برهن على انه اذا كان l (n-1)! + 1 يقسم على n فإن n عدد أولى

سأبرهن لك العبارة بطريقة سهلة :

ليكن n عدد طبيعى، نعلم ان جميع الأعداد الطبيعية اما ان تكون عدد
أولى او ليست عدد أولى (بمعنى آخر مجموعة الأعداد الأولية اتحاد
مجموعة الأعداد المؤلفة تعطى مباشرةً مجموعة الأعداد الطبيعية)

لذا فإن اجزمنا ان n عدد طبيعى (وهذا حقيقى لأننا نتعامل مع مضاريب
أعداد طبيعية) فإن لم يكن n عدد مؤلف فهو عدد أولى .

البرهان بالتناقض : ليكن n عدد مؤلف  <===> n = ab

حيث a , b أعداد طبيعية أكبر من الواحد واقل من n

    l                      1 >  a , b >  n                  l

اذاً : l     (n-1)!    l  يقبل القسمة على a , b  معاً اى انه يقبل
القسمة n ، ولهذا السبب فإن :   l        (n-1)! + 1  لا تقبل القسمة
على n ، وهذا تناقض أن العبارة تقبل القسمة على n اذاً n عدد أولى .

مثال :   l             [(5 - 1)! + 1]/5 = 5             l

ملحوظة أخيرة : وهذا البرهان يؤكد عكس مبرهنة ويلسون، او كما
يسميها البعض (مبرهنة ابن الهيثم - ويلسون) من اجل n عدد أولى
فإن :

l              (n - 1)! ≡ -1  (mod n)          l‏