حل المعادلة xy+2x+y=15 فى Z

هذا النوع من المعادلات لها طريقة خاصة للحل
تسمى (المعادلات الديفونتية) من الرتبة الثانية :
وحلها يكون بتلك الطريقة السريعة التى اذكرها لك .

xy+2x+y=15

نوجد القاسم المشترك الأكبر لجميع عواملها فيما عدا
الحد المطلق :

gcd(1 , 2 , 1) = 1

متى يقبل الطرف الأيسر التحليل ؟
عندما نضيف للطرفين العدد 2

xy + 2x + y + 2 = 17

ومنها نحصل على : ll                                      ( x + 1) ( y + 2) = 17

هكذا تم التحليل ، الآن نقول ماذا لو كانت x + 1
عامل من عوامل العدد 17 ؟
لتحليلك للعدد 17 تجد أنه عدد أولى غير قابل
للتحليل .. فقط يمكن القول ان 17 = 1 × 17
او : 17 = -1 × -17

نضع : x + 1 = 1   ومنها     x = 0

بالتعوض فى الأصل تحصل على y + 2 = 17
ومنها y = 15

الفرض الثانى ضع x+1 = -1  ومنها x = -2

عوض فى الأصل : ll                                      ( x + 1) ( y + 2) = 17

اذاً : ll                                                                     -(y+2) = 17

ومنها  y + 2 = -17   اذاً  y = -19

الآن 17 نفسها هى احدى قواسم العدد 17

اذاً نضع x + 1 = 17  ومنها x = 16

بالتعويض فى المعادلة الأصل ..

ll                                                                        17(y+2) = 17

ومنها  y + 2 = 1   اذاً   y = -1


وأخيراً نأخذ آخر قاسم من قواسم العدد 17
وهو العدد -17  .

نضع : x+1 = -17   ومنها  x = -18

بالتعويض فى المعادلة الأصل :


ll                                                                    -17 (y+2) = 17

ومنها  y+2 = -1   اذاً  y = -3

وهذه هى جميع الحلول الممكنة فى Z

مجموعة الحل فى Z  هى :

ll                            {(0,15) , (-2,19) , (16,-1) , (-18,-3)}           ll‏