0 إوجد باقى قسمة 1003 على 12

يقبل عدد ما القسمة على 12 اذا
كان يقبل القسمة على 4 ، 3


يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون
من  الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4

يقبل عدد ما القسمة على 3 اذا كان مجموع
ارقامه تقبل القسمة على 3 .

الآن 1 + 0 + 0 + 3 = 4

لا تقبل القسمة على 3

هذا يعنى أن أول شرط لم يتحقق..
بل الشرط الثانى ايضاً لم يتحقق لأن
3 عدد فردى .. نستمر هكذا نطرح
1 ثم 2 .... الخ الى أن نصل الى 7
فيتحقق كلا الشرطين معاً ..

اذاً باقى القسمة هو 7

................................................
فكرة الحل هى : فرضنا أنه بعد طرح
عدد ما محصور فى المجموعة
{0 ، 1 ، 2 ، 3 ، .......... ،11}

فإن العددد يقبل القسمة على 12

نفرض أن باقى القسمة = س (عدد ما)

1003 - س = 12م

بالطرق التقليدية كما ذكرت نظل نطرح على الآلة
1 (ونجرب القسمة .. 2 ونجرب القسمة ..)

الى أن نطرح 7  فنجد أن العدد اصبح 996

وهو يقبل القسمة على 12 لأن 996÷12 = 83

اذاً باقى القسمة = 7

وهناك طرق علمية أخرى

......................................................

الطريقة العلمية :

(لكن ربما تكون ثقيلة الفهم بالنسبة لك)

لكنها سريعة المفعول :)


نبدأ من : 25 ≡ 1 (مود 12)

ومنها نحصل على 40(25) ≡ 40(1) (مود 12)

1000 ≡ 40 (مود 12)

اذاً : 1003 ≡ 43 (مود 12)

نفهم من ذلك أن باقى قسمة 1003 على 12
تكافىء باقى قسمة 43 على 12

(يعنى صغرنا عملية الحل)

الآن نبحث باقى قسمة 43 على 12

وهذا واضحة وسهلة فنحن نعلم مسبقاً أن
36 هى التى تقبل القسمة على 12 لأن

36 ÷ 12 = 3

اذاً باقى القسمة = 7
...................................................
طريقة أخرى :

10 ≡ -2 (مود 12) ومنها 1000 ≡ -8 (مود 12)

اذاً 1003 ≡ -5 (مود 12)

ومنها 1003 ≡ 12 - 5 (مود 12)

اذاً 1003 ≡ 7 (مود 12)

اذاً الباقى هو 7

هذه أسرع طريقة من وجهة نظرى بدون
إستعمال الآلة الحاسبة .
.....................................................

طريقة القسمة العادية ..

   3 8
ــــــــــــــــــــــــ
 1003        | 12
                ـــــــــــــ
  96
ــــــــــــــــــــ
  3 4

  36
ــــــــــــــــــ
  7

تابع القراءة

0 برهان صيغة أويلر المثلثية

نعلم أن : منشور الدالة الأسية هى :

هـ^س = 1+س+س²\2 + س³\3! + .....

نبدل س بـ ت س فنحصل على :-

هـ^(ت س) = 1+ت س - س²\2 - (ت س³)\3! +...

ولكن :

جتاس = 1 - س²\2 + س^4\4! - س^6\6!+ ....

جاس = س - س³\3! + س^5\!5 - س^7\7!+...

ومنها نحصل على :

ت جاس = ت س - (ت س³)/3!+.....


بالجمع نحصل على :

جتاس + ت جاس =

1 - س²\2 + س^4\4! - س^6\6!+ ....

+ ت س - (ت س³)/3!+.....


= 1+ ت س - س²\2 - (ت س³)\3! + ....

وهذه الصيغة تكافىء منشور هـ^(ت س)

اذاً : هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس

حيث هـ ≈ 2.71828  ، ت وحدة تخيلية = جذر(-1)

تابع القراءة

0 إثبت أن : جازس = (هـ^س - هـ^-س)/2

ولنبدأ من صيغة أويلر المثلثية .


هـ^(ت س) = جتاس + ت جاس

هـ^(-ت س) = جتاس - ت جاس

(( وهذه الخطوة لن إثبتها.. تحقق منها بنفسك))


بطرح المعادلة الأولى من الثانية :

هـ^(ت س) - هـ^(- ت س) = 2 ت جاس


                هـ^(ت س) - هـ^(- ت س)
اذاًَ : جاس = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           2ت


ولكن : جازس = - ت جا(ت س)

(( هذه علاقة بين الجيب والجيب الزائدى ))

وبضرب العلاقة السابقة فى - ت .

              هـ^(ت س) - هـ^(-ت س)
- ت جاس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        - 2


الآن نبدل س بـ ت س (لأنها متطابقة)

ولاحظ أن ت × ت = ت² = -1


                     هـ^(ت ت س) - هـ^(-ت ت س)
- ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                   -2



                         هـ^(-س) - هـ^( س)
- ت جا(ت س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                 -2


لاحظ سالب فى المقام يمكن برفعها للبسط ..


                          هـ^س - هـ^-س
- ت جا(ت س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                2


ولكن  - ت جا(ت س) هى نفسها جازس


                     هـ^س  - هـ^-س
اذاً جاز(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                             2

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

وهذا إثبات آخر آراه من وجهة نظرى أسهل :
وهو نفس الأسلوب السابق لكن نبدأ من
صيغة أويلر (للدوال الزائدية مباشرة ً)

نعلم أن :

هـ^س = جتازس + جازس

هـ^-س = جتازس - جازس


وعليه وبعد الطرح ينتج لنا :-

هـ^س - هـ^-س = 2جازس


            هـ^س - هـ^-س
جازس = ــــــــــــــــــــــــــــــ
                     2

تابع القراءة

0 اذا علمت أن 3جاأ + 4جتاب =2 إوجد 4جاأ + 3جتاب

نفرض أن : 4جاأ + 3جتاب = د  حيث د عدد ثابت

نضع جاأ = س   ،  جتاس = ص

فيتكون لدينا هذا النظام :

3س + 4ص = 2

4س + 3ص = د  

نعلم أن مدى دالتى الجيب وجيب التمام
من -1 الى 1  فترة مغلقة :

3س + 4ص = 2

4س + 3ص = د  

بضرب المعادلة الأولى -3

والمعادلة الثانية فى 4

-9س - 12ص = -6     (1)

16س + 12ص = 4د    (2)

............ بجمع (1) ، (2) .............

7س = 4د - 6


اى أن : 7جاأ = 4د - 6


                    4د - 6
ومنها  جاأ = ـــــــــــــــــــــ
                       7



         4د - 6
1 ≥ ـــــــــــــــــــ  ≥ -1  بالضرب فى 7
           7


7 ≥ 4د - 6 ≥ -7    بإضافة 6


13 ≥ 4د ≥ -1   بالقسمة على 4


13/4 ≥ د ≥ -1\4

3.25 ≥ د ≥ -0.25

هذا يعنى أن د فى الفترة [3.25 ، -0.25]

من أجل  1 ≥ س ≥ -1

ولكن يجب ان تنطبق تلك العلاقة على ص ايضاً ..

الآن نكرر نفس الخطوات لكن بطريقة مختلفة ...


3س + 4ص = 2

4س + 3ص = د  

بضرب المعادلة الأولى -4

والمعادلة الثانية فى 3

-12س - 16ص = -8         (1)

12س + 9ص = 3د         (2)

.............. بجمع (1) ، (2) ...................


                                       8 - 3د
-7ص = 3د - 8  ومنها ص = ــــــــــــــــــــ
                                         7


           8 - 3د
1 ≥ ـــــــــــــــــــــــ ≥ -1   بالضرب فى 7
             7


7 ≥ 8 - 3د ≥ -7     بطرح 8


-1 ≥ -3د ≥ -15  بالقسمة على -3


5 ≥ د ≥ 1\3

هذا يعنى أن د فى الفترة [5 ، 1\3]

من أجل  1 ≥ ص ≥ -1
..........................................................

وبأخذ المجال المشترك بينهما ::::: لاحظ :

المجال الأول : [3.25 ، -0.25]

المجال الثانى :  [5 ، 1\3]

ارسم خط الأعداد ثم خذ حالة التقاطع لتصبح
هى مجموعة الحل ..

مجموعة الحل = [5 ، 1\3] ∩ [3.25 ، -0.25]


= [3.25 ، 1\3]

.......................................
هذا معناه أن :


4جاأ + 3جتاب ∈ [3.25 ، 1\3]

تابع القراءة

0 حل المتراجحة اس-3ا ≤ 4

اس-3ا ≤ 4   نحذف علامة التباين

|س-3| = 4  ومنها :

اما س - 3 = 4    او  س - 3 = -4


اذاً  اما س = 7   او س = -1



نرسم خط الأعداد ونفصل بفواصل عندما س = -1
وعندما س = 7 


الآن أصبح خط الأعداد مقسم الى ثلاث فترات
الأولى من -∞ الى -1 والثانية من -1 الى 7
والثالثة من 7 الى ∞

نعوض بأى عدد ينتمى لك فترة من هؤلاء
بحيث يحقق المترجحة :

|س-3| ≤ 4

مثلاً فى الفترة الأولى من -∞ الى -1
نأخذ س = -2   نجرب ..

|-2 - 3| = |-5+ = 5  هل  5 اقل من 4 ؟

اذاً هذه الفترة ليست ضمن مجموعة الحل ..

نأخذ الفترة الثانية :  والثانية من -1 الى 7

الصفر ينتمى اليها  :: نضع س = 0

|0 - 3| = |-3| = 3    بالفعل 3 اقل من 4

وأخيراً نأخذ الفترة الأخيرة ..والثالثة من 7 الى ∞

نضع س = 8

|8 - 3| = |5| = 5   ولكن 5 ليست أقل من 4

اذاً مجموعة الحل هى الفترة (التى فى الوسط)

م.ج = [-1 ، 7]

.............. وبصفة عامة للحل ...............اس-3ا ≤ 4   نحذف المقياس ونكتب :

 -4 ≤س-3≤ 4    ومنها  -4+3 ≤ س ≤ 4+3

إذاً : -1 ≤ س ≤ 7
م.ج = [-1 ، 7]

تابع القراءة

7 إثبت انه فى اى مثلث أ ب جـ فيه (جاأ+جاب)/جاجـ > 1

حل1: زواياه هى أ ، ب ، جـ  نفرض أن أضلاعه أ َ ، بَ  ، جـَ

                    جاأ  + جاب          أ َ + بَ
              ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
                      جاجـ                   جـَ

يمكن استنتاجها من قانون الجيب : هكذا :

    أ َ              بَ              جـَ
ــــــــــــــ = ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ
  جاأ             جاب            جاجـ

                                                      أ َ            جاأ
ومن خواص النسبة والتناسب ينتج أن :  ــــــــــــ = ـــــــــــــــ
                                                     جـ َ          جأجـ

             بَ          جاب
وايضاً : ــــــــــــ = ــــــــــــــ
            جـَ          جاجـ


         جاأ  + جاب             أ َ + بَ
اذاً :  ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ
             جاجـ                    جـَ


ولكن فى اى مثلث يتحقق فيه أن طول اى ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث :

اذاً  أ َ + بَ > جـ َ وهذا يدل على أن البسط أكبر من المقام اى أن المقدار

كله حتماً أكبر من الواحد .
.............................................................................................
حل2:

         أ+ب+جـ = 180  ومنها أ+ب = 180 - جـ


  جاأ + جاب            جاأ + جاب
ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ
    جاجـ                  جا(أ+ب)


وبطرح المقام من البسط اذا نتج انه اقل من الصفر
فهذا دليل على أن المقام اقل من البسط او البسط
اكبر من المقام .. اذاً الكسر كله أكبر من الواحد .


جا(أ+ب) - (جاأ + جاب)


= جاأ جتاب + جتاأ جاب - جاأ - جاب


= جاأ (جتاب - 1) + جاب (جتاأ - 1)

الآن نفرض ان المثلث حاد الزاوية اذاً كلاً من أ ، ب
محصورين فى الفترة ]0 ، 90[

اذاً كلاً من جاأ ، جاب ، جتاأ ، جتاب كميات موجبة
تحصر قيمها فى الفترة ]0 ، 1[

اذاً فى هذه الحالة نتحقق من أن :

جاأ (جتاب - 1) + جاب (جتاأ - 1) < 0


الآن نأخذ الحالة التى يكون فيها المثلث قائم الزاوية
نفرض أن المثلث قائم الزاوية فى جـ فهذا يدل على
أن كلاً من أ ، ب حادتين ويكون بذلك انتهى البرهان
عند هذه الخطوة، ثم نفرض أن المثلث قائم الزاوية
فى أ فيكون بذلك جاأ = 1   و  جتاأ = 0  بالتعويض
مع علمان ان ب زاوية حادة فى هذه الحالة .

(جتاب - 1) - جاب < 0

وأخيراً نفرض أن المثلث منفرج الزاوية .

فإذا كان منفرج الزاوية فى جـ هذا يعنى أن كلاً من أ ، ب
حادتين ونكون انتهينا من البرهان، ثم نفرض أن المثلث
منفرج الزاوية فى أ .

هذا يعنى أن كلاً من جاأ  ، جاب  موجبتين لأن جا موجبة
فى الربع الأول، ولكن جتاأ سالبة لأن جتا سالبة فى الربع الثانى .

فى جميع الحالات يتحقق ايضاً أن :


جاأ (جتاب - 1) + جاب (جتاأ - 1) < 0

وبالمثلث نأخذ حالة ب زاوية منفرجة تتحقق نفس النتيجة


اذاً : جاأ + جاب > جا(أ+ب)


         جاأ + جاب
اذاً : ـــــــــــــــــــــــــــ > 1
         جا(أ+ب)


            جاأ + جاب
ومنها : ـــــــــــــــــــــــــ > 1
               جاجـ

وهو المطلوب : إضغط هنا لتتطلع على حل ثالث

تابع القراءة

0 إنشىء شكلاً مناسباً ثم إثبت أن الدالة تآلفية

ABC مثلث بحيث:  AB=14 ;BC+12 ;AC=11
نعتبر Mمن القطعة [AB]
المستقيم المار من Mوالموازي للمستقيم (BC) يقطع المستقيم (AC) في النقطة N
نضع  AM=x و نعتبر الدالة f بحيث f(x) هو محيط شبه المنحرف MNCB
1) أنشئ شكلا مناسبا
2) بين أن الدالة f دالة تآلفية

أولاً : نرسم شكل تقريبى:
الآن فرضنا أن AM = X  ومنها BM = 14 - X

بما أن MN متوازى لـ BC والزاوية Aمشتركة
اذاً المثل ABC يتشابه مه المثلث AMN
,من خواص التشابه يتحقق أن :

AB/AM = BC/MN = AC/AN

ll       14/X = 12/MN = 11/AN

الآن امامنا نسبة كاملة تحتوى على المجهول X
فقط ومن خلالها نوجد MN و AN بدلالة X

ارشاد : استعمل قوانين النسبة والتناسب
كما ان حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
لتصل الى أن :

MN = 6X/7    و   AN = 11X/14

الآن اضبح من السهل جداً التعرف على أضلاع شبه
المنحرف بدلالة X وهى :


MN = 6X/7  و  BC = 12

BM = 14 - X   و NC = 11 - AN

NC = 11 - 11X/14


f(x) = 6X/7 + 12 + 14 - X + 11 - 11X/14

f(x) = 6X/7 - 11X/14 - X + 37

وحد المقامات بالنسبة لـ X

f(x) = -13x/14 + 37

الدالة تآلفية وميلها = -13 على 14

تابع القراءة

0 اوجد حل المعادلة 3^(2س) + 4 × 3^(س) - 12 = 0

3^2س + 4 (3^س) - 12 = 0

هذه معادلة تربيعية فى 3^س

يمكنك ( منعاً للخبطة ) وضع 3^س = ص

ص² + 4ص - 12 = 0  ثم تحليل مقدار ثلاثى

(ص - 2) (ص + 6) = 0


اما ص - 2 = 0          او ص+6 = 0

ومنها ص=2             ومنها ص = -6


             ص = 3^س


اما 3^س = 2         او 3^س = -6


       بأخذ لو للأساس 3 للطرفين


لو 3^س = لو2   او لوس^3 = لو-6
3             3        3            3


الحل الثانى مرفوض .. لماذا ؟
لأن ما امام اللوغاريتم سالب .

اذاً  :  لو3^س = لو2
        3           3


س لو3  = لو2
     3       3


ومنها س = لو2
               3


بالتقريب س ≈ 0.63

تابع القراءة

0 عين المجال والمدى للدالة srqt(x/(x² - 1)) ..l

f(x) = sqrt[x/(x² - 1)]

x² - 1 = 0    x = ±1

x/(x² - 1) ≥ 0

the domain in ]-1 , 0] ∪ ]1 , ∞[
..............................................
y = sqrt[x/(x² - 1)]

y² = x/(x² - 1)

x = y²(x² - 1)

x = x²y² - y²

y²x² - x - y² = 0


Delta = 1 + 4y^4

x = [1 ± sqrt(1+4y^4)]/2y²

the co-domain IR -  {0}

but the negative numbers switch the function
to ±y = sqrt[x/(x² - 1)]

so we take the positive case

Hence : the rang is [0 , ∞[‏‏

تابع القراءة

0 كيف نعين إحداثى رأس المنحنى فى الدوال التربيعية ؟

احداثى رأس المنحنى فى الصيغة الأولى
y = ax² + bx + c


ll       (-b/2a  , f(-b/2a) )       ..ll

احداثى رأس المنحنى فى الصيغة الثانية

y = (ax+b)²+k


ll              (-b/a  ,  k)         ..ll

والصيغة العامة للإنتقال من الصيغة الأولى الى
الثانية هى طريقة أكمال المربع .
.................................................................

مثال :

y = x² + 4x + 7

نحاول أن نجعل الطرف الأيمن مربع كامل

بحيث يكون الحد الثالث = مربع ½ معامل x

= (2)² = 4

اذاً نفك الـ 7 الى 4 + 3

y = x² + 4x +4  + 3

y = (x + 2)² + 3

اذاً احداثى رأس المنحنى ll     (-2 , 3 )        ..ll‏

...........................................................
مثال "2"

y = 2x² - 8x + 5

لكى يتحقق المربع الكامل يجب ان يتحقق هذا الشرط

                  مربع الحد الأوسط
الحد الثالث = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    4 × الحد الأول


                         (-8)²
الحد الثالث = ـــــــــــــــــــــــــــــ = 8
                        4 × 2


هل 5 كافية ؟

اذاً يمكنك إضافة 3 للـ 5  فتصبح 8
ومن ثم تطرح 3

y = 2x² - 8x + 5 + 3  - 3

y = 2x² - 8x + 8 - 3

y = (sqrt(2)x  - sqrt(8))² - 3

y = (sqrt(2)x - 2sqrt(2))² - 3


احداثى رأس المنحنى ll    ( 2 , -3 )     ..ll‏

حل آخر سهل وواضح :-

y = 2x² - 8x + 5

بأخذ 2 عامل مشترك (للتخلص من معامل x² )

y = 2(x² - 4x+ 2.5)               ..ll

الآن ما داخل القوس مربع كامل اذا وفقط اذا
كان الحد الثالث = مربع ½ معامل x²

الحد الثالث = (½ × 4)² = (2)² = 4

بإضافة 4 داخل القوس وطرحها مرة أخرى ..


y = 2(x² - 4x + 4 - 4 + 2.5)               ..ll


y = 2(x² - 4x + 4 - 1.5)               ..ll

الآن نقوم بإكمال المربع للحدود x² - 4x + 4

y = 2[(x - 2)² - 1.5]        ..ll

ومن ثم نضرب 2 فى القوس كما كانت ..

y = 2(x - 2)² - 3

ويكون احداثى رأس المنحنى ll    (2 , -3)      ..ll


هل هذه الطريقة أوضح ؟

تابع القراءة

0 ما نوع المثلث الذى يتحقق فيه cosA+cosB+cosC=3\2‏ ؟

هناك عدة طرق يمكن ان نتحقق من خلالها على نوعية

المثلث .. أذكر منها قانون جيب التمام، وبتحويل كلاً من
cosA و cosB و cosC  فنحصل على الآتى :

ll  (a²+b²-c²)/2ab +(a²+c²-b²)/2ac + (b²+c²-a²)/2bc =3/2

بضرب الطرفين فى 2abc


ll         c(a²+b²-c²) + b(a²+c²-b²) + a(b²+c²-a²) =3abc

ومنها نحصل على :-


ll     c(a²+b²) + b(a²+c²) + a(b²+c²) =a³+b³+c³+3abc

ca²+cb² + ba²+bc² + ab²+ac² = a³+b³+c³+3abc

بحذف 6abc من الطرفين فنحصل على :
مع توزيعها على الطرف الأيسر هكذا ...


ca²+cb²-2abc + ba²+bc²-2abc + ab²+ac²-abc = a³+b³+c³-3abc


بإكمال المربعات فى الطرف الأيسر مع أخذ العوامل المشتركة ..


c(a-b)²+b(a-c)²+a(b-c)² = a³+b³+c³-3abc

استطيع ان اثبت لك أن :

a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² - ab - bc - ac)     ll

من خلال ذلك نتحقق من أن : -

c(a-b)²+b(a-c)²+a(b-c)² = (a+b+c)(a²+b²+c² - ab - bc - ac)   ..ll


بضرب الطرفين فى 2 ومن ثم نقوم بأكمال المربعات
فى الطرف الأيمن ( كما فعلنا فى الطرف الأيسر )
فنحصل فى  النهاية على :-

ll   2c(a-b)²+2b(a-c)²+2a(b-c)² = (a+b+c)[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]   ll   

الآن اطرح عناصر الطرف الأيمن من الأيسر (اى اجعل المعادلة صفرية)
مع اجراء بعض العمليات الجبرية واخذ العواملة المشتركة فنحصل على :

ll  (a - b - c) ( b - c )² + (b -a - c) ( c - a )² + ( c- a - b) ( a - b )² = 0   ll

ربما تعلم أنه فى اى مثلث فإن مجموع اى ضلعين فيه أكبر من طول الضلع الثالث
وهذا يعنى ان مصدر الصفر فى المعادلة مستحيل يكون من الأقواس التى تتشابه
مع  (a - b - c)  كمثال يعنى .

اذاً مصدر الصفر من الأقواس الثنائية الأخرى ( التربيعية )

وهذا يعنى أن :

b - c = 0   ومنها b = c  

c - a = 0    ومنها c = a

وهذا يكفى ( علاقة تعدى ) نستنتج منها أن :

a = b = c

اذاً المثلث (متساوى الأضلاع)
............................................................................

حل آخر عن طريقة دلتا ( المميز ) فى المعادلة التربيعية

عن طريق التطبيق المباشر للمتطابقة المثلثية :

cosA+cosB = 2cos½(A+B) cos½(A-B)     ..ll

والمتطابقة : cos2x = 1 - 2sin²x

ومنها نحصل على أن : cosC = 1 - 2sin²(C/2)     ..ll

كذلك تذكر متطابقة دوال الجيب وجيب التمام المتممة :

cos(90 - x) = sinx

وايضاً تذكر أن مجموع زوايا المثلث = 180 درجة

A+B+C = 180

A+B = 180 - C

........ إعتبر الذى فات كله مقدمة ........


الآن :  cosA+cosB+cosC=3\2


2cos½(A+B) cos½(A-B) + cosC = 3/2

بضرب الطرفين فى 2

4cos½(A+B) cos½(A-B) + cosC = 3


4cos½(180 - C) cos½(A-B) +2cosC = 3


4cos(90 - C/2) cos½(A-B) +2(1 - 2sin²(C/2)) = 3


4sin(C/2) cos½(A-B) +2 - 4sin²(C/2) = 3


4sin(C/2) cos½(A-B) +2 - 4sin²(C/2) -3 = 0


4sin(C/2) cos½(A-B) - 4sin²(C/2) - 1 = 0

بترتيب الحدود مع ضرب الطرفين فى -1

4sin²(C/2) - 4cos½(A-B) sin(C/2)  + 1 = 0

نعتبر انها معادلة تربيعية فى sin(C/2)      ..ll

وبإيجاد مميز المعادلة، وبما اننا نريد الحلول الحقيقية
فقط اذاً ما تحت الجذر التربيعى أكبر من او يساوى الصفر .

ll           16cos²½(A-B) - 4×4×1 ≥ 0

بقسمة الطرفين على 16

cos²½(A-B) - 1 ≥ 0


cos²½(A-B) ≥ 1        

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين


cos½(A-B) ≥ ±1


cos(½A - ½B) ≥ ±1

لكن انت تعلم ان مدى دالة cos محصور فى الفترة [-1 , 1]

اذاً نأخذ حالة المساواه فقط : cos(½A - ½B) = ±1

اذاً ما داخل الزاوية cos = معكوس جيب التمام لـ 1  وهو 0
والحالة الثانية (سالب واحد ) نجد ان المعكوس هو 180
بالقياس السيتنى ..

اذاً :  ll                    ½A - ½B = 0

ومنها  A - B = 0  ومنها A = B

او  ll                  ½A - ½B = 180  بضرب الطرفين فى 2

A - B = 360   ولكن هذا مستحيل ان يحدث فى أى مثلث

لأن مجموع زوايا المثلث = 180

اذاً نأخذ الحالة الأولى فقط وهى أن A = B

بنفس الطريقة نصنع نفس الخطوات :

cosA+cosB+cosC=3\2‏

ولكن هذه المرة نطبق المتطابقة على cosB+cosC

لينتج لنا أن  B = C

وتلاحظ انها علاقة تعدى وينتج منها أن A=B=C

اذاً المثلث متساوى الأضلاع .

................................................................

حل ثالث : بحيث يمكن وضع A=B=C = 60
تجدها تحقق المعادلة، والآن نريد أن نثبت وحدانيتها .

 cosA+cosB+cosC=3\2‏

ولكن C = 180 - (A+B) ..ll

اذاً : cosC = - cos(A+B)      ...ll

ومنها ينتج أن : cosA+cosB - cos(A+B)=3\2

الآن نفرض دالة فى A , b   بحيث :

f(A,B) = cosA+cosB - cos(A+B)  ..ll

اوجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ A
ثم اوجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ B
ومن ثم مساواة كلاً منهم بالصفر وحلهم
معاً ينتج لنا النقاط الحرجة للدالة .


f'A = sinA + sin(A+B)     ..ll

f'B = -sin(B) + sin(A+B)    ..ll

f'A = f'B = 0  ومنها نحصل على ان :

sinA = sinB = sin(A+B)    ...ll

نأخذ أولاً الحالة sinA = sinB فنحصل منها على

A=B   أو  A = 180 - B وهذا الحل مرفوض لأنه اذا تحقق

يكون A+B = 180  مما يعنى ان الشكل ليس مثلثاً أصلاً
لأن مجموع زوايا المثلث A+B+C = 0  فلا يمكن ان تكون
زاوية منهم بصفر .

ثم نأخذ الحالة الثانية مع الآخذ فى الإعتبار أن A=B

sinA = sin(A+B) = sin2A

فنحصل على انه اما A = 2A  ومنها 1 = 2 مرفوض او A = 0
مرفوض ايضاً .

واما  A = 180 - 2A  ((طبعاً لأن sin موجبة فى الربع الثانى))

ومنها  3A = 180   اذاً  A = 60

مما سبق نتأكد من أنه A=b = 60  نقطة حرجة للدالة

ينتج من خلالها أن A=B=C نقطة حرجة للدالة مما يعنى

او تساوى 3/pi بالقدير الدائرى  .

الآن ندرس ما اذا كانت قيمة عظمى ام صغرى محلية

بحيث اذا كانت المشتقة الجزئية الثانية بالنسبة لـ A
عندما A = B = pi/3  أقل من الصفر ، وكان الشرط

f'aa . fbb - f'ab² < 0  كانت قيمة عظمى محلية


f'aa = -cos(a) + cos(a+b) ...ll
f'bb = -cos(b) + cos(a+b) ...ll
f'ab = cos(a+b)   ...ll

f_aa(pi/3 , pi/3) = -1 < 0

f'aa . fbb - f'ab²  = 3/4  > 0

اذاً النقطة (pi/3  , pi/3) قيمة عظمى محلية .

فى المجال  : ll     (0,pi) × (0,pi)  ..ll

الآن نختبر هل هى قيمة عظمى مطلقة ؟

بحيث نقارنها بنقاط حواف الدالة والنقط الركنية لها .

بحيث تكون النقاط هى :

ll   (0 , B) ..ll    B from 0 to pi

ll   (A , 0)   ll   A  from 0 to pi

ll   (pi ,B)   ll   B  from 0 to pi

ll  (A , pi)   ll   A  from 0 to pi

أولاً نجرب النقاط الركنية ومنها النقطة (0 ، 0)

فى الدالة : f(A,B) = cosA+cosB - cos(A+B)  ..ll


f(0,0) = f(0,pi) = f(pi,0) = 1

f(pi , pi) = -3

 f(0,B) = f(A,0) 1  من اجل ,b , A فى الفترة (0 ، pi)


f(pi,B) = 2cosB - 1 ≤ 1  من أجل B فى الفترة (0 ، pi)

f(ِِA,pi) = 2cosA - 1 ≤ 1 من أجل A فى الفترة (0 ، pi)

فى حين أننا اذا ما عوضنا بالنقطة الحرجة (pi/3 , pi/3)

f (pi/3 , pi/3) = 3/2

اذاً  (pi/3 , pi/3) قيمة عظمى مطلقة للدالة فى
المجال ll     (0,pi) × (0,pi)  ..ll

اذاً : cosA+cosB+cosC=3\2 

اذا واذا فقط  A=B=C = pi/3

او 60 درجة بالقياس الستينى .


اذاً المثلث متساوى الأضلاع .

تابع القراءة

4 إوجد تكامل 1/(ظاس + جاس) دس

.          1
∫ــــــــــــــــــــــــــ دس
   ظاس + جاس

هذا التكامل يمكن أن يحل بعدة طرق أذكر منها :

.          1
∫ــــــــــــــــــــــــــ دس
   ظاس + جاس


بقسمة البسط والمقام على جاس


        قتاس
∫ ـــــــــــــــــــــ دس
     قاس + 1


نفرض ان ص = ظا(س/2)

ومنها س = 2ظا^-1(ص)

                 2
دس = ــــــــــــــــــــ دص
            1 + ص²


              1+ص²
قتاس = ــــــــــــــــــــ
              1 - ص²


             1+ص²
قاس = ـــــــــــــــــــ
              2ص²

بالتعويض فى التكامل الأصلى مع اجراء العمليات
الحسابية ( التى لن اضعها هنا نظراً طول حدود
المسألة ) فإخذ التكامل هذا الشكل :-

             4ص²
∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ دص
    (1-ص²) (1+3ص²)


نأخذ ما داخل التكامل ونفرض أن :

         4ص²                     أ              ب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ + ـــــــــــــــــ
 (1-ص²) (1+3ص²)       (1-ص²)      (1+3ص²)


من خلال توحيد المقام نتحقق من أن :

أ(1+3ص²) + ب (1-ص²) = 4ص²

أ + 3أص² + ب - ب ص² - 4ص² = 0


أ+ب + ص² (3أ - ب - 4) = 0


نضع 3أ - ب - 4 = 0  ومنها 3أ - ب = 4


اذاً ينتج ان :  أ + ب = 0

بحل المعادلتين معاً ( بالجمع )

4أ = 4   ومنها أ = 1

1 + ب = 0   ومنها ب = -1

الآن اصبح التكامل على الصورة :-


      1                      1
∫ـــــــــــــ دس - ∫ ـــــــــــــــــ دس
   1-ص²               1+3ص²


= ظاز^-1(ص) - ظا^-1(جذر(3) ص) + ث


حيث اقصد بـ ظاز^-1 اى الظل الزائدى العكسى

ظا^-1 يعنى الظل العكسى .

ث  : ثابت التكامل .

عوض عن ص = ظا(س/2)


= ظاز^-1[ظا(س/2)] - ظا^-1[جذر(3) ظا(س/2)] + ث

تابع القراءة

0 عين ناتج التكاملات الآتية :-

.     (س - 5)^11                        (س - 1)^7
∫ـــــــــــــــــــــــــــــــ دس    ،   ∫ ــــــــــــــــــــــــــ دس
      س^13                               (س - 9)^9

.     (س - 5)^11
∫ـــــــــــــــــــــــــــــــ دس
       س^13

فك القوس الذى فى البسط بذات الحدين
ومن ثم اقسم كل حد على س^13
لكنها طريقة طويلة جداً، واعتقد بوجود طريقة
تسهل علينا الحل .


    1         (س - 5)
∫ــــــــــــ (ــــــــــــــــــــ)^11 دس
  س‎²           س


                      5
= ∫1/س² (1 - ــــــــــ)^11 دس
                    س

                            5
= 1\5 ∫5/س² (1 - ـــــــــــــ)^11 دس
                           س


الآن اصبح التكامل سهل .. عبارة عن
حاصل ضرب دالة فى مشقتها ..


      (1 - 5/س)^12
= ــــــــــــــــــــــــــــــ + ث
           60


الثانية نفس الفكرة .
...............................................................
الثانية :

       (س - 1)^7
∫ ــــــــــــــــــــــــــــــــ دس
      (س - 9)^9


        1             (س - 1)^7
∫ــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــ دس
  (س - 9)²         (س - 9)^7


           1                 س - 1
= ∫ ــــــــــــــــــــ ×(ـــــــــــــــــــــ)^7 دس
      (س - 9)²           س - 9


لاحظ ان مشتقة ما داخل القوس هى :

   1×(س-1) - (س-9)             8
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ
      (س - 9)²                 (س-9)²


الآن نضرب التكامل فى 1\8  و 8

                  8              س - 1
= 1\8 ∫ ــــــــــــــــــــ ×(ـــــــــــــــــــــ)^7 دس
            (س - 9)²        س - 9



             [(س-1)÷(س-9)]^8
= 1\8 × ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       8

         س - 1
= [ــــــــــــــــــــــ]^8  + ث
        س - 9

تابع القراءة

1 ما هى الطريقة العامة لحل المعادلات التربيعية ذات المجهول الواحد ؟

المعادلة تكون على الصورة :

أس² + ب س + جـ = 0

حيث أ ، ب ، جـ أعداد حقيقية ثابتة

أ ≠ 0

لأنه اذا كانت أ = 0  فإن المعادلة تكون على الشكل

ب س + جـ = 0

يعنى تفقد صفتها انها معادلة من الدرجة الثانية .

من أمثلة ذلك :

2س² + 4س - 16 = 0

نأتى بالحد المطلق 16 فى الطرف الأيسر

2س² + 4س = 16

بقسمة الطرفين على 2 ( يعنى معامل س²)

س² + 2س = 8

الآن نضيف نصف معامل س

معامل س = 2   و نصفه = 1

(1)² = 1

بإضافة 1 للطرفين

س² + 2س + 1 = 9

الآن الطرف الأيمن مهىء لأن يكون مربع كامل


(جذر الأول + جذر الثالث)² = 9

(س + 1)² = 9

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين

(س + 1) = ± 3

عندما س + 1 = 3  فإن س = 3 - 1  = 2

عندما س + 1 = -3  فإن س = -1 - 3  = -4


اذاً ك م.ح = {2 ، -4}

.......................................................
مثال 2)

س² - 8س + 15 = 0

س² - 8س = -15

الآن ½(-8) = -4

(-4)² = 16

بإضافة 16 للطرفين

س² - 8س + 16 = -15 + 16

س² - 8س + 16 = 1


(س - 4)² = 1

ومنها   س - 4 = ± 1

عندما س - 4 = 1   فإن س = 5

عندما س - 4 = -1  فإن س = 3


م . ح = {3 ، 5}

...............................................
الملخص : -

الصورة القياسية للمقدار الثلاثى :

أس² + ب س + جـ = 0


أس² + ب س = -جـ  بقسمة الطرفين على أ

            ب             -جـ
س² + ــــــــــ س = ــــــــــ
            أ                أ


                                 ب²
مربع نصف معامل س = ــــــــــــ  .. بإضافته للطرفين
                                 4أ²


           ب               ب²           ب²         جـ
س² + ــــــــ س + ـــــــــــــ = ـــــــــــــ - ـــــــــــــ
           أ                4أ²          4أ²           أ

طبعاً الطرفين الأيمن اصبح مربع كامل
والطرف الأيسر نوحد المقامات ونجمع الكسور ..

             ب             ب² - 4أجـ
[س + ـــــــــــــ]² = ــــــــــــــــــــــــــ
            2أ                  4أ²


بأخذ الجذر التربيعى للطرفين ...

           ب            جذر(ب² - 4أجـ)
س + ـــــــــــ = ± ــــــــــــــــــــــــــــ
          2أ                    2أ


            -ب           جذر(ب² - 4أجـ)
س = ــــــــــــــ  ± ــــــــــــــــــــــــــــ    
           2أ                  2أ


          - ب ±  جذر(ب² - 4أجـ)
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    2أ


ويسمى هذا القانون العام لحل المعادلات التربيعية
من الدرجة الثانية فى مجهول واحد .

بحيث لو كان موجباً يكون للمعادلة حلين حقيقيين .
واذا كان سالباً يكون للمعادلة حلين عقديين .
واذا كان صفراً يكون للدالة حل واحد حقيقى .

تابع القراءة

0 تعيين مجال الدالة المعرفة على أكثر من قاعدة

من امثلة الدوال المعرفة على أكثر من قاعدة هى
دالة المقياس ( او دالة القيمة المطلقة )

د(س) = |س|  تعرف على قاعدتين :-


د(س) =  س  عندما  س ≥ 0
       
د(س) = - س عندما س < 0

ارسم خط الأعداد :
وآتى عند الصفر (مغلق) ثم مد خط الى ∞
عند نفس النقطة (0) مد خط مستقيم شمالاً
الى - ∞

من خلال ذلك يتضح أن مجال الدالة هو جميع
الأعداد الحقيقة ح .

وبصفة عامة دالة المقياس كثيرة الحدود معرفة على ح .

مثال آخر :

                س²
د(س) = ـــــــــــــــــــ
              |س|

هذه الدالة معرفة على أكثر من قاعدة لكن اول
شىء نفعله هو ايجاد المجال وهو ح فرق
اصفار المقام ، وصفر المقام هنا هو صفر

المجال = ح - {0}

فى الدالة أعلاه يمكن وضع س² = |س|²
لأن التربيع يلغى الإشارة السالبة، فسواء
كانت س موجبة او سالبة فلا فرق مع
وجود التربيع فوقه .

               |س|²
د(س) = ـــــــــــــــــــ = |س|
               |س|

دالة المقياس هذه كما نعلم معرفة على ح
ولكن (هذا بعد الإختصار)

اذاً مجال الدالة = ح - {0}

..................................................
مثال "3"

           |س|       عندما  س < 0
د(س) =
           س²        عندما س ≥ 0


الدالة معرفة على قاعدتين وعند فك المقياس |س|
الى قاعدتين تصبح معرفة على ثلاث قواعد، ولكن
هو طلب منك من القاعدتين القاعدة التى تكون
فيها  س < 0  اى انه يريد القاعدة - س


           -س      عندما  س < 0
د(س) =
           س²        عندما س ≥ 0

لاحظ ان مجال الأولى جميع الأعداد الحقيقة فرق الصفر
والثانية جميع الأعداد الموجبة + الصفر .

عند جمع المجالين يتعين ان مجال الدالة هو ح .

تابع القراءة

0 اوجد معادلة الدائرة التى تمس محور السينات فى النقطة (-2 ، 0) وتقطع جزءاً من محور الصادات طوله 4جذر(3)

الصورة العامة لمعادلة الدائرة التى مركزها (د ، هـ)
ونصف قطرها نق هى : -

(س - د)² + (ص - هـ)² = نق²

وبما انها تمس محور السينات فى النقطة التى ذكرتها

اذاً د = -2   ،  هـ = نق

((تستطيع ايضاً ان توجدها عن طريق المشقتة الأولى
لكنها تعتبر خطوات زائدة ))
.........................................................
وتقطع من محور الصادات الموجب وترا طوله 4جذر(3)

تعلم ان نصف القطر عمودى على الوتر وينصفه

اذاً ينصبفه الى 2جذر(3)  ، 2جذر(3)

ومن ثم يكون طول الضلع الأفقى (كما هو مبين بالرسم)
يساوى 2 ( لأنه موازى لمحور السينات من -2 الى 0 )
وطبعاً لا يوجد طول ضلع بالسالب لذلك نقول ان الطول
= |-2| = 2

الآن الوتر فى المثلث القائم هو (نق) = هـ

استخدم نظرية فيثاغورث :

هـ² = (2)² + (2جذر3)²

هـ² = 16  ومنها هـ = 4    ،  نق = 4

الآن : د = -2   ،  هـ = 4   ، نق = 4

اذاً : معادلة الدائرة اصبحت :

(س + 2)² + (ص - 4)² = 16

تابع القراءة

0 نظام بواقى القسمة التام، والغير تام .

يقال على مجموعة {أ1 ، أ2 ، أ3 ، ......، أر}
نظام بواقى تام قياس ن اذا كان كل عنصر من عناصر
المجموعة يطابق عنصر وحيد فقط .

مثال : {0 ، 1 ، 2}  نظام بواقى تام قياس 3

لاحظ ان كل عنصر منها يطابق عنصر وحيد فقط قياس 3

مثل : 2 ≡ 2 (مود 3)

مثال " 2) {14 ، 8 ، 12 ، -9 ، 0}

نظام بواقى تام قياس 5 لأن :

0 ≡ 0 (مود 5)  ، -9 ≡ 1 (مود 5) ، 12 ≡ 2 (مود 5)
8 ≡ 3 (مود 5)  ، 14 ≡ 4 (مود 5)

..............................................................
مثال 3) {2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 11} نظام بواقى غير تام قياس 5

لأن : 2 ≡ 2 (مود 5) ، 4 ≡ 4 (مود 5) ، 6 ≡ 1 (مود 5)
8 ≡ 3 ( مود 5)  ، 11 ≡ 1 (مود 5)

هل لاحظت 6 ≡ 1 (مود 5) ،  6 ≡ 1 (مود 5) ؟

اذاً هذا النظام نظام بواقى (غير تام )

تابع القراءة

3 اوجد sinx و cosx اذا علمت ان 3cosx+4sinx=5

3cos(x) + 4sin(x) = 5

نفرض ان tanx = a

ولكن tanx تساوى المقابل على الجاور (فى مثلث فيثاغورث)

يمكنك رسم المثلث بحيث يكون الضلع المقابل a
والمجاور 1  فيكون طول الوتر = جذر(a² + 1)

sin تساوى المقابل على الوتر
cos تساوى المجاور على الوتر

sinx = a/sqrt(a² + 1)        "1"..ll

cosx = 1/sqrt(a² + 1)       "2" ..ll

بالتعويض فى المعادلة الأصلية :-

ll      3/sqrt(a²+1) + 4a/sqrt(a²+1) = 5

اصبحت معادلة عادية تحتوى على a فقط .

الآن وحد المقامات ..

ll                    (4a+3)/sqrt(a²+1) = 5


ll                4a+3 = 5sqrt(a²+1)    ..lll


بتربيع الطرفين :

16a² + 24a + 9 = 25a² + 25


25a² - 16a² - 24a + 25 - 9 = 0

9a² - 24a + 16 = 0

نلاحظ ان المقدار ثلاثى مربع كامل .
لأن الحد الأوسط = جذر الأول×الثانى×2

ll (3a - 4)² = 0

ومنها  :

3a - 4 = 0

3a = 4

a = 4/3

بالتعويض ..

tanx = a = 4/3

اذاً الضلع المقابل = 4

الضلع المجاور = 3

بإستخدام علاقة فيثاغورث لإيجاد طول الوتر نجده = 5

sinx = المقابل على الوتر

cosx = المجاور على الوتر

sinx = 4/5

cosx = 3/5‏

...................................................................
حل آخر :-

3cosx+4sinx=5  بقسمة الطرفين على 5

ll                     3/5cosx + 4/5sinx = 1 

الآن إستعمل المتطابقة cos(x - a) = cosx cosa + sinx sina

ضع cosa = 3/5   و sina = 4/5  بقسمة sin على cos ينتج tan

tana = 4/3  ومنها a = tan^-1(4/3)    ..l

يعنى الظل العكسى لـ 4 على 3  .

هذا يعنى أن :

ll              cos(x - tan^-1(4/3)) = 1


اذاً : ll    x - tan^-1(4/3) = cos^-1(1)   ..ll

ولكن الجيب العكسى لـ 1 هو 0 لأن جتا0 = 1


اذاً : ll              x - tan^-1(4/3) = 0

ومنها ll        x = tan^-1(4/3)       ..ll


اذاً :        tanx = 4/3

ومن ثم يمكنك رسم مثلث فيثاغورث وتعيين
المقابل بحيث يكون 4 والمجاور يكون 3
ثم عين الوتر = جذر(4² + 3²) = 5

sinx = 4/5    و     cosx = 3/5

وبصفة عامة تستطيع أن تحل هذا النوع من
المسائل فى لمح البصر ... كيف ؟

أنظر ال معاملات كلاً من cos و sin و الحد المطلق

لتجد أن مربع 3 + مربع 4 = مربع 5

اذا تحقق هذا الشرط فإن sin
تساوى معاملها على الحد المطلق
و cos تساوى معاملها على الحد المطلق .

نظرية : ( واستطيع ان اثبتها لك )

من أجل a , b , c أعداد حقيقية بحيث :

a cosx + b sinx = c

فإن : cosx = a/c  و sinx = b/c

اذا وفقط اذا كان a² + b² = c²

تابع القراءة

3 تكامل قا³س دس

∫قا³س دس  = ∫قاس قا²س دس

ولكن قا²س = ظا²س + 1  بالتعويض ..

∫قاس (ظا²س + 1) دس

= ∫قاس ظا²س دس + ∫قاس دس

= ∫ظاس قاس ظاس دس + لط|قاس+ظاس|

وبقية التكامل يكون بالتجزءى ..

ضع ف = ظاس ومنها دف = قا²س دس

ضع دق = قاس ظاس دس ومنها ق = قاس

بالتعويض فى التكامل الأول فقط .

ف×ق - ∫ق دف +  لط|قاس+ظاس|


قاس ظاس - ∫قاس قا²س دس

= قاس ظاس - ∫قا³س دس

الآن نعود الى التكامل ( المسألة كاملة )

بعد معرفتنا ان :
∫ظاس قاس ظاس دس = قاس ظاس - ∫قا³س دس

اذاً :



∫قا³س دس  = قاس ظاس - ∫قا³س دس + لط|قاس+ظاس|


اذاً :

2∫قا³س دس = قاس ظاس + لط|قاس+ظاس|


اذاً : ∫قا³س دس = ½قاس ظاس + ½  لط|قاس+ظاس| + ث

تابع القراءة

0 خوارزمية إقليدس

خوارزمية أقليدس .. ليكن a , b أعداد صحيحة
فيوجد عدين صحيحين m و r بحيث أن :-

a = mb + r

فإن GCD(a,b) = GCD(b,r)    ..l‏

الإثبات المختصر :

نفرض وجود عددين a و b طبيعين بحيث

a = mb + r

حيث m عدد طبيعى و r هو باقى القسمة .

ليكن GCD(a,b) = d

اذاً d قاسم لـ a  و d قاسم لـ b ايضاً

تؤدى الى ان : d قاسم لـ a - mb

اوى بصفة أخرى d قاسم لـ r

اذاً  GCD(a,r) = d

ولكن GCD(a,b) = d

اذاً  GCD(b,r) = d

وهذا يؤدى الى ان : GCD(a,b) = GCD(b,r)   ..l‏

تابع القراءة

0 عين مدى الدالة س²/(1-2س)

.
                س²
ص = ــــــــــــــــــــــــــــــ
              1 - 2س


س² = ص - 2س ص

س² + 2س ص - ص = 0

المميز = جذر(4ص² - 4ص)


          4 ± جذر(4ص² + 4ص)
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    2


س = 2 ±جذر(ص² +ص)

يجب ان يكون ص² + ص ≥ 0

الآن نستخدم البرمجة الخطية لتحديد المدى ص .

نغير الإشارة ≥ الى علامة المساواه .

ص² - ص = 0  ومنها ص(ص+1) = 0

اما ص = 0   او ص = -1

تعال على خط الأعداد وارسم فواصل عند 0 و -1

نعوض مثلاً ص = -2  فى العلاقة

ص² + ص ≥ 0     فنجد انها تتحقق

نعوض عن ص = -0.5  فنجد انها لا تتحقق

نعوض عن ص = 2   فنجد انها تتحقق

اذاً مدى الدالة هو ح - ]0 ، -1[

تابع القراءة

1 بعض المسائل على التطابقات الخطية

اوجد النظير الضربي للعدد 31 مقياس 53 ؟

نفرض أن النظير الضربى هو a حيث a عدد طبيعى .

31a ≡ 1 (mod(53)       ..l

ولكن 53 عدد أولى .

a = 12

النظير الضربى = 12
................................................................
أكتب مثال المتطابقه ليست لها حل ؟

ax ≡ b (mod n)        ..l

حيث a , b , n أعداد طبيعية

l          (a , n) = d

اى ان القاسم المشترك الأكبر بين a و n هو d

حيث d عدد صحيح طبيعى ، وكان b لا يقبل القسمة
على d فلا يوجد حل لهذا التطابق :

مثال : 5X ≡ 8 (mod 15)      ..ll

من الملاحظ ان ll    (5 , 15) = 5

ولكن 8 لا تقبل القسمة على 5

النتيجة : ليس لهذا التطابق حل .
........................................................
إوجد باقي القسمه العدد 35^5 على 11

ll          (5)^5 ≡ 1 (mod 11)           ..ll

ll      [(5)^5]^7 ≡ 1^7 (mod 11)     ..ll

ll         (5)^35 ≡ 1 (mod 11)          ..ll

اذاً باقى القسمة هو 1 .
.....................................................
حل التطابق 2X ≡ 7 (mod11)

بما ان 11 عدد أولى اذاً للمتطابقة حل وحيد غير متطابق .
نلاحظ لا توجد عوامل مشتركة بين 2 و 11

الآن نوجد النظير الضربى للعدد 2 قياس 11 بحيث
قيمته محصورة فى المجموعة {1 ، 2 ، ..... ،10}

X = 9‏

تابع القراءة

0 المبرهنة الأساسية فى الحساب

هي مبرهنة رياضية تنص على أن كل عدد صحيح
طبيعي غير منعدم يمكن كتابته على شكل
جداء أعداد أولية, وهذه الكتابة وحيدة  .

ملحوظة الإثبات بديهى جداً .. واعتقد
فهمها افضل من ان نبرهن على صحتها

عموماً : نفرض وجود عدد طبيعى n بحيث ان العدد
الطبيعى a هو أحد عوامله فإن العدد n يمكن كتابته كـ

n = a b

فإذا كان a عدد أولى فقط انتهى البرهان، واذا كان عدد
مؤلف فيمكن وضعه على الصورة a = kL  بالتعويض .

n = KL b

فإذا كان كلاً من K و L أعداد أولية فقط انتهى البرهان
واذا كان كلاً منهم أعداد مؤلف ( او أحدهم فقط )
فإننا نكرر نفس الخوازرمية بنفس الأسلوب، وبذلك ينتهى
البرهان ايضاً .

طالع ايضاً

تابع القراءة

0 إثبات مبرهنة اويلر (للمهتمين بنظرية الأعداد فقط)

مبرهنة أويلر هو تعميم لمبرهنة فيرما الصغرى .

مضمون المبرهنة :

لكل a و n أعداد طبيعية بحيث a و n عددان اوليان
فيما بينهما فإن :

a^∅(n) ≡ 1 (mod n)     ..l

حيث ألدالة ∅ تسمى بدالة (فاى) او مؤشر اويلر .
....................................................................

إثبات المبرهنة :
ــــــــــــــــــــــــــــ

لتكن المجموعة{r1 , r2 , r3 , r4 , .....,r∅(n)}
نظام بواقى مختزل قياس n .

الآن من خواص النظام عند ضربه فى عدد a مثلاً
فإنه يبقى نظام بواقى مختزل كما هو (نفس الصفة فيه)
بشرط أن يكون a عدد طبيعى وليس له عوامل مشتركة مع n

النتيجة : ll {ar1 , ar2 ,ar3 ,a r4 , .....,ar∅(n)}  ll

ايضاً نظام بواقى مختزل .. بضرب كل هذه العناصر
فإن كل عنصر ari يطابق عنصر وحيد (ووحيط فقط)
من هذه المجموعة .. بحيث i المقصود منها 1 ، 2 ، 3 ...
يعنى ارقام تعريف ( لا أكثر ولا أقل )

ملحوظة : لعدم استاعطى كتابة الصيغة بالرموز
اللاتينية سأتناول هذه الجزئية برموز عربية )

والرمز المكتوب معناه حاصل ضرب عناصر المجموعة .

فاى(ن)       فاى(ن)
-------        ---------
 | | أرi    ≡    | | رi    (مود ن)
 i=1           i=1


فاى(ن)                     فاى(ن)
-------                       ---------
 | | أ^(فاى(ن)) رi    ≡    | | رi    (مود ن)
 i=1                          i=1

ولكن لا توجد عوامل مشتركة بين ر ، ن .. اذاً

أ^فاى(ن) ≡ 1 (مود ن)

الصيغة الأخيرة :


a^∅(n) ≡ 1 (mod n)     ..l

a و n عددان اوليان فيما بينهما .

تابع القراءة

0 إوجد تكامل (a^(-x^2 حيث a ثابت

هذا النوع من التكاملات يسمى بدالة الخطأ erf
والدالة الأصلية له هى e^-x²  حيث e هو العدد النيبيرى

حيث أن تكامل هذه الدالة من -∞ الى ∞  = جذر(باى)

sqrt(pi) erf(x)                  ..l

الآن نفرض الآتى :

a^-x² = e^-kx²

حيث k ثابت .. بأخذ ln للطرفين


lna^-x² = ln e^-kx²


ll                                   -x² lna = -kx²

k = lna

اذاً :

a^-x² = e^-ln(a)x²


ll               ∫a^-x² dx  = ∫e^-ln(a)x² dx


ll                    = ∫e^-[(sqrt(ln(a))x]² dx

قد يبدو التكامل معقد للوهلة الأولى .. لكن لا تقلق
كل الذى حدث هو اننا بدلنا المتغير x بدالة أخرى وهى sqrt(ln(a))x  ..l


افرض ان : y = sqrt(lna)x  

اشتق الطرفين بالنسبة لـ x ولا تنسى ان a ثابت .

dy = sqrt(lna) dx


dx = dy/sqrt(lna)          ..ll


بالتعويض ...

ll            ∫e^-[(sqrt(ln(a))x]² dx =  1/sqrt(ln(a))∫e^-y² dy

ولكن هذا التكامل هو دالة الخطأ erf بعينها
( لاحظ  ان المتغيرات x و y كلها
عبارة عن رموز اعتباطية ))

ll                                      = sqrt(pi) erf(y)/sqrt(ln(a)) ...ll

put  y  = ln(a) x
 
 ll                               = sqrt(pi) erf(ln(a) x)/sqrt(ln(a))   ..l



sqrt(pi/lna)                 ..l

هذه نتيجة التكامل من من سالب ما لانهايه الى ما لانهايه

مثال ضع a = 3  فإن نتيجة التكامل هى :

sqrt(pi/ln3) ≈ 1.691‏ 

تابع القراءة

0 اوجد كثيرة الحدود ق (س)

اوجد كثيرة الحدود ق (س) من الدرجة الثالثة في س و التي تقبل القسمة على (س+1) و يكون باقي قسمتها على (س-1) يساوي -2 و باقي قسمتها على (س-2) يساوي 9 و على (س+2) يساوي -11

بما ان ق(س) تقبل القسمة على (س+1)

اذاً ق(س) = (س+1) × (حدودية من الدرجة الثانية )

وبفرض ان هذه الحدودية هى أس² + ب س + جـ

ق(س) = (س+1) × (أس² + ب س + جـ)


الآن : باقى قسمتها على (س-1) يساوى -2  يعنى
ان ق(1) = -2

ق(1) = 2(أ+ب+جـ) = -2 ومنها أ+ب+جـ = -1       (1)

و باقي قسمتها على (س-2) يساوي 9  يعنى ان ق(2) = 9

ق(2) = 3(4أ+2ب+جـ) = 9  بقسمة الطرفين على 3

4أ+2ب+جـ = 3           (2)

و على (س+2) يساوي -11 هذا يعنى ان ق(-2) = -11


ق(-2) = -1(4أ-2ب+جـ) = -11

ومنها 4أ - 2ب + جـ = 11                (3)

بحل (1) ، (2) ، (3) معاً تنتج معاملات الحدودية من الدرجة
الثانية وينتج المطلوب .

أ+ب+جـ = -1             (1)

4أ+2ب+جـ = 3           (2)

4أ - 2ب + جـ = 11       (3)


بجمع (2) ، (3) ..  8أ + 2جـ = 14  بالقسمة على 2

4أ + جـ = 7              (4)

بضرب (2) فى -1 وجمعها مع (3)

-4أ - 2ب - جـ = -3        (2)

4أ - 2ب + جـ = 11       (3)

........... بالجمع ..................

-4ب = 8   ومنها ب = -2   بالتعويض فى (1)

أ - 2 + جـ = -1   ومنها  أ + جـ = 1        (5)

بحل معادلة (4) ، (5)  آنياً .. ( بعد ضرب معادلة(5) فى -1 )


4أ + جـ = 7              (4)

-أ - جـ = -1              (5)

............ بالجمع ...................

3أ = 6    ومنها    أ = 2


بالتعويض فى (1)   أ + جـ = 1   ومنها  2 + جـ = 1


اذاً   جـ = -1

اى ان :

أ = 2     ،  ب = -2      ،  جـ = -1

بالتعويض فى ق(س)

ق(س) = (س+1) × (أس² + ب س + جـ)


ق(س) = (س+1) × (2س² -2س -1)
= 2س³ - 2س² - س + 2س² -2س -1


= 2س³ - 3س - 1

..............................................................................

وهناك حل آخر لكنه طويل ..

ق(س) = (س+1) × (أس² + ب س + جـ)

بتوزيع (س+1) على القوس ..


أس³ + ب س² + جـ س + أس² + ب س + جـ


أس³ + (أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ

الآن كثيرة الحدود تقبل القسمة على (س-1) والباقى -2

بقسمة كثيرة الحدود على (س-1)

أس² + (2أ+ب) س + (2أ+2ب+جـ)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أس³ + (أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ  | (س-1)
                                                    ــــــــــــــــــ
أس³ - أس²
ــــــــــــــــــــ بالطرح ـــــــــــــــــــــــ
(2أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ
(2أ+ب) س² - (2أ+ب) س
ـــــــــــــــــــــ بالطرح ـــــــــــــــــــــــ
(2أ+2ب+جـ) س + جـ
(2أ+2ب+جـ) س - (2أ+2ب+جـ)
ـــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــــــ
(2أ+2ب+2جـ)

هذا معناه ان : 2أ+2ب+2جـ = -2

ومنها نحصل على  أ+ب+جـ = -1         (1)


و باقي قسمتها على (س-2) يساوي 9


أس² + (3أ+ب) س + (6أ+3ب+جـ)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أس³ + (أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ  | (س-2)
أس³ - 2أس²                                     ــــــــــــــــــ
ـــــــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــ
(3أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ
(3أ+ب) س² -2(3أ+ب) س
ـــــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــ
(6أ+3ب+جـ) س + جـ
(6أ+3ب+جـ) س - 2(6أ+3ب+جـ)
ــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــــ
جـ + 2(6أ+3ب+جـ)

هذا يعنى ان : جـ + 2(6أ+3ب+جـ) = 9

ومنها : جـ + 12أ + 6ب + 2جـ = 9

12أ + 6ب + 3جـ = 9   بقسمة الطرفين على 3

4أ + 2ب + جـ = 3                   (2)



و على (س+2) يساوي -11

أس² + (-أ+ب) س + (2أ - ب + جـ)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أس³ + (أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ  | (س+2)
                                                    ــــــــــــــــــ
أس³ + 2أس²
ـــــــــــــــــــــــــ بالطرح ـــــــــــــــــــــــ
(-أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ
(-أ+ب) س² +2(-أ+ب) س
ــــــــــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــــ
(2أ - ب + جـ) س + جـ
(2أ - ب + جـ) س + 2(2أ - ب + جـ)
ـــــــــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــ
جـ - 2(2أ - ب + جـ)


اذاً : جـ - 2(2أ - ب + جـ) = -11

جـ - 4أ + 2ب - 2جـ = -11

-4أ + 2ب - جـ = -11  بضرب الطرفين فى -1

4أ - 2ب + جـ = 11                         (3)


وبحل (1) ، (2) ، (3) ينتج كلاً من أ ، ب ، جـ

ومن ثم التعويض فى المسألة وتوزيع الضرب على القوس


نستنتج ان : ق(س) = 2س³ - 3س - 1

.............................................................

تابع القراءة

33 كيف نوجد مجال الدالة ؟

شكل "1" د(س) = س²

اولا ً : ░ ايجاد مجال الدالة بيانياً ( من الرسم ) ░

تعريف : مجال الدالة هندسياً هو الجزء المشغول من محور السينات .


مثال "1" عند رسم الدالة التربيعية د(س) = س²

كما فى المراجع ( شكل 1 )



فى الشكل نجد ان كل نقطة تقع على منحنى الدالة تقابلها
نقطة وحيدة ( ووحيدة فقط ) على محور السينات، ونلاحظ
ان منحنى الدالة ممتد الى أعلى ( الى مالانهاية )
وهذا يعنى ان كل نقطة تقابلها نقطة وحيدة على على محور
السينات .. تؤدى الى ان الدالة معرفة على جميع الأعداد
الحقيقية، اى ان مجالها هو ح .

مثال "2" عند رسم الدالة التكعيبية د(س) = س³

شكل"2" د(س) = س³

كما فى المراجع ( شكل 2 )

فنجد ايضاً ان كل نقطة تقع على منحنى الدالة اذا
اقطنا منها عامود على محور السينات فإن كل نقطة
تقابلها نقطة وحيدة على محور السينات الى مالانهاية
لذلك نقول ان ميل ال دالة التكعيبية
 معرفة على ح
(( أى على جميع الأعداد الحقيقية ))

                                                          1
مثال "3" عند رسم الدالة الكسرية د(س) = ـــــــــــ
                                                        س

شكل"3" د(س) = 1/س

كما فى المراجع ( شكل 3 )





فنجد ان كل نقطة تقع على منحنى تقابلها نقطة وحيدة
على مور السينات، ثم افترقت الدالة الى ( شطرين ) عند
الصفر .. ثم بقية الرسم فى الربع الثالث ايضاً كل
نقطة عليها تقابلها نقطة وحيدة على محور السينات

ولكن هذه الدالة غير معرفة عند الصفر كما يظهر فى الرسم
فإننا اذا وضعنا اصبع السبابة مثلاً عند نقطة الأصل ثم حاولنا
الطلوع الى أعلى فنجد ان الصفر ليس له صورة او ان
صورته تقترب من اللانهاية ( لكنها ليست صورة حقيقية )
كذلك اذا ما حاولنا النزول الى اسفل نجد ان الصفر ليس
له صورة ( على منحنى الدالة ) فقط نستطيع ان نقول
ان صورته تقترب من سالب ملانهاية ، كذا رأينا ان الصفر
له صورتان مقربتنا وهما موجب ملانهاية وسالب مالانهاية
(( لكنها ليست صورة فعلية لأن اللانهاية اصلاً ليست عدد حقيقى ))

اذاً نقول ان مجال هذه الدالة هو ح فرق الصفر وتكتب

ح - {0}

اى انها معرفة على جميع الأعداد الحقيقية فيما عدا الصفر .


مثال "4" عند رسم الدالة الجذرية د(س) = جذر(س)


كما فى المراجع ( شكل 4 )

شكل"4" د(س) = جذر(س)

نجد ان كل نقطة تقع على منحن الدالة ( فى الطرف الأيمن )
تقابلها نقطة وحيدة على محور السينات .. ولكن من الجهة
الأخرى ( الطرف الأيسر ) لا توجد نقاط للدالة تقابل محور
السينات .

لذلك نقول ان مجال هذه الدالة هو اى عدد موجب من 0 الى مالانهاية
وتكتب هكذا مجال الدالة = [0 ، ∞[

الصفر هنا مغلق ( لأنه ضمن مجال الدالة )
بينما ∞ فترة مفتوحة لأن ∞ ليست عدد حقيقى .



ثانياً : ░ ايجاد مجال الدالة جبرياً░

تعريف : مجال الدالة جبرياً هو جميع الفترات التى تكون فيها الدالة
معرفة .

مثال : اذا أخذنا مثال "1" ومثال "2" واردنا ان نوجد مجال الدالة جبرياً

د(س) = س²   بالتعويض فى الدالة بقيم محددة نلاحظ ان :

د(-5) = (-5)² = 25

د(-3) = (-3)² = 9

د(-1) = (-1)² = 1

د(0) = (0)² = 0

د(1) = (1)² = 1

د(3) = (3)² = 9

د(5) = (5)² = 25


وهكذا .. اذا استمرينا بالتعويض فنجد اننا بإستطاعتنا التعويض بأى
عدد حقيقى .. لذلك نقول ان مجال الدالة هو ح .

كذلك نفس الشىء بالنسبة للدالة د(س) = س³

يمكن التعويض فيها بأى عدد حقيقى أ مثلاً بحيث

د(أ) = أ³

لذلك مجال الدالة هو  ح .


وهنا نذكر نتيجة هامة جداً .. مجال الدالة د(س) = س^ن

حيث ن عدد طبيعى ( صحيح )       ..  هو   ح

اى ان مجال دالة عبارة عن س مرفوعة لأس صحيح ( مجالها ح )

استنتاج مباشر : الدوال كثيرات الحدود مجالها ايضاً ح .

الإثبات سهل جداً ، فقط بمعرفتنا ان الدالة يمكن كتابتها كمجموع دوال.

مثال د1(س) = س²    ، د2(س) = س³

د1 ، د2  هى اسماء ( مجردة ليس لها معنى سوى انها تميز دالة عن أخرى )

الآن نفرض ان مجموع د1  ، د2  هو  د

د(س) = س³ + س²

هكذا حصلنا على دالة عبارة عن مجموع دالة تربيعية وتكعيبية معاً .

ولكن مجال س²  هو ح   ومجال  س³  هو ح ايضاً

اذاً مجال س³ + س²  هو ح ايضاً .

نتيجة أخرى : د(س) = أ  مجالها ح لكل أ عدد حقيقى

وتسمى هذه بالدالة الثابتة .

مثال :  د(س) = 1

نلاحظ انه يمكن وضع الدالة هذه على الصورة د(س) = س^0

لذلك فإن اى عدد اس صفر (فيما عدا الصفر ) يساوى 1

لذلك نتعامل مع الدالة الثابتة على انها ضمن الدوال كثيرات الحدود .
ويكون مجالها هو ح .

ايضاً عند رسم الدالة د(س) = 1  تتعين فى رسمة خط مستقيم

موازٍ لمحور السينات، وذلك لأن عند التعويض فيها فإنها تأخذ قيمة ثابتة 1 فقط .

يعنى : د(10) = 1
         د(5) = 1
           د(4.5) = 1
         .
. وهكذا .. د(أ) = 1

حيث أ عدد حقيقى .

الدوال كثيرات الحدود تكون على هذا الشكل :


د(س) = أس^ن + ب س^(ن-1) + جـ س^(ن-2) + .... + د

حيث د هو الحد المطلق ..

مثال : د(س) = 3س^5 + 4س^4 + س³ + 2س² + س + 4

تعتبر دالة كثيرة حدود ومجالها ح .




                                              1
الآن نأخذ المثال الثالث : د(س) = ــــــــــــ
                                             س

نلاحظ ان س موجودة فى المقام.

حيث يمكن التعويض فى الدالة بأى عدد حقيقى فيما عدا الصفر
لماذا ؟؟ لأن الصفر سيجعل المقام بصفر ، والقسمة على الصفر
غير جائزة .

اذا عوضنا بصفر ..

              1
د(0) = ــــــــــــ = كمية غير معرفة .
             0

اذاً مجال هذه الدالة هو  ح - {0}


وبصفة عامة نذكر ما يلى :


مجال الدالة الكسرية هو ح فرق اصفار المقام .


                                                       س² + 2س
مثال "5" : عين مجال الدالة د :  د(س) = ــــــــــــــــــــــــــ
                                                         س + 1

لتعيين مجال الدالة نقول :

مجال الدالة = ح - {اصفار المقام}

ونعين اصفار المقام بهذه الطريقة .. نسأل ما القيمة التى تأخذها س
حتى تجعل المقام يساوى صفر ؟؟

وهى هنا واضحة تماماً القيمة هى س = -1

لأن  -1 + 1  = 0

ولكن نريد تعينها بطريقة علمية فنساوى المقام بالصفر هكذا ..

س + 1 = 0  ومنها  س = -1  (( هى صفر للمقام ))

اذاً المجال = ح - {-1}

                                                        س
مثال "6" عين مجال الدالة د :  د(س) = ــــــــــــــــــــ
                                                    س² - 1

اولاً نوجد اصفار المقام ( بمساواة المقام بالصفر )

س² - 1 = 0   ومنها س² = 1  اذاً س = ±1

مجال الدالة = ح - {±1}

                                                       س² - 1
مثال "7" عين مجال الدالة د: د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                   س² - س - 6



اصفار المقام : س² - س - 6 = 0   بتحليل المقدار الثلاثى .

(س - 3) (س + 2) = 0

اما س - 3 = 0   ومنها س = 3

واما س + 2 = 0   ومنها س = -2

اى ان مجال الدالة = ح - {-2 ، 3}


وهنا نريد ان ننوه الى خطأ يقع فيه بعض الطلاب .

                               
                                                      (س + 2)      
مثال"8" عين مجال الدالة د: د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                    س² - س - 6


الحل الصحيح هو كما سبق نوجد اصفار المقام
بمساواة س² - س - 6 = 0

ومن ثم مجال الدالة = ح - {-2 ، 3}

ولكن البعض يفعل ذلك وهو تحليل المقام هكذا ..


                  (س + 2)
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            (س + 2) (س - 3)


وبإختصار  (س + 2) فى كلاً من البسط والمقام ..

                        1
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    س - 3


ومن ثم س - 3 = 0   ومنها  س = 3

اذاً  المجال هو ح - {3}

وهذا غير صحيح .. لأن الدالة الأصلية اصفار مقامها ليست هكذا
فالصحيح هو ايجاد أصفار المقام أولاً ومن ثم تبسيط شكل الدالة
ان امكن ذلك .

وأخيراً : نأخذ مثال "4" أعلاه ونحله جبرياً :

د(س) = جذر(س)

هل يمكن ان يكون ما بداخل الجذر صفر ؟   نعم ممكن

هل يمكن ان يكون ما بداخل الجذر قيمة موجبة ؟  نعم ممكن

هل يمكن ان يكون ما بداخل الجذر قيمة سالبة ؟  غير ممكن

لماذا ؟

لأنه لا يوجد جذر لعدد سالب فى مجموعة الأعداد الحقيقية .

مثال اذا قلنا س² = -1 

هل يوجد عدد عند تربيعه يعطى قيمة سالبة ؟

نحن نعلم ان التربيع يلغى الإشارة السالبة .. اذاً اى عدد حقيقى
مربعة لابد ان تكون قيمة موجبة .

من جهة أخرى س² = -1  اذا احذنا الجذر التربيعى للطرفين

س  = ± جذر(-1)

اذاً لا توجد قيمة حقيقية لعدد حقيقى سالب .

وبناء عليه يتم تعريف مجال الدالة د(س) = جذر(س)  جبرياً

على انه جميع الأعداد الموجبة (فقط) + الصفر .

اذاً مجال الدالة = ح+

يعنى جميع الأعداد الحقيقة الموجبة، واحياناً تكتب

مجال الدالة = ح+ +{0}

,احياناً تكتب مجال الدالة = [0 ، ∞[

واحياناً تكتب مجال الدالة ح ≥ 0

وهذه من افضل الصيغ لها لأنها تلخص المضمون كله فى صيغة مبسطة .

وتقرأ مجال الدالة هو ح حيث ح اكبر من او يساوى الصفر .

وبصفة عامة : مجال الدالة الجذرية هى جميع القيم التى تحقق
ان ما تحت الجذر قيمة موجبة او تساوى الصفر ..

مثال "9" عين مجال الدالة د : د(س) = جذر(3س - 1)

هنا نضع ماتحت الجذر اكبر من او يساوى الصفر .

3س - 1 ≥ 0      ونحل المتباينة .


3س ≥ 1    ومنها س ≥ 1\3

فقط هكذا تعين مجال الدالة ( سهولة )


مثال "10" عين مجال الدالة د : د(س) = جذر(4 - س²)

نضع : 4 - س² ≥ 0     هذا حل .. ونكمل

لكن من الأفضل طالما ان ما تحت الجذر التربيعى دالة  اكبر من
 الدرجة الأولى فيفضل وضعها فى صورة معادلة .. هكذا .

4 - س² = 0  ومنها س² = 4   ومنها س = ±2

الآن نرسم خط الأعداد ونفصله عند القيم 2   ، -2
لنجد انه مقسوم الى ثلاً فترات ، ثم نختار اى عدد
فى كل فترة ونتحقق منه فى العلاقة 4 - س² ≥ 0

اذا حقق العلاقة تكون هذه الفترة ليست مجال الدالة
 ( طبعاً لا نعوض بجميع الأعداد لان هذا مستحيل ..))

واذا لم تحقق العلاقة  4 - س² ≥ 0  تكون ضمن مجال الدالة


المهم .. بعد التعويض نجد ان هناك فترة وحيدة فقط تحقق
مجال الدالة وهى  الفترة من -2  الى 2


اذاً مجال الدالة = [-2 ، 2]




░ ثالثاً : ايجاد بعض الدوال الأخرى░


مجال دالة المقياس ( دالة القيمة المطلقة ) هو ح .

مثال مجال الدالة د : د(س) = |س|   هو ح

مجال الدالة د : د(س) = |3س - 2|  هو ح  .. وهكذا


كذا ايضاً مجال الدالة الأسية هو ح :


مثال : د(س) = 2^س   مجالها ح .

(( ونلاحظ انها دالة اسية لأن س موجودة فى الأس ))


كذا ايضاً : دالتى الجيب وجيب التمام مجالها ح .

مثال : د(س) = جاس   مجالها ح



►♫ايجاد مجال الدالة الكسرية مع دخول بعض الدوال الأخرى عليها♫◄


                                                           1
مثال "11" عين مجال الدالة د: د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــ
                                                   جذر(س+1)

هذه دالة كسرية دخل عليها دالة جذرية .

ونحن نعلم لإيجاد مجال الدالة الكسرية نعين اصفار المقام
(( يعنى نساوى المقام بالصفر ))

ونعلم ايضاً عند ايجاد مجال الدالة الجذرية فإننا نضع ما داخل
الجذر اكبر من او يساوى الصفر .

الآن نوفق بين المفهوم الأول وبين المفهوم الثانى

فنأخذ ما تحت الجذر اكبر من الصفر ( فقط ولا يساوى الصفر )

لأنه اذا ساوى الصفر سيكون المقام يساوى صفر ، وهذا غير جائز .

اذاً مجال الدالة يتعين من خلال وضع :  س + 1 >  0

ومنها س >  -1

تابع القراءة