأيك اذا تم الحل بهذه الطريقة الآتية ...

ليكن السؤال هو : ما هى عدد الوحايد فى الأعداد المحصورة بين 0 الى 99 ؟

ارسم لك الخريطة الذهنية الآتية :  س       ص

حيث س رقم الآحاد ، ص رقم العشرات  .

س ، ص ∈ {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ........ ،9}   (اى من 0 الى 9)

لأن هذا آخر ما تتحمله اى خانة عشرية فى نظام العد العشرى .. الآن نورد جميع
الإحتمالات الممكنة وهما اثنان فقط .

 الإحتمال الاول : س = 1   ،  ص ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الثانى : ص = 1   ،  س ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الآن الحل اصبح سهلاً : عدد امكانيات الإحتمال الأول = 9
عدد امكانيات الإحتمال الثانى = 9

وهنا إحتمال ثالث ثابت وهى س = ص = 1  

          وهو العدد (11)  -----> 2

الآن اذا اضفنا العدد 1 الذى ينتمى للعدد 100 يصبح لدينا :-

9 + 9 + 2 + 1 = 21

مثال آخر : أوجد عدد جميع الوحايد فى جميع الأعداد المحصورة بين 0 و 999

نفرض أن الآحاد = س ، العشرات = ص   والمئات = ع

وحتى لا تكون خطواتنا مرتبة نستعمل هنا مبدأ العد الأساسى بحيث ان لدينا
اى خانة فى هذه الأعداد اما ان تكون 1 او لا تكون 1  (اما او فقط لا شىء ثالث)
نفرض ان لدينا صندوق يحتوى على بطاقتين الأولى مكتوب عليها 1 والثانية مكتوب
عليها (ليس واحد او متغير او حرف (م) المهم شىء آخر غير الواحد) وتم السحب
على ثلاث المرات بالتتبع والتتالى وبإرجاع (اى كل مرة تسحب فيها ترجع البطاقة
مرة ثانية الى الصندون)

الآن : السحبة الأولى اما ان تكون البطاقة 1 او لا تكون 1 بمعنى ان عدد
اختيار السحبة الأولى = 2

عدد اختيار السحبة الثانية = 2 
عدد اختيار السحبة الثالثة = 2

اذاً عدد جميع الإختيارات = 2×2×2 = (2)³ = 8

من ضمن هذه الحالات المجموعتين {1 ، 1 ، 1} والتى نعرفها بالأساس
وايضاً المجموعة {م ، م ، م} والتى لا نريدها بالأساس وتعنى ان العدد
لا يحتوى على 1  وبناء على ذلك يتم طرح 2 من عدد الإمكانيات أعلاه
8 - 2 = 6  حالات أساسية ممكنة ، وهى كما يلى :-

الإحتمال الأول :  س = 1   ، ص ، ع ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الثانى : ص = 1   ، س ، ع ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الثالث :  ع = 1   ، س ، ص ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الرابع : س =ص= 1  ، ع ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال الخامس : س=ع=1  ، ص  ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإحتمال السادس : ص = ع   ،س ∈ {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

وأخيراً الحالة التى يكون فيها س = ص = ع  وهى العدد 111

لنأخذ الإحتمال الأول ونعطى تفسيراً له، معنى ان تكون س = 1
يعنى رقم الآحاد ثابت، وكلاً من رقم العشرات والمئات متغير وينتمى
للمجموعة من 0 الى 9 (بإستثناء الواحد) ، او بمعنى آخر عدد امكانيات
الإحتمال الأول تساوى عدد امكانيات جميع إحتمالات عدد مكون من رقمين
بحيث ان خاناته تنتمى للمجموعة السابقة الذكر ، وهذا يدلنا على شىء
هام جداً (بنفس الطريقة بمبدأ العدد الأساسى) نقول ما هى عدد الإمكانيات
لعدد مكون من رقمين بحيث أن خاناته محصورة فى المجموعة {0 ، 2 ، 3 ، ...... ،9}

الإجابة سهلة جداً (بمبدأ العد) : الرقم الأول له تسع حالات ممكنة
الرقم الثانى له تسع حالات ممكنة

اذاً جميع الحالات الممكنة = 9 × 9 = (9)² = 81

اى ان عدد النواتج الممكنة للحالة الأولى = 81  حالة .

بنفس الطريقة : عدد نواتج الحالة الثانية = 81
عدد نواتج الحالة الثالثة = 81

الآن نأتى الى الحالة الرابعة ونعطى تفسيراً لها ..

معنى ان تكون س=ص=1 يعنى الآحاد =العشرات =1 والمئات هو المتغير فقط .
وهذه الحالة اسهل ما يمكن بحيث ان عدد نتائجها = 9
كذلك الحالة الخامسة عدد النواتج = 9
ايضاً الحالة السادسة عدد نتائجها = 9

ولكن لاحظ : الحالة الرابعة والخامسة والسادسة الواحد مكرر فيهم مرتين
اى لإيجاد أنك تحتاج لضرب الـ 9 فى 2 فى كل حالة من هؤلاء .

وأخيراً هناك حالة أخيرة العدد 111 والذى يحول الى 3 (3 وحايد)
وايضاً اذا أخذنا العدد 1000 والذى يحتوى على 1 فقط ، لتصبح
عدد الوحايد فى الأعداد المحصورة من 1 الى 1000

= 81 + 81 + 81 + 2(9) + 2(9) + 2(9) + 3 + 1

= 3(81) + 6(9) + 4 = 301

والآن حسب المفاهيم السابقة الذكر نستطيع ان نستنتج ان المجموعة

{1 ، 1 ، م} = 2 × 9 = 18

(اى نقوم بجمع الوحايد وضربها فى القيمة م والتى تساوى 9)

بحيث هذا المفهوم يسهل علينا حسابات وعمليات كثيرة جداً، فمن هنا وصاعداً
الخانة التى لا تحتوى على 1 نطلق عليها م، فمثلاً المجموعة الآتية

{1 ، م ، م} = 1 × 9 × 9 = 81    وهذا لأن م = 9

((اى اننا نقوم بجمع وحايد المجموعة وضربها فى كل م فى المجموعة من اجل م=9))
بهذا المفهوم ايضاً كان بالإمكان حل السؤال السابق فى بضعة سطور بسيطة .
وايضاً نستطيع ان نقول على (م ، م ، م) = صفر لعد وجود اى 1

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

والآن نعود الى السؤال الأساسى الذى طرحته وهو مجموع الوحايد فى جميع
الأعداد المحصورة بين 1 الى 1000000

الحل : المليون يحتوى على 6 اصفار ، اذاً وفى هذه الحالة جميع الإحتمالات
الممكنة = (2)^6 = 64  حالة ، وكتابتهم سيكون امراً صعباً، ولذلك يممكنا
هنا الإستعانة بـ قاون ثنائى الحدين، فمثلاً فى المثال الثانى كانت كلاً من
الحالة الأولى والثانية والثالثة = 81 اى ان مجموع حالاتهم = 3(81)
او : 3 ق 1  ×  81   وبالمثل فمجموع الحالات الرابعة والخامسة والسادسية
= 3 ق 2 × 9 = 6 × 9  فهذه من المفاهيم الأساسية التى ينبغى معرفتها

مزيداً من التوضيح : {1 ، م ، م} ، {م ، م 1} ، {م ، 1 ، م}  قيم هؤلاء جميعاً
واحد وهى 1 × 9 × 9 = 81 وهذا كأن نقول 112  و   101  ففى كلا العددين
الواحد مكرر مرتين .. وهكذا

السؤال : كيف جاء هذا التعريف ؟

للتوضيح نضرب مثال : {1 ، م ، م} ، {م ، م 1} ، {م ، 1 ، م}  تعنى بإختلاف
مكان العددد 1 تختلف معه م ، م ، ونعلم ان امكنة العدد 1 هى ثلاثة فقط اذاً
عدد نواتج هذه المجموعة = ثلاث نواتج متكافئة .

نأخذ مثال آخر : {1 ، 1 ، م ، م} = {1 ، م ، 1 ، م} = {1 ، م ، م ، 1}
                = {م ، 1 ، 1 ، م} = {م ، 1 ، م ، 1} = {م ، م ، 1 ، 1}

وهى تعنى 4ق2 = 6             (أى 6 حالات متكافئة)
                                                            
اذاً وحتى نكون أكثر منطقية نقول : {1 ، 1 ، م ، م} = 4ق2 × 2 × (9)² = 972

حيث 4 = عدد عناصر المجموعة ، 2 = عدد الوحايد فى المجموعة ، م = 9

لنعود الى المثال الذى كنا نعمل عليه وندرس جميع حالات (الواحد) التى تتمثل
فى المجموعات التى عددها = اصفار المليون = 6 مجموعات (اسياسية)
+ المجموعة السابعة والتى تساوى 0  .


{م ، م ، م، م ، م ، م} = 0

{1 ، م ، م ، م ، م ، م} = 6ق1 × 1 × (9)^5 = 354294

{1 ، 1 ، م ، م ، م ، م} = 6ق2 × 2 × (9)^4 =  196830

{1 ، 1 ، 1 ، م ، م ، م} = 6ق3 × 3 × (9)³   =  43740

{1 ، 1 ، 1 ، 1 ، م ، م} = 6ق4 × 4 × (9)²  =   4860

{1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، م} = 6ق5 × 5 × 9     =    270

{1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 1} = 6

وأخيراً العدد مليون يحتوى على 1

محصلة المجموع = 600001

فكرة الحل سليمة واتمنى ان اكون قد وصلت الى الحل السليم .. اى أن مجموع الوحايد
فى الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ومليون = 600001  واحد .

                                (ن-1)     ن     
والقانون هو : (ن+1) +  سيجما      ق × ر × 9^(ن-ر)
                                 ر=1         ر

حيث ن = قوى العدد عشرة

مثال اذا قولنا احسب عدد الوحايد فى جميع الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ، 100
فإن : 100 = (10)²  وبالتالى ن = 2       .. وهكذا

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
يمكن اثبات ان القانون السابق = ن10^(ن-1) + 1 من خلال نظرية ذات الحدين .

                       ن     ن
(س+ص)^ن = سيجما   ق س^ر ص^(ن-ر)  نشتق الطرفين جزئياً بالنسبة لـ س
                     ر=0        ر

                               ن    ن
ن(س+ص)^(ن-1) = سيجما   ق × ر × س^(ر-1) ص^(ن-ر)
                             ر=0       ر

                 بوضع س=1  ، ص = 9 للطرفين ..

                      ن     ن
ن10^(ن-1) = سيجما   ق × ر × 9^(ن-ر)   نقوم بفصل الحدين الأول والأخير ..
                    ر=0       ر

                           ن-1    ن
ن10^(ن-1) = ن + سيجما   ق × ر × 9^(ن-ر) 

                           ر=1       ر

بإضافة (1) للطرفين (كحالة خاصة فى حالة اردنا حساب عدد الواحايد)

                                       ن-1     ن
ن10^(ن-1)  + 1 = (ن+1) + سيجما   ق × ر × 9^(ن-ر) 

                                       ر=1        ر

المصدر

تابع القراءة

0 حل المتباينة جا(4س) > جذر(2)/2

.               جذر(2)
جا(4س) > ــــــــــــ   وبتحويلها الى معادلة ..
                  2

             جذر(2)                        ط                        ط
جا4س = ــــــــــــ   ومنها  4س = ــــــــــ   ومنها س = ــــــــــ
               2                             4                        16        


                    ط       3ط                      3ط
او 4س = ط - ــــــــ = ــــــــ  ومنها  س = ـــــــــــ
                    4        4                        16

ارسم خط الأعداد وعلم (بالتقريب) عند ط/16≈0.2  ، 3ط/16≈0.59
فيتكون لديك ثلاث فترات (احدهما (على الأقل) يحقق المتباينة)

الفترات هى :

الأولى : من 0 الى ط/16

الثانية : من ط/16 الى 3ط/16

الثالثة : من 3ط/16 الى 2ط

خذ من كل فترة عدد ما ينتمى اليها (وتحقق منه  فى المتباينة)

مثلاً : فى الفترة الأولى ط/32 تنتمى اليها

جا(4×ط/32) ≈ 0.382  ولكن جذر(2)/2 ≈ 0.707

لذلك فإن 0.383 ليست أكبر من 0.707

الفترة الثانية : العدد 2ط/16 ينتمى اليها ..

جا(4×2ط/16) = 1   وهى بالفعل أكبر من جذر(2)/2

الفترة الثالثة : العدد ط ينتمى اليها ..

جا(4ط) = 0  ليست أقل من جذر(2)/2

اذاً الفترة التى تحقق المتباينة هى : ]ط/16 ، 3ط/16[

تابع القراءة

0 متتابعة هندسة حدها الثالث = 3 وحدها الأول = مجموع الحدود التالية له الى مالانهاية ؟

ح3 = 3   اى ان :  أر² = 3    حيث أ = الحد الأول ، ر = أساس المتتابعة

أ = 2[أر + أر² + أر³ + ........] = 2[أ +أر + أر² + أر³ + ... ] - 2أ

(أضفنا 2أ ثم طرحناها مرة ثانية)

اذاً : أ + 2أ = 3أ =  2[أ +أر + أر² + أر³ + ... ]

وبما ان المجموع الى لا نهاية اذاً هى متتابعة هندسية تقاربية .. اى ان
اساسها ر فى الفترة ]1 ، -1[  وعندما عدد الحدود يؤول الى مالانهاية فإن :-

                                             أ(ر^ن - 1)          -أ            أ
مجموع متتابعة هندسية = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــــــ
                               ن←∞         ر - 1              ر-1         1 - ر

وهذا لأن  ر^ن  = 0  عندما ن تؤول الى مالانهاية بشرط ان تكون ر فى الفترة ]1 ، -1[

                 2أ
اذاً : 3أ = ــــــــــــــ           وبقسمة الطرفين على أ
              1 - ر

     2
ـــــــــــــــ = 3   ومنها   3 - 3ر = 2  اى ان -3ر = 2 - 3 = -1
   1 - ر
                                               1
وبقسمة الطرفين على -3  اذاً : ر = ـــــــــ
                                               3

بالتعويض فى :  أر² = 3

          1                           1
اذاً :  (ــــــــ)² أ = 3   ومنها  ـــــــــ أ = 3
          3                           9

             
اذاً : أ = 3 × 9 = 27
                       

                                           1        1        1
المتتابعة هى : {27 ، 9 ، 3 ، 1 ، ــــــــ ، ـــــــــ ، ـــــــــ ، ...... }
                                           3        9        27

تابع القراءة

1 ما هى طريقة حل المعادلات التفاضلية عدديا ً ؟

عندك عدة طرق منها طريقة أويلر ،وهى طرق تشبه التكامل العددى الى حد ما
وتتطلب ايضاً شروط بدئية .

مثال : المعادلة التفاضلية y' = 1+y

عين قيمة تقريبية لـ  y(1) ..l  اذا علمت ان y(0) = 0

ضع n=4  يعنى قسم الفترة الى 4 فترات .

...................................................
الحل : h = 1/4 = 0.25

حيث يمكن تقسيم الواحد الى فترات جزئية

t0 = 0
t1 = 0.25
t2 = 0.5
t3 = 0.75
t4 = 1

y1 = y0 + hf(t0 , y0)     ..l

y1 = 0 + 0.25 = 0.25

y2 = 0.25 + 0.25(1.25) = 9/16

y3 = 9/16 + 0.25(1.5625) = 61/64

y4 = 61/64 + 0.25(1+61/64) = 1.441

طبعاً بعد التقريب .

اذاً : y(1) ≈ 1.44‏

..............................................................................
جاء هذا التعريف نتيجة التعريف العام لمشتقة الدالة ...

f'(x) = [f(x+h) - f(x)]/h  عندما h تؤول للصفر .

اذاً : f(x+h) - f(x) = hf'(x)   ll

ومنها .. f(x+h) = f(x) + h'f(x)  ll

ولكن ماذا لو كانت h تقترب من الصفر وفقط اى يمكن ان تكون ربع
او ثمن او اى عدد مثلاً بين الصفر والواحد فهنا استعملنا التقريب فنقول

f(x+h) ≈ f(x) + hf'(x)    ll

ومن خلال هذا التعريف يمنكك ايجاد المشتقة الثانية والثالثة
والرابعة، وبصفة عامة المشتقات من الرتب العليا ... ففى
المثال السابق اعطاك معادلة تفاضلية f'(x) = f(x)+1 وطلب منك
f(1) علماً بأن (هذا شرط بدئى) f(0) = 0  هو اعطاك دالة
الصفر وطلب منك دالة الواحد .. ما هى المسافة بين الـ 0
والواحد ؟ هى بالتأكيد 1 فقط ولكن اذا وضعنا h=1 فإنها ستعطى
نتائج غير دقيقة (او لم تقترب من النتيجة المطلوبة بالقدر الكافى)
لذلك اذا اردنا المزيد من الدقة نقسم 1 على 4 (كمثال فقط)
فتكون h = 1/4  ثم نبدأ من 0 ثم 1\4 ثم 1\2  .. وهكذا الى
ان نصل الى دالة الواحد .. ولاحظ كل مرة نضيف 1\4 فقط
والتى هى قيمة h .

طول الفترة 1 قسمنها الى فترات جزئية ..

f(0.25) = f(0) + 0.25f'(0) = 0.25

ما الذى حدث فى هذه الخطوة ؟

ما حدث هو اردنا ايجاد صورة 0.25 التى تلى صورة 0 حسب القاعدة
وهو ذكر فى السؤال ان f(0) = 0  ولكن كيف اوجدنا f'(0)  ?l
بكل بساطة عوضنا فى f'(x) = f(x)+1  نضع x=0
f'(0) = f(0)+1   = 0+1 = 1  والآن ننتقل الى الخطوة التى تليها ..

f(0.5) = 0.25 + 0.25f'(0.25) = 9/16

سأذكر ايضاً سريعاً ما حدث فى هذه الخطوة بحيث لا أكرر ما قلته مرة أخرى ..
فأعتقد ان كل شىء واضح فيما عدا قيمة f'(0.25) قد تكون غامضة بعض الشىء ..
ايضاً بكل بساطة عوض فى f'(x) = f(x)+1  نضع x=0.25
أى ان : f'(0.25) = f(0.25)+1  ولكن f(0.25) l هذه قط حصلنا عليها من
الخطوة الأولى f(0.25) = 0.25   بالتعويض اذاً : f'(0.25) = f(0.25)+1 = 1.25

نظل هكذا نكرر الخوارزمية الى أن نصل الى قيمة f(1) التى طلبها منك فى السؤال ...

f(1) ≈ 1.44

وتجدر الإشارة هنا الى ان المثال الضى وضعته مجرد لتوضيح الفكرة لا أكثر
ولا اقل والا فإنه يمكنك ايجاد f(1)  ll  بدون استخدام هذه الطريقة، عن طريق
حل المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى بهذه الطريقة ..

y' = y+1  -----> dy/dx = y+1

ولكن من خواص النسبة والتناسب انك اذا بدلت وضع الطرفين او الوسطين
فإن التناسب يظل صحيحاً ايضاً، وهذا يعطينا : dy/(y+1) = dx وبمكاملة
الطرفين نحصل على : ln(y+1) = x+c  والتى يمكنك وضعها فى الصورة

ln(y+1) = x+lnc  ومنها  ln(y+1) - lnx = x  ومن خواص اللوغاريمات نستنتج أن :

ln[(y+1)/c] = x   بأخذ e للطرفين ..  e^ln[(y+1)/c] = e^x

اى ان :  ll             (y+1)/c = e^x  وبعد التبسيط ينتج لنا المعادلة الأصلية
على هذا الشكل : y = ce^x - 1  حيث c ثابت التكامل .. والذى نوجده من
خلال الشرط البدئى الذى وضعه لنا f(0) = 0   بالتعويض ...

ce^0 - 1 = 0   اى ان :  c - 1 = 0   ومنها  c=1  لتكون المعادلة هى :

f(x) = e^x - 1   ومنها  f(1) = e - 1  ≈ 1.71828

وطبعاً هى تقترب (الى حد ما) من 1.44 ولكن ليست بالقدر الكافى
وهذا لأننا أخذنا h = 1/4 ولو انك قسمت طول الفترة التى تساوى 1
الى 8 فترات جزئية لحصلت على نتيجة افضل .. وهكذا .

تابع القراءة

7 حل المعادلات بطريقة الخوارزمي , طريقة هندسية ..

هى ليست معادلات فقط لكنها متطابقات، مثل متطابقة المربع الكامل
وفرق المربعين، ومجموع المكعبين او الفرق بينهما، وغيرها ..
هل فكرت فى احدى المرات ما معنى س² - ص²  هندسياً ؟
انها رسمة بسيطة تستطيع ان تستنتج منها مباشرة ً تحليل
فرق المربعين، وليكن المربع الأول (الأكبر) طول ضلع س بداخله
مربع آخر (الأصغر) بطريقة ما طول ضلعه ص فكانت الرسمة كما
هى موجودة فى المراجع .. ما هى س² - ص²  ؟  انها مساحة
المربع الذى طول ضلعه س مطروح منه المربع الصغير الذى طول
ضلعه ص، وهذه نوجدها عن طريق تقسيم المساحة المطلوبة
الى أشكال نعرف مساحتها جيداً (كما هو مبين بالرسم) لتجد
ان : س² - ص² = ص(س-ص) + س(س-ص)

وبأخذ (س - ص) عامل مشترك ..

= (س - ص) (س+ص)  وهذا هو تماماً تحليل فرق المربعين ..

فما هى طريقة (نشر) المربع الكامل بطريقة هندسية ايضاً ؟
فى المراجع الشكل ايضاً يوضح ذلك، فمعنى ان نقول (س+ص)²
فهذا مما يدع مجالاً للشك اننا نقصد مساحة المربع الذى طول
ضلعه (س+ص) هل رأيت كيف ان الطريقة سهلة وممتعة ايضاً ؟
ثم آتينا على ضلع المربع ووضعاً (فرضاً) طول كلاً من س ، ص ..
والآن نريد وضع مساحة المربع لكن فى صورة أخرى غير(س+ص)²

مساحة المربع (كما هو واضح بالشكل)

= مساحة المربع الذى طول ضلعه س + مساحة المربع الذى طول ضلعه ص
+ 2×مساحة المستطيل الذى بعداه س ، ص

= س²+ص²+2س ص = س² + 2س ص + ص²

وهذا هو تماماً مفهوم نشر المربع الكامل بطريقة جبرية ..

(س+ص)² = س² + 2س ص + ص²

والآن اتركك لتستعمل نفس الطريقة لإيجاد (س+ص+ع)²
بطريقة هندسية ايضاً ...

فرق بين مربعين

 

 

مربع كامل

تابع القراءة

0 اوجد رقمى الاحاد والعشرات للعدد 23 اس 442

لمعرفة مرتبتى الآحاد والعشرات لهذا العدد الكبير
نقوم بقسمة العدد على 100 بحيث ان كان هناك باقى للقسمة فبالتأكيد سيتكون
من رقم او رقمين .. بحيث هما رقمى الآحاد والعشرات .. مثال اوجد رقمى الآحاد
والعشرات للعدد 666  معروف مباشرة ً انهم 6 ، 6  ولكن اذا قسمت على 100
فإن باقى القسمة هو 66 وهذا يؤكد لنا ان القسمة على 100 تعطي نتيجة الآحاد
والعشرات .

وهنا نستخدم ميزة هامة جداً وهى gsd(23 , 100) = 1
وتعنى ان 23 و 100 عددان اوليان فيما بينهما .. اذاً ومباشرةً
نستعمل مبرهنة أويلر (والتى هى تعميم لمبرهنة فيرما الصغرى)

ll           23^∅(100) ≡ 1 (mod100)        ll

والآن نستعمل دالة اويلر ∅ لإيجاد قيمة ∅(100)

نحلل :   100 = (2)² × (5)²

ll       ∅(100) = 100(1 - ½) (1 - 1/5) = 40   بالتعويض ..


ll                      23^40 ≡ 1 (mod100)     ll   اذاً ..

ll              (23^40)^11 ≡ 1 (mod100)     ll

ll                    23^440 ≡ 1 (mod100)     ll  بضرب الطرفين فى 23 تربيع ..

ll                    23^440 * (23)² ≡ (23)² (mod100)     ll

ll              23^442 ≡ (23)² (mod100)     ll

ولكن 23² = 529

ll                     529 ≡ 29  (mod100)       ll


اذاً : ll             23^442 ≡ 29 (mod100)     ll

اذاً رقم الآحاد = 9  ورقم العشرات = 2

تابع القراءة

1 اثبت ان مساحة القطاع الدائرى = ½نق² هـ

نعلم ان :        ل
             ـــــــــــــ = هـ
                 نق

حيث ل = طول القوس ، نق = نصف قطر الدائرة ، هـ = قياس الزاوية بالتقدير الدائرى .

ومنها : ل = هـ × نق

الآن فى الرسم فى المراجع قمت بتقسيم القطاع الدائرى الى عدد لا نهائى
من المثلثات المتساوية الساقين، بحيث كل ساق = نق

مساحة المثلث = ½ القاعدة × الإرتفاع

وعندما تقون هذه المثلثات كثيرة جداً فإننا لا نفرق وقتها بين نق وبين
ارتفاع المثلث ..

نفرق اننا قسمنا قوس القطاع الى ل0 ، ل1 ، ل2 ، ل3 ، ..... الخ

مساحة المثلث الأول = ½ل0 نق
مساحة المثلث الثانى = ½ل1 نق  .. وهكذا

مساحة جميع هذه المثلثات = مساحة القطاع الدائرى

= ½ل0 نق + ½ل1 نق + ½ل2 نق + .......

بأخذ ½نق عامل مشترك ...

= ½نق (ل0+ل1+ل2+ل3+.....)

ولكن (ل0+ل1+ل2+ل3+.....) = طول القوس = ل   اذاً

مساحة القطاع الدائرى = ½ل نق

ولكن ل = هـ×نق  بالتعويض ..

اذاً : مساحة القطاع الدائرى = ½×هـ×نق×نق = ½نق² هـ

حيث هـ قياس الزاوية المركزبة (للقطاع الدائرى) بالتقدير الدائرى .

تابع القراءة

0 أوجد القاسم المشترك الأعظم للعددين 2746 ، 335

أوجد القاسم المشترك الأعظم للعددين 2746 ، 335 ثم عبر عنه بالشكل
2746m+335n‏

بما انك ذكرت وضعه على الصيغة التى ذكرتها اذاً نوجد
القاسم المشترك الأكبر عن طريق القسمة خوارزمية (خوارزمية اقليدس)
بحيث نقسم العدد الكبير على العدد الصغير ونكتب خارج وباقى القسمة
على الشكل التالى ونظل نكرر فى الخوارزمية ال ان نصل الى القاسم
المشترك الأكبر .

2746 = 8(335) + 66   كيف عرفنا انها 8 ؟  جرب عدة محالاوت الى ان تصل اليها ..

والآن gsd(2746 , 335) = gsd(335 , 66)    ll وهكذا فى كل مرة حتى لا اكرر ما اكتبه ..

335 = 5(66) + 5  

66 = 13(5) + 1   بما ان باقى القسمة (الاخير) 1  اذاً gsd(2746 , 335) = 1

والآن لكى تكتب القاسم المشترك الأعظم على الصيغة التى طلبها منك
يجب ان تسنتجها بصورة تراجعية (اى تبدأ من اعلى الى اسفل بعد ان تكتب
بواقى قسمة كل معادلة من هؤلاء على حدى .. بهذه الطريقة)

66 = 2746 - 8(335)           (1)

5 = 335 - 5(66)               (2)

1 = 66 - 13(5)                (3)     عوض عن 5 من (2)

1 = 66 - 13[335 - 5(66) ] = 66 - 13(335) + 65(66) = 66(66) - 13(335)

والآن عوض عن 66 (التى داخل القوس فقط) من معادلة (1)  ..  اذاً

66[2746 - 8(335)] - 13(335) = 66(2746) - 528(335) - 13(335)

= 66(2746) - 541(335)


اى أن : ll      1 =66(2746) - 541(335)    ll

اذاً m = 66  و n = - 541‏

تابع القراءة

0 اوجد تكامل (س+1)/(س-2س+1)² دس

.       س+1
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  جذر(س² - 2س + 1)

لاحظ المقام مربع كامل ..

            س+1                       س+1
= ∫ ــــــــــــــــــــــــ دس = ∫  ــــــــــــــــــــ دس
       جذر(س - 1)²                   س-1


اطرح واحد من البسط .. ثم ضيفه مرة أخرى ..

        (س-1) + 2
= ∫ــــــــــــــــــــــــــ دس   .. وزع البسط على المقام
           س-1


        س-1                     2
= ∫ ــــــــــــــ دس + ∫ ـــــــــــــــــ دس
        س-1                 س-1


= ∫دس + 2∫1/(س-1) =س

= س + 2لط|س-1| + ث   حيث س > 1

ولكن الحالة السالبة مقبولة ايضاً (لأن الجذر عليه تربيع)
وهنا نعيد تعريف دالة المقياس على انها : جذر(س-1)² = |س-1|
فتحل التكامل مرة عندما س > 1  فتأخذ المقام س-1 ثم تحله مرة
أخرى على أن س < 1 فنأخذ المقام فى هذه الحالة -(س-1)

ملحوظة يمكن اعادة تعريف دالة المقياس هكذا

د(س) = |س| = جذر(س)²

فعندما نقول ان س عدد حقيقى فإن جذر(س)² دائماً موجب
لأى س عدد حقيقى (اى س سالب او موجب) او بمعنى
آخر : د(س) = س  عندما س أكبر من او يساوى الصفر
د(س) = -س  عندما س اقل من الصفر .

الحالة الثانية هى :

        س-1                     2
= ∫ ــــــــــــــ دس + ∫ ـــــــــــــــــ دس
     -(س-1)                -(س-1)


        س-1                     1
= ∫ ــــــــــــــ دس - 2∫ ـــــــــــــــــ دس
     -(س-1)                 (س-1)


= - [س + لط|س+1|] + ث

او يمكنك حتى تتجنب كل هذا ان تجعله كما هو على صورته الأولى ..

            س+1                      
= ∫ ــــــــــــــــــــــــ دس   ضع س-1=ص  ومنها س = ص+1
       جذر(س - 1)²            


اذاً : دس = دص   عوض فى التكامل ..

           ص+2                    ص             2
=  ∫ ـــــــــــــــــــــ دس = ∫ ــــــــــــــ + ــــــــــــــ دس
        جذر(ص)²               جذر(ص)²    جذر(ص)²


= ∫ ص × (ص²)^-1\2 دص + 2∫(ص²)^-1\2 دص


= ½∫2ص × (ص²)^-1\2 دص + 2∫(ص)^-1 دص

التكامل الأول عبارة عن تكامل دالة مضروبة فى مشتقتها
والثانى هو ص^-1 = 1\ص وتكامله هو لط|ص|   اذاً


التكامل = ½×2 × (ص²)^½ + لط|ص| + ث

= (ص²)^½ + لط|ص| + ث

= جذر(ص)² + لط|ص| + ث =

= جذر(س - 1)² + لط|س - 1| + ث

= |س - 1| + لط|س - 1| + ث

ونقول فى هذه الحالة حيث س فى الفترة ح - {1}

تابع القراءة

0 اثبت ان الدائرتين متماستان مبياً نوع التماس

س²+ص²-2س+4ص-11=0   ،  (س-7)² + (ص-6)² = 36

الجل : لكى نثبت ان الدائرتين المذكورتين فى السؤال متماستان
يجب ان نثبت ان معادلة المماس للدائرة الأولى ومعادلة
المماس للدائرة الثانية مشتركان فى نقطة وحيدة وهى
نقطة التماس (اى نحلهم معاً) .. طبعاً هذه طريقة
ويوجد طريقة أخرى مباشرة بأن تقوم بحلهم من الآن
(بدون اشتقاق) بحيث نثبت ان لهم حل وحيد وهى
نقطة التماس .. ولكننا سنحل بالطريقة الأولى ..


س²+ص²-2س+4ص-11=0     -------->   (1)

(س-7)² + (ص-6)² = 36   فك المعادلة ..

س² - 14س + 49 + ص² - 12ص + 36  = 36

س²+ص²-14س-12ص+49=0    -------->   (2)

بطرح (2) من (1)

12س+16ص = 60   بقسمة الطرفين على 4

3س+4ص = 15  

                                       15 - 3س
4ص = 15 - 3س  ومنها ص = ـــــــــــــــــــ -------->   (3)
                                          4

بالتعويض فى معادلة  (1)

س²+ص²-2س+4ص-11=0     -------->   (1)

         (15 - 3س)²
س² + ـــــــــــــــــــــ - 2س + 15 - 3س - 11 = 0
              16


         (15 - 3س)²
س² + ـــــــــــــــــــــ - 5س + 4 = 0
              16

بضرب لطرفين فى 16 ..

16س² + (15 - 3س)² - 80س + 64 = 0

16س² + 225 - 90س + 9س² - 80س + 64 = 0

25س² - 170س + 289 = 0

المميز = [(170)² - (4×25×289)] = 0

وهذا يدل على انه يوجد حل وحيد فقط للدائرتين معاً وهى نقطة التماس

(( أكمل حل المعادلة بالقانون العام))

            170
س = ــــــــــــــــــ = 3.4    بالتعويض فى معادلة (3)
          2 × 25



          15 - 3س
ص = ـــــــــــــــــــ -------->   (3)
            4

         15 - 3(3.4)
ص = ــــــــــــــــــــــ = 1.2
              4

اذاً نقطة التماس هى (3.4 ، 1.2)

اذا كان التماس من الخاجر فإن طول القطعة المستقيمة
الواصلة بين مركزى الدائرتين = مجموع انصاف اقطارهم
وهذا ما سنثبته .. نقوم بإكمال المربع أولاً فى الدائرة الأولى

س²+ص²-2س+4ص-11=0

س² - 2س  + ص² + 4ص  -11 = 0

لكى نكمل المربع لكلاً من حدودية س ، ص
فإننا نحتاج الحد الثالث والذى = (½ معامل الحد الخالى من تربيع)²
مثلاً : س² - 2س  كيف نوجد الحد الثالث ؟

(½ × -2)² = (-1)² = 1

بالمثل : ص² + 4ص  الحد الثالث = (½×4)² = 4

والآن نقوم بإضافة 1 + 4 = 5  وطرحها مرة أخرى ..

س² - 2س + 1 + ص² + 4ص + 4 - 5 - 11 = 0

(س-1)² + (ص+2)² = 16

اذاً مركز الدائرة هو : (1 ، -2)  ونصف قطرها = 4

الدائرة الثانية : (س-7)² + (ص-6)² = 36

مركزها (7 ، 6)  ونصف قطرها = 6

مجموع نق1+ق2 = 4 + 6 = 10

الآن بقانون البعد بين نقطتين نوجد طول القطعة المستقيمة
بين النقتطين (7 ، 6) ، (1 ، -2)

= جذر[(7 - 1)² + (6 - -2)²] = جذر(100) = 10

اذاً نوع التماس (من الخارج)

تابع القراءة

0 اثبت ان 561 عدد كارمايكل

 نقول :
على عدد ما n انه عدد كارمايكل اذا وجد عدد طبيعى a
بحيث يحقق : a^(n-1) ≡ 1 (mod n)  ll  لكل gsd(a,n) = 1
اى ان القاسم المشترك الأكبر بين a و n يساوى 1 او بمعنى
آخر كلاً من n وعدد ما a اوليان فيما بينهما .. والآن اذا قمت
بتحليل العدد 561 الى عوامله الأولية تجد ان :

561 = 3 × 11 × 17

نفرض وجود عدد طبيعى a  بحيث :

gsd(a,3) = gsd(a,11) = gsd(a,17) = 1

((بالتطبيق المباشر لمبرهنة فيرما الصغرى نحصل على الآتى))

a² ≡ 1 (mod 3)  , a^10 ≡ a (mod11)  , a^16 ≡ a (mod 17) ll

والآن نأخذ كل تطابق على حدى ونجرى عليه بعض العمليات الجبرية ..

a² ≡ 1 (mod 3) ---> (a²)^280 ≡ 1(mod3) ---> a^560 ≡ 1(mod3) ll

a^10 ≡ 1 (mod 11) ---> (a^10)^56 ≡ 1(mod11) ---> a^560 ≡ 1(mod11) ll

a^16 ≡ 1 (mod 17) ---> (a^16)^35 ≡ 1(mod17) ---> a^560 ≡ 1(mod17) ll


وهذا يؤدى بنا الى أن :  a^560 ≡ 1 (mod 3×11×17)    ll

أى أن : a^560 ≡ 1 (mod 561)        ll

اذاً 561 عدد كارمايكل .

ويمكنك أيضاً بطرق أن تثبت ان 561 هو اصغر عدد كارمايكل

تابع القراءة

0 اوجد تكامل جذر(س)/[الجذر التعكيبى لـ(س) + 1] دس

نظراً لوجود الجذور المختلفة فى المسألة فإن البداية
الأنسب تكون بالتعويض، ومن ثم اجراء قوانين التكامل
المعروفة .. سأبدل بدلاً من الجذر التعكيبى لـ س
بـالرمز ج3(س)

      جذر(س)
∫ ــــــــــــــــــــ دس 
   1 + ج3(س)

نفرض أن ج3(س) = ص  ومنها (1\3) س^-2\3 دس = دص

(1\3) × 1\ج3(س)² دس = دص  عوض عن ج3(س) = ص

(1\3) × 1\ص² دس = دص ومنها دس = 3ص² دص

والآن يمكنك بسهولة ايجاد جذر(س) من خلال الفرضية
التى فرضناها وهى أن ج3(س) =ص ومنها س^1\3 = ص

اذاً : س = ص³  (بقسمة اسس الطرفين على 2)

س^1\2 = ص^3\2 اى ان : جذر(س) = جذر(ص)³ = ص جذر(ص)

بالتعويض فى التكامل فنحصل على .....

     ص³ جذر(ص)                   ص^3.5
3∫ ـــــــــــــــــــــــ دص = 3∫ ــــــــــــــــــــ دص
       ص+1                           ص+1

صنعت هذه الخطوات لأجل ان ابين لك اننا عندما فرضنا
أن : ج3(س) = ص كانت فرضية صحيحة لكنها جعلت
درجة البسط كما ترى كسرية 3.5 ونحن نريد التبسيط
بحيث تكون عملية القسمة المطولة سهلة وبسيطة ..
ولكى نتلاشى هذا العيب نفرض (بصفة عامة) ان ص
تساوى الجذر الذى رتبته (المضاعف المشترك الأصغر بين
الجذور الموجودة فى التكامل) ستجد ان المضاعف المشترك
الأصغر بين 2 ، 3 هى 6  اذاً نقول (بداية الحل هذه )

(( ج6 اقصد منها الجذر السادس))

نفرض أن : جذر6(س) = ص   اى ان : س^1\6 = ص

ومنها : (1\6) س^-5\6 دس = دص  اذاً (1\6) × 1\ج6(س)^5  دس = دص

عوض عن ج6(س) بـ ص 

 (1\6) × 1\ص^5 دس = دص  ومنها دس = 6 ص^5 دص

والآن يمكنك ايجاد جذر(س) والتى تساوى س^1\2 من خلال
الفرضية : س^1\6 =ص  بتكعيب الطرفين  ..

س^3\6 = ص³  ومنها س^1\2 = ص³  (اى ان جذر(س) = ص³)

بنفس الطريقة يمكنك الحصول على ج3(س)

س^1\6 = ص  بترتبيع الطرفين .. س^2\6 = ص² اى أن : ج3(س) = ص²

بالتعويض فى التكامل نحصل على هذا الشكل ..


      جذر(س)                 ص³ × ص^5                 ص^8
∫ ــــــــــــــــــــ دس = 6∫ ــــــــــــــــــــــ دص = 6∫ــــــــــــــــــ دص
   1 + ج3(س)               ص² + 1                     ص² + 1

وبما ان درجة البسط أكبر من درجة المقام اذاً تكون القسمة
المطولة طريقة مناسبة للحل ..

 ص^6 - ص^4 + ص² - 1
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
        ص^8                           | ص² + 1
                                           ــــــــــــــــــــ
        ص^8 + ص^6
............ بالطرح ............
     - ص^6
     -ص^6 - ص^4
............ بالطرح ............
      ص^4
     ص^4 + ص²
............ بالطرح ............
     - ص²
     -ص² - 1
............ بالطرح ............
   1

وبعدها يكون التكامل على هذا الشكل ...

                                               1
6∫(ص^6 - ص^4 + ص² - 1 + ــــــــــــــــــــ) دص
                                           ص² + 1


= 6[(1\7)ص^7 - (1\5)ص^5 + (1\3)ص³ - ص + ظا^-1(ص)] + ث


= 6[(1\7)(ج6(س))^7 - (1\5)(ج6(س))^5 + (1\3)(ج6(س))³ - (ج6(س)) + ظا^-1(ج6(س))] + ث

تابع القراءة

0 اوجد تكامل 1على الجذر الربع ل س+ الجذر الثالث ل س

                             1
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
   الجذر الرابع لـ(س) + الجذر الثالث لـ(س)

ونظراً لأن كلمة كلاً من الجذر الرابع والثالث طويل
سأختصرها الى :
الجذر الرابع لـ = ج4(س)
الجذر الثال = ج3(س)

              1
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــ دس   بأخذ ج4(س) عامل مشترك ..
    ج4(س) + ج3(س)

                1
∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
  ج4(س) [ج12(س) + 1]

نفرض أن : ج12(س) = ص   (نشتق الطرفين بالنسبة لـ س)

                                                                  12 دص
(1\12) س^-11\12 دس = دص  ومنها دس = ـــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                             ج12(س^-11)
             12 دص                    12 دص
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ = 12 ص^11 دص
      1\جذر12(س)^11           1\ص^11

وبما اننا فرضنا أن : ج12(س) = ص  اذاً نستطيع ان نوجد منها
جذر4(س)  (( نضع ج(س) على صورة الأس الكسرى))

س^1\12 = ص  بتكعيب الطرفين تحصل على  ..

س^3\12 = ص³   اى ان : س^1\4 = ص³  اى ان جذر4(س) = ص³
                                                        
بالتعويض فى التكامل ينتج لنا .. (عوض واختصر ..)

     12 ص^11                         ص^8    
∫ ـــــــــــــــــــــــــ دص = 12∫ ـــــــــــــــــــــ دص
   ص³ (ص+1)                         ص+1

وبما ان درجة البسط أعلى من درجة المقام اذا القسمة
المطولة تكون مناسبة لنا فى هذه الحالة ...

 ص^7 - ص^6 + ص^5 - ص^4 + ص³ - ص² + ص - 1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
       ص^8                                                        | ص+1
                                                                       ـــــــــــــــــــ
     ص^8 + ص^7
............ بالطرح ...............
     - ص^7
    -ص^7 - ص^6
......... بالطرح .................
    ص^6
    ص^6 + ص^5
......... بالطرح .................
   - ص^5
   -ص^5 - ص^4
......... بالطرح .................
    ص^4
   ص^4 + ص³
......... بالطرح .................
   - ص³
   -ص³ - ص²
......... بالطرح .................
   ص²
   ص² + ص
......... بالطرح .................
  - ص
  -ص - 1
......... بالطرح .................
  1

وهكذا التكامل اصبح على هذا الشكل الطويل ..
                                                                                    1
12∫(ص^7 - ص^6 + ص^5 - ص^4 + ص³ - ص² + ص - 1 + ـــــــــــــــ ) دس
                                                                                 ص+1

= 12[(1\8)ص^8 - (1\7) ص^7 + (1\6) ص^6 - (1\5) ص^5 + (1\4) ص^4
- (1\3) ص³ + ½ص² - ص + لط|ص+1|] + ث

عوض عن قيمة ص = ج12(س)  نجد ان التكامل هو ..

= 12[(1\8)(ج12(س))^8 - (1\7) (ج12(س))^7 + (1\6) (ج12(س))^6 - (1\5)
 (ج12(س))^5 + (1\4) (ج12(س))^4
- (1\3) (ج12(س))³ + ½(ج12(س))² - (ج12(س)) + لط|(ج12(س))+1|] + ث

والذى يمكنك اختصاره أكثر من ذلك كما تشاء ...
 

تابع القراءة

0 اوجد تكامل (س³+3س²+3س+63)/(س-9)² دس

يمكنك حل هذا التكامل بالكسور الجزئية بحيث تجد ان درجة
البسط اقل من درجة المقام، وسنجرى بعض التعديلات البسيطة
أولاً قبل التجزىء كتحليل المقام (فرق بين مربعين) ويمكنك ترك
البسط كما هو، ولكن من الأفضل ان نجعله على هذا الشكل
س³+3س²+3س+1 + 62 = (س+1)³ + 62
واعتقد انك تعلم لماذا (هذا منشور ذات الحدين عندما ن=3)

.  (س³+3س²+3س+63)                  (س+1)³ + 62
∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس = ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
          (س² - 9)²                         (س-3)² (س+3)²

                        (س+1)³ + 62
والآن نفرض أن :  ـــــــــــــــــــــــــــــ
                      (س-3)² (س+3)²

 
        أ                  ب                جـ                د   
= ـــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ
     (س-3)         (س-3)²        (س+3)         (س+3)²

وبعد توحيدك للمقامات ينتج :

  أ(س-3) + ب      جـ(س+3) + د     
ــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــ
   (س-3)²             (س+3)²               

    أ(س-3)(س+3)²+ب(س+3)²+جـ(س+3)(س-3)²+د(س-3)²
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                         (س-3)² (س+3)²

اذاً :

 أ(س-3)(س+3)²+ب(س+3)²+جـ(س+3)(س-3)²+د(س-3)²  = (س+1)³ + 62

(س+3)²[أ(س-3)+ب] + (س-3)²[جـ(س+3)+د] = (س+1)³ + 62

ضع س=3 للطرفين ينتج لك  : 36ب = 126  ومنها ب = 7\2 = 3.5
ضع س=-3 للطرفين ينتج لك : 36د = 54     ومنها د = 3\2 = 1.5
ضع س=0 للطرفين ::: -27أ+9ب+27جـ+9د = 63   (عوض عن ب ، د)  تجد أن :

-27أ+27جـ = 18    ---------> -3أ+3جـ = 2  ---------> (1)

ضع س=1 للطرفين ::: -32أ+16ب+16جـ+4د = 70  (عوض عن ب ، د) تجد أن :

-32أ+16جـ = 8    --------->   -4أ+2جـ = 1 ---------> (2)

بضرب (1) × 2  وضرب (2) × -3

-6أ + 6جـ = 4
12أ - 6جـ = -3
....... بالجمع .......

6أ = 1  ومنها أ = 1\6  بالتعويض فى (1) ينتج لنا : -3(1\6)+3جـ = 2

ومنها : جـ = 5\6

ملخص ما سبق : أ = 1\6  ، ب = 7\2 ، جـ = 5\6  ، د = 3\2   بالتعويض ..
نجد ان المقدار داخل التكامل اصبح بهذا الشكل ..

       1                 7                5                 3  
 ـــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ
   6(س-3)       2(س-3)²      6(س+3)        2(س+3)²

تكامل الكسور التى تحتوى على مقامات من الدرجة الأولى سهلة
ومعروفة (اجعل البسط مشتقة المقام) اما تكامل الكسور التى
تحتوى على مقامات من الدرجة الثانية فيمكنك رفع المقام الى
البسط بأس سالب ثم اجراء عملية التكامل المعروفة ... ولنأخذ
كل كسر منهم ونكامله على حدى ..

         1                                             5
∫ ــــــــــــــــ دس = 1\6 لط|س-3|  ، ∫ ـــــــــــــــــــ دس = 5\6 لط|س+3|
    6(س-3)                                     6(س+3)

     
         7                                                                               -7
∫ ــــــــــــــــــ دس = 7\2∫(س-3)^-2 دس = - 7\2 × (س-3)^-1 = ـــــــــــــــ
    2(س-3)²                                                                      2(س-3)²


وأخيراً ..

          3                                                                           -3
∫ ــــــــــــــــــــ = 3\2∫(س+3)^-2 دس = -3\2 × (س+3)^-1 = ـــــــــــــــ
   2(س+3)²                                                                  2(س+3)



      (س³+3س²+3س+63)                 
اذاً ∫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دس = 1\6 لط|س-3| + 5\6 لط|س+3|
          (س² - 9)²                     

         -7                -3
 + ــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ + ث
    2(س-3)²       2(س+3)

تابع القراءة

0 من أين أتت دالَّة جاما ؟

Γ(s) = integral( t^( s - 1 ) e^-t )dt ( from t = 0 to ∞ )‏

سؤالك أكثر من رائع .. عندما نقول على مساحة
ما تحت منحنى انها تقاربية فى فى الفترة من 0
الى ∞ فهذا يعنى اننا حصلنا على ناتج محدد
لهذا التكامل عندما x تؤول الى مالانهاية، الآن

         1        1       1          1
هـ = ــــــ + ــــــ + ــــــــ + ــــــــ + ....
         0!      1!       2!         3!

اذاً كان ولابد من وجود علاقة تربط بين المضاريب وبين
العدد النيبيرى e او هـ (بالعربية) .. نترك هذا الموضوع
جانباً ونكامل :

∞                              ∞
∫هـ^-س دس = -[هـ^-س] = -[هـ^(-∞) - هـ^(-0)]
0                                0

= 1

والسبب فى ذلك يعود الى أن : نهـــــا هـ^-س = 0
                                      س←∞

تكامل هـ^-س من 0 الى ∞

هناك تكامل مشهور كـ جتاس هـ^س او جاس هـ^س
ومن ضمن هذه التكاملات : س^ن هـ^-س حيث :
ن = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، .........}

((ثم عممت الدالة فيما بعد لإيجاد مضروب اى عدد
بصفة عامة حتى ولو كان مركباً بشرط الا يكون الجزء
الحقيقى عدد صحيح سالب ))
   
الآن : يمكنك ايجاد التكامل السابق بالتجزىء،او يمكن
اشتقاقه أولاً بهذه الطريقة .. وليكن التكامل السابق
دالة فى (ن) .. بحيث : د(0) = 1

(س^ن هـ^س) َ = ن س^(ن-1) هـ^س - س^ن هـ^-س

بمكاملة الطرفين فى الفترة ]∞ ، 0]

∞                         ∞
∫(س^ن هـ^-س) َ = ن∫ س^(ن-1) هـ^-س دس
0                           0
   ∞
 - ∫س^ن هـ^-س دس
   0

 0  =  ن د(ن-1) - د(ن)  ومنها د(ن) = ن د(ن-1)

وهذه اهم خاصية والتى نبنى عليها فيما بعد .. والتكامل
                                        ∞                        
الأول بصفر لأن : [س^ن هـ^-س] = 0
                                         0
والآن : د(ن) = ن د(ن-1)  تعنى .............. الآتى

د(ن) = ن د(ن-1)
د(ن-1) = (ن-1) د(ن-2)
د(ن-2) = (ن-2) د(ن-3)
د(ن-3) = (ن-3) د(ن-4)
.
.
.
د(1) = 1
د(0) = 1

ومن هنا ينتج لنا الآتى (بضرب هذه المعادلات)

د(ن)×د(ن-1)×د(ن-2)×.....×د(1)×د(0)

= ن! × د(ن-1)×د(ن-2)×....×د(1)

وبعد الإختصارات فى الطرفين ينتج لنا :

د(ن) = ن!
                ∞
د(ن) = ن! = ∫س^ن هـ^-س دس
                 0

مثال : كيف نوجد 3!  نضع ن=3

            ∞
د(3)=3!= ∫س³ هـ^-س دس = 6
              0

((طبعاً بعد حلك لهذا التكامل بالتجزىء ..))

ولتعريف الدالة على الأعداد الكلية
بدل ن بـ ن-1 ولاحظ كلها رموز اعتباطية

بحيث تكون د(1) = 0! = 1 
د(2) = 1! = 1 ، د(3) = 2! = 2  وهكذا ..

والآن ما هو مضروب الـ 0.5 ؟
 
         ∞   
0.5 ! = ∫جذر(س) هـ^-س دس
          0

   جذر(ط)
= ـــــــــــ  ≈ 0.886
      2

تابع القراءة

0 اوجد قانون عام لحساب المجموع 1+2(2)+3(2)²+4(2)³+...+ ن(2)^(ن-1)

استخدم حساب التفاضل والتكامل لتسهيل الحل
على نفسك .. نبدأ من المتتابعة الهندسية الآتية
حدها الأول س ، واساسها س ايضاً .

                                      س(س^ن - 1)         س^(ن+1) - س
س+س²+س³+....+س^ن = ـــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                            س - 1                 س - 1 


اشتق الطرفين بالنسبة لـ س

1 +2س+3س²+4س³ + ..... + ن س^(ن-1)

   (س-1)[(ن+1) س^ن - 1] - س^(ن+1) +س
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       (س-1)²


وبوضع س=2 للطرفين تحصل على المجموع ..

1 + 2(2) + 3(2)² + 4(2)³ + ... + ن (2)^(ن-1)


    (2 -1)[(ن+1) 2^ن - 1] - 2^(ن+1) +2
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                      (2 - 1)²


= [(ن+1) 2^ن - 1] - 2^(ن+1) +2

= (ن+1) 2^ن - 2^(ن+1) + 1

تابع القراءة

0 حول المجموع (سيجما) ومجموع ريمان

∑ او حاصل المجموع سيجما هو رمز كثيراً ما
يستخدم فى الرياضيات لا سيما المتقدمة منها
بحيث يختصر عليك كتابات ورموز كثيرة فى نموذج
او شكل واحد تظل محتفظ به فى تصورك الذهنى فقط .
ومثال ذلك عندما تكتب :

1+س+س²+س³+....

اظنك قد علمت تماماً ما هو الحد الخامس ؟
والحد الذى يليه، والذى يلى التابع له، والذى يليه
وهكذا .. هل تعرف الحد المليون ؟ .. الحد اللانهائى ؟
فى الحقيقة هذا مستحيل كتابته، وتتبع الحدود الى
ان تصل الى الحد اللانهائى، لأن الحد اللانهائى لا
تستطيع ان تكتبه، ولكن يمكنك تصوره، او تخيل
جميع الحدود التى على شاكلته، ونكتب هذا
المجموع بالصورة ..

  ∞
سيجما س^ن
ن=0

والتى تعنى اجمع جميع الحدود التى تتخذ الشكل
س^ن من لكل ن تنتمى للمجموعة {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ......}

الحد الأدنى : ن = 0
الحد الأعلى : لا يوجد فهو مستمر الى لانهاية .

1) حاصل الجمع او طرح مجموعين

يتم كما لو كنت تجمع س+3س = 4س
مثال :

    ∞                     ∞
أ سيجما س^ن + ب سيجما س^ن
 ن=0                   ن=0

              ∞
= (أ+ب) سيجما س^ن  والطرح كذلك ..
            ن=0

وهذا بديهى وواضح جداً، فعندما تكتب

س+ص + 2ص+2ص = (س+ص) + 2(س+ص)

= (1 + 2) (س+ص) = 3(س+ص)

2) الضرب والقسمة نكتبهم كما هما
...............................................................
نظرية ذات الحدين :
                      ن    ن
(س+ص)^ن = سيجما  ق س^(ن-ك) ص^ك
                   ك=0      ك

وهذا يظهر لك عندما تنشر هذه الحدود، بوضع ن=0
تحصل على الحد الأول والذى له الرتبة 0  .

ن
ق س^(ن-0) ص^0 = س^ن
 0

وهذا يؤكد لنا أن الحد الأول فى منشور ذات الحدين
هو دائماً س^ن ، ويؤكد لنا ايضاً عدد الحدود بعد
النشر يساوى ن+1 حداً .
...................................................................
مجموع ريمان :

ارسم اى دالة د(س) وقسمها الى شرائح مستطيلات
فى الفترة من أ الى ب .. الآن عندما نقول ان الفترة
من 1 الى 3 اذا ً طول الفترة = 3 - 1 = 2

طول الفترة = ب - أ

قم بتقسمها الى ن من الفترات .. يتكون لديك دلتا س

           ب - أ
∆س = ــــــــــــــ
             ن

مساحة المستطيل = الطول × العرض

= ∆س × د(س)

لكننا نريد مجموع شرائح المستطيلات ..
ولكن د(س) هذه قيم متغيرة، لذلك نفرض
ان بداية الفترة من س0 الى س ن
لماذا س0 ؟؟

نشاط : ارسم خط مستقيم وقسمه الى 5 فترات
متساوية لتجد ان عدد النقاط بدئاً بالحروف = عدد
الفترات الجزئية +1

س0 ، س1 ، س2 ، ..... ،س ن ما هى الا رموز تعبر
عن س والتى تليها بحيث الفرق بين الواحدة والأخرى يؤول
الى الصفر عندما ن (عدد الفترات) يؤول الى اللانهاية ..

بصفة عامة نطلق عليها س ر حيث ر = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ....}

س ر = س0 + ر ∆س

مثال : س1 = س0 + ∆س

وهذا طبيعى جداً أن س1 هى القيمة التى تلى س0
فى الترتيب والفرق بينهما ∆س

            ن      
نهــــــــا سيجما د(س ر) ∆س
ن←∞   ر=1

نفسر هذا المجموع بأنه حاصل جمع شرائح المستطيلات
المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات فى الفترة [أ،ب]
بحيث ان مساحة كل شريحة = د(س ر) ∆س

لا تشغل بالك بالأمر كثيراً، مع كثرة استعمالك لهذه الرموز ستتعود عليها ..

تابع القراءة