اوجد منشور تايلور للدوال الآتية f(x,y) = x³ - 2x y² عند -1و1 ، tan^-1(y/x) عند 1و1
الجمعة، 4 مايو 2012
التسميات:
التفاضل والتكامل,
مواضيع متنوعة
أولاً : يمكنك مطالعة الصيغة العامة لمنشور تايلور فى دالة متعددة المتغيرات على موقع ويكيبيديا .
ثانياً : مراجعة القواعد المقدمة على التفاضل الجزئى ومنها القاعدة : dz = dx fx + dy fy
حيث fx و fy هما المشتقة الجزئية بالنسبة لـ x و y على التوالى .
الآن يمكننا إعادة تعريف الدوال السابقة بدلالة مشتقاتها
الجزئية عندما تقترب الدالة من نقطة معينة (a,b)
بحيث : f(x,y) = f(a,b) + (x-a)fx(a,b)+(y-b)fy(a,b) + 1/2![(x-a)²fxx
(a,b)+2(x-a)(y-b)fxy(a,b)+(y-b)²fyy(a,b)] + ... ll
نلاحظ الترتيب فى الحدود كما هو الترتيب فى نظرية ذات الحدين .
الدالة الأولى يمكن نشرها فى صورة متسلسلة منتهية من الحدود .
بحيث نوجد المشتقات الجزئية حتى المشتقة الثالثة .
f(x,y) = x³ - 2x y²
f(-1,1) = (-1)³ - 2(-1)(1)² = 1
fx = 3x² - 2y²
fx(-1,1) = 1
fy = 4xy
fy(-1,1) = -4
fxx = 6x
fxx(-1,1) = -6
fxy = 4y
fxy(-1,1) = 4
fyy = 4x
fyy(-1,1) = -4
fxxx = 6
fxxy = 0
fxyy = 4
fyyy = 0
الآن يمكننا النشر بـ :
f(x,y) = f(a,b) + (x-a)fx(a,b)+(y-b)fy(a,b) + 1/2![(x-a)²fxx(a,b)+2(x
-a)(y-b)fxy(a,b)+(y-b)²fyy(a,b)] + ... ll
f(x,y) = 1 + (x+1) - 4(y-1) + (1/2!) [-6(x+1)² + 8(x+1)(y-1) - 4(y-1)
²] + (1/3!) [6(x+1)³ + 12(x+1)(y-1)²] ll
والتى يمكن ان تبسط أكثر من ذلك اذا تتطلب ذلك ..
وحتى لا نكرر نفس الخطوات مع الدالة الثانية (نظراً لطول الطريقة) لكن الأهم من الحل
هو فهم ما تتضمنه الطريقة، بحيث فى المتسلسلات اللانهائية لسنا مجبرين لإيجاد جميع
المشتقات (لان هذا مستحيل أصلاً) لأنها لا نهائية يكفى فقط تتبع الحدود الأولى منها بحيث
ننظر هل يمكن استنتاج ان الحدود تتخذ ترتيب معين نستطيع ان نعمم عليه بقية الحدود ان
امكن ذلك فهو أفضل بالتأكيد .
1) التركيز على متسلسلة تايلور فى متغير واحد (لأنه نفس الترتيب فى عدة متغيرات)
2) التدريب على قوانين المشتقات الجزئية، والتفاضل والتكامل فى متعدد المتغيرات .
3) مراجعة نظرية ذات الحدين بحيث الترتيب فى الحدود ذات العوامل ll 1/n! ll تتخذ نفس
الترتيب، او يمكنك مباشرة ً معرفة تسلسل عوامل ذات الحدين فى مثلث باسكال .
F(x,y)=tan^(-1) (y/x) (1,1) ll
مشتقة الزاوية
بصفة عامة مشتقة الظل العكسى = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(الزاوية)² + 1
نراها قد تحولت الى كسر .. لذلك يمكن تطبيق قاعدة القسمة فى الإشتقاق ..
مشتقة البسط × المقام - مشتقة المقام × البسط
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(المقام)²
سنعطى نبذة فقط عن المشتقات الجزئية وبالتالى يمكنك التوسع فيها ان شئت
للوصول الى الدقة المطلوبة .
f(x,y) = tan^-1(y/x) ll
f(1,1) = pi/4
fx = yln(x)/[(y/x)² + 1] ll
fx(1,1) = 0
fy = (1/x)/[(y/x) + 1] ll
fy(1,1) = 0.5
fxx = [(y/x)[[(y/x)² + 1] - 2(y/x)y²ln²(x)]/[(y/x) + 1]² ll
fxx(1,1) = 0.5
ولكن توجد طريقة تسهل علينا عملية الإشتقاق وهى أن نضع y/x = u
اضغط هنا اذا لم يكن نص كتابة المعادلات واضح (نظراً لطول المتسلسلة)
ثانياً : مراجعة القواعد المقدمة على التفاضل الجزئى ومنها القاعدة : dz = dx fx + dy fy
حيث fx و fy هما المشتقة الجزئية بالنسبة لـ x و y على التوالى .
الآن يمكننا إعادة تعريف الدوال السابقة بدلالة مشتقاتها
الجزئية عندما تقترب الدالة من نقطة معينة (a,b)
بحيث : f(x,y) = f(a,b) + (x-a)fx(a,b)+(y-b)fy(a,b) + 1/2![(x-a)²fxx
(a,b)+2(x-a)(y-b)fxy(a,b)+(y-b)²fyy(a,b)] + ... ll
نلاحظ الترتيب فى الحدود كما هو الترتيب فى نظرية ذات الحدين .
الدالة الأولى يمكن نشرها فى صورة متسلسلة منتهية من الحدود .
بحيث نوجد المشتقات الجزئية حتى المشتقة الثالثة .
f(x,y) = x³ - 2x y²
f(-1,1) = (-1)³ - 2(-1)(1)² = 1
fx = 3x² - 2y²
fx(-1,1) = 1
fy = 4xy
fy(-1,1) = -4
fxx = 6x
fxx(-1,1) = -6
fxy = 4y
fxy(-1,1) = 4
fyy = 4x
fyy(-1,1) = -4
fxxx = 6
fxxy = 0
fxyy = 4
fyyy = 0
الآن يمكننا النشر بـ :
f(x,y) = f(a,b) + (x-a)fx(a,b)+(y-b)fy(a,b) + 1/2![(x-a)²fxx(a,b)+2(x
-a)(y-b)fxy(a,b)+(y-b)²fyy(a,b)] + ... ll
f(x,y) = 1 + (x+1) - 4(y-1) + (1/2!) [-6(x+1)² + 8(x+1)(y-1) - 4(y-1)
²] + (1/3!) [6(x+1)³ + 12(x+1)(y-1)²] ll
والتى يمكن ان تبسط أكثر من ذلك اذا تتطلب ذلك ..
وحتى لا نكرر نفس الخطوات مع الدالة الثانية (نظراً لطول الطريقة) لكن الأهم من الحل
هو فهم ما تتضمنه الطريقة، بحيث فى المتسلسلات اللانهائية لسنا مجبرين لإيجاد جميع
المشتقات (لان هذا مستحيل أصلاً) لأنها لا نهائية يكفى فقط تتبع الحدود الأولى منها بحيث
ننظر هل يمكن استنتاج ان الحدود تتخذ ترتيب معين نستطيع ان نعمم عليه بقية الحدود ان
امكن ذلك فهو أفضل بالتأكيد .
1) التركيز على متسلسلة تايلور فى متغير واحد (لأنه نفس الترتيب فى عدة متغيرات)
2) التدريب على قوانين المشتقات الجزئية، والتفاضل والتكامل فى متعدد المتغيرات .
3) مراجعة نظرية ذات الحدين بحيث الترتيب فى الحدود ذات العوامل ll 1/n! ll تتخذ نفس
الترتيب، او يمكنك مباشرة ً معرفة تسلسل عوامل ذات الحدين فى مثلث باسكال .
F(x,y)=tan^(-1) (y/x) (1,1) ll
مشتقة الزاوية
بصفة عامة مشتقة الظل العكسى = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(الزاوية)² + 1
نراها قد تحولت الى كسر .. لذلك يمكن تطبيق قاعدة القسمة فى الإشتقاق ..
مشتقة البسط × المقام - مشتقة المقام × البسط
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(المقام)²
سنعطى نبذة فقط عن المشتقات الجزئية وبالتالى يمكنك التوسع فيها ان شئت
للوصول الى الدقة المطلوبة .
f(x,y) = tan^-1(y/x) ll
f(1,1) = pi/4
fx = yln(x)/[(y/x)² + 1] ll
fx(1,1) = 0
fy = (1/x)/[(y/x) + 1] ll
fy(1,1) = 0.5
fxx = [(y/x)[[(y/x)² + 1] - 2(y/x)y²ln²(x)]/[(y/x) + 1]² ll
fxx(1,1) = 0.5
ولكن توجد طريقة تسهل علينا عملية الإشتقاق وهى أن نضع y/x = u
اضغط هنا اذا لم يكن نص كتابة المعادلات واضح (نظراً لطول المتسلسلة)
1 التعليقات:
ممكن درس قيم القصوى ارجوكم
إرسال تعليق