اثبت ان عدد المجموعات الجزئية لأى مجموعة عدد عناصرها ن هو 2^ن

اعتقد ان هذا شىء أساسى فى المجموعات .

عدد جميع المجموعات الجزئية لأى مجموعة عدد عناصرها ن هو 2^ن

مثال : لتكن المجموعة س = {1 ، 2 ، 3}

ولتكن ج = اتحاد جميع مجموعات س الجزئية .

ج = {

{} , {1} , {2} , {3} , {1 ، 2} , {1 ، 3} , {2 ، 3} , {1 ، 2 ، 3}

}

حيث {} تعنى المجموعة الخالية .

بالإستقراء الرياضى : لتكن س هى المجموعة الخالية اذاً هى تحتوى
على عنصر واحد وعدد عناصراً صفر، ولذلك فإن  2^0 = 1 وهذا يعنى
ان العلاقة صحيحة، كذا ايضاً اذا كان عدد عناصر المجموعة عنصر واحد
فقط فإن عدد المجموعات الجزئية = 2^1 = 2 وهذا صحيح .

وفى الحقيقة قد جربت الإثبات بنفسى سابقاً (اى انى لم اتقيد بإثبات معين)

وكان كالتالى ...

ليكن عدد عناصر المجموعة هو ن فإنه المجموعة الخالية تنتمى لأى
مجموعة، وبذلك نستطيع ان نرمز لها بالرمز (صفر ، ليس كعدد وانما كرمز)

0  ====> ن ق 0

1 ====> ن ق 1

ما معنى ن ق 1  ؟

ن ق 1 = ن  = عدد جميع المجموعات الجزئية التى تتألف من عنصر واحد ..
وهكذا فإنك اذا ما تابعت الحلقة بإستمرار تجد اننا نتحدث عن عوامل ذات الحدين .

0  ====> ن ق 0

1 ====> ن ق 1

2 ====> ن ق 2

3 ====> ن ق 3
.
.
.
ن ====> ن ق ن

اذاً : (ن ق 0) + (ن ق 1) + (ن ق 2) + .... + (ن ق ن) = 2^ن

والإثبات من نظرية ذات الحدين نفسها ...

                                       ن     ن
النظرية هى : (س + أ)^ن = سيجما   ق أ^ر س^(ن-ر)
                                     ر=0        ر

بوضع س = أ = 1  للطرفين ...

                    ن     ن
(1 + 1)^ن = سيجما  ق 1^ر × 1^(ن-ر)
                   ر=0      ر

         ن    ن
اذاً : سيجما   ق  = 2^ن       وهو المطلوب اثباته .
       ر=0       ر

اذاً : عدد المجموعات الجزئية لأى مجموعة منتهية عدد عناصرها ن هو 2^ن .

ولكى نثبت ما سبق بالإستقراء الرياضى يجب ان نتعرف على مفهوم هام جداً وهو
اذا كان لدينا مجموعتين س ، ص وكان عدد عناصر س هو ن وعدد عناصر ص هو م
فإن عدد جميع المجموعات التى تتكون من عنصرين فقط من المجموعتين س ، ص
تتلخص فى القانون س × ص = ن × م


فإذا قولنا أن المجموعة س = {أ ، ب ، جـ}  وكانت عندنا مجموعة اخرى

ص = {ع ، غ}

فإن : س × ص = { {أ ، ع} , {أ ، غ} , {ب ، ع} , {ب ، غ} , {جـ ، ع} , {جـ ، غ}

}

وهم عبارة عن 6 عناصر كل عنصر عبارة عن مجموعة مكون من عنصرين ...
نظراً لأن كل عنصر من عناصر المجموعة س يقابله عنصرين من المجموعة ص .
او العكس يمكن ان نقول كل عنصر من عناصر المجموعة ص يقابلة ثلاث عناصر
من المجموعة س ... وهذا كافى لتكوين جميع المجموعات المكونة من عنصرين ...

فإذا عودنا الى مثال حى مما ذكرناه سابقاً :-

ليكن

ج = {

{} , {1} , {2} , {3} , {1 ، 2} , {1 ، 3} , {2 ، 3} , {1 ، 2 ، 3}

}

ج َ = { {} , {4} }

ج × جَ = {

{} , {1} , {2} , {3} , {1 ، 2} , {1 ، 3} , {2 ، 3} , {1 ، 2 ، 3} ,
{4} , {1 ، 4} , {2 ، 4} , {3 ، 4} , {1 ، 2 ، 4} , {1 ، 3 ، 4} , {2 ، 3 ، 4} ,
{1 ، 2 ، 3 ، 4}

}

اذاً مفهوم عدد عناصر المجموعة التالية هو 2× عدد عناصر المجموعة الجزئية السابقة لها

وبناء على هذه المفاهيم الأساسية : نقول العلاقة 2^ن من أجل ن = 0 ، ن = 1 صحيحة ايضاً
ويمكن تجربتها بأكثر من ذلك ان شئت، ثم نفرض صحتها عندما ن=ك  ، والآن عدد عناصر المجموعة
الجزئية التى تليها تتحد بالآتى ..

لتكن عدد المجموعات الجزئية للمجموعة س هو 2^ك  حيث ك عدد طبيعى .
الآن لإيجاد المجموعة التى تليها ما علينا سوى ضربها فى مجموعة ص تتكون
من عنصر وحيد أ  فتكون مجموعاتها الجزئية { {} , {أ} }

عدد المجموعات الجزئية للمجموعة س = 2^ك
وعدد العناصر الجزئية للمجموعة ص = 2

اذاً عدد عناصر المجموعة الجديدة = س×ص = 2 × 2^ك = 2^(ك+1)

اذاً العلاقة صحيحة ...