1 هل هناك طريقة بديلة عن الضرب المطول، وتكون سريعة، وفعالة ؟

هذه الطريقة جربتها ووجدتها تعمل جيداً، خاصةً اذا اردت
 ان تحسب عملية الضرب فى سطر واحد بدلاً من ان كان
يستغرق عدة اسطر للوصول الى النتيجة، والتجربة
اشبه ما تكون بالعمليات على المصفوفات، او المحددات .. تابع


تعريف : يُقال للعمود على انه عمود ضربى اذا
واذا فقط كان مكون من حدو اعلى ع1 ، وحد
ادنى ع2 ، ولكن كلاً من ع1 ، ع2 صحيحين
تحمل ارقاماً من 0 الى 9 ، وتكون بهذا الشكل
ع1

ع2

مثال : 5

        7

عامود ضربى حده الأعلى 5 ، وحده الأدنى 7

ثانياً ضرب الأعمدة : ( نبدأ بالأمثلة اولاً )

3   5    
         = (3×7) + (5×1) = 26
1   7

ربما لاحظت انها طريقة تشبه طريقة ايجاد محدد
مصفوفة من النظم 2×2 (لكن الإشارة مخالفة)

                                  5   4    3
مثال2) اوجد  :        
                                  9   7    1

ملحوظة هامة ( ليس المقصود هنا الضرب العادى )
اى اننى لم اقصد 345 × 179 لا ليس هذا  هو المقصود
اطلاقاً .. ولذلك هذه خطوة سنلجأ اليها لاحقاً .. تابع

 5   4    3    
               = (5×1) + (3×9) + (4×7) = 60
 9   7    1

                           3   7   2    1
مثال 3) اوجد قيمة :
                           5   4   0    0

الحل : = (3×0)+(1×5)+(7×0)+(2×4) = 13

                          3   4    2   7   9
مثال 4) اوجد قيمة :
                          1   7    0    0   1
الحل :
= (3×1)+(9×1)+(4×0)+(7×7)+(2×0) = 61

                                 أ1       أ3
ملاحظات اذا كان كلا من :                 عمود ضربى فإن :
                                أ2        أ4

أ1 ، أ2  يسميان الطرفين ، أ3 ، أ2 بالوسطين
لذلك فإن قيمة العمود المفرد = الحد العلوى×الحد السفلى
بينما اذا كانت اذا تشكلت من عمودين، فنطلق عليها اسم
مصفوفة ضربية ( مربعة ) ، ويكون حلها :
= حاضل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين
او : حاصل ضرب القطر الرئيسى + حاصل ضرب القطر الثانوى .
او : مجموع حاصل ضرب القطرين ( لأن عملية الجمع ، الضرب
ابدالى كما تعلمون .. )

مثال 5) ((( وهذا اول مثال تطبيقى على ما سبق )))

اوجد حاصل ضرب :  29 × 56

             9   2
الحل : ×        
             6   5  
 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= العمود الرئيسى ، المصفوفة المربعة ، العمود الثانوى
مع الأخ فى الإعتبار انه اذا كان قيمة اى منهم اكبر من 9
فإننا نأخذ اول رقم فقط ، والباقى لقيمة العمود الذى يليه ..

ملحوظة : يسمى ارقام الآحاد بالعمود الرئيسى
والعمود الآخير ( سواء كان عشرات، او مئات او الوف ... الخ )
بالعمود الثانوى ، وهو فى مثالنا هو عمود العشرات .. تابع

              9   2
لذا فإن : ×
              6   5
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= (9×6) ، [(9×5)+(2×6)] ، (2×5)

لاحظ ان : 9×6 = 54 لذلك فإننا نأخذ 4 فقط
وتكون 5 مضافة للخانة التى تليها .. وهكذا

= 4  2  6   1

لذلك فإن : 29 × 56 = 1624

(( طبعاً كل هذه الخطوات تجرى ذهنياً، ووضعتها
فقط للتوضيح ..! ))
والمطلوب هو اجراء عملية الضرب فى سطر واحد
بدلاً من الضرب المطول الذى يحتاج الى عدة سطور .
لذلك فإنك تحتاج الى حفظ جدول الضرب الأساسى
من 1 الى 12 ، وايضاً ان تكون سريع فى الجمع
وان ان هذه الأشياء سهلة .. مثال عندما تفكر
ذهنياً ووجدت انك تريد جمع 5 + 9  + 4 + 7 + 6
ما رأيك فى هذا الترتيب العشوائى ؟؟ لكنك من المفترض
انك تعلم مسبقاً ان 4+6 = 10 لذلك فإن 7 + 4 = 10 ايضاً
مضافة اليها 1  ... وهكذا عود نفسك نشر العدد الذى تريد
جمعه لتصل الى قيمة معينة انت بالتأكيد تريد الوصول اليها ..

وايضاً عندما تأتى بقيمة عمود ويكون مثلاً الباقى 7
متى تضع الباقى للعملية التى تليه ؟؟ هل نضعه اولاً
ام مؤخراً .. ام وسط العملية التى تليها ؟؟ اقترح عليك
هنا على حسب ظروف المسألة يعنى مثلاً اذا كان الباقى
7 ثم بدأت تضرب الذى يليه ( طرفين ، وقبل ما تجمع عليه الوسطين
وجدت ان قيمته 3 ، ولكن الباقى من العملية السابقة 7 اذاً فى هى
الحظة، وسريعاً ( فى اقل من لحظة ) تقول 10 ( ذهنياًً ) ثم تجمع
عليه حاصل ضرب الوسطين .. وهكذا

مثال 6) وجد حاصل ضرب  13 × 12

3   1
2   1

= 6   (مجموع حاصل ضرب القطرين = 5)     1

= 6 5 1


مثال7) اوجد : 256 × 902

     6   5   2
×
     2   0   9

الحل  ( لن يأخذ عدة ثوانى ) لكنى هنا سأهتم بالشرح اكثر

6                               2
   يسمى عمود رئيسى ،    يسمى عمود ثانوى
2                               9

     6   5   2
×
     2   0   9

6×2 = 2 ، والباقى 1 يضاف الى (6×0)+(5×2)
فتجد انه 1 ، والباقى 1 ايضاً هذا الواحد يضاف الى
(5×9)+(2×0)  = 6 ، والباقى 4 تضاف الى ؟؟


لاحظ كأننا اخذنا العمود الرئيسى هو البداية ثم اخذنا
معه الذى ليه ، ثم الذى يليه ( الأخير )، واذا راجعت اعلاه
تجد انه اذا كان عمود بين عمودين فإن الناتج الضرب لهم
= مجموع حاصل ضرب القطرين + قيمة العمود الأوسط
(( والذى يساوى الحد الأعلى × الحد الأدنى ))

وصلنا الى : والباقى 4 تضاف الى ؟؟
(6×9)+(2×2)+(5×0) = 2 والباقى 6

ثم احفظ مؤقتاً ان الباقى 6 ، ثم ابدأ بالعمود الثانوى
وكرر نفس الخطوت التى فعلتها مع العمود الرئيسى
لكن الحل يكون من اليسار الى اليمين ..!
الى ان تتلقى بالوسط .. (( ارجو ان تكون هذه الخطوة واضحة ))
تكرر نفس الخطوات بإستثناء الخطوة الأخيرة .. يعنى
تبدأ بضرب (2×9) = 18 واتركها كما هى .. عموماً سأترك هذا
المثال، وأبدأ بمثال آخر :-

     402
×   23

هنا تضع صفر على يسار 23

    402
×  023
ــــــــــــــــــــــ
6  4   2 ║  9

من الفترض ان الناتج 9246
وضعت الإشارة ║ اى انه الى هنا نبدأ
بتكرار نفس الخطوات مع العمود الثانوى
وهو هنا  4 .. مرى أخرى تابع
           0

    402
×  023
ــــــــــــــــــــــ

الخانة الأولى : 2×3 = 6
الخانة الثانية = (2×2)+(0×3) = 4
الخانة الثالثة = (2×0)+(4×3)+(0×2) = 12
اى ان الخانة الثالثة = 2 ، والباقى 1 ( ضعه فى ذاكرتك )
وتذكر ان الخانة الواحد لا تتحمل الا ارقاماً من 0 الى 9 فقط ..
الآن انت وصلت الى : 6  4   2 حيث قلت 2 ، والباقى 1
مباشرةً انتقل الى العمود من اليسار ( الثانى ) واترك فراغ
كبير نسبياً عند 6  4   2                 ..   ابدأ من هنا مثلاً

لماذا تركت فراغ ؟؟ لأنك ستكرر نفس الخطوات فيما عدا الأخيرة
مع العمود الثانوى لذلك الحل هذه المرة سيكون من اليسار
الى اليمين ( هل انتبهت ؟؟ ) لذلك اذا وجدت خانة اكبر من 9
( ضعها كما هى مؤقتا ) ولا تضعها بجانب الخانات الأصلية التى
كنت حصلت عليها .. تابع

    402
×  023
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6  4   2  ..فراغ هنا لا تكتب شىء .. ثم فى هذه
                                              المنطقة ابدأ
                                              بضرب 4×0 = 0
                                              ثم (4×2)+(0×0)=8
                                              ربما الآن اول ما يخطر
                                               ببالك تقول ثم
                                    (4×3)+(2×0)+(0×2)
                                     طبعاً هذه الخطوة لا تفعلها
                                    لأنها مكررة = 12 وقد وضعناها
                                   سابقاً وقلنا = 2 ، والباقى 1
                                   .. المهم انت حصلت على 8
                                    ولكن كان الباقى من عملية العمود
                                    الرئيسى 1 تضيفة لـ 8 اصبحت 9

لذلك فإن :
    402
×  023
ـــــــــــــــــــــــــ
= 9246

صديقى العزيز هل تعلم ان حل هذه المسألة وترتيبها
وكتابة الحل كل هذا لم يستغرق منى سوى من 10 ثوانى
الى 15 ثانية ؟؟ لذلك انت لست مكلف انت تكتب اقواس
مثلاً وتكتب حاصل ضرب الطرفي + حاصل ضرب الوسطبن
وكل هذا وضعته للتوضيح فقط ( كل هذه الخطوات ذهنية
وتحتاج الى منك الى بعض المهارات السريعة فى الجمع
وحفظ جدول الضرب البسيط من 1 الى 12 .. فقط

ملاحظات على الطريقة .. اذا كنت تضرب
عدد مكون من  " ن " رقم فى عدد مكون
ايضاً من " ن " رقم فإن حاصل ضربهما يكون
مكون من 2ن رقم او  ن + (ن-1)  رقم ..

2) المقصود من العمود الرئيسى، والثاوى، اى هو الذى
نظل نستعمله فى كل مرة نضرب فيها ( اى كأنه ثابت )
بمعنى انه اذا كان العمود الرئيسى ( عمود الآحاد )
5
    فإن قيمته وحده = (5×1) = 5
1   ثم نأخذه مرة ثانية مع العمود الذى يليه
        وكأنها شبكة ( اشبه بخلية النحل : )

5       3
             =(5×2) + (3×1) = 13
1       2

الآن ماذا لو جاء عمود ثالث عليهم ؟؟ .. تابع

5      3      0
                    هنا نقول ان الطرفين هما 5 ، 7
1      2      7  ، والوسطين هما 0 ، 1 ، ثم عمود الوسط
                      وهو  3 ، 2    .

= (5×7)+(0×1)+(3×2) = 41

لاحظ ان عملية الجمع السابقة انت تعلم ان
5×7 = 35 ثم نضيف اليها 3×2 = 6
خذ من الـ 6 5 واجمعها على 35 تصبح 40
ثم 1 اى 41 .. يعنى حاول تصل الى اقرب الحلول واسهلها ..

الآن ماذا لو اضفنا عمود رابع ؟؟

5      3      0       8
                   
1      2      7       9

هنا الطرفين هما 5 ، 9   .. الوسطين هما 8 ، 1
ثم لكن كلاً من العمود الأول والأخير يحصران فيما
بينهما عمودين آخرين، لذلك تكرر نفس الخطوات معهم
يعنى يصبح 3 ، 7  طرفين  ،  0 ، 2 وسطين .. انما
لو كانوا محصور فيما بينهما عمود واحد فقط فإننا نأخذ قيمته
وهو حاصل ضرب الحد الأعلى × الحد الأدنى .. لذلك :-

5      3      0       8
                   
1      2      7       9

= (5×9)+(8×1)+(3×7)+(0×2) = 45+20+9 = 74

لاحظ هنا لماذا قلت 45+20+9 ؟؟ كل هذه خطوات لا تكتبها
بمعنى 3×7 = 20 + 1  .. هل اتضحت الفكرة ؟؟

الآن ماذا لو اضفنا عمود خامس ؟؟ اظنك قد عرفتنا ..

5      3      0       8      1
                   
1      2      7       9      4

=(5×4)+(1×1)+(3×9)+(8×2)+(0×7)

نتيجة : اذا كان اجراء العملية على عدد اعمدة فردية
فإنه لابد من وجود عمود ( وسط ) قيمته = حاصل
ضرب الحدين ( الأعلى والادنى )  ، بينمها اذا كان
عدد الأعمدة ( التى نريد اجراء الضرب عليهما ) زوجى
فإنهم يصحران فيما بينهما عدد اعمدى زوجى ايضاً، وبذلك
ينتج ان عمود الوسط غير موجود .. مثال ( بعيد عن موضوعنا )

5          1             3

ما هو رقم الوسط ؟؟ بالتأكيد  1     الآن

5          2         1              3

ما هو رقم الوسط ؟؟ بالتأكيد لا يوجد لذلك نقول
ان كلاً من 2 ، 1  يتوسطان هذه الأرقام  .

░ مثال (7) ░ : اوجد : 3516 × 903
الآن هل ارقام العدد الأول = ارقام العدد الثانى ؟؟
بالطبع لا .. اذا ضع صفر على يسار العدد 903
لأن الصفر على يسار العدد ليس له قيمة .. فيكون :

    3516
×
    0903
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   3174948

هذا هو الناتج ..  ░ مثال (8)
اوجد : 64315 × 7034  بدون آلة حاسبة

    64315
×
    07034
ــــــــــــــــــــــــــــــــ
= 45239170


تذكير : لنفرض انك تريد تضرب هذين العددين
ونرمز للخانة بـ أ  ..

  أ1   أ2    أ3    .....   أ ن
 ب1  ب2  ب3   .....  ب ن

عمود الآحاد هنا ( الرئيسى ) أ1 ، ب1 قيمته = أ1×ب1
ثم نأخذ نفس العمود مع العمود الثانى : أ2 ، ب2
فتكون القيمة = حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين
= (أ1×ب2)+(أ2×ب1) .. ثم نفس العمود مع الثانى، والثالث ..
فيتكون (أ1×ب3)+(أ3×ب1)+(أ2×ب2)
ثم هو نفسه مع الأول، الثانى، والثالث، والرابع ... والنفرض
ان العمود الرابع هو أ4 ، ب4  فتكون القيمة
(أ1×ب4)+(أ4×ب1)+(أ2×ب3)+(أ3×ب2)
... وهكذا استمر الى ان تنتهى عند العمود أ ن ، ب ن
( هكذا انتهت مهمة العمود الرئيسى ) اتركه وخذ العمود
الثانوى، وكرر نفس الخطوت لكن من اليسار الى اليمين
مع ترك مسافة ( كبيرة نسبياً )، ولكن كلما ذادت ارقام العدد
فإنها تحتاج مزيداً من الوقت والتركيز .. لذلك فهذه الطريقة
( خصوصاً للمبتدئين ) فعالة جداً خاصة ً الى كانت المسألة
عبارة عن رقمين فى رقمين، او ثلاثة ارقام فى ثلاثة ارقام
او ثلاثة ارقام فى رقيمن .. وهكذا .. امثلة :-

  49
×
  42
ــــــــــــــــــــــ
8

لماذا وضعت 8 ؟؟ لأن 9×2 = 18 لذلك اخذنا 8 ، والباقى 1
ثم نضرب (9×4)+(4×2) = 44 نصيف اليها 1 ( الباقى )
تضبح 45  اى 5 ، والباقى 4

  49
×
  42
ــــــــــــــــــــــ
8 5

الآن مهمة العمود الرئيسى انتهت، كرر نفس العملية
مع العمود الثانوى 4 ، 4 فيما عدا الخطوة الأخيرة
( لأنها مكررة ) يعنى 4 × 4 = 16 وكان الباقى 4
16+4 = 20  نضعها كما هى لأن المسألة انتهت

  49
×
  42
ــــــــــــــــــــــ
8 5  0 2

               5   3
مثال آخر :×
               9   4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
       5   1   7   1


بإختصار : اذا رمزنا لخانة الآحاد أ ، العشرت ع
فيكون :
              أ1   ع1
          ×
             أ2    ع2
   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
    (أ1×أ2) ،  [(أ1×ع2)+(أ2×ع1)] ، (ع1×ع2)
     آحــــاد      عشــــــــــــــــرات     مئــــــات

ملحوظة قد يتطور الوضع الى خانة الآلوف ..

تابع القراءة

0 اوجد تكامل جذر(هـ^س + 1) دس من 0 الى 1

الحد الأدنى هو صفر ، والحد الأعلى 1
اولاً نوجد قيمة التكامل العام بدون حدود .

∫ جذر(هـ^س  + 1) دس

نفرض ان : هـ^س + 1 = ص²
، بمفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س

هـ^س دس = 2ص دص

             2ص دص
دس = ـــــــــــــــــــــ
             هـ^س

ولكن : هـ^س + 1 = ص²

ومنها : هـ^س = ص² - 1  بالتعويض ..  اذاً


             2ص دص
دس = ـــــــــــــــــــــ  ،، بالتعويض بكل هذا فى التكامل
             ص² - 1           الاصلى ..

                          2ص
∫ جذر(ص²) × ــــــــــــــــــــــ دص
                       ص² - 1

لاحظ جذر(ص²) = ص  .. تابع

           2ص²
= ∫ ــــــــــــــــــــــ دص
         ص² - 1

بإضافة 2 للسط وطرحها مرة أخرى ..

           2ص² - 2 + 2
= ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
              ص² - 1


          2(ص² - 1) + 2
= ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
              ص² - 1

بتوزيع البسط على المقام ..


                            2    
= ∫ 2دص + ∫ ـــــــــــــــــــــــــ دص
                       ص² - 1

وباقى التكامل يكون بالكسور الجزئية ..
حيث ان :

        2                       2
ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ
  (ص² - 1)        (ص - 1) (ص+1)

نضع هذا الكسر على الصورة :

          أ                        ب
= ـــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــ
     (ص - 1)               (ص+1)

ثم نقوم بتوحيد المقامات ..

     أ(ص+1) + ب(ص-1)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ  وهذا معناه ان :
      (ص-1) (ص+1)

أ(ص+1) + ب(ص-1) = 2

أص + أ + ب ص - ب = 2

ص (أ+ب) + (أ - ب) = 2

بوضع : ص(أ+ب) = 0 ومنها أ + ب = 0
وبوضع : أ - ب = 2
بحل المعادلتين معاً ينتج 2أ = 2  ، ومنها أ = 1
بالتعويض فى معادلة منهم .. ينتج
ب = -1     . .  بالعودة الى


          أ                        ب
= ـــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــ
     (ص - 1)               (ص+1)


          1                        1
= ـــــــــــــــــــــــ -  ــــــــــــــــــــــــ
     (ص - 1)               (ص+1)

التكامل الأصلى اصبح :

                            2    
= ∫ 2دص + ∫ ـــــــــــــــــــــــــ دص
                       ص² - 1

                      1                       1
= 2ص + ∫ ــــــــــــــــــ دص - ∫ــــــــــــــــــــ دص
                 ص - 1                 ص + 1

لاحظ ان البسط اصبح عبارة عن مشتقة المقام .. اذاً

= 2ص + لط (ص-1) - لط(ص+1)

ولا نضع الثابت (ث) لأننا نريد ان نحدده فى فترة ..
ولكن : ص = جذر(س^هـ + 1 ) بالتعويض نجد ان :
∫ جذر(هـ^س  + 1) دس
= 2جذر(هـ^س  + 1) + لط |جذر(هـ^س  + 1) - 1|
   -  لط |جذر(هـ^س  + 1) + 1|

وبإيجاد حدود التكامل من 0 الى 1


= 2جذر(هـ^س  + 1) + لط |جذر(هـ^س  + 1) - 1|
   -  لط |جذر(هـ^س  + 1) + 1|

من       0       الى            1
يتم التعويض بالحد العلوى (1) ثم ناقص الحد السفلى (0)
: لاحظ سيكون طويل جداً ولا يمكن كتابته فى سطر واحد ..

= 2جذر(هـ+1) + لط |جذر(هـ+1) -1|
   - لط |جذر(هـ+1) + 1|

 - 2جذر(2) - لط|جذر(2) - 1| + لط|جذر(2) + 1|

≈ 1.642



░ حل آخر ░

لاحظ يمكن وضع هـ^س على الصورة

[هـ^(س/2) ]²  حيث هـ العدد النيبيرى ..

وهذه الخطوة مهمة جداً، وهى من خصائص الأسس

ثم نفرض ان : هـ^(س/2) = ظاص
بمفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س :-

½ هـ^(س/2) دس = قا²ص دص


              2 قا²ص
دس = ـــــــــــــــــــــــــــ دص
            هـ^(س/2)

ولكن : هـ^(س/2) = ظاص بالتعويض نجد ان :

              2قا²ص
دس = ــــــــــــــــــــــ دص
              ظاص

بالتعويض فى التكامل الأصلى اصبح بهذا الشكل :

                                قا²ص
2∫ جذر(ظا²ص + 1) × ــــــــــــــــــــ دص
                                ظاص

ولكن اذا راجعت متطابقات الدوال المثلثية تجد
ان : ظا²ص + 1 = قا²ص ، وعندما تخرج من تحت
الجذر التربيعى تصبح قاص ، ويأخذ التكامل هذا الشكل .


      قا³ص
2∫ ــــــــــــــ دص
      ظاص

بتحويل كلاً من قا ، ظا الى جا ، جتا من الإختصار ..

             1              جتاص
= 2∫  ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــ دص
         جتا³ص           جاص

                1
= 2∫ ـــــــــــــــــــــــــــــ دص
         جاص جتا²ص

= 2∫قا²ص قتاص دص

= 2∫قتاص ( 1 + ظا²ص ) دص

= ∫قتاص دص + ∫قتاص ظا²ص دص


لاحظ انه يمكن فك قتاص ظا²ص الى

     1          جا²ص        جاص
 ـــــــــــ × ــــــــــــــ = ـــــــــــــــ
 جاص         جتا²ص      جتا²ص

      جاص          1
= ـــــــــــــ × ــــــــــــــ = ظاص قاص
    جتاص        جتاص

بالعودة للتكامل اعلاه اصبح بهذا الشكل ..

= 2 [∫قتاص دص + ∫ظاص قاص دص]

ربما تعلم ان قيمة ∫ظاص قاص دص = قاص
اى ان التكامل اصبح :

= 2 [قاص + ∫قتاص دص]

الآن بقى ايجاد ∫قتاص دص
هل تعلم ان : ∫قتاص دص = - لط|قتاص + ظتاص| ؟؟
والإثبات تستطيع ان تفهمه سريعاً :
∫قتاص دص

بضرب كلاً من البسط ، والمقام فى :
(قتاص + ظتاص)

               (قتاص + ظتاص)
∫قتاص × ــــــــــــــــــــــــــــــــ  دص
              (قتاص + ظتاص)


       قتا²ص + قتاص ظتاص
= ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
         قتاص + ظتاص

بأخذ -1 عامل مشترك من البسط

       - قتا²ص - قتاص ظتاص
= - ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
          قتاص + ظتاص

تماماً البسط هو مشتقة المقام، وقيمة
هذا التكامل = - لط|قتاص + ظتاص|

((لاحظ ان هذه الجزئية للشرح فقط، وكان يمكنك كتابتها
مباشرةً بدون اثبات ))

بالعودة الى الخطوة التى توصلنا اليها سابقاً، وهى :
 قاص + ∫قتاص دص

= قاص - لط|قتاص + ظتاص|

ولكن : هـ^(س/2) = ظاص
حاول تتخيل مثلث فيثاغورث، وان ظاص
للزاية (ص) حيث ان ظا= المقابل/المجاور
= هـ^(س/2)/1 ، فيصبح بذلك الوتر
= جذ[(هـ^س/2)² + 1 ] = جذر(هـ^س + 1)

بالعودة الى : 2 [قاص - لط|قتاص + ظتاص| ]
نحد اننا نريد كلاً من قاص ، قتاص ، ظتاص
من خلال معرفتنا ان :
المقابل = هـ^(س/2)
المجاور = 1
الوتر = جذر(هـ^س + 1)

                    1
اذاً : قاص = ــــــــــــــ = جذر(هـ^س + 1)
                 جتاص

               1          جذر(هـ^س + 1)
قتاص = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ
            جاص           هـ^(س/2)


               المجاور               1
ظتاص = ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
               المقابل          هـ^(س/2)


بعد التعويض بكل هذا نستنتج ان :

∫ جذر(هـ^س  + 1) دس

= قاص - لط|قتاص + ظتاص|

                                        جذر(هـ^س + 1)         1
= 2[ جذر(هـ^س + 1) - لط |ــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ|]
                                        هـ^(س/2)        هـ^(س/2)

الآن عوض بحدود التكامل من 0 الى 1
يتم التعويض بالرقم 1 اولاً ، ثم 0

                             جذر(هـ+1)              1
= 2[جذر(هـ+1) - لط|ـــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــ|
                                هـ^½            هـ^½


- جذر(2) + لط|جذر(2) + 1|  ]

≈ 1.642



░ حل ثالث ░

وهو اسهل من الحلين السابقين، لكن يحتاج الى
دراسة قاعدة سمبسون للتكامل المحدود، وبتقسيم
فترة التكامل الى فترتين كل فترة = ½ حيث ان قيمة
التكامل تقريباً :

    دلتا
≈ ـــــــــ [د(س1)+4د(س2)+د(س3)]
      3

دلتا = ½
د(0) = جذر(2)
د(½) = جذر(هـ^½ + 1)
د(1) =  جذر(هـ+1)

     1
اذاً: ∫ جذر(هـ^س  + 1) دس
      0

≈ ⅙[جذر(2)+4جذر(هـ^½ + 1)+جذر(هـ+1)]

≈ 1.642         ..  انتهى !


اضغط هنا لمشاهدة الحل بالرموز الإنجليزية 

تابع القراءة

1 اوجد نها(س←ط/4)(ظاس - ظتاس)/(4س - ط) بدون استعمال قاعدة لوبيتال

                 ظاس - ظتاس
نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س←ط/4        4س - ط

بالتعويض عن س = ط/4 تجد هذا المقدار = 0/0

نأتى الى البسط : ظاس - ظتاس  ونفكه الى

  جاس       جتاس         جا²س - جتا²س
ـــــــــــــ - ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 جتاس       جاس            جاس جتاس

ربما لو دققت جيداً ستعلم ان البسط هو قانون
ضعف الزاوية لجتا ، لكن ينقصه الترتيب
( بأخذ سالب عامل مشترك من البسط )
ايضاً المقام ينقصه 2 فقط حتى يصبح قانون
ضعف الزاوية لـ جا .. اذاً قم بوضع 2 فى المقام
يليها 2 فى البسط _ حتى لا  يحدث خلل او عدم
اتزان فى المسألة ..

          جتا²س - جا²س              جتا2س
= - 2  ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = -2 ــــــــــــــــ
           2 جاس جتاس                جا2س


= - 2 ظتا(2س)  بعد التعويض فى النهاية الاصلية :


                      ظتا(2س)    
-2 نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   س←ط/4        4س - ط

نفرض ان : ص = 4س - ط ، وعندما تؤول س = ط/4

                      ط
فإن : ص = 4 × ــــــــ - ط = 0
                      4

اى انه عندما تؤول س الى ط/4 فإن ص تؤول الى الصفر ..
، وبما ان :
ص = 4س - ط

اذاً : 4س = ص + ط ، ومنها س = (ص+ط)/4
بعد التعويض بكل هذا اخذت النهاية هذه الشكل :-

              ظتا2[ص/4  + ط/4]
نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ =
ص←0             ص    

             ظتا(ص/2 + ط/2)
نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ص←0             ص                

الآن خذ البسط مره أخرى ( وبسطه ) .. حيث

                          جتا(ص/2 + ط/2)
ظتا(ص/2 + ط/2) = ـــــــــــــــــــــــــــــ
                          جا(ص/2 + ط/2)

لاحظ ان : جا(ص/2 + ط/2) = جتا(ص/2)
وان : جتا(ص/2 + ط/2) = - جا(ص/2)
كل هذه اشياء يجب ان تؤخذ فى الإعتبار

                            - جا(ص/2)
ظتا(ص/2 + ط/2) = ـــــــــــــــــــــــــ = -ظا(ص/2)
                             جتا(ص/2)

هكذا اصبحت النهاية بهذا الشكل :

              - ظا(½ص)
-2 نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــ = -2 × -½ = 1
   ص←0         ص

.........................................................................

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{tan(x) - cot(x)}{4x - \pi}$

بالتعويض عن x = pi/4 تجد هذا المقدار = 0/0

نأتى الى البسط : ظاس - ظتاس ونفكه الى :

$\frac{sin(x)}{cos(x)} - \frac{cos(x)}{sin(x)} = \frac{sin^2(x) - cos^2(x)}{sin(x) cos(x)}$

ربما لو دققت جيداً ستعلم ان البسط هو قانون
ضعف الزاوية لجتا ، لكن ينقصه الترتيب
( بأخذ سالب عامل مشترك من البسط )
ايضاً المقام ينقصه 2 فقط حتى يصبح قانون
ضعف الزاوية لـ جا .. اذاً قم بوضع 2 فى المقام
يليها 2 فى البسط _ حتى لا يحدث خلل او عدم
اتزان فى المسألة ..

$= -2 \frac{cos^2(x) - sin^2(x)}{2 sin(x) cos(x)} = -2 \frac{cos(2x)}{sin(2x)} = -2 cot(2x)$
ومن ثم التعويض فى النهاية الاصلية
$-2\lim_{x\to\frac{pi}{4}} \frac{cos(2x)}{4x - \pi}$

نفرض ان 4x - pi = y وعندما تؤول x الى pi/4 فإن y = 4 pi/4 - pi = 0 ومنها x = (y+pi)/4
بعد التعويض بكل هذا اخذت النهاية هذه الشكل :-

$\lim_{y\to 0}\frac{cot2(\frac{y}{4}+\frac{\pi}{4})}{y} = \lim_{y\to 0}\frac{cot2(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})}{y} $

الآن خذ البسط مره أخرى ( وبسطه ) .. حيث

$cot(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}) = \frac{cos(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})}{sin(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})}$


لاحظ ان :$sin(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}) = cos(\frac{y}{2})$
وان : $cos(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}) = - sin(\frac{y}{2})$
كل هذه اشياء يجب ان تؤخذ فى الإعتبار

$cot(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}) = \frac{-2sin(\frac{y}{2})}{cos(\frac{y}{2})} = - tan(\frac{y}{2})$

هكذا اصبحت النهاية بهذا الشكل :

$-2 \lim_{y \to 0}\frac{- tan(\frac{y}{2})}{y} = -2 \times \frac{-1}{2} = 1$

تابع القراءة

7 الإنسحاب فى الرياضيات

الإنسحاب من التحويلات الهندسية الهامة
وهذا المثال ربما يوضح ما هو الإنسحاب
من شعاع الى شعاع آخر، فإن محصلة
جميع شعاعين تعطى شعاع جديد ..
مثال :

v = (3 , 4 )    ,  u =  (2 , 5 )      ..l

اوجد : v + u

قم بجمع الإحداثى الأول على حدى
وكذلك جمع الإحداثى الثانى على حدى

u + v = (5 , 7 )           .. ll

هناك الإنسحاب تم على كلا المحورين x , y


تعريفات بسيطة :
عندما تضيف عدد ما الى الإحداثى x
فهذا يسمى انسحاب على محور x

عندما تضيف عدد ما الى الإحداثى y
فهذا يسمى انسحاب على محور y

وكلاهم اسهل من ان اذكرهم او اشرحهم

نأتى الى التعريف الذى ربما تواجه فيه
صعوبة، وهو الإنسحاب فى اتجاه شعاع
ما فى الفضاء .. وهنا يجب ان تحدد اتجاه
ومقدار الإنسحاب .. مثال :
اوجد صورة كل من النقاط الاتية :
a = (3,2)   , b = (-1 , 3 )   ...l
بالإنتقال مسافة  u v وفى نفس اتجاه u v
حيث : u = (3,4)   , v = (7,2)    ...lll

الحل : اولاً نوجد المتجة u v ... حيث
المتجه = نهايته - بدايته  =

v - u  =  (7,2)  -  (3,4)   = (4, -2)   ...lll

ثم نوجد صورة كل نقطة فى اتجاه u v
صورة النقطة = النقطة نفسها + الإنتقال u v


(3,2) + (4,-2) = (7,0)          .. ll

صورة b

(-1,3) + (4,-2) = (3,1)           ...ll‏ 

تابع القراءة

0 ما هو تفسير هذه الظاهرة فى الإشتقاق الضمنى، والإشتقاق الصريح ؟

جا( 3س ) = ظا(2ص)، حاولت فك الظل الى جيب مقسوم على جيب تماماً
لكن لم تظهر نفس النتيجة عندما اشتققت ضمنياً بدون تحويل الظل .. فما 
هو تفسير هذه النتيجة ؟




تستطيع اشتقاق هذه الدالة ضمنياً، ويمكنك ايضاً
تحويلها الى دالة صريحة، ولكن الأسهل، والأفضل
والاسرع، ان تحلها ضمنياً لأن هذا يختصر عليك
ووقت، ومجهود ، لكنى سألحها بالطريقتين حتى
تعم الفائدة .. اولاً الإشتقاق الضمنى :

أ) الإشتقاق ضمنياً بدون تحويل الظل الى
جيب مقسو على جيب التمام ..
ربما تعلم ان ان مشتقة ظا(ص) = قا²ص
وبناء عليه يكون مشتقة ظا(2ص) = 2 قا²(2ص)
ولكن لاحظ انك بذلك اوجدت المشتقة بالنسبة لـ ص
لكننا نريد المشتقة بالنسبة لـ س .. ولذلك
                                                            دص
مشتقة ظا(2ص) بالنسبة لـ س = 2قا²(2ص) × ـــــــــ
                                                            دس

حل السؤال كاملاً :

جا(3س) = ظا(2ص)  نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

                                     دص
3جتا(3س) = 2قا²(2ص) × ــــــــــ
                                    دس

         دص       3 جتا(3س)
اذاً : ــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
        دس        2قا²(2ص)

لاحظ : لقد تعودنا ان المشتقة بالنسبة لـ تحتوى
على س فقط ، ولكن هذه المرة ( لأننا اشتققنا ضمنياً )
فإن المشتقة الأولى تحتوى على ص ، وهذا امر عادى
جداً، فبدلا ً من ان يطلب منك الإشتقاق عندما س = أ
مثلاً حيث أ عدد ثابت، يطلب منك الإشتقاق عند نقطة
معينة ( س ، ص ) ، او يطلب منك الإشتقاق عندما
س = أ ، بالتعويض فى الدالة الأصلية توجد د(أ)
ومن ثم التعويض بالنقطة كاملة فى المشتقة الأولى .

ب) الإشتقاق عن طريق فك ظا(2ص) الى جا(2ص)/جتا(2ص)

                 جا(2ص)
جا(3س) = ـــــــــــــــــــــ  اى ان
                جتا(2ص)


جا(3س) جتا(2ص) = جا(2ص)
ثم اشتق الطرفين بالنسبة لـ س
ولاحظ ان الطرف الأيمن حاصل
ضرب دالتين :
مشتقة الأول × الثانى + مشتقة الثانى × الأول
ولكن مشتقة الثانى عبارة عن اشتقاق جتا(2ص)
لكننا نشتق بالنسبة لـ س اذاً ( تذكر) مشتقة
جتا(2ص) بالنسبة لـ س = - 2جا(2ص) × دص/دس
وبالعودة الى المسألة :

جا(3س) جتا(2ص) = جا(2ص)

                                               دص  
3جتا(3س) جتا(2ص) - 2جا(2ص)×ــــــــ×جا(3س)
                                               دس
                        دص
= 2جتا(2ص) × ــــــــــــ
                        دس

اجعل الحدود التى تحتوى على دص/دس
فى الطرف، وباقى المتغيرات فى طرف .

3جتا(3س) جتا(2ص) =

                 دص                                     دص
2جا(2ص)×ــــــــ×جا(3س) + 2جتا(2ص) × ــــــــــــ
                 دس                                     دس

وبأخذ دص/دس عامل مشترك ..

 دص
ـــــــــ [2جا(2ص) جا(3س) +2جتا(2ص) ]
 دس

= 3جتا(3س) جتا(2ص)

اذاً : دص / دس

               3جتا(3س) جتا(2ص)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
        2جا(2ص) جا(3س) +2جتا(2ص)

وعن طريق بعض المتطابقات المثلثية ستصل الى
نفس النتيجة التى وصلت اليها بدون فك ظل الزاوية .
تستطيع مثلاً قسمة البسط، والمقام على جتا(2ص)

                       3جتا(3س)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
             2ظا(2ص) جا(3س) +2


                       3جتا(3س)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
             2(ظا(2ص) جا(3س) +1 )

لقد تعمدت حل السؤال عن آخر حتى تقارن
بين الإشتقاق الأول ، والثانى ، فهل هذا
يعنى ان :
 [ظا(2ص) جا(3س) + 1] = قا²(2ص)
اذا ما قارناها بالمشتقة قبل فك الظل ؟؟
نعم بالتأكيد هذه المساواه صحيحة ( لكن
لاحظ هى ليست متطابقة عامة ، بل هى
صحيحة فى هذه المسألة فقط لأنها تحققها
واذا اردت التحقق ايضاً من هذا اختبر نقطة
تحقق الدالة وعوض، مثلاً النقطة (0 ، 0 )

[ظا(0) جا(0) + 1] = قا²(0)

وبالفعل المتطابقة صحيحة تماماً فى ظل
هذه المسألة فقط .


ثانياً : الإشتقاق الصريح :

يعتمد هذا الإشتقاق عن طريق فصل ص فى صورة
مستقلة عن صورتها س ، والفعل هذا نحول ظا(2ص)
الى الظل العكسى لها .. هكذا .. بما ان :

جا(3س) = ظا(2ص)       . .  اذاً

            -1
2ص = ظا [جا(3س)]    .. اذاً

              -1
ص = ½ ظا [جا(3س)]


ثم تذكر ان : مشتقة الظل العكسى :

           مشتقة الزاوية
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
         مربع الزاوية + 1

              -1
ص = ½ ظا [جا(3س)]


  دص              3جتا(3س)
ـــــــــــ =  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 دس           2 (جا²(3س) + 1 )


ولا تندهش من ان النتيجة متختلفة عن الأولى،
او الثانية، لأن مثل هذه الأشياء تحدث كثيراً فى
الدوال المثلثية، لأنها اولاً دوال دورية ( تكرر قيمها
كل فترة معينة) ، ثانياً لكثر المتطابقات المثلثية التى
تؤدى نفس الغرض للوصول الى نفس الحل، وبمقارنة
هذه المشتقة بالأولى : ينبغى علينا ان نتحقق من ان

جا²(3س) + 1 = قا²(2ص)

بالتعويض بالنقطة ( 0 ، 0 )  التى تحقق الدالة الاصلية
ثم تحقق من ان :

جا²(0) + 1 = قا²(0)

وبالفعل هذا صحيح تماماً لأنها تؤدى الى
نفس صور المشتقات الأولى عند اى نقطة .

تابع القراءة

0 حل المعادلات الآتية بطريقة كرامر

solve the equations (x^2 * z^3/y)=e   (y^2 * z /x)=e  (x^3 * y / z^4)=1 
   by CRAMER'S RULE ‏

بداية نأخذ ln للطرفين ، ومن خصائص اللوغاريتمات نعلم ان
لو(أ × ب ) = لوأ + لوب  ، وان : لو(أ÷ب) = لوأ - لوب
وعلى هذا الأساس ينتج ان :-


ln(x² . z³/y)=lne
lnx² + lnz³ - lny = 1
2lnx + 3lnz - lny = 1  
2lnx - lny + 3lnz = 1    ...(1)

ln(y² . z/x) = lne
lny² + lnz - lnx = 1
2lny + lnz - lnx = 1
-lnx + 2lny + lnz = 1    .... (2)

ln(x³ . y/z^4) = ln1

lnx³ + lny - lnz^4 = 0

3lnx + lny - 4lnz = 0    ...(3)

..............................................
2lnx - lny + 3lnz = 1
-lnx + 2lny + lnz = 1
3lnx + lny - 4lnz = 0
       
det of :

2    -1    3
-1   2     1  = 2(-9) +1(1) +3(-7) = -38
3    1    -4

delta lnx: =

1  -1  3
1  2   1  = 1(-9)+1(-4)+3(1) = -10
0  1  -4


delta lny : =

2   1   3
-1  1   1 = 2(-4)-1(1)+3(-3) = -18
3   0  -4

delta lnz =

2  -1   1
-1  2   1 = 2(-1)+1(-3)+1(-7) = -12
3   1   0

...............................................
lnx = delta lnx / delta = -10/-38 = 5/19
lny = delta lny / delta = -18/-38 = 9/19
lnz = delta lnz / delta =-12/-38 = 6/19
................................................
lnx = 5/19   then x = e^(5/19)
lny = 9/19  then  y = e^(9/19)
lnz = 6/19  then  z = e^(6/19)
.............................................

السؤال مرة أخرى، والإجابة عليه اذا كانت الرموز اعلاه غير واضحة

solve the equations :

$ x^2 \quad \times \quad \frac{z^3}{y} = e $

$ y^2 \quad \times \quad \frac{z}{x}=e $

$x^3 \quad \times \quad \frac{y}{z^4}=1 $

by CRAMER'S RULE



بداية نأخذ ln للطرفين ، ومن خصائص اللوغاريتمات نعلم ان :

$ \color{blue}\log(a \times b)=\log(a) + \log(b)$

$\color{blue}\log(\frac{a}{b})=\log(a) - \log(b)$


وعلى هذا الأساس ينتج ان :


$\ln(x^2 \times \frac{z^3}{y})=\ln e$

$\ln x^2 + \ln z^3 - \ln y = 1$

$2\ln x +3\ln z - \ln y = 1$

$2\ln x - \ln y + \ln z = 1$

وحتى لا نكرر نفس الخطوات مع الثلاث معادلات،
فإنه يتكون لدينا النظام الآتى :



$2\ln x - \ln y + 3\ln z = 1$

$-\ln x + 2\ln y + \ln z = 1$

$3\ln x + \ln y - 4\ln z = 0$



وبإستعمال طريقة كرامر تستطيع وضع معاملات
كلاً من lnx , lny , lnz فى مصفوفة، وتوجد المحدد
لها، ولنسميه $\Delta$


$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 2(-9) +1(1) +3(-7) = -38
$





$\Delta \ln x = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 1(-9)+1(-4)+3(1) = -10
$




$\Delta \ln y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 2(-4)-1(1)+3(-3) = -18
$




$\Delta \ln z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(-1)+1(-3)+1(-7) = -12
$





$\ln x = \frac{\Delta \ln x}{\Delta} = \frac{-10}{-38} = \frac{5}{19}$

$\ln y = \frac{\Delta \ln y}{\Delta} = \frac{-18}{-38} = \frac{9}{19}$

$\ln z = \frac{\Delta \ln z}{\Delta} = \frac{-12}{-38} = \frac{6}{19}$

وبذلك يتحقق ان :


$\ln x = \frac{5}{19} \quad then \quad x = e^{\frac{5}{19}}$

$\ln y = \frac{9}{19} \quad then \quad y = e^{\frac{9}{19}}$

$\ln z = \frac{6}{19} \quad then \quad z = e^{\frac{6}{19}}$

تابع القراءة

0 اوجد الدالة التى تتبع النُظُم الآتية

كان لدي 50 نقطه ... في الدقيقه 1 زادت (50+120= 170 )
كان لدي 170 نقطه ... في الدقيقه 2 زادت  ( 170 +119= 289 )
كان لدي 289 نقطه ... في الدقيقه 3 زادت  ( 289 +118= 407)
كان لدي 407 نقطه ... في الدقيقه 4 زادت  ( 407 +117= 524)

                                  ░ الحل ░

 الحد الأول = 50+120
الحد الثانى = 50+120+119
الحد الثالث = 50+120+119+118
الحد الرابع = 50+120+119+118+117

نستنتج من ذلك ان : 120+119+118+117+...
عبارة عن متتابعة حسابية حدها الأول أ = 120
واساسها د = -1  ، 50 عدد مستقل عنها

اى ان لإيجاد الشق الثانى من كل حد وهو
120+119+....

الحد العام = أ + (ن-1) د = 120- (ن-1)

وبفرض ان ن هو الزمن ( عدد الدقائق )
وان د(ن) هو عدد النقاط فيكون بذلك
الدالة التى تحقق هذه :-

اى ان كل حد عبارة عن مجموع متتابعة حسابية

   ن(120+ الحد العام)
= ــــــــــــــــــــــــــــــ
             2


    ن(240- (ن-1) )      ن(241 - ن)
= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ
           2                      2



اذاً الدالة التى تحقق هذا المثال هى :

                   ن(241 - ن)
د(ن) = 50 + ــــــــــــــــــــــــ
                         2


مثلاً :

                    2(241 - 2)
د(2) = 50 + ـــــــــــــــــــــــــ = 289
                        2

مثلاً تريد مجموع النقاط بعد 100 دقيقة :-

                  ن(241 - ن)
د(ن) = 50 + ــــــــــــــــــــــــ
                        2


د(100) = 50(241-100)+50 = 7100 نقطة


ثم لاحظ انه عند تمام الدقيقة 241 يكون عدد
النقاط 50 نقطة فقط ، واذا ذاد عدد الدقائق
عن 241 دقيقة فإنك تخسر نقاط ( يعنى النتيجة سالبة )

يعنى بعد 1000 دقيقة تخسر الآتى :-

                 
د(ن) = 50 + 500(241-1000) = - 379450 




░  ( اجابة خارجة عن السؤال ) ░

السؤال يقول : بعد كم دقيقة تصل
الى اعلى رتبة ( او منزلة ) فى عدد النقاط ؟؟

الإجابة : اوجد المشتقة الأولى لـ

                  ن(241 - ن)
د(ن) = 50 + ــــــــــــــــــــــــ
                        2


دَ(ن) = 120.5 - ن

ثم نوجد النقاط الحرجة للدالة :
عندما : 120.5 - ن = 0
ومنها : ن = 120.5 نقطة حرجة للدالة
وبإيجاد المشتقة الثانية للدالة د(ن)

دً(ن) = -1 ، وهذا معناه ان : دً(120.5) = -1
اذاً : عندما ن = 120.5 قيمة عظمى مطلقة

اى انه : بعد 120.5 دقيقة تحقق اعلى مرتبة
ممكنة فى عدد النقاط، ثم يبدأ العد التنازلى
بعد ذلك .. تحقق .. اوجد د(120.5)

                        120.5(241 - 120.5)
د(120.5) = 50 + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                  2

= 7310.125  نقطة  

تابع القراءة

4 ما هى اهم القوانين ايجاد مساحة المثلث

له قوانين كثيرة، ويستطيع اى فرد لديه معرفة جيدة بالرياضيات
ان يخترع قانون، او عدة قوانين كلها تقود الى الحصول على
مساحة المثلث ..

مساحة المثلث = ½ طول القاعدة × الإرتفاع
مساحة المثلث القائم = ½ حاصل ضرب طول ضلعى القائمة
مساحة المثلث الذى اطوال اضلاعه أ َ ، بَ ، جـَ
= ½ أ َ بَ جاجـ = ½ جـَ بَ جاأ = ½ أ َ جـَ جاب

مساحة المثلث بدلالة اطولا اضلاعه ( صيغة هيرون )


المساحة ( م ) = جذر [ح(ح - أ َ ) ( ح - ب َ ) ( ح - جـ َ ) ]


                                               أ َ + ب َ + جـ َ
حيث ح = محيط المثلث / 2  = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ح
                                                     2

▓▓ مساحة المثلث بدلالة متوسطاته ▓▓

مساحة المثلث الذى اطوال متوسطاته س ، ص ، ع

     4
= ــــــــــ جذر [ح (ح-س) (س-ص) (ح-ع)]
     3

               مجموع متوسطاته          س+ص+ع
حيث  ح = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
                        2                           2



▓▓ مساحة المثلث بدلالة ابعاد ارتفاعاته ..! ▓▓

مساحة المثلث الذى اطوال ارتفاعاته ع1 ، ع2 ، ع3

                                               1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جذر[(1/ع1+1/ع2+1/ع3)(-1/ع1+1/ع2+1/ع3)(1/ع1-1/ع2+1/ع3)(1/ع1+1/ع2-1/ع3)]

وهناك المزيد ، والمزيد ... 

تابع القراءة

8 ما هى خواص المحددات، وطرق ايجادها ؟

نعم شرط ان تكون المصفوفة مربعة م × م
وهناك عدة طرق متنوعة لإيجاد قيمة المحدد
من الرتبة م ، لكن يفضل فى بعض المحددات
وضعها فى ابسط صورة ، ثم ايجاد قيمة المحدد لها

من خواص المحددات :1)
المحدد المصفوفة = محدد دور المصفوفة

مثال :
            3     1       3      5
المحدد  :           =
           5      4       1      4


2) الخاصية الثانية : لو قمان بتبديل وضع
الأعمدة ، او الصفوف فإن اشارة المحدد
تتغير ، ويمكن تعميم القاعدة الى : لو
قمنا بعدد تبديلات فردية فإن اشارة
المحدد تتغير، بينما لو قمنا بعدد تبديلات
زوجية فإن قيمة المحدد لا تتغير .. مثال

             3     1         5      4
المحدد  :           = -                = 7
            5      4         3      1




             3     1        1       3
المحدد  :           = -                = 7
            5      4        4       5



3) قيمة المحدد = 0 اذا تساوى فيه صفان، او عمودان ..
او ان يكون عناصر اى صف، او عمود كلها اصفاراً ..
             3   5   1
             3   5   1   = 0
المحدد :   2   0  7

نظراً لتساوى الصفين (1) ، (2)

             3    4    3
المحدد :  5    0    5   = 0
             1   6     1

نظراً لتساوى العمود الأول مع العمود الثالث .
 
            5    0    4
المحدد :  3    0   10   = 0
            2    0    6


            0   0   0
المحدد :  1   5   7   = 0
            -1  -8   6


4) اذا ضربنا عناصر اى صف او عمود فى عدد ما
ك فإن قيمة المحدد الجديد = ك × قيمة المحدد الأصلى .

مثال : اوجد قيمة هذه المحدد :-

   -1   3    1
    0   5    3  = -1(-27)-3(-6)+1(-10) = 35
    2   4   -3

فى حين اننا لو ضربنا مثلاً الصف الثانى فى 2
تكون قيمة هذا المحدد = 2 × 35 = 70
تحقق ..

     
  -1   3    1
   0   10  6 = -1(-54)-3(-12)+1(-20)= 70
   2   4   -3


مما سبق نستنج انه اذا وجد عامل مشترك فى صف
ما، او عمود ما فى المحدد فإننا نخرجع كعامل مشترك
مثال على ذلك :-

            6   12   3          2   4   1
المحدد :  5   1   -1 = 3 × 5   1  -1
            7   -5   4          7   -5   4

اى : اخرجنا 3 عامل مشترك من الصف الأول ..

5) يمكن وضع المحدد فى صورة مجموع محددين
من نفس الرتبة، بتجزء صف واحد فقط، او عمود
واحد بفقط مع ثبات باقى الأعمدة والصفوف .. مثال

            4     2      3      1       1     1
المحدد :            =             +
            5     6      5     6       5     6

هنا تم تجزء الصف الأول مع بقاء الصف الثانى، وعكس
هذه الخاصية صحيح ايضاً ( جربها بنفسك )

6) اذا اضفنا لعناصر اى صف او عمود مضاعفات
صف او عمود آخر فإن قيمة المحدد لا تتغير .. مثال

            3  -2  4      9   5   3
المحدد :  6  7  -1  = 6   7  -1
            9   1  1      9   1  1

الذى حدث : تم اضافة عناصر الصف الثانى
الى عناصر الصف الأول، واذا نقلنا مضاعفات
عناصر الصف الثانى للصف الأول، فإنه ايضاً
قيمة المحدد لا تتغير، ونفس الشىء مع الأعمدة ..


6) اذا ما وجدت ثلاثة اصفار اسفل، او تحت القطر
الرئيسى، فإن قيمة المحدد = حاصل ضرب عناصر
القطر الرئيسى، اما اذا وجدت ثلاثة اصفار اسفل
او تحت القطر الثانوى، فإن قيمة المحدد =
- ( حاصل ضرب عناصر القطر الثانوى ) .. مثال

            0  0  3
المحدد :  0  5  1 = - (1×5×3) = 15
            1  6  7

           6  0  0
المحدد : 4  3  0  = 6×3×4 = 72
           -1  2  4


░ ايجاد المحدد من الرتبة 2×2 ░

            أ     ب
المحدد :            = (أ×د) - (ب×جـ)
           جـ    د

                   3     4
مثال : المحدد             = (3×7)-(4×6)=-3
                  6      7

░ ايجاد المحدد من الرتبة 3×3 ░

            أ  ب  جـ        هـ و        د و         د هـ
المحدد : د  هـ  و  = أ ×ر  ن - ب×ز  ن +جـ×ز  ر
            ز   ر   ن

مثال :
            6  2   1
المحدد : 5  4   2 = 6(-4-2)-2(-5-2)+1(5-4)=-21
            1  1  -1


░ وبصفة عامة ايجاد المحدد من الرتبة م×م░

نصنع نفس الخطوات السابقة، والإشارة فى كل
مرة تتغير يعنى : + ، - ، + ، - ، + ، ...... وهكذا

تعال عند اول عنصر فى الصف الأول ثم اضربه فى
محدد، لكن ما هو ؟؟ المحدد هو جميع عناصر
المحدد الأصلى فيما عدا الصف، العمود اللذان
ينتميا له هذه العنصر الذى اشرت اليه .. وهذا
هى الخاصية العامة لإيجاد اى محدد من الرتبة م×م


مثال على هذا : ايجاد المحدد من الرتبة 4×4
( عن طريق تحويله الى مجموع مضاعفات محددات
من الرتبة 3×3 ثم تحويل كل محدد من الرتبة 3×3
الى مجموع مضاعفات محددات من الرتبة 2×2
وهكذا الى ان توجد القيمة المحدد بالكامل .. لكن
ينصح اجراء بعض الإختصارات قبل ايجاد قيمته ..



3  2   -1   5
3  2   4    1
1  0   2    0
2  -4  6    2
       
         2 4 1        3 4 1          3 2 1       3 2  4
= 3 × 0 2 0 - 2× 1 2 0 +(-1)×1 2 0 -5× 1 0  2
        -4 6 2        2 6 2          2 -4 2      2 -4 6


ثم فك كل محدد من الدرجة الثالثة، ليظهر لك
قيمة المحدد من بالكامل من الدرجة الرابعة .

تابع القراءة

1 اوجد اكبر مساحة ممكنة للمستطيل الذى يتوسط مثلث متساوى الأضلاع

فرضنا ان طول ضلع المثلث المتساوى الساقين = أ


نفرض اننا اخذنا ضلع يوازى اى قاعدة فى المثلث
وليكن هذا الضلع هو ( م أ ) حيث م ثابت ، اقل من
الواحد الصحيح، واكبر من الصفر .. اى ان الضلع
الموازى للضاعدة يتناسب مع القاعدة كما فى
( مبرهنة طاليس ) ، وبناء عليه ينشأ مثلث آخر
صغير ( متساوى الأضلاع ايضاً كلاً ضلع من اضلاع
= م أ = طول المستطيل

(( لاحظ ان م هنا ثابت تعريفاً فقط، انما بتغير م
تتغير المساحة، بمعنى ان م ثابت فى حالة واحدة
فقط ( عندما نحصل على اكبر مساحة ممكن لهذا
المستطيل، انما لو ادخلنا (م) هذه فى دالة ما لأصبحت
متغير ، وتكون أ هى الثابت .. ارجو ان تكون هذه الخطوة
واضحة ..

الآن نوجد عرض المستطيل : فرضنا ان طول ضلع
المثلث المتساوى الاضلاع ( الصغير ) = م أ ، فيترتب
على ذلك ان بقية الضلع = أ - م أ
بما ان المثلث الاضلاع اذا ًكل زاوية من زواياه = 60 ْ
( انظر الرسم ) وبناء عليه يكون المثلث القائم فيه

عرض المستطيل = (أ - م أ) جا60

الآن مساحة المستطيل :

= م أ  جا60 × (أ - م أ )

نفرض ان مساحة المستطيل هى : د(م)

د(م) = م أ  جا60 × (أ - م أ )

(( لاحظ سنتعامل مع م هنا على انها متغير ))
 الى ان نأتى بـ (م) التى تحقق اكبر مساحة
ممكن للمستطيل، فتتحول م من متغير الى ثابت ))

د(م) = م أ  جا60 × (أ - م أ )

د(م) = أ² جا60 م  - أ² جا60 م²

نشتق لطرفين بالنسبة لـ م

دَ(م) = أ² جا60 - 2أ² جا60 م

وبمساواه المشتقة الأولى بصفر
لإيجاد لنقاط الحرجة ..

أ² جا60 - 2أ² جا60 م = 0

بقسمة الطرفين على أ ² جا60

1 - 2م = 0  ومنها -2م = -1

2م = 1  ومنها م = ½

اذاً عندما م = ½ هناك نقطة حرجة للدالة
الآن نختبر المشتقة الثانية للدالة عندما
م = ½

دً(م) = - 2أ² جا60

دً(½) =  - 2أ² جا60

بما ان المشتقة الثانية سالبة
عندما م = ½

اذاً عندما م = ½ قيمة عظمى مطلقة
وتحقق اكبر مساحة ممكنة للمستطيل
الذى يتوسط اى مثلث متساوى الأضلاع

اى انه عندما م = ½

طول المستطيل = م أ = ½ أ

عرض المستطيل = جا60 (أ - م أ)

= جا60 (أ - ½ أ )

= ½أ جا60

وبناء عليه تكون اكبر مساحة ممكنة
للمستطيل = ½أ × ½أ جا60

= ¼أ² جا60

rectangle+inside+triangle

طالع النسخة بالرموز الإنجليزية من هنا

تابع القراءة

3 اوجد تكامل جذر(1+جاس) دس

∫جذر(1+جاس) دس

نفرض ان : ط/2 - س = ص
ومنها س = ط/2 - ص

ط/2 - س = ص

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

-دس = دص ، ومنها دص = -دس

بالتعويض ..

∫جذر(1+جاس) دس

= -∫جذر(1+جا(ط/2 - ص) دص

= - ∫جذر(1+جتاص) دص

ولكن : المتطابقة : جتا²أ = ½(1+جتا2أ)

اذاً جتا²(ص/2) = ½(1+جتاص)

من خلال ذلك يتضح ان :

(1+جتاص) = 2جتا²(ص/2)  بالتعويض ..

- ∫جذر(1+جتاص) دص

= - ∫جذر(2جتا²(ص/2) دص

= -جذر(2) ∫جتا(ص/2) دص

= -جذر(2) ∫جتا(½ص) دص

= -2جذر(2) جا(½ص) دص

ولكن ص = ط/2 - س

بالتعويض .. نجد ان :

∫جذر(1+جاس) دس

= -2جذر(2) جا½(ط/2 - س) + ث

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░


فكرة الحل  حتى تتضح للأعضاء، اردنا ان نتخلص
من الجذر التربيعى، عن طريق ايجاد متطابقة
لـ (1+جاس) تتضمن اس تربيعى، وكانت هى :

المتطابقة : جتا²س = ½(1+جتا2س)

ولكننا اردنا (1+جاس)

نضع بدلاً من س اعلاه فى المتطابقة ½س

جتا²(½س) = ½(1+جتاس)

اذاً تبقى لدينا تحويل جاس الى جتاس
نعلم ان : جاس = جتا(ط/2 - س)
ثم فرضنا ان :
                ط/2 - س = ص

(( ملحوظة : ليس ضرورياً ذلك فقط حتى لا يكون
شكل السؤال طول فى خطوات لحل ))

ومنها : جاس = جتاص

اذاً : جتا²(½ص) = ½(1+جتاص)

، ومنها : (1+جتاص) = 2جتا²(½ص)

لكننا فرضنا ان : ط/2 - س = ص
بمفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س ينتج

-دس = دص ، ومنها دس = -دص

بالتعويض بكل هذا فى التكامل ..

∫جذر(1+جاس) دس

= - ∫جذر(2جتا²(½ص) دص

= -جذر(2) ∫ جتا(½ص) دص

                                         تكامل الدالة
ولكن : تكامل الدالة المثلثية = ــــــــــــــــــــــــــ
                                         تفاضل الزاوية

اذاً :  -جذر(2) ∫ جتا(½ص) دص

= -2جذر(2) جا(½ص) + ث

ولكن : ص = ط/2 - س  بالتعويض
وأخيرا ً  :

= -2جذر(2) جا½(ط/2 - س) + ث

تابع القراءة

1 اثبات صحة مبرهنة (خط اويلر Euler's line )

Eluer's line 

تعلم ان متوسطات المثل تتلاقى فى نقطة
واحدة بنسبة 2 : 1 من جهة الرأس ، 1 : 2
من جهة القاعدة .. بالنظر الى المثلث ABC
، والذى فيه H نقطة تلاقى ارتفاعاته، G نقطة
تلاقى متوسطاته ( او مركز الثقل ) ، O مركز
الدائرة التى تحيط به .. فيه 'O A عامودى على
BC ( نصف القطر عامودى على الوتر وينصفه
فى اى دائرة ) ، وايضاً فيه AD عامودى على BC
من هنا يتضح ان OA' // AD  ، ومن التوازى يتحقق
ان : قياس الزاوية HAG = قياس الزاوية OA'G بالتبادل

فى تصورك : ان لم يكن H G O على استقامة واحدة
فإنهما يشكلان مثلث مثلاً ( وليست قطعة مستقيمة)
ولكن اذا اثبتنا ان الزاوية AGH = الزاوية A'GO فقد
اثبتنا بذلك ان كلاً من H,G,O على استقامة واحدة .. نكمل

تذكر نص نظرية ( متوسطات المثلث ) اعلاه، فإن
AA' يعتبر متوسط فى المثلث ABC لذلك :
AG = 2A'G  وبناء عليه يكون :
المثلث AHG يشابه المثلث A'OG
اذاً : AH = 2 A'O ، اذاً :AGH = الزاوية A'GO

قد تسأل، ولكن قد يكون : AGH = الزاوية A'GO
لأن OG // HG مثلاً، ولكن اذا تحقق هذا نكون بذلك
قد تعاملنا مع اربع نقاط وليس ثلاثة فقط، ومن خواص
التشابه قد تبين ان : الزاوية AGH = الزاوية A'GO
اذاً : كلاً من H,G,O على استقامة واحدة ..
ويسمى HGO بخط اويلر .


الجدير بالذكر انه اذا كان المثلث متساوى الأضلاع ..
فإن كلاً من H , G , O   يتطابقان ( اى يتحققان فى
نقطة واحدة، وهذه خاصية هامة يتميز بها المثلث
المتساوى الأضلاع )

تابع القراءة

0 اثبت ان : 8جا10جا50جا70=1

 الإثبات : اولاً نقوم بتحليل
جا10جا50جا70

لكن لا تنسى ان : جاس = جتا(90-س)
وان : 2جاس جتاس = جا2س

= جتا(90-70) جتا(90-50) جتا(90-10)

= جتا(20) جتا(40) جتا(80)

بنقوم بالضرب فى 2جا(20) ثم القسمة
عليها مرة أخرى ..

         1
= ـــــــــــــــــ [2جا(20) جتا(20) جتا(40) جتا(80)]
    2جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(40) جتا(40) جتا(80)]
   2جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [2جا(40) جتا(40) جتا(80)]
   4جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(80) جتا(80)]
   4جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [2جا(80) جتا(80)]
   8جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(160)]
   8جا(20)


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(20)]
   8جا(20)

لأن جا(160) = جا(180 - 160) = جا(20)
جا( الزاوية ) = جا الزاوية المكملة لها .. تابع


       1
= ـــــــــــــــــ [جا(20)]
   8جا(20)


اختصر جا(20) مع جا(20) يتبقى لك ⅛

وبضرب ⅛ × 8 = 1

وهو المطلوب ..

تابع القراءة

0 اوجد ∫ جذر(دص² + دس² )

∫ جذر(دص² + دس² )       نأخذ دس² مشترك يخرج من تحت الجذر بـ دس

                   دص
∫ دس جذر[( ـــــــــــــــ )² + 1 ]
                  دس

ولكن دص/دس  تعبر عن مشتقة الدالة  د(س)  اى انها تعبر عن دَ(س)

∫ جذر[دَ(س)² + 1 ] دس



وبوضع : دَ(س) = ظاهـ

وبفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س

دً(س) دس = قا²هـ دهـ

            قا²هـ دهـ
دس = ـــــــــــــــــــــ
              دً(س)

بالتعويض بكل هذا فى التكامل الأصلى ..

∫ جذر[دَ(س)² + 1 ] دس

                              قا²هـ
= ∫جذر(ظا²هـ + 1) × ــــــــــــ دهـ
                             دً(س)

ولكن : جذر(ظا²هـ + 1) = قاهـ


                              قا²هـ
= ∫جذر(ظا²هـ + 1) × ــــــــــــ دهـ
                             دً(س)

        1
= ـــــــــــــ ∫قا³هـ دهـ
     دً(س)

هذا التكامل ∫قا³هـ دهـ

= ½قاهـ ظاهـ +½ لط |قاهـ + ظاهـ| + ث

ولحل هذا التكامل ينبغى ايجاد دً(س)
بدلالة هـ .

للمزيد اضغط هنا

تابع القراءة

3 اوجد بعدى المستطيل الذى محيطه 60 م للحصول على اكبر مساحة ممكنة له ؟

تم حل هذه المسألة سابقاً بالقيم
العظمى المطلقة، واكبر مساحة لهذا
المستطيل هو عندما يكون مربعاً
اى الطول = العرض ، اذاً
ابعاد المستطيل = 60 ÷ 4 = 15

اذاً عندما الطول = العرض = 15 

░░░ وهذا الحل بالقيم العظمى المطلقة ░░░

محيط المستطيل = 2(س+ص)
هذا على فرض ان بعديه س،ص
نفرض ان محيط المستطيل = ح

ح = 2(س+ص)  ، ومنها

ح = 2س + 2ص   ثم 2ص = ح -2س
اذاً ص = ½ح - س

ولكن مساحة المستطيل = س ص

بالتعويض عن ص = ½ح - س

مساحة المستطيل = س (  ½ح - س )

نفرض ان مساحة المستطيل د(س)

د(س) = س (  ½ح - س )

ولكن : ح = 60  بالتعويض ...

د(س) = س ( 30 - س )

د(س) = -س² + 30س

بمفاضلة الطرفين بالنسبة لـ س

دَ(س) = -2س + 30

نساوى المشتقة بصفر لإيجاد النقاط الحرجة للدالة

-2س + 30 = 0   ومنها

2س = 30   ثم س = 15

اذاً عند س = 15 هناك هنقطة حرجة للدالة

نختبر المشتقة الثانية ، وعوض عند س = 15

دً(س) = -2

اذاً دً(15) = -2   ايضاً لأن الدالة ثايتة

وطالما القيمة سالبة .. اذاً 15 قيمة عظمى مطلقة
وللتأكد عوض فى الدالة بـ س = 15

د(15) = -225 + 30 × 15

       = -225 + 450 = 225

اذاً : لكى نحصل على اكبر مساحة
عندما يكون الطول = العرض = 15 متر 

تابع القراءة

1 اسئلة منوعة، وبعض المحاولات فى طرق الحل ..

السؤال الاول : -
بفرض الحدودية :
د(س) = س^8+10س^6+35س^4+50س²+24

فإوجد : أ ، ب  بحيث يتحقق ..

د(س) = (س^4+أس²+2)(س^4+(أ+4)س²+ب)

الحل : نقوم بنشر :
(س^4+أس²+2)(س^4+(أ+4)س²+ب)

=س^8+(أ+4)س^6+ب س^4
+أس^6+أ(أ+4)س^4+أب س²
+2س^4+2(أ+4)س²+2ب

= س^8+(2أ+4)س^6+[(ب+2)+أ(أ+4)]س^4
+[أب+2(أ+4)]س²+2ب

من خلا ذلك يتضح ان :

(2أ+4) = 10      ..(1)

[(ب+2)+أ(أ+4)] = 35   ..(2)

[أب+2(أ+4)] = 50       ..(3)

2ب = 24                ..(4)

من (4) اذاً  : ب = 12

من(1) :(2أ+4) = 10      ..(1)

اذاً : 2أ = 6  ومنها أ = 3

للتحقق من صحة ذلك .. عوض هنا

س^8+(2أ+4)س^6+[(ب+2)+أ(أ+4)]س^4
+[أب+2(أ+4)]س²+2ب

= س^8+10س^6+35س^4+50س²+24


اذاً :  أ = 3   ،   ب = 12

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

السؤال الثانى تكملة للسؤال الأول:

د(س) = (س^4+أس²+2)(س^4+(أ+4)س²+ب)

وبوضع أ = 3  ، ب = 12

د(س) = (س^4+3س²+2)(س^4+7س²+12)

= (س²+1)(س²+2)(س²+3)(س²+4)

وهو المطلوب اثباته ..

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

السؤال الثالث : -

بدون حساب استنتج قيما العدد الفا ...
بحث يتحقق ..

د(الفا) = أ = 101 × 102 × 103 × 104


     104  
أ =    ل
         4    

أ = 101 × 102 × 103 × 104

نفرض ان : 100 = س

أ = (س+1)(س+2)(س+3)(س+4)

= (س²+3س+2)(س²+7س+12)

= س^4+7س³+12س²
+3س³+21س²+36س
+2س²+14س+24

= س^4+10س³+35س²+50س+24

وبوضع س = 100

أ = (100)^4 + 10(100)³ + 35(100)² + 50(100) + 24

= 10^8 + 10^7 + 35×10^4 + 50×10^2 + 24

= 10^7(10+1) + 5×10^2(7×10^2 + 10) + 24

= 11×10^7 + 5×10^2(710) + 24

= 11×10^7 + 355000 + 24

= 11×10^7 + 355024

= 110355024

تابع القراءة

0 بعض المسائل فى نظرية الأعداد، والإجابة عليها

السؤال الأول : -

اذا كان (ن+1) مربع كامل فإن :
(ن+1) = ك² ، حيث ك عدد طبيعى
ومنها نستنتج ان :

ن = ك² - 1   (( عبارة عن فرق مربعين ))
صورة أخر لـ ن هى : (ك-1) (ك+1)

فيكون بذلك : 14ن + 50

= 14(ك² - 1) + 50

= 14ك² - 14 + 50

= 14ك² + 36

= ك² + 13ك² + 36

هل تعلم ان اى عدد فردى ( مثل 13) يمكن
وضعه فى صورة مجاميع مربعات كاملة ؟؟
يعنى 13 = 9 + 4   ... تابع وصلنا عند :

= ك² + 13ك² + 36

= ك² + 4ك² + 9ك² + 36

= ك² + (2ك)² + (3ك)² + (6)²

( هـ . ط . ث )

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

السؤال الثانى :- بين ان :

          ن
جذر(ــــــــــــــــ)  عدد غير جذرى لكل ن غير منعدم .
        ن+1

لكى نثبت هذا ينبغى ان نثبت ان : كلاً من ن / ن+1
ليسوا مربع كامل .. وكان يمكن استعمال البرهان
بالخلف، لكنه لم طلب فى السؤال عدم البرهنة به .

يمكن بإستقراء على ن ، نفرض اولاً ان ن عدد صحيح
موجب ( لا يمكن ان تكون سالب ) لأننا بذلك سندخل
فى مجال الأعداد المركبة .. وبوضع ن = 1

         1               1
جذر(ــــــــــــ) = ــــــــــــــــ
         2          جذر(2)

بالفعل عدد غير جذرى .. نفرض ان ن مربع كامل
حيث ن = ك²

          ك²             ك
جذر(ـــــــــــــــ) = ـــــــــــــــــ
      ك² + 1      جذر(ك²+1)

ولكن : ك²+1 ليس مربع كامل
لأننا لا نستطيع وضعها على هذه الصورة
مثلاً : س² ( ممكن ان تثبت هذه الخطوة سريعاً )

نفرض ان : ن اى عدد صحيح ليس مربع كامل
وبهذا يكون البسط ( عدد صحيح ليس مربع كامل)
وبناء عليه العدد جذر(ن/(ن+1)) عدد غير جذرى
لكل ن = اى عدد صحيح موجب ..

نفرض ان ن عدد غير جذرى ( غير نسبى )
وليكن ن = جذر(ص) حيث ص ليست مربع كامل

       جذر(ص)
جذر(ـــــــــــــــــــــــ)
      جذر(ص)+1)

بما ان جذر(ص) عدد غير جذرى
لكل ص ليت مربع كامل اذاً العدد
جذر(ن/(ن+1)) عدد غير جذرى
لكل ن عدد غير جذرى ايضاً ..


وأخيراً نفرض ان ن عدد جذرى ( نسبى )

                                              أ
اذاً ن توضع على هذه الصورة : ن = ــــــــ
                                             ب

لكل  أ ، ب صحيحين ، ب لا تساوى الصفر ..

            أ/ب
جذر(ـــــــــــــــــــــــ)
         أ/ب + 1

لاحظ انها نفس الخطوات السابقة مع
الأعداد الصحيحة، مع اختلاف ان العدد
هنا ( كسرى ) بفرض ان كلا ً من أ ، ب
مربعين كاملين ، فيكون بذلك المقام ليس
مربع كامل .. وبناء عليه يتضح

                  ن
ان : جذر( ــــــــــــــــــ )
               ن+1

عدد غير جذرى، حيث ن لا يساوى الصفر .

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ ░ 

 واخيراً اثبت ان العدد 1000001 غير اولى ..
بأخذ : جذر(1000001) = 1000.0005
اذا كانت العدد 1000001 يقبل القسمة
على اى عدد اولى محصور بين 2 الى 1000
فإنه بالطبع يكون عدد غير اولى ..
وبتجريب عدد غير اولى ( كبير نسبيا ) حيث ان
العدد الذى نريد اختباره كبير ايضاً، وليكن 101
وبقسمة 1000001 على 101 ينتج : 9901

اذاً 1000001 عدد غير اولى ..

تابع القراءة