هل يمكن ايجاد جذر(7) بدون آلة حاسبة ؟

نعم بالتحليل العددى، واشهر طريقة هى :
طريقة نيوتن رافسون :

نفرض أن : جذر(7) = س

بتربيع الطرفين نحصل على : س² = 7

ومنها : س² - 7 = 0

ما هى القيمة س التى تجعل المعادلة = 0  ؟

نضع المقدار السابق فى صورة دالة :

د(س) = س² - 7

قاعدة نيوتن رافسون :

                            د(س(ن))
س(ن+1) = س(ن) - ـــــــــــــــــــ
                           دَ(س(ن))

دعك من الصيغة فقد تبدو مربكة قليلاً

الصيغة تقول حدد س (اى عدد تشك انه قريب من الناتج)

ثم الصيغة تقول :
                                             قيمته فى الدالة
العدد الذى يليه = العدد السابق له - ــــــ،،،،ــــــــــــــــــ
                                            قيمته فى المشقة


نوجد المشتقة الأولى للدالة :

دَ(س) = 2س

الآن نخمن جذر(7) = ؟  بالتقريب

مثلاً نحن نعلم أن جذر(4) = 2
وجذر(9) = 3

اذاً جذر(7) محصور بين الـ 2 و الـ 3
ولنبدأ بالعدد س = 2

ثم ندرس حالات س (المتغيرة)

              د(2)               -3
س = 2 - ــــــــــــــ = 2 -  ــــــــــ = 2.75
              دَ(2)                4

لاحظ س = 2.75 قريبة ايضاً من جذر(7)

هذه الخوارزمية كررها الى أن تحصل على أعلى
دقة ممكن لجذر(7)

نكرر نفس الخطوات ..

                د(2.75)                0.5625
س = 2.75 - ـــــــــــــ = 2.75 - ــــــــــــــــ
               دَ(2.75)                  5.5


≈ 2.647727273    

وهذا قيمة قريبة معقولة لـ جذر(7)

اذا كتبت جذر(7) على الآلة يظهر لك :

جذر(7) ≈ 2.645751311

وهى قريبة جداً من القيمة التى حصلنا عليها

ولكن كما ترى طريقة ربما تكون طويلة فى البداية
تحتاج منك فقط ان تفمهما جيداً ، وان تتعود على استعمالها
وتوجد ايضاً طريقة أخرى للتقريب وهى مبرهنة القيمة الوسيطة .

بحيث نعطى لـ س قيمتين .. قيمه منهم تجعل الدالة د(س) = س² - 7
موجبة ، والقيمة الأخرى تجعل الدالة سالبة، ومن ثم نجمع س الأول
مع س الثانية ونقسم على 2 .. الناتج الذى يظهر لك عوض به فى الدالة
الى ان تعطيك صفر .. او عدد قريب جداً من الصفر ، تكون وقتها س هى
أقرب ما يمكن للحل ..

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بطريقة القيمة الوسيطة :

(وأقترح عليك هذه الطريق لأنها سهلة الفهم والتطبيق)

نعلم أن جذر(7) محصور بين س = 2   و  س = 3

بالتعويض فى الدالة : د(س) = س² - 7

بحيث نريد س التى تجهل د(س) = 0

د(2) = 4 - 7 = -3
د(3) = 9 - 7 = 2

لاحظ الأولى اعطتنا قيمة سالبة والثانية اعطتنا قيمة موجبة
وهذا شرط اساسى لتطبيق المبرهنة، بحيث تقترح عليك الآتى

                                            2 + 3
نأخذ س المتغير فى هذه الحالة = ــــــــــــــــ = 2.5
                                               2

عوض فى الدالة الأصل ..

د(2.5) = (2.5)² - 7 = -0.75

بما ان القسمة س = 2.5 اعطت قيمة سالبة
اذاً نأخذ آخر قيمة موجبة اعطتها لنا س وهى 3

  2.5 + 3
ـــــــــــــــــــ = 2.75
      2


د(2.75) = 9\16 = 0.5625

نأخذ مع س = 2.75       س  = 2.5

    2.75 + 2.5
ــــــــــــــــــــــــــــــ  = 2.625
          2


د(2.625) = (2.625)² - 7 = -7\64 = - 0.109375


س =  2.625  نأخذ معها  س = 2.75

  2.75 + 2.625          43
ـــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = 2.6875
          2                  16

وهكذا لاحظ كلما كررت التجربة أكثر من مرة كلما تتوصل
الى أعلى دقة ممكن لـ جذر(7)