ما هى خواص المحددات، وطرق ايجادها ؟

نعم شرط ان تكون المصفوفة مربعة م × م
وهناك عدة طرق متنوعة لإيجاد قيمة المحدد
من الرتبة م ، لكن يفضل فى بعض المحددات
وضعها فى ابسط صورة ، ثم ايجاد قيمة المحدد لها

من خواص المحددات :1)
المحدد المصفوفة = محدد دور المصفوفة

مثال :
            3     1       3      5
المحدد  :           =
           5      4       1      4


2) الخاصية الثانية : لو قمان بتبديل وضع
الأعمدة ، او الصفوف فإن اشارة المحدد
تتغير ، ويمكن تعميم القاعدة الى : لو
قمنا بعدد تبديلات فردية فإن اشارة
المحدد تتغير، بينما لو قمنا بعدد تبديلات
زوجية فإن قيمة المحدد لا تتغير .. مثال

             3     1         5      4
المحدد  :           = -                = 7
            5      4         3      1




             3     1        1       3
المحدد  :           = -                = 7
            5      4        4       5



3) قيمة المحدد = 0 اذا تساوى فيه صفان، او عمودان ..
او ان يكون عناصر اى صف، او عمود كلها اصفاراً ..
             3   5   1
             3   5   1   = 0
المحدد :   2   0  7

نظراً لتساوى الصفين (1) ، (2)

             3    4    3
المحدد :  5    0    5   = 0
             1   6     1

نظراً لتساوى العمود الأول مع العمود الثالث .
 
            5    0    4
المحدد :  3    0   10   = 0
            2    0    6


            0   0   0
المحدد :  1   5   7   = 0
            -1  -8   6


4) اذا ضربنا عناصر اى صف او عمود فى عدد ما
ك فإن قيمة المحدد الجديد = ك × قيمة المحدد الأصلى .

مثال : اوجد قيمة هذه المحدد :-

   -1   3    1
    0   5    3  = -1(-27)-3(-6)+1(-10) = 35
    2   4   -3

فى حين اننا لو ضربنا مثلاً الصف الثانى فى 2
تكون قيمة هذا المحدد = 2 × 35 = 70
تحقق ..

     
  -1   3    1
   0   10  6 = -1(-54)-3(-12)+1(-20)= 70
   2   4   -3


مما سبق نستنج انه اذا وجد عامل مشترك فى صف
ما، او عمود ما فى المحدد فإننا نخرجع كعامل مشترك
مثال على ذلك :-

            6   12   3          2   4   1
المحدد :  5   1   -1 = 3 × 5   1  -1
            7   -5   4          7   -5   4

اى : اخرجنا 3 عامل مشترك من الصف الأول ..

5) يمكن وضع المحدد فى صورة مجموع محددين
من نفس الرتبة، بتجزء صف واحد فقط، او عمود
واحد بفقط مع ثبات باقى الأعمدة والصفوف .. مثال

            4     2      3      1       1     1
المحدد :            =             +
            5     6      5     6       5     6

هنا تم تجزء الصف الأول مع بقاء الصف الثانى، وعكس
هذه الخاصية صحيح ايضاً ( جربها بنفسك )

6) اذا اضفنا لعناصر اى صف او عمود مضاعفات
صف او عمود آخر فإن قيمة المحدد لا تتغير .. مثال

            3  -2  4      9   5   3
المحدد :  6  7  -1  = 6   7  -1
            9   1  1      9   1  1

الذى حدث : تم اضافة عناصر الصف الثانى
الى عناصر الصف الأول، واذا نقلنا مضاعفات
عناصر الصف الثانى للصف الأول، فإنه ايضاً
قيمة المحدد لا تتغير، ونفس الشىء مع الأعمدة ..


6) اذا ما وجدت ثلاثة اصفار اسفل، او تحت القطر
الرئيسى، فإن قيمة المحدد = حاصل ضرب عناصر
القطر الرئيسى، اما اذا وجدت ثلاثة اصفار اسفل
او تحت القطر الثانوى، فإن قيمة المحدد =
- ( حاصل ضرب عناصر القطر الثانوى ) .. مثال

            0  0  3
المحدد :  0  5  1 = - (1×5×3) = 15
            1  6  7

           6  0  0
المحدد : 4  3  0  = 6×3×4 = 72
           -1  2  4


░ ايجاد المحدد من الرتبة 2×2 ░

            أ     ب
المحدد :            = (أ×د) - (ب×جـ)
           جـ    د

                   3     4
مثال : المحدد             = (3×7)-(4×6)=-3
                  6      7

░ ايجاد المحدد من الرتبة 3×3 ░

            أ  ب  جـ        هـ و        د و         د هـ
المحدد : د  هـ  و  = أ ×ر  ن - ب×ز  ن +جـ×ز  ر
            ز   ر   ن

مثال :
            6  2   1
المحدد : 5  4   2 = 6(-4-2)-2(-5-2)+1(5-4)=-21
            1  1  -1


░ وبصفة عامة ايجاد المحدد من الرتبة م×م░

نصنع نفس الخطوات السابقة، والإشارة فى كل
مرة تتغير يعنى : + ، - ، + ، - ، + ، ...... وهكذا

تعال عند اول عنصر فى الصف الأول ثم اضربه فى
محدد، لكن ما هو ؟؟ المحدد هو جميع عناصر
المحدد الأصلى فيما عدا الصف، العمود اللذان
ينتميا له هذه العنصر الذى اشرت اليه .. وهذا
هى الخاصية العامة لإيجاد اى محدد من الرتبة م×م


مثال على هذا : ايجاد المحدد من الرتبة 4×4
( عن طريق تحويله الى مجموع مضاعفات محددات
من الرتبة 3×3 ثم تحويل كل محدد من الرتبة 3×3
الى مجموع مضاعفات محددات من الرتبة 2×2
وهكذا الى ان توجد القيمة المحدد بالكامل .. لكن
ينصح اجراء بعض الإختصارات قبل ايجاد قيمته ..



3  2   -1   5
3  2   4    1
1  0   2    0
2  -4  6    2
       
         2 4 1        3 4 1          3 2 1       3 2  4
= 3 × 0 2 0 - 2× 1 2 0 +(-1)×1 2 0 -5× 1 0  2
        -4 6 2        2 6 2          2 -4 2      2 -4 6


ثم فك كل محدد من الدرجة الثالثة، ليظهر لك
قيمة المحدد من بالكامل من الدرجة الرابعة .