اوجد اكبر مساحة ممكنة للمستطيل الذى يتوسط مثلث متساوى الأضلاع

فرضنا ان طول ضلع المثلث المتساوى الساقين = أ

نفرض اننا اخذنا ضلع يوازى اى قاعدة فى المثلث
وليكن هذا الضلع هو ( م أ ) حيث م ثابت ، اقل من
الواحد الصحيح، واكبر من الصفر .. اى ان الضلع
الموازى للضاعدة يتناسب مع القاعدة كما فى
( مبرهنة طاليس ) ، وبناء عليه ينشأ مثلث آخر
صغير ( متساوى الأضلاع ايضاً كلاً ضلع من اضلاع
= م أ = طول المستطيل

(( لاحظ ان م هنا ثابت تعريفاً فقط، انما بتغير م
تتغير المساحة، بمعنى ان م ثابت فى حالة واحدة
فقط ( عندما نحصل على اكبر مساحة ممكن لهذا
المستطيل، انما لو ادخلنا (م) هذه فى دالة ما لأصبحت
متغير ، وتكون أ هى الثابت .. ارجو ان تكون هذه الخطوة
واضحة ..

الآن نوجد عرض المستطيل : فرضنا ان طول ضلع
المثلث المتساوى الاضلاع ( الصغير ) = م أ ، فيترتب
على ذلك ان بقية الضلع = أ - م أ
بما ان المثلث الاضلاع اذا ًكل زاوية من زواياه = 60 ْ
( انظر الرسم ) وبناء عليه يكون المثلث القائم فيه

عرض المستطيل = (أ - م أ) جا60

الآن مساحة المستطيل :

= م أ جا60 × (أ - م أ )

نفرض ان مساحة المستطيل هى : د(م)

د(م) = م أ جا60 × (أ - م أ )

(( لاحظ سنتعامل مع م هنا على انها متغير ))
الى ان نأتى بـ (م) التى تحقق اكبر مساحة
ممكن للمستطيل، فتتحول م من متغير الى ثابت ))

د(م) = م أ جا60 × (أ - م أ )

د(م) = أ² جا60 م - أ² جا60 م²

نشتق لطرفين بالنسبة لـ م

دَ(م) = أ² جا60 - 2أ² جا60 م

وبمساواه المشتقة الأولى بصفر
لإيجاد لنقاط الحرجة ..

أ² جا60 - 2أ² جا60 م = 0

بقسمة الطرفين على أ ² جا60

1 - 2م = 0 ومنها -2م = -1

2م = 1 ومنها م = ½

اذاً عندما م = ½ هناك نقطة حرجة للدالة
الآن نختبر المشتقة الثانية للدالة عندما
م = ½

دً(م) = - 2أ² جا60

دً(½) = - 2أ² جا60

بما ان المشتقة الثانية سالبة
عندما م = ½

اذاً عندما م = ½ قيمة عظمى مطلقة
وتحقق اكبر مساحة ممكنة للمستطيل
الذى يتوسط اى مثلث متساوى الأضلاع

اى انه عندما م = ½

طول المستطيل = م أ = ½ أ

عرض المستطيل = جا60 (أ - م أ)

= جا60 (أ - ½ أ )

= ½أ جا60

وبناء عليه تكون اكبر مساحة ممكنة
للمستطيل = ½أ × ½أ جا60

= ¼أ² جا60